faculdade estadual de ciências e letras de campo

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5 REVISÃO SOBRE TEORIA DE CONJUNTOS
Um conjunto pode ser considerado como uma coleção de dados chamados elementos do
conjunto. Em geral, denota-se um conjunto por letras maiúsculas A, B, C, , N,  e os elementos
por letras minúsculas.
Exemplos:
1) Conjunto dos números naturais: N  0,1,2,
2) Conjunto dos números das faces de um dado: D  1,2,3,4,5,6
3) Conjunto das faces de uma moeda: M  cara, coroa
Quando não for possível relacionar todos os elementos de um conjunto, então representa-se esse
conjunto indicando uma propriedade que seja válida para todos os seus elementos.
Z   x  Z / x  0
T  x / x é um triângulo do plano
5.1 Relação de Pertinência
Se um elemento a pertence a um conjunto C escrevemos a  C . Se a não pertence a C
escrevemos a  C . Se tanto a como b pertencem a C escrevemos a, b  C .
5.2 Subconjunto
Seja o conjunto A, tal que todo elemento de A é também elemento do conjunto B. Então
dizemos que A é subconjunto de B e escrevemos A  B ou B  A e lemos “A está contido em B”
ou “B contém A”. Segue que para qualquer que seja A, A  A.
Propriedades:

Se A  B e B  A dizemos que A e B são iguais e escrevemos A  B.

Se A e B não são iguais escrevemos A  B.

Se A  B mas A  B dizemos que A é subconjunto próprio de B.
Exemplo: a, i, u é subconjunto próprio de a, e, i, o, u.
O teorema a seguir é válido para quaisquer conjuntos A, B e C.
Teorema 5.2.1: Se A  B e B  C , então A  C.
2
5.3 Conjunto vazio
É todo conjunto desprovido de elementos e é subconjunto de qualquer conjunto,
representado por  ou
 .
Exemplo: O conjunto de todos os reais tais que x 2  1.
5.4 Conjunto Universo
Em muitos casos restringimos nossos estudos a subconjuntos de um determinado conjunto
chamado conjunto universal, ou simplesmente universo. É também designado por espaço e
representa-se pela letra U.
5.5 Operações com Conjuntos
1ª) União: O conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou pertençam
ao conjunto B ou a ambos é chamado união de A e B e denota-se por A  B.
2ª) Intersecção: O conjunto dos elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B é
chamado de intersecção dentre A e B e representa-se por A  B.
3ª) Diferença: O conjunto formado pelos elementos de A e que não pertencem a B é
chamado diferença entre A e B e denotado por A  B . Se B  A , então A  B é chamado de
complemento de B em relação a A e é representado por B A' . Se A for o conjunto universo, A  B
será chamado de complemento de B e representado por B c .
5.6 Conjunto das Partes de um Conjunto
Dado o conjunto A, chamamos conjunto das partes de A ao conjunto formado por todos os
subconjuntos de A e o representamos por P  A . Assim, definimos o conjunto das partes por
P  A  x / x  A. O número de elementos de P  A é sempre 2 n , onde n é o número de
elementos de A.
Exemplo: Seja A o conjunto formado pelos dias da semana. Qual será o número de elementos
P  A ?
5.7 Alguns Teoremas Relativos a Conjuntos
Teorema 5.7.1: A  B  B  A  Lei comutativa da união.
Teorema 5.7.2: A  B  C    A  B  C  A  B  C  Lei associativa da união.
3
Teorema 5.7.3: A  B  B  A  Lei comutativa de intersecção.
Teorema
intersecção.
5.7.4:
A  B  C    A  B  C  A  B  C

Lei
associativa
da
Teorema 5.7. 5: A  B  C    A  B   A  C   Primeira lei distributiva.
Teorema 5.7.6: A  B  C    A  B   A  C   Segunda lei distributiva.
Teorema 5.7.7: A  B  A  B c
Teorema 5.7.8: Se A  B, então Ac  B c ou B c  Ac
Teorema 5.7.9:  A  B c  Ac  B c  Primeira lei de Morgan.
Teorema 5.7.10:  A  Bc  Ac  B c  Segunda lei de Morgan.

Teorema 5.7.11: A   A  B  A  B c



1

 1

Exemplo: Seja o universo U   , 0,  , 5,  2 ,4 . Se A   2 ,  , 0 , B  5, ,  2 ,  4  e
2

 2

1

C   ,  4  são subconjuntos de U, determine:
2

a) A  B
b) A  B
c)  A  B  C
d) B C  C C
e) A  B
f) B  C 
C
g)  A  C   B  C 