2 - UERN

ESTATÍSTICA I
NOCÕES FUNDAMENTAIS
Conceito Básico:
Def. – Vários autores têm procurado definir a Estatística. Através de muitos livros escritos sobre
Estatística, todos contendo definições, desde as mais simples até as mais complexas, porém a
que vamos sugerir aqui é a que julgamos ser simples e fácil de ser memorizada :
Estatística é a ciência que estuda as técnicas necessárias para coletar, organizar,
apresentar, analisar e interpretar os dados, a fim de extrair informações a respeito de
uma população.
Objetivo e Aplicação:
Objetivo – O objetivo da Estatística é a análise e interpretação dos fenômenos sociais de qualquer
natureza, com o intuito de fornecer ao ser humano dados suficientes para planejamento de
ações futuras.
Aplicação – Vamos encontrar aplicação da Estatística no Comércio, na Industria, na Medicina, na
Física, na Química, na Biologia, na Psicologia, na Sociologia, na Economia, na
Engenharia, na Agronomia, na Administração, na Zootecnia, enfim, em todos os
conceitos de atividade humana que dela fazem uso.
Do exame de uma série Estatística, uma empresa poderá adquirir a quantidade, a matéria
exata para o seu funcionamento, graças a comparações e análises das tabelas referentes e
já elaboradas. A operação com numeração Estatística é uma tarefa especializada e deverá
ser tratada com muito discernimento e conhecimento, pois poderá levar-nos a conclusões
indevidas.
Noções de População e Amostra:
População – O conjunto da totalidade dos indivíduos ou objetos sobre o qual se faz uma inferência recebe o nome de
população ou universo. A população congrega todas as observações que sejam relevantes para o estudo
de uma ou mais características dos indivíduos ou objetos. Em linguagem mais formal, a população é o
conjunto constituído por todos os indivíduos ou objetos que apresentam pelo menos uma característica
comum, cujo comportamento interessa analisar (inferir).
Exemplo: As pessoas de uma comunidade podem ser estudadas sob diversos ângulos : o conjunto
das estaturas de todas essas pessoas constituem uma população de estaturas; o conjunto
de todos os pesos constituem uma população de pesos, etc....
Amostra – A amostra pode ser definida como um subconjunto, uma parte selecionada da totalidade de observações
abrangidas pela população, através da qual se faz um juízo ou inferência sobre as características da
população. As características da amostra são chamadas de Estatísticas (descritivas), sendo simbolizadas
por caracteres latinos, enquanto que os parâmetros da população terão como símbolos, via de regra, os
caracteres gregos. Nesse texto, a preocupação será, portanto, a de descrição das amostras através da
comumente chamada Estatística Descritiva.
TIPOS DE AMOSTRAGENS
Utilizamos a amostragem em nossa vida diária, por exemplo, num aeroporto internacional, a escolha dos passageiros,
para a revista da bagagem, é feita por amostragem.
Existem técnicas adequadas para recolher amostras, de forma a garantir (tanto quanto possível) o sucesso da pesquisa e
dos resultados.
Devemos estabelecer um número mínimo de elementos para compor a amostra. Essa quantidade não deve ser menor
que 10% do total de elementos da população.
Por que Amostragem?
•
Economia – O levantamento de dados sobre uma parte da população é mais econômico que o levantamento de
dados sobre toda a população;
Tempo – O levantamento de dados sobre uma parte da população é mais rápido que o levantamento de dados
sobre toda a população;
Confiabilidade dos dados – Ocorre menor número de erros em pesquisas que disponham de menor número
de elementos;
Operacionalidade – É mais fácil trabalhar os dados em menor escala.
•
•
•
Técnicas para a determinação da Amostragem:
•
•
•
Amostragem casual ou aleatória simples;
Amostragem proporcional estratificada;
Amostragem sistemática.
Amostragem Casual ou Aleatória Simples
É a seleção por meio de sorteio. É sempre recomendável que a amostra contenha no mínimo 10% da população.
Inicialmente, devemos listar ou numerar de 1 a N a população a ser analisada, e posteriormente selecionar uma
amostra de pelo menos 10% da população mediante um sorteio.
Amostragem Proporcional Estratificada
Nesta amostragem consideramos a população dividida em subconjuntos, em que cada subconjunto recebe o nome de
estrato. Cada subconjunto (chamado estrato) tem uma característica comum entre seus elementos.
Amostragem Sistemática
Esse método é um procedimento para a amostragem aleatória, utilizado quando os elementos da população já se acham
ordenados. Exemplos que podem ser citados: os prédios de uma rua, os funcionários de uma empresa, as linhas de
produção etc...
Intervalo de Seleção:
N
, onde N é a população e n é a amostra.
n
Classificação da Estatística:
A Estatística pode ser dividida, basicamente, em duas partes que se inter-relacionam: a Estatística Descritiva e a
Estatística Indutiva.
Estatística Descritiva ou Dedutiva – É à parte da Estatística que descreve a organização, o resumo e
a descrição de conjuntos de dados variáveis, reduzindo-os a um pequeno número de
medidas que contém toda a informação relevante. A finalidade é tornar as coisas mais
fáceis de entender, de relatar, de discutir. Nestes processos descritos de sintetização
salientam-se as formas de apresentação de dados, através de tabela e gráficos, e as medidas
de posição (tendência central) de dispersão (variabilidade), de assimetria e curtose.
Exemplo : Índices de desemprego, de mortalidade, de acidentes no trabalho, de custo de vida, média
de estudantes, produção média de uma fábrica, despesa média de uma família, etc....
Estatística Indutiva ou Inferência Estatística – É à parte da Estatística que, baseando-se em
resultados obtidos da análise de uma amostra da população, procura inferir, induzir ou
estimar as leis de comportamento da população da qual a amostra foi retirada, através do
cálculo de probabilidade.
Exemplo : Através de uma pesquisa eleitoral, um instituto anuncia o provável vencedor das eleições
para governador. Fábricas frequentemente produzem um pequeno número de peças (lote
piloto) antes de se lançarem à fabricação em grande escala. Uma nova vacina é testada
num grupo de pacientes para se avaliar a sua eficácia.
Arredondamento Estatístico de Dados:
Sempre nos deparamos com situações onde é necessário ou conveniente suprimir unidades
inferiores às de determinada ordem.
Torna-se imperiosa, então, a definição de critérios para considerar números próximos aos que
representam os valores reais de determinada medida, com finalidade de reduzir ao mínimo os efeitos
dos erros cometidos nessas aproximações.
Os critérios de arredondamento de dados foram estabelecidos através da Resolução nº 886, de
26/10/1996, do Conselho Nacional de Estatística.
1) Quando o primeiro algarismo a ser suprimido for 0, 1, 2, 3 ou 4, fica inalterado o último algarismo a
permanecer.
26,450 ≅ 26,45
Exemplo : Arredondar para o centésimo mais próximo: 47,523 ≅ 47,52
35, 892 ≅ 35,89
98, 764 ≅ 98,76
Arredondar para a unidade mais próxima: 115,39 ≅ 115
97,08 ≅ 97
189,47 ≅ 189
76,18 ≅ 76
456,28 ≅ 456
2) Quando o primeiro algarismo a ser suprimido for 6, 7, 8, ou 9, aumenta-se em uma unidade o último algarismo
a permanecer.
Exemplo : Arredondar para o centésimo mais próximo: 89,567 ≅ 89,57
58,479 ≅ 58,48
98,498 ≅ 98,50 47,356 ≅ 47,36
Arredondar para a unidade mais próxima: 65,74 ≅ 66
875,84 ≅ 876
28,92 ≅ 29
126,64 ≅ 127
3)
Quando o primeiro algarismo a ser suprimido for 5, apresentam-se duas soluções:
3.1) Se ao 5 seguir, em qualquer casa, um algarismo diferente de zero, aumenta-se uma unidade ao último
algarismo a permanecer.
76,35003 ≅ 76,4
Exemplo : Arredondar para o décimo mais próximo: 5,453 ≅ 5,5
3.2) Se o 5 for o último algarismo (ou se a ele só se seguirem zeros) o último algarismo a permanecer:
a) Sendo par, permanece inalterado.
Exemplo : Arredondar para o décimo mais próximo: 47,65 ≅ 47,6 124,45000 ≅ 124,4
b) Sendo impar, será aumentado em uma unidade.
Exemplo: arredondar para a unidade mais próxima: 57,5 ≅ 58
85,500 ≅ 86
Arredondamento de Soma:
Quando se trata de soma, deve-se arredondar primeiro o total, e posteriormente as parcelas. Há aqui dois casos a
considerar:
a) Se a soma das parcelas da série arredondada for superior ao total, deve-se retornar à série original,
arredondando-se, por falta, tantas parcelas quantas forem as unidades excedentes. Serão escolhidas as
parcelas anteriormente arredondadas por excesso e cujas frações desprezadas formem um número mais
próximo de 5, 50, 500 etc..., conforme o caso.
Exemplo:
Série original
Série arredondada
6,51
7
7,50
8
14,63
15
20,10
20
24,73
25
26,52
27
99,99
102 >100
* Arredondamentos refeitos.
Série corrigida
6*
7*
15
20
25
27
100
b) Se a soma das parcelas da série arredondada for inferior ao total, retornar-se-á à série original,
arredondando-se, por excesso, tantas parcelas quantas sejam as unidades em falta. Serão
escolhidas aquelas parcelas anteriormente arredondadas por falta e cujas frações formem um
número mais próximo de 5, 50, 500 etc.., conforme o caso.
Exemplo:
Série original
Série arredondada
5,34
5
7,45
7
18,50
18
19,90
20
22,37
22
26,43
26
99,99
98 <100
* Arredondamentos refeitos.
Série corrigida
5
8*
19*
20
22
26
100
Somatório e suas Propriedades:
Muitas vezes precisamos escrever expressões que envolvem somas com muitos termos, ou cujos
termos obedecem a certa lei de formação. Por exemplo, a soma dos 110 primeiros números naturais:
1 + 2 + 3 + 4 + . . . . . . . . + 109 + 110.
Simbolizaremos por xi o i-ésimo termo da soma. Assim, x1 representa o 1º termo, x2 representa o 2º, x3,
o 3º, x110 , o centésimo décimo elemento.
Também chamaremos “n” o número de termos da soma. Na ilustração n = 110.
n
A soma de “n” termos pode simbolicamente representada por:
∑ xi
i =1
110
No caso anterior, temos 110 termos; então n = 110 e a soma dos cento e dez números será representada por: ∑ xi
i =1
n
Partes do símbolo do Somatório:
∑ xi
i =1
a) “
∑
”– é o operador somatório (instrução para somar)
b) “ n ” – é último elemento a ser somado
c) “ x ” – é o nome dos termos a serem somados
d) “ i ” – o primeiro elemento dos termos a serem somados.
Lê-se a simbologia acima assim : somatório de xi , para “i” variando de 1 a “n”. O símbolo “
∑
ӎa
letra grega maiúscula chamada SIGMA..
Caso estivéssemos interessados na soma dos segundo, terceiro,... centésimo elemento, deveríamos
100
escrever
∑
i=2
Propriedades do Somatório:
1º) Se cada elemento da série é multiplicado por uma constante, os elementos podem ser somados e o
resultado multiplicado pela constante.
n
n
i =1
i =1
∑ c.xi = c. ∑ xi
2º) A soma de uma constante sobre “n” termos é igual a “n” vezes a constante.
n
∑ c = n.c
i =1
3º) O somatório da soma (ou diferença) é igual à soma (ou diferença) dos somatórios individuais das
variáveis.
n
n
n
i =1
i =1
i =1
∑ (xi ± yi ) = ∑ xi ± ∑ yi
4º) O somatório múltiplo (duplo) de um produto é igual ao produto dos somatórios tomados
separadamente.

 n   m



∑ ∑ xi y j =  ∑ xi  ⋅  ∑ y j 
i =1 j =1
 i =1   j =1 
n m
Observações Importantes:
1º) Quando não houver possibilidades de dúvidas, poderemos eliminar os índices. Dessa forma:
n
∑ xi = ∑ x
n
;
i =1
∑ xi2 = ∑ x 2
i =1
2º) O somatório dos quadrados é diferente do quadrado do somatório.
∑ x 2 ≠ (∑ x )2
3º) O somatório dos produtos é diferente do produto de dois somatórios.
∑ xy ≠ ∑ x ⋅ ∑ y
4º) Sempre que houver operações indicadas em frente do somatório, deveremos desenvolve-las, para
em seguida aplicarmos as propriedades.
∑ ( x + y )2 = ∑  x 2 + 2 xy + y 2  = ∑ x 2 + 2∑ xy + ∑ y 2
n
5º) O número k de parcelas ou termos do somatório
k = n − a +1
∑
é dado pela seguinte expressão:
i=a
Somatório Duplo:
É frequente na representação dos dados estatísticos, o uso de tabelas de dupla entrada, onde os valores
são expressos em função de duas variáveis. Uma variável linha e uma variável coluna. Poderíamos representar numa
tabela de dupla entrada: estado civil X sexo; faixas etárias X faixas de rendas; escolaridade X departamentos, etc...
A indicação da soma dos elementos de tabelas de dupla entrada pode ser feita pelo somatório duplo.
Seja x ij um elemento genérico, sujeito à i-ésima linha e à j-ésima coluna da tabela:
J
1
2
3
...K
X11
X21
X31
.
.
.
XL1
X12
X22
X32
.
.
.
XL2
X13
X23
X33
.
.
.
XL3
X1k
X2k
X3k
.
.
.
XLK
I
1
2
3
.
.
.
L
Assim teremos: a) X11 + X12 + ... + X1k + X 21 + X 22 + ... + X lk =
2
2 + ... + X 2 + X 2 + ... + X 2 =
b) X + X
33
34
3k
43
c) X 21 + X 22 + X 23 + ... + X 2k =
d) X13 + X 23 + ... + X
L3 =
lk
L K
∑ ∑ x ij
i =1 j =1
L K
∑∑
i =3 j =3
2
x ij
K
∑ x2 j
j =1
L
∑ xi3
i =1
Exemplo: X ij representa o elemento sujeito à i-ésima linha e à j-ésima coluna da tabela abaixo:
j
1
2
3
4
5
2
1
-2
1
2
0
0
4
1
-2
3
i
1
2
3
Pede-se calcular:
3 4
a)
∑ ∑ x ij = 5 + (-2) + 0 + 1 + 2 +...+ 3 =15
i =1 j =1
4
b) ∑ x3 j = 1 + 2 + 4 + 3 = 10
j =1
3 4
c) ∑ ∑ x 3 = 0 3 + (− 2 )3 + 4 3 + 33 = 83
ij
i = 2 j =3
FASES DO MÉTODO ESTATÍSTICO
COMENTÁRIO: - Quando pretendemos um estudo estatístico completo, recorremos a diversas etapas ou operações
que são chamadas Fases do trabalho estatístico as quais descreveremos:
As Fases principais são:
-
Definição do Problema
Planejamento
Coleta dos Dados
Apuração dos Dados
Apresentação dos Dados
Análise e Interpretação de Dados
Definição do Problema: Consiste na formulação correta do problema a ser estudado, saber exatamente aquilo que se
pretende pesquisar é o mesmo que definir corretamente o problema.
Planejamento: Consiste em determinar o procedimento necessário para resolver o problema e, em especial, como
levantar informações sobre o assunto objeto do estudo.
É nessa fase que será escolhido o tipo de levantamento a ser utilizado, onde temos dois tipos de levantamento:
1.- Levantamento censitário, quando a contagem for completa, abrangendo todo o universo.
2.- Levantamento por amostragem, quando a contagem for parcial.
Temos outros elementos importantes que não devem ser esquecidos dentre eles destacamos:
- cronograma das atividades, onde fixamos os prazos para as várias fases;
- custos envolvidos;
- exame das informações disponíveis;
- delineamento da amostra,
- forma como serão escolhidos os dados.
Coleta dos Dados: Refere-se à obtenção, reunião e registro sistemático de dados, com um objetivo determinado.
Lembramos que é possível, pois, distinguir dois tipos de fontes externas, as quais darão origem a duas espécies de
dados:
- Dados Primários: São aqueles publicados ou comunicados pela própria pessoa ou organização que os haja recolhido,
exemplos Censo Demográficos.
- Dados Secundários: São aqueles publicados ou comunicados por outra organização, exemplo Publicações Estatísticas
extraídas de várias fontes e relacionadas com diversos setores industriais através de determinado jornal.
Recomendamos trabalhar com fontes primárias, por várias razões:
1- Uma fonte primária oferece, em geral, informações mais detalhadas do que uma fonte secundária;
2- É mais provável que as definições de termos e de unidades figurem somente nas fontes primárias;
3- O uso da fonte secundária traz o risco adicional de erros de transcrição;
4- Uma fonte primária poderá vir acompanhada de cópias dos impressos utilizados para coletar as informações,
juntamente com o procedimento adotado na pesquisa, a metodologia seguida e o tipo e tamanho da amostra.
Podemos também realizar a Coleta de Dados de duas maneiras: Coleta Direta e Indireta.
- Coleta Direta: É aquela obtida diretamente da fonte, é o caso da empresa que realiza uma pesquisa para saber a
preferência dos consumidores pela sua marca. Existem três tipos de Coleta Direta:
1- Coleta Contínua,
2- Coleta Periódica,
3- Coleta Ocasional
Coleta Contínua: É aquela obtida ininterruptamente, automaticamente e na vigência de um
determinado período, exemplo: registro de nascimento, casamento.
Coleta Periódica: É aquela obtida em períodos curtos, determinados, de tempos em tempos,
exemplo: recenseamento demográfico, realizado a cada dez anos
Coleta Ocasional: É aquela obtida esporadicamente, atendendo a uma conjuntura qualquer ou a uma
emergência, exemplo: coleta de casos fatais em um surto epidêmico.
- Coleta Indireta: É obtida a partir dos elementos conseguidos pela coleta direta, é feita, portanto, por
deduções e suposições, podendo ser realizada:
1 – Por Analogia
2 – Por Proporcionalização
3 – Por Indícios
4 – Por Avaliação
Por Analogia: É aquela quando o conhecimento de um fenômeno é induzido a partir de outro que com
ele guarda relações de casualidade;
Por Proporcionalização: É aquela quando o conhecimento de um fato se induz das condições
quantitativas de uma parte dele;
Por Indícios: É aquela que se dá quando são escolhidos fenômenos sintomáticos para discutir um
aspecto geral da vida social;
Por Avaliação: É aquela que ocorre quando, através de informações fidedignas ou estimativas
cadastrais, se presume o estado quantitativo de um fenômeno.
Apuração dos Dados: É um trabalho de condensação e de tabulação dos dados, que chegam ao analista de forma
desorganizada, tornando impossível à tarefa de apreender todo o seu significado pela simples leitura.
Dependendo das necessidades e dos recursos disponíveis há várias formas de se fazer a apuração: Manual, Mecânica,
Eletromecânica ou Eletrônica.
Apresentação dos Dados: A apresentação ou exposição dos dados observados pode ser feita de duas formas, onde não
se excluem mutuamente:
1 – Apresentação Tabular: Que é uma apresentação numérica dos dados
2 – Apresentação Gráfica: Que é uma apresentação geométrica dos dados numéricos.
Análise e Interpretação dos Dados: Nesta fase do trabalho o interesse maior reside em tirar conclusões que auxiliem
o pesquisador a resolver seu problema.
APRESENTAÇÃO DAS INFORMAÇÕES
APRESENTAÇÃO TABULAR:
Um dos métodos usados para a apresentação de dados estatísticos é aquele que consegue expor os resultados sobre
determinado assunto num só local, sinteticamente, de tal modo que tenhamos uma visão mais globalizada daquilo que
vamos analisar. Denominamos esse método de Apresentação Tabular.
Apresentação Tabular dos dados estatísticos se faz mediante tabelas (ou quadros), resultantes da disposição dos
respectivos dados em linhas e colunas distribuídos de modo ordenado, segundo regras práticas adotadas pelos
diversos sistemas estatísticos. No Brasil estas regras foram fixadas pelo Conselho Nacional de Estatística.
Definições:
Definimos tabela como sendo a “disposição escrita que se obtém referindo-se uma coleção de dados numéricos a uma
determinada ordem de classificação”. Uma tabela pode ser simples ou de dupla entrada.
Tabela Estatística Simples é “aquela composta de uma coluna matriz, também chamada coluna indicadora, onde
inscritos os valores ou modalidades da ordem de classificação e da coluna em que aparecem os valores que
representam as ocorrências ou as intensidades do fenômeno em casa”.
Tabela de dupla entrada é aquela “própria à apresentação das distribuições a dois atributos, qualitativos ou
quantitativos, em que existem duas ordens de classificação: uma horizontal e outra em coluna indicadora; nos
cruzamentos formados pelas linhas com as colunas encontra-se a frequência dos indivíduos que apresentam
conjuntamente as alternativas correspondentes à linha e à coluna que sobre ela se cruzam”. Exemplo: a tabulação
simultânea de um conjunto de pessoas segundo seus pesos e suas estaturas.
As tabelas estatísticas se compõem de elementos essenciais e elementos complementares.
Elementos Essenciais:
Os elementos essenciais de uma tabela são: título, corpo, cabeçalho, e coluna indicadora.
Título – é a indicação que precede a tabela e que contém, a designação do fato observado, o local e a época em que foi
registrado.
Corpo – é o conjunto de colunas e linhas que contém, respectivamente, em ordem vertical e horizontal, as
informações sobre o fato observado.
Cabeçalho – é a parte superior da tabela que especifica o conteúdo das colunas.
Coluna Indicadora – é a parte da tabela que especifica o conteúdo das linhas.
Elementos Complementares
Os elementos complementares de uma tabela estatística são: fonte, notas, e chamadas, todos eles se situando, de
preferência, no rodapé da tabela.
Fonte – é a indicação da entidade responsável pelo fornecimento dos dados ou pela sua elaboração.
Notas – são informações de natureza gerais, destinadas a conceituar ou esclarecer o conteúdo das tabelas ou a indicar a
metodologia adotada no levantamento ou na elaboração dos dados.
Chamadas – são informações de natureza específicas sobre determinada parte da tabela, destinadas a conceituar ou a
esclarecer dados. As chamadas são indicadas no corpo da tabela em algarismos arábicos, entre parênteses, à esquerda
das casas e à direita da coluna indicadora. A numeração das chamadas na tabela será sucessiva, de cima para baixo, e
da esquerda para a direita. A distribuição das chamadas no rodapé da tabela obedecerá à ordem de sua sucessão na
tabela, separando-se uma das outras por um ponto.
Sinais Convencionais
a) – (traço horizontal), quando o valor numérico é nulo, quanto ao resultado do inquérito ou em casos em que o
espaço tiver que ser deixado em branco, pela natureza das coisas ou pela maneira como a tabela é apresentada;
b) ... (três pontos), quando não se dispõe dos dados;
c) ? (ponto de interrogação), quando há dúvida quanto à exatidão do valor numérico;
d) § (parágrafo), quando o dado retifica informação anteriormente publicada;
e) 0; 0,0; 0,00 (zero), quando o valor numérico é muito pequeno para ser expresso pela unidade utilizada. Se os
valores numéricos são expressos em números decimais, acrescentar-se-á à parte decimal um número
correspondente de zeros;
f) X (letra X), quando o dado for omitido a fim de evitar individualização de informações.
Apresentação das Tabelas
Quando apresentarmos uma tabela estatística, deveremos levar em consideração os seguintes pontos:
a) Nenhuma casa deve ficar em branco, apresentando sempre um número ou sinal convencional;
b) Evitar-se-á apresentação de tabelas em que a maior parte das casas indique a inexistência do fenômeno, a
ausência de informações e dados sujeitos a retificação;
c) As tabelas serão fechadas, no alto e embaixo, por traços horizontais, fortes, preferencialmente;
d) As tabelas não serão fechadas, à direita e à esquerda, por traços verticais; será facultativo o emprego de traços
verticais para separação das colunas no corpo da tabela, embora seja mais usual o seu uso;
e) Nas tabelas que ocupam diversas páginas, as “chamadas” devem ser inseridas no rodapé das páginas em que
estiverem indicadas; a “fonte” e as “notas” figurarão no fim da tabela;
f) A soma dos dados numéricos de uma linha ou coluna será indicada destacadamente pela palavra “total”,
exceto quando se referir a uma área geográfica, caso em que receberá o nome do conjunto da mesma;
g) É facultativo que o total preceda ou suceda as parcelas; em qualquer dos casos, o modo de apresentação deve
ser uniforme; a soma de totais parciais será indicada pela expressão “total geral”;
h) Quando os dados se referirem a uma série de anos civis consecutivos, indicar-se-ão três algarismo, no caso de
variar o século, e dois em caso contrário, separados por um hífen: 1890 – 960; 1960 – 67;
i) Quando os dados se referirem a uma série de anos civis consecutivos, indicar-se-ão ambos em algarismo
completos, separados por hífen: 1950 – 1967;
j) Quando os dados se referirem a um período de doze meses diferentes do ano civil, indicar-se-ão o primeiro e a
parte variável do segundo, separados por uma barra inclinada: 1966 / 67;
k) A indicação dos meses poderá ser abreviada pelas suas três primeiras letras.
SÉRIES ESTATÍSTICAS:
Denominamos Série Estatística ao conjunto de números, associados a um fenômeno expressando quantidades
absolutas ou grandezas, disposto em correspondência com um critério de modalidade.
Segundo esse critério podemos ter:
a)
b)
c)
d)
e)
Séries Cronológicas
Séries Geográficas
Séries Específicas
Séries Conjugadas
Distribuição de Frequência
Séries Cronológicas
Também denominadas temporais, têm como critério classificado a característica de o tempo ser variável, enquanto o
local e o fato permanecem fixos.
Evolução da demanda de vestibulandos
para o 3º grau – Brasil – 1995 – 99
Anos
Inscritos
1995
1.250.537
1996
1.559.094
1997
1.803.567
1998
1.735.457
1999
1.989.249
Fonte: Ministério da Educação
Séries Geográficas
Também chamadas de localização, onde o local é a variável, enquanto que o tempo e o fato permanecem constantes.
Número de emissoras de rádio FM’s no
Rio Grande do Norte – 1999
Cidades
Quantidades
Natal
15
Mossoró
10
Caicó
05
Parnamirim
02
Fonte: Dentel
Séries Específicas
Séries específicas, ou de qualidade, apresentam o local e o tempo constantes, enquanto que o fato é que varia. Tais
séries se apresentam de duas maneiras: quando o fato se apresenta como um todo e quando o fato se apresenta disposto
em classes ou categorias, dando nesse caso, origem à chamada distribuição de frequências, que, mercê de sua
importância, será analisada mais à frente de forma pormenorizada.
Matrículas no ensino de 3º grau em Mossoró
na Uern - 1999
Cursos
Matrículas
Administração
50
C. Contábeis
45
História
35
Direito
60
Fonte: Dare
Séries Conjugadas
Também chamadas mistas, quando existe a combinação entre as séries cronológicas, geográficas e específicas, visto
que podem variar o fato, o lugar e o tempo.
Agências do Banco do Brasil instaladas em
algumas cidades do Rio G. do Norte, 1992 – 1996
Cidades
1992
1996
Natal
03
05
Mossoró
01
02
Parnamirim
01
01
Caicó
01
01
Currais Novos
01
01
Santa Cruz
01
01
Umarizal
01
01
Fonte: Anuário do Banco Central
Distribuição de Frequência
Também chamadas distribuição por frequência ou derivadas, são séries que têm fixos o fenômeno, o tempo e o local,
sendo o fenômeno apresentado através de gradações da variável.
As gradações do fenômeno estudado são obtidas através de classes de frequências, cujo método de obtenção será
ensinado mais adiante.
Estrutura Etária da População no Rio G. do
Norte – 1999
Idades (anos)
%
0 Ⱶ 10
29
10 Ⱶ 20
25
20 Ⱶ 30
21
30 Ⱶ 40
10
40 Ⱶ 50
10
50 Ⱶ 60
3
60 Ⱶ 70
1
70 Ⱶ 80
1
Fonte: Fundação IBGE
APRESENTAÇÃO GRÁFICA:
Chamamos de apresentação gráfica de um fenômeno o processo de obtenção de uma figura geométrica representativa
desse mesmo fenômeno em toda sua extensão. A figura geométrica assim obtida denomina-se gráfico ou diagrama do
fenômeno.
O gráfico constitui, atualmente, um instrumento essencial para o economista, o administrador, o educador, o biólogo, o
químico, o engenheiro, o sociólogo, bem como para os profissionais de quase todos os demais ramos de atividades.
Classificação dos Gráficos
a)
b)
c)
d)
Gráficos Lineares ou de Curvas
Gráficos em Barras ou em Colunas
Setogramas
Outros Tipos
Gráficos Lineares ou de Curvas
O diagrama linear, provavelmente, é o gráfico empregado com maior frequência. Representa alterações quantitativas
sob a forma de uma linha. As flutuações da linha proporcionam rápida percepção visual da tendência dos dados ou da
sua mutação em certo período de tempo.
Exemplo: Construir um gráfico linear baseado nos dados da tabela a seguir.
Evolução do preço médio unitário dos PCs no Brasil 1994 – 000
Anos
Preços em reais
Med.Graf.=Preço/Med.real
1994
1415
2,9
1995
1477
3,1
1996
1580
3,3
1997
1850
3,9
1998
1680
3,5
1999
1350
2,8
2000
1290
2,6
Fonte: Data Folha
Construção: São 07 anos a representar, ou seja, 06 intervalos de tempo, neste período. Cada intervalo pode valer 1cm,
2cm, 3cm etc., dependendo das dimensões do papel; escolhemos 1cm, então:
Largura do Gráfico = 6 x 1 = 6cm
Altura Máxima = 4,8 Altura Mínima = 3,4
Maior Preço em reais = 1850 ÷ 4,8 ≅ 385
e
1850 ÷ 3,4 ≅ 544
A passagem da medida real para a medida gráfica é feita através de uma escala que, como vimos, deve figurar no
intervalo de 385 a 544 PCs por centímetro.
Escolhemos 1cm correspondente a 480 PCs.
Gráficos em Barras ou em Colunas
O gráfico em barras confronta quantidades por meio de barras cuja largura é constante, enquanto a altura varia em
função da magnitude dos valores. Os retângulos podem apresentar-se horizontal ou verticalmente, devendo-se preferir
a última posição quando está envolvido o elemento tempo.
Exemplo: Construir um gráfico em barras baseado nos dados da tabela a seguir:
Matricula Inicial no Ensino do 2º grau no Rio G. do Norte –1990 – 94
Anos
Matrículas (1000)
Med.Graf.=Matric/Med.real
1990
1003
6,7
1991
1119
7,5
1992
1300
8,7
1993
1480
9,9
1994
1682
11,2
Fonte: Secretaria de Educação
Construção: Devemos considerar 05 colunas e 06 espaços (as colunas são separadas da moldura do gráfico e entre si,
por espaços). Cada coluna pode ter para largura 1cm, 2cm 3cm, etc..., dependendo das dimensões do papel, os espaços
entre colunas devem ser no máximo 2/3 da largura da coluna.
Largura do Gráfico = 5 colunas à 2cm + 6 espaços à 1cm = 16cm
Altura Mínima = 9,1
Altura Máxima = 12,8
Maior Quantidade de Alunos Matriculados =1682 ÷ 9,1 ≅ 185 e
1682 ÷ 12,8 ≅ 131
A passagem da medida real para a medida gráfica é feita através de uma escala que, como vimos, deve figurar no
intervalo de 131 a 185 matriculas por centímetros.
Escolhemos 1cm correspondentes 150.000 matriculas.
Setogramas
É um circulo cuja área se divide em segmentos representativos das partes proporcionais de um todo. O setogramas
constitui um tipo de gráfico de componentes e presta-se para confrontar as partes integrantes de um total.
Exemplo: Construir um gráfico de setores com os dados da tabela abaixo.
Produção Agrícola no Vale do Açu – 2000
Discriminação
Tonelada
%
º
Banana
150
60
216
Melão
57
22,8
82,08
Uva
25
10
36
Abacaxi
18
7,2
25,92
Total
250
100
360
Fonte: Emater
Construção: Verificamos, ao observar a tabela, que a soma da produção em toneladas do nosso exemplo é de 250, total
que corresponderá a 100%, no gráfico de setores.
Calculamos a percentagem correspondente a cada produção, desta maneira:
Banana... se 250 ton →
100%
150 ton →
x
, encontramos x = 60%
Fazemos o mesmo com as outras produções.
Calculamos também os graus dos ângulos correspondentes às porcentagens de cada produto, sabendo-se que o total
(100%) equivale (360º), logo teremos: se 100% → 360º
60% → x , encontramos x = 216º
Fazemos o mesmo com as outras produções.
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
Definição: É uma tabela na qual os possíveis valores de uma variável se encontram agrupados em classes de valores,
registrando-se o número de dados observados em cada uma delas. Desta forma, podemos dividir as
distribuições de frequências em dois tipos:
Distribuição de Frequência – Variável Discreta
É uma representação tabular de um conjunto de valores em que colocamos na primeira coluna em ordem
crescente apenas os valores distintos (variável discreta) da série e na segunda coluna colocamos os
valores das frequências simples correspondentes. Geralmente esta variável assume valores inteiros.
Exemplos:
1.
2.
3.
4.
número de alunos da classe X;
número de acidentes na Av. Presidente Dutra;
quantidade de livros da biblioteca da escola;
peças defeituosas num lote recebido.
Exemplo de construção de uma variável discreta: A sequência abaixo representa a observação do número de acidentes
por dia, em uma rodovia, durante 25 dias.
X: 0, 2, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 0, 3, 2, 2, 0, 1, 2, 1, 1, 0, 0.
Os valores distintos da sequência são: 0, 1, 2, 3.
As frequências simples respectivas são: 10, 7, 6, 2.
Portanto, a variável discreta representativa desta sequência é:
xi
0
1
2
3
total
fi
10
7
6
2
25
Devemos optar por uma variável discreta na representação de uma série de valores quando o número de
elementos distintos da série for pequeno.
Distribuição de Frequência – Variável Continua
É quando a variável assume valores em intervalos da reta real, não é possível enumerar
todos os valores. Geralmente esta variável provém de medições. Exemplos:
1.
2.
3.
4.
peso dos alunos de uma classe;
lucro das empresas no ramo metalúrgico;
tempo de duração de um transistor;
nota de aproveitamento dos alunos.
Exemplo de construção da variável contínua: Suponha que a observação das notas de 30 alunos em uma prova nos
conduzisse aos seguintes valores:
X: 3; 4; 2,5; 4; 4,5; 6; 5; 5,5; 6,5; 7; 7,5; 2; 3,5; 5; 5,5;
8; 8,5; 7,5; 9; 9,5; 5; 5,5; 4,5; 4; 7,5; 6,5; 5; 6; 6,5; 6.
Observando estes valores notamos grande número de elementos distintos, o que significa que neste caso a variável
discreta não é aconselhável na redução de dados.
Nesta situação é conveniente agrupar os dados por faixas de valores, ficando a série com a seguinte apresentação:
Classe
1
2
3
4
Notas
2Ⱶ4
4Ⱶ6
6Ⱶ8
8 Ⱶ 10
fi
4
12
10
4
(1)
Devemos optar por uma variável contínua na representação de uma série de valores quando o número de
elementos distintos da série for grande.
Para explicar a colocação das notas dos alunos, segundo uma distribuição de acordo com a tabela (1), necessitamos de
algumas definições:
1 – Dados Brutos:
São aqueles que não foram numericamente organizados, como é o caso das notas de 30 alunos.
2 – Rol:
É o arranjo dos dados brutos em ordem de grandeza crescente ou decrescente.
3 – Amplitude Total: (At )
É a diferença entre o maior e o menor elemento de uma sequência.
At = Xmáx - Xmín
Exemplo: Na sequência que deu origem à tabela (1), Xmáx = 9,5 e Xmín = 2, portanto At = 7,5.
4 – Frequência Absoluta ou Simples: ( f i )
É o número de acontecimentos verificados nos intervalos que se observa. Na tabela (1) na segunda classe 12 notas
verificada no intervalo de 4 | 6.
5 – Limites de Classe:
São os números extremos de cada classe.
Exemplo: Se considerarmos a classe 3, temos como limite inferior li = 6 e limite superior Ls= 8.
6 – Ponto Médio de Classe: x i
Obtém-se através da semi-soma dos limites de determinada classe x i =
l i + Ls
2
7 – Intervalo de Classe: ( h i )
Também denominado amplitude ou oscilação de classe, é cada um dos subintervalos estipulados. Obtém-se em
uma tabela, pela diferença entre os limites da classe ou dois limites consecutivos inferiores ou superiores ou
também entre dois pontos médios consecutivos, a saber:
hi = L − l = l
−l =L
− Ls = x
−x
s
i
i +1
i
s+1
Exemplo: Calcular o intervalo da classe 2 da tabela (1):
hi = 6 – 4 = 8 – 6 = 7 – 5 = 2
i +1
i
8 – Classe de Maior Frequência (modal) e Classe de Menor Frequência:
Denominamos classe de maior frequência ou modal àquela em que se verifica o maior número de
frequências, e consequentemente, de menor frequência àquela em que se verifica o menor número
de frequências.
9 – Frequência Acumulada Crescente: Fac
i
Chama-se frequência acumulada de uma classe à soma da frequência absoluta da classe com as das
classes anteriores.
Exemplo: A frequência acumulada da 3 classe na tabela (1) será:
Fac3 = f1+f2+f3 = 4+12+10 = 26
10 –Frequência Acumulada Decrescente: Fad
i
Chama-se frequência acumulada decrescente de uma classe à soma das frequências das classes
subsequentes.
Exemplo: A frequência acumulada decrescente da 3 classe na tabela (1) será:
Fad3 = f3+f4 = 10+4 = 14
11 – Número de Classe: k
A questão do número de classes é, teoricamente controvertida e diversos autores apresentam
soluções diferentes.
Embora existam fórmulas apropriadas, em geral, não se conhecem regras precisas que levem a
uma decisão final, a partir da distribuição dos dados.
um procedimento geralmente aceito é adotar um número mínimo de 5 classes e um máximo de 20
classes.
Menos que 5 classes pode ocultar detalhes importantes, assim como mais que 20 pode tornar a
apresentação demasiadamente detalhada. Determinaremos o intervalo de classe através do seguinte
critério:
Para k1 = 5 → h1 =
At
A
; Para k2 = 20 → h2 = t
k1
k2
Qualquer valor de “ h i ” situado entre os limites h1 e h2 satisfaz plenamente os objetivos.
Preferentemente, escolhemos o valor médio de“ h i ”.
h1 + h 2
2
Outros critérios: k = n
hi =
Regra de Sturges: k = 1 + 3,3 log n
12 – Frequência Relativa de Classe: f r
i
Corresponde ao quociente entre a frequência absoluta da classe e o total de elementos.
n
fi
fr =
f
i N ; onde N = ∑ i
i =1
13 – Frequência Acumulada Relativa de Classe: Facr
i
É a divisão da frequência acumulada desta classe pelo número total de elementos da série:
Facri =
Faci
N
n
; onde N =
∑ fi
i =1
Critérios Gerais de Elaboração de uma Distribuição
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Tomar a lista de dados brutos e transforma-la em Rol;
Encontrar a amplitude total da sequência;
Escolher o número desejado de classe (k)
Fixar a amplitude do intervalo de classe (hi)
Estabelecer o limite inferior da 1ª classe
- Limite inferior 1ª classe = menor dado – (hi/2)
- Limite inferior 1ª classe = menor dado
- Limite inferior 1ª classe = inteiro inferior ao menor dado
Construir as diversas classes, a partir do limite inferior 1ª classe;
Fazer a contagem do número de observações em cada classe (f i )
Encontrar os pontos médios de classe;
Determinar os outros tipos de frequências de classe
Representação Gráfica das Distribuições de frequência
Para variáveis quantitativas discretas, a representação gráfica será, normalmente feita por meio de um diagrama de
barras. Como se trata de uma variável quantitativa (expressa em valores numéricos), representamos tais valores no
eixo das abscissas e as respectivas frequências no eixo das ordenadas, o que facilita a descrição.
Quando as variáveis são quantitativas contínuas, a representação gráfica da distribuição de frequência é feita através
dos histogramas de frequência e polígonos de frequência.
Histograma de Frequência
É um gráfico formado por um conjunto de retângulos justaposto assentados sobre um eixo horizontal, tendo como
bases os diversos intervalos de classe. A área de cada retângulo deve ser proporcional à frequência da classe que ele
representa.
Polígono de Frequência
É o gráfico de linha obtido pela localização das frequências, a partir dos pontos médios das diversas classes. Podemos
construir o polígono de frequência unindo por segmentos de reta, os pontos médios dos topos dos retângulos do
histograma. O polígono é fechado nos pontos médios das classes anteriores e posteriores às extremas.
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Def. – Refere-se ao fato de que, geralmente, numa série de dados numéricos observa-se um valor central, onde a
maioria dos dados observados se agrupa em torno dele.
Principais Medidas de Tendência Central:
1.
2.
3.
4.
5.
Média Aritmética Simples e Ponderada;
Média Geométrica Simples e Ponderada;
Média Harmônica Simples e Ponderada;
Mediana para Dados Discretos e Contínuos;
Moda para Dados Discretos e Contínuos.
Média Aritmética Simples
Para uma sequência numérica X : x1 , x 2 ,..., x n , a média simples, que designaremos por X é definida por:
X=
∑ xi
n
Exemplo: Se X: 3, 6, 4, 0, 9, então X =
3+6+4+0+9
⇒ X = 4,4
5
Média Aritmética Ponderada
Para uma sequência numérica X : x1 , x 2 ,..., x n afetadas de pesos (frequências) p1 , p 2 ,..., p n , respectivamente, a
média aritmética ponderada, que designaremos por:
X=
∑ xipi
∑ pi
Exemplo: Se X: 6, 8, 4, 10, com pesos 3, 4, 5, 6 respectivamente, então:
X=
∑ x i p i = 6 × 3 + 8 × 4 + 4 × 5 + 10 × 6 ≅ 7,2
3+4+5+6
∑ pi
Média Geométrica Simples
Para uma sequência numérica X : x1 , x 2 ,..., x n , a média geométrica simples, que designaremos por X g , é definida
por:
n
X g = n x1 .x 2 ...x n = n Π x i
i =1
Exemplo: Se X: 3, 7, 8, 2, então:
X g = 4 3.7.8.2 = 4 336 ≅ 4,28
Média Geométrica Ponderada
Para uma sequência numérica X : x1 , x 2 ,..., x n , afetadas de pesos (frequências) p1 , p 2 ,..., p n , respectivamente, a
média geométrica ponderada que designaremos por X g é definida por:
n
p
n = ∑p
X g = ∑ p x p1 .x p 2 ...x p
Π xi i
n
1
2
i =1
Exemplo: Se X: 3, 5, 9, 10 com pesos (frequências), 3, 2, 4, 1, respectivamente, então:
Xg =
10 3 2 4 1 10
3 .5 .9 .10 = 44286750 ≅ 5,82
Média Harmônica Simples
Para uma sequência numérica de elementos não nulos X : x1 , x 2 ,..., x n , a média harmônica simples, que
designaremos por X h , é definida por:
Xh =
n
1
1
1
+
+ ... +
x1 x 2
xn
=
n
1
∑x
i
Podemos notar que a média harmônica é o inverso da média aritmética dos inversos dos elementos.
Exemplo: Se X: 7, 9, 6, 5, então:
Xh =
4
1 1 1 1
+ + +
7 9 6 5
=
4
630x4 2520
=
=
≅ 6,45
90 + 70 + 105 + 126
391
391
630
Média Harmônica Ponderada
Para uma sequência numérica de elementos não nulos X : x1 , x 2 ,..., x n , afetados de pesos (frequências)
p1 , p 2 ,..., p n , respectivamente, a média harmônica ponderada que designaremos por X h é definida por:
Xh =
∑ pi
p1 p 2
p
+
+ ... + n
x1 x 2
xn
=
∑ pi
p
∑ xi
i
Exemplo: Se X: 5, 7, 9, 3, com pesos 2, 3, 5, 1, respectivamente, então:
Xh =
11
2 3 5 1
+ + +
5 7 9 3
=
11
11x315 3465
=
=
≅ 6,4
126 + 135 + 175 + 105
541
541
315
Observações:
1. A média harmônica é particularmente recomendada para séries de valores que são inversamente proporcionais,
como para o cálculo de velocidade média, tempo médio de escoamento de estoques, custo médio de bens
comprados com uma quantia fixa etc...
2. A média geométrica só é indicada para representar uma série de valores aproximadamente em progressão
geométrica.
3. Os casos anteriores não são muito frequentes nas aplicações. Vamos restringir o desenvolvimento de médias
ao caso de média aritmética, que é a média mais utilizada nas aplicações.
4. Se os dados estão apresentados na forma de uma variável contínua, utilizaremos a média aritmética
ponderada, considerando as frequências simples das classes como sendo as ponderações dos pontos médios
destas classes.
Mediana
É um valor real que separa o rol em duas partes deixando à sua esquerda o mesmo número de elementos que a sua
direita. Portanto, a mediana cujo símbolo é M d é um valor que ocupa a posição central em uma série.
Mediana para Dados Não-Agrupados
Cálculo da mediana será:
A) Se n for impar: (n é o número de elementos)
ο
n +1
 n +1
A mediana será o termo de ordem 

 ⇒ Md = 
 2 
 2 
o
Exemplo: Dada a sequência de valores qual a mediana: 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15, 16, 18.
Como n = 9 ⇒
9+1
= 5 ο , logo M d = 10
2
B) Se n for par: (n é o número de elementos)
ο
n
n

  +  + 1
ο
ο
n
n

2
2

A mediana será o termo de ordem   e  + 1  ⇒ M d =
2
2
2

ο
Exemplo: Dada a sequência de valores qual a mediana: 2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 21.
Como n = 8 ⇒
4 ο + 5 ο 10 + 12 22
8
8
=
=
= 11
= 4ο e
+ 1 = 5 ο , logo M d =
2
2
2
2
2
Mediana para Dados Agrupados
A) Sem intervalo de classe:
Devemos identificar a frequência acumulada que é imediatamente superior ao elemento mediano
 ∑ fi

 2


 (também conhecido de classe mediana). A mediana será aquele valor da variável que corresponde a


tal frequência acumulada.
Exemplo: Determinar a mediana da série:
x i 2 5 8 11 13
fi
Fac
1 5 9 10 8
i
1 6 15 25 33
∑ fi
2
33
=
≅ 16,5
2
A maior frequência acumulada imediatamente
superior a este valor é 25, logo a mediana é 11
Observação: Quando a classe mediana tiver o mesmo valor da frequência acumulada a mediana será a semisoma do valor da variável correspondente a essa frequência acumulada e a seguinte.
Exemplo: Determinar a mediana da série:
x i 12 14 15 16 17
Como o elemento mediano é igual a frequência
2 2 1 2 1
fi 8
fi
acumulada, logo a mediana será
= =4
14 + 15 29
2
2
Fac 2 4 5 7 8
∑
i
B) Com intervalo de classe:
Devemos ter a seguinte sequência:
A) determinamos as frequências acumuladas;
Md =
2
=
2
≅ 14,5
 ∑ fi
 2

A) calculamos 

 (classe mediana)


B) verificamos a frequência acumulada imediatamente superior a classe mediana, em seguida utilizamos a
seguinte expressão para o cálculo da mediana:
Md = li +
∑ fi − F
ant
2
fi
⋅ h i , onde: l i
⇒
 ∑ fi

 2

Fant
limite inferior da classe mediana;

 ⇒


⇒
⇒
fi
hi
classe mediana;
frequência acumulada da classe anterior à classe
mediana;
frequência simples da classe mediana;
⇒
amplitude do intervalo da classe mediana.
Exemplo: Determine a estatura mediana na seguinte tabela:
Estaturas (cm)
fi
Fac
∑ fi
2
=
i
150 Ⱶ154
4
154 Ⱶ 158
9
158 Ⱶ 162
11
162 Ⱶ 166
8
166 Ⱶ 170
5
170 Ⱶ 174
3
4
13
24
32
37
40
40
= 20 ; l i = 158
2
; Fant = 13; h i = 4; f i =11, logo substituindo estes valores na expressão para o
cálculo da mediana para dados agrupados com intervalo de classe temos:
M d = 158 +
20 − 13
28
⋅ 4 = 158 +
= 158 + 2,55 ≅ 160,55 cm
11
11
Observação: Quando a classe mediana tiver o mesmo valor da frequência acumulada, a mediana será o limite superior
da classe correspondente.
Exemplo: Dada a seguinte tabela determine a mediana:
Classe 0 Ⱶ 10
1
fi
Fac
i
1
10 Ⱶ20
3
4
20 Ⱶ 30
9
13
30 Ⱶ 40
7
20
40 Ⱶ 50
4
24
50 Ⱶ 60
2
∑ fi
26
2
=
26
= 13
2
Logo M d = 30
Moda
Denominamos moda cujo símbolo M o , o valor que ocorre com maior frequência em uma série de valores
Moda para Dados Não-Agrupados
Reconhecemos a moda de acordo com a definição é aquele valor que mais se repete em uma série.
Exemplo: Seja a série: 7, 8, 11, 10, 15, 12, 11, 13, 11, 9.
Podemos verificar que a série tem moda igual a 11 ⇒ M o = 11
Tipos de séries Modais:
Amodal: é a série que não apresenta valores repetidos
Exemplo: 1, 3, 8, 5, 10, 16, 15.
Bimodal: é a série que apresenta dois ou mais valores modais
Exemplo: 3, 2, 4, 4, 5, 4, 6, 7, 8,7, 9, 7.
Vemos que tem modas 4 e 7 logo ⇒ M o = 4 e M o = 7
Moda para Dados Agrupados
A) Sem intervalo de classe:
Quando agrupados os valores de uma série é possível determinarmos a moda que será o valor da variável de maior
frequência.
Exemplo: Consideremos a tabela abaixo onde temos o número de famílias com filhos masculinos.
A família que apresenta com maior frequência é a que tem 3 filhos
logo a M o = 3.
Nº de meninos 0 1 2 3 4
2 6 10 12 4
fi
B) Com intervalo de classe:
A classe que apresenta a maior frequência é denominada classe modal, em dados agrupados com intervalo de
classe, a moda é o valor dominante que está compreendido entre os limites da classe modal. Para determinação da
moda para dados agrupados com intervalo de classe Czuber apresentou a seguinte expressão:
Mo = li +
f máx − f ant
⋅ hi
2 ⋅ f máx − (f ant + f post )
Onde:
li
⇒
limite inferior da classe modal
f máx
⇒
frequência simples máxima
f ant
⇒
frequência simples imediatamente anterior a frequência máxima
f post
⇒
frequência simples imediatamente posterior a frequência máxima
hi
⇒
amplitude da classe modal
Exemplo: Dada a tabela de distribuição abaixo determinar a moda.
Estaturas (cm) 150 Ⱶ 154
4
fi
154 Ⱶ 158
9
158 Ⱶ 162
11
162 Ⱶ 166
8
166 Ⱶ 170
5
170 Ⱶ 174
3
Na tabela podemos verificar que a classe modal é terceira aplicando na expressão de Czuber temos:
l i = 158 ; f máx = 11; f ant = 9; f post = 8; h = 4
M o = 158 +
11 − 9
8
8
⋅ 4 = 158 +
= 158 + = 158 + 1,6 = 159,6cm
2 ⋅ 11 − (9 + 8)
22 − 17
5
Separatrizes
Além das medidas de posição que já estudamos, há outras que, consideradas individualmente, não são medidas
de tendência central, mas estão ligadas à mediana relativamente à sua segunda característica, já que elas se baseiam em
sua posição na série. Essas medidas são: – os quartis, os percentis e os decis, juntamente com a mediana, conhecidas
pelo nome genérico de separatrizes.
Os Quartis (QK)
Def. Denominamos quartis os valores de uma série que a dividem em quatro partes iguais.
Temos, portanto, três quartis:
- O primeiro quatril (Q1) que é o valor que está situado de tal modo na série que uma quarta parte (25%) dos dados é
menor e as três quartas partes restantes (75%) maiores do que ele;
- O segundo quatril (Q2) que é, evidentemente, coincidente com a mediana (Q2 = Md);
- O terceiro quatril (Q3), que é o valor situado de tal sorte que as três quartas partes (75%) dos termos são menores e
uma quarta parte (25%), maior que ele.
Quando os dados são agrupados para determinar os quartis, usamos a mesma técnica do cálculo da mediana, bastando
substituir, na fórmula da mediana,
∑ fi
2
∑ fi
Q1 = l i +
k∑ fi
4
por
4
− Fant
fi
sendo k o número de ordem do quartil. Assim, temos:
∗ hi
3∑ f i
− Fant
4
Q3 = l i +
∗ hi
fi
Os Percentis (PK)
Def. Denominamos percentis o noventa e nove valores que separam uma série em 100 partes iguais.
Indicamos: P1, P2, ..., P32, ..., P99
É evidente que:
P50 = Md; P25 = Q1 e P75 = Q3
O cálculo de um percentil segue a mesma técnica do cálculo da mediana, porém, a fórmula
∑ fi
2
será substituída por
k∑ fi
sendo k o número de ordem do percentil
100
3∑ f i
− Fant
100
P3 = l i +
∗ hi
fi
Os Decis (DK)
Def. Nos decis, a série é dividida em 10 partes iguais (D1, D2,...,D9).
MEDIDAS DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE
Def. – Servem para verificarmos a representatividade das medidas de posição, pois é muito comum
encontrarmos séries que, apesar de terem a mesma média, são compostas de maneira distinta.
Exemplo: Consideremos as séries:
−
⇒ cuja média é : x = 13
A : 1; 18; 10; 20; 35; 3; 7; 15; 11; 10
−
B : 14; 12; 13; 13; 12; 14; 13; 12; 14; 13 ⇒ cuja média é : x = 13
−
C : 13; 13; 13; 13; 13; 13; 13; 13; 13; 13 ⇒ cuja média é : x = 13
Verificamos que todas possuem a mesma média 13.
A série A, existem muitos elementos bastante diferenciados da média 13.
A série B, a média 13 representa bem a série, mas existem elementos da série levemente
diferenciados da média.
A série C, não existe variabilidade de dados.
- Medidas de Dispersão mais Empregadas:
- Medidas de Dispersão Absolutas: - Amplitude Total ( AT )
- Desvio Médio ( DM )
- Variância ( S2 )
- Desvio Padrão ( S )
- Medidas de Dispersão Relativa: - Coeficiente de Variação ( CV )
- Amplitude Total – Dados Brutos: É a diferença entre o maior e o menor valor da sequência.
Exemplo: Considerando a série A do exemplo anterior, temos:
Amplitude Total: AT = 35 – 1 = 34 unidades
- Amplitude Total – Dados Agrupados Sem Intervalo de Classe: É a
diferença entre o último e o primeiro elemento da série.
Exemplo: Consideremos a tabela abaixo:
3
1
xi
fi
5
4
6
5
7
2
Como o maior valor da série é 7 e o menor valor é 3. A amplitude é AT = 7 – 3 = 4 unidades
- Amplitude Total – Dados Agrupados Com Intervalo de Classe: É a
diferença entre o ponto médio da última classe e o ponto médio da primeira classe.
Exemplo:
Classe
fi
3 Ⱶ 7 Ⱶ 11 Ⱶ 15 Ⱶ 19 Ⱶ 23
2
8
10
11
4
Ponto médio da última e primeira classe é : x5 =
23 + 19 42
7 + 3 10
=
= 21 ; x1 =
=
= 5 ,logo
2
2
2
2
AT = 21 – 5 = 16
Conclusão: A utilização da Amplitude Total como medida de dispersão é muito limitada, pois,
sendo uma medida que depende apenas dos valores extremos, é instável, não sendo afetada
pela dispersão dos valores internos.
- Desvio Médio (DM)
Def. : É baseado na diferença entre cada valor do conjunto de dados e a média do grupo, tomados
em módulo.
n
∑ xi − x
- Desvio Médio – Dados Brutos : DM = i =1
n
- Desvio Médio – Dados Agrupados Sem e Com Intervalo de Classe:
k
∑ f i . xi − x
DM = i =1
k
, onde
k
∑ fi = n
i =1
∑ fi
i =1
- Variância ( S2 ) : É a média aritmética da soma dos quadrados dos desvios tomados em
relação à média.
2
 n 
2 
∑ xi  ∑ xi 
- Variância - Dados Brutos : S2 = i =1
−  i =1 
n −1
n(n − 1)
n
- Variância – Dados Agrupados Sem e Com Intervalos de Classe:
 n

2
 ∑ xi . f i 
x
.
f
∑ i i 


i =1
2
−  i =1
S =
n −1
n(n − 1)
n
2
- Desvio Padrão ( S ) : É a raiz quadrada da variância
2
 n 
2 
∑ xi  ∑ xi 
i =1
−  i =1 
n −1
n(n − 1)
n
- Desvio Padrão – Dados Brutos : S =
- Desvio Padrão – Dados Agrupados Sem e Com Intervalo de Classe:
 n

∑ xi . f i  ∑ xi . f i 

i =1
−  i =1
n −1
n(n − 1)
n
S=
2
2
- Coeficiente de Variação ( CV ) : É uma medida de dispersão relativa que expressa o desvio
padrão em termos da média, podendo também ser expresso em porcentagem.
CV =
S
⋅ 100
x
ASSIS MORAIS∴
TEORIA ELEMENTAR DA PROBABILIDADE
Da Origem às Aplicações:
As origens do cálculo de probabilidade remontam ao século XVI e suas aplicações referiam-se
sempre a jogos de azar. Os jogadores ricos aplicavam o conhecimento da teoria das probabilidades para
planejar estratégias de apostas. Ainda hoje há muitas aplicações envolvendo tais jogos, como as loterias, os
cassinos, as corridas de cavalos e os esportes organizados.
Com o decorrer do tempo, a utilização das probabilidades ultrapassou o âmbito desses jogos e, atualmente, os
governos as empresas e as organizações profissionais incorporam esta teoria em seus processos diários de
deliberações.
Independente de sua aplicação, a utilização de probabilidade indica que existe um elemento de acaso (ou de
incerteza), quanto à ocorrência ou não de um evento futuro. Em muitas situações pode ser impossível afirmar, por
antecipação, o que ocorrerá, mas é possível dizer o que pode ocorrer. O estudo das probabilidades é útil porque
auxilia a desenvolver estratégias e na tomada de decisões.
Conceitos:
O ponto central da teoria das probabilidades é quantificar quão provável é a ocorrência de determinado
evento. Em geral, é possível determinar ou exprimir a probabilidade de um evento, mediante uma combinação de
experiência, julgamento e dados históricos.
Exemplos:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
previsão da procura de um novo produto;
previsão de safras agrícolas;
previsão de tempo em várias regiões;
compra de apólices de seguro;
avaliação do impacto de um projeto do governo;
aplicação de investidores que depende das chances de lucro.
Experimento Aleatório: (E)
É todo fenômeno ou ação que geralmente pode ser repetido e cujo resultado é casual ou aleatório.
Espaço Amostral: (S)
É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.
Evento: (A, B, C, D, F,..., R, T,...)
É um subconjunto do espaço amostral, ou seja, são alguns resultados do experimento claramente especificados.
Exemplos:
a) E: Lançar um dado e observar o nº da face voltada para cima.
S: {1; 2; 3; 4; 5; 6}
Evento A: ocorrer um número par. A = {2; 4; 6}
Evento B: ocorrer um número maior que 4. B = {5; 6}
Evento C: ocorrer um número primo e par. C = {2}
b) E: Lançar duas moedas e observar o resultado: c = (cara) e k = (coroa).
S: {(cc ) ; (ck ) ; (kc) ; (kk )}
Evento A: ocorrer mais de uma coroa. A = {(kk)}
Evento B: ocorrer pelo menos uma cara. B = {(cc); (ck); (kc)}
Evento C: ocorrer apenas uma coroa. C = {(ck); (kc)}
Tipos de Eventos:
A determinação de probabilidade leva em conta a maneira como os vários eventos podem relacionar-se entre si.
Essas relações são descritas pelos os seguintes eventos:
1. Mutuamente excludentes (exclusivos) ou disjuntos;
2. Não mutuamente excludentes ou conjuntos;
3. Coletivamente exaustivos;
4. Complementares;
5. Independentes;
6. Dependentes
Mutuamente Excludentes ou Disjuntos
São aqueles em que a ocorrência de um evento impede ou exclui a ocorrência do outro.
Exemplo: a) Lances de uma moeda (cara ou coroa)
b) Lances de um dado
c) Sexo de um animal (masc. ou femin.)
d) Artigos produzidos (bons ou defeit.)
Não mutuamente excludentes ou Conjuntos
São os eventos que podem ocorrer ao mesmo tempo. A ocorrência de um evento não exclui a ocorrência do
outro.
Exemplo: a) Sistema Econômico
Evento A: inflação.
b) Tempo chuvoso
Evento A: relâmpago
Evento B: recessão
Evento B: chuva
Eventos Coletivamente Exaustivos
É quando ao menos um dos eventos tem de ocorrer durante um dado experimento. Nenhum outro resultado é possível,
porque se esgotam todas as possibilidades.
Exemplo: a) Jogo de futebol
Evento A: ganhar; Evento B: perder;
Evento C: empatar
b) Loteria esportiva
Evento A: coluna 1; Evento B: coluna do meio; Evento C: coluna 2
_
Eventos Complementares ( A )
O complemento de um evento A consiste de todos os resultados possíveis que não fazem parte de A.
_
Exemplo: a) Lance de moedas: A = cara ; A = coroa
_
b) Inspeção de um lote de peças produzidas: A = peças perfeitas;
A = peças defeituosas.
Eventos Independentes
São aqueles em que a ocorrência de um deles não afeta de maneira alguma a probabilidade de ocorrência do outro
evento.
Exemplo: a) Dois lances sucessivos de um dado ou de uma moeda.
b) Extração de bolas de uma urna, com reposição.
Eventos Dependentes
São aqueles em que a ocorrência de um evento afeta a probabilidade de ocorrência do outro.
Exemplo: a) Extração de bolas de uma urna, sem reposição.
Obs: Eventos mutuamente exclusivos são altamente dependentes.
Probabilidade a Priori ou Clássica
Dada uma experiência aleatória definida num espaço amostral S, a probabilidade de ocorrer em evento E, contido em
S, é o quociente entre o número de elementos do evento E e o número de elementos do espaço amostral S. Em outras
palavras, é o valor calculado com base em considerações teóricas, dispensando uma experimentação sobre o objeto
estudado. É de grande importância como referencial ou termo de comparação.
Para um espaço S, a probabilidade de um evento E é dado por: P (E ) =
n( E )
n(S )
Exemplo: Suponha-se que desejamos determinar a probabilidade do aparecimento de 1 coroa em uma jogada de uma
moeda. Como existe dois resultados igualmente prováveis, a saber, “cara” e “coroa”, e como só há uma maneira de
aparecer “coroa”, dizemos que a probabilidade do evento “coroa” na jogada de uma moeda é 1 . Considerando que
2
tal moeda seja “honesta”, ou “não-viciada”.
Probabilidade a Posteriori ou Frequencialista
Trata-se da probabilidade avaliada, empírica. Ela tem por objetivo estabelecer um modelo adequado à
interpretação de certa classe de fenômeno observados (não todos). Portanto, ela depende da amostra
considerada: quando maior a amostra (e de melhor qualidade), mais confiável é o valor da probabilidade a
posteriori.
Com base no conceito de frequência relativa podemos então definir a probabilidade a posteriori para dado evento E:
Número de ocorrências de E
P(E) = -----------------------------------------------------------
Número total de provas ou ocorrências
Exemplo: Se jogarmos uma moeda 1.000 vezes e aparecer “cara” 653 vezes, estimamos a probabilidade de “cara”
em 653
1.000
= 0,653 = 65,3%
Axiomas da Probabilidade
- Para todo evento E do espaço amostral S temos 0 ≤ P(E) ≤ 1, ou seja, a probabilidade está sempre no
intervalo fechado 0 e 1.
- Para todo evento certo S temos P(S) = 1
- Para um número qualquer de eventos mutuamente excludentes E1, E2, ..., En pertencentes ao espaço
amostral S, temos:
P(E1 ∪ E2 ∪ E3 ... En) = P(E1) + P(E2) + ... + P(En)
Principais Teoremas sobre Probabilidade
- O evento impossível possui probabilidade 0 (zero),
P(∅) = 0
- Se Ec é o evento complementar de E, então
P(Ec) = 1 – P(E)
- Para quaisquer eventos A e B,
P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ Bc)
- Se A ⊆ B então P(A) ≤ P(B)
- Se A e B são dois eventos quaisquer associados a um espaço amostral S, então:
P( A ∪ B ) = P(A) + P(B) – P( A ∩ B )
- Se os eventos A e B forem mutuamente exclusivos, isto é, A ∩ B = ∅, o teorema supra é
simplificado:
P( A ∪ B ) = P(A) + P(B)
Probabilidade Condicional
Sejam dois eventos A e B associados a um espaço amostral S. A probabilidade de A ocorrer dado que o evento B
ocorreu é definida por:
P (A B ) =
P (A I B )
onde P(B) > 0
P (B )
Portanto, quando calculamos P(A/B), tudo se passa como se o evento B fosse um novo espaço amostral reduzido
dentro do qual queremos calcular a probabilidade do evento A.
Exemplo: Duas bolas são retiradas de uma urna que contém 2 bolas brancas, 3 bolas pretas e 4 bolas verdes. Qual a
probabilidade de que ambas: a) sejam Verdes?
b) sejam de mesma cor?
( V )= 4 9 . 3 8 = 16
Resolução: a) P (V ∩ V ) = P (V ). P V
b) P ( MC ) = P (B ∩ B ) + P (P ∩ P ) + P (V ∩ V ) = 2 . 1 + 3 . 2 + 4 . 3
9
8
9
8
9
8
= 20
72
=5
18
Teorema do Produto
Sejam dois eventos A e B associados a um espaço amostral S. Então a probabilidade de ocorrer o evento
( A )• P(A ) ou
P(A ∩ B ) = P B
( B)• P(B) . Que pode ser generalizada para vários eventos segundo
P(A ∩ B ) = P A
uma regra baseada na associatividade de eventos:
(
P(A ∩ B ∩ C ∩ D ) = P D
A∩B∩C
)• P(C A ∩ B)• P(B A )• P(A ) .
Exemplo: Uma urna contém as letras A, A, A, R, R, S. Retira-se letra por letra. Qual a probabilidade de sair a palavra
ARARAS ?
Resolução:
P(A ∩ R ∩ A ∩ R ∩ A ∩ S ) =
P ( A ). P (R A ). P ( A A ∩ R ). P (R A ∩ R ∩ A ). P ( A A ∩ R ∩ A ∩ R ). P (S A ∩ R ∩ A ∩ R ∩ A ) =
3 .2 .2 .1 .1 .1 = 1
6 5 4 3 2 1
60
Eventos Independentes
Sejam dois eventos A e B associados a um espaço amostral S. Se A e B são eventos independentes então
( B) = P(A ) e P(B A ) = P(B) logo pelo teorema do produto temos:
PA
P(A ∩ B) = P(B) • P(A ) ou P(A ∩ B ∩ C ∩ D ) = P(D ) • P(C ) • P(B) • P(A ) .
Exemplo: Sendo S = {1,2,3,4} um espaço-amostral equiprovável e A = {1,2}; B = {1,3}; C = {1,4} três eventos de
S. Verificar se os eventos A, B, C são independentes.
Resolução: Para A e B. P(A) =1/2; P(B) =1/2 e P(A∩B) = 1/4 pelo Teorema do produto P(A∩B) = P(A).P(B) =1/4.
Para A e C. P(A) =1/2 ; P(C) =1/2 e P(A∩C) = 1/4 pelo Teorema do produto P(A∩C) = P(A).P(C) =1/4.
Para B e C. P(B) =1/2 ; P(C) = 1/2 e P(B∩C) = 1/4 pelo Teorema do produto P(B∩C) = P(B).P(C) =1/4.
Para A, B e C. P(A) =1/2; P(B) =1/2; P(C) =1/2 e P(A∩B∩C) =1/4; mas P(A∩B∩C) ≠ P(A).P(B).P(C) portanto os
eventos A, B e C não são independentes.
Teorema da Probabilidade Total
Sejam A1, A2, A3, ..., An eventos que formam uma partição do espaço amostral S. Seja B um evento desse espaço.
Então
P (B ) =
n
n
(
)
P
A
B
∩
=
∑ i
∑ P  B Ai  • P ( Ai ) .
i =1
i =1
Teorema de Bayes
Sejam A1, A2, A3, ..., An eventos que formam uma partição do espaço amostral S. Seja B ⊂ S. Sejam conhecidas
P(A i ) e P B  , i = 1, 2, 3, ..., n. Então
 Ai 
( )


P A j • P B 
A
j
A 

P j  = n
, j = 1, 2, 3, ..., n.
B




B
P
• P(A i )
∑
A i 
i =1 
Exemplo : Observando a seguinte tabela:
urnas
cores
Pretas
Brancas
Vermelhas
u1
u2
u3
4
2
6
5
4
3
3
2
4
Escolheu-se uma urna ao acaso e dela extraiu-se uma bola ao acaso, verificando-se que a bola é vermelha. Qual a
probabilidade de a bola ter vindo da urna 3.
Resolução: Probabilidade a priori: P(u1) = 1/3; P(u2) = 1/3; P(u3) = 1/3
Probabilidades Condicionais: P(vr/u1) = 6/12 = 1/2; P(vr/u2) = 3/12 = 1/4; P(vr/u3) = 4/ 9
Desejamos calcular P(u3/vr). Logo :
P (u3 vr ) =
P (u3 ). P (vr u3 )
P (u1 ). P (vr u1 ) + P (u2 ). P (vr u2 ) + P (u3 ). P (vr u3 )
P (u3 vr ) =
1 3.4 9
= 16 43 = 0,372093 ≅ 37,21%
1 3 .1 2 + 1 3 .1 4 + 1 3 . 4 9
ASSIS MORAIS∴
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1º - FAÇA OS ARREDONDAMENTOS ABAIXO:
Série Original
15,58501
5,3915
0,385500
19,497045
21,942404
15,756500
35,505000
108,575555
29,500602
129,815400
Inteiro
Décimo
Centésimo
Milésimo
2º - SENDO e = 2,718281829 E π = 3,141592654 QUAL SERÁ SEU VALOR EM :
A) DÉCIMOS; B) MILÉSIMOS; C) CENTÉSIMOS; D) UNIDADES; E) DEZENAS.
3º - UMA TRANSPORTADORA ENTREGOU, NUM MÊS: 6,19655 TONELADAS DE PRODUTOS
ELETRÔNICOS; 15,8561 TONELADAS DE BRINQUEDOS; 13,6455 TONELADAS DE
ALIMENTOS; 9,745 TONELADAS DE PAPEL; 10,34 TONELADAS DE REMÉDIOS E 12,235
TONELADAS DE TECIDOS. QUAL O TOTAL EM TONELADAS QUE A TRANSPORTADORA
ENTREGOU NESSE MÊS, ARREDONDANDO PARA O CENTÉSIMO MAIS PRÓXIMO E COMPENSE SE
NECESSÁRIO.
4º - UMA TRANSPORTADORA ENTREGOU, NUM MÊS: 6,79755 TONELADAS DE PRODUTOS
ELETRÔNICOS; 16,8581 TONELADAS DE BRINQUEDOS; 13,8255 TONELADAS DE
ALIMENTOS; 9,764 TONELADAS DE PAPEL; 10,546 TONELADAS DE REMÉDIOS E 15,635
TONELADAS DE TECIDOS. QUAL O TOTAL EM TONELADAS QUE A TRANSPORTADORA
ENTREGOU NESSE MÊS, ARREDONDANDO PARA O CENTÉSIMO MAIS PRÓXIMO E
COMPENSE SE NECESSÁRIO.
5º - ARREDONDE PARA O INTEIRO MAIS PRÓXIMO E COMPENSE SE NECESSÁRIO:
A) 5,34 + 7,45 + 18,50 + 19,90 + 22,37 + 26,43 = B) 6,51 + 7,50 + 14,63 + 20,10 + 24,73 + 26,52 =
C) 4,0 + 7,6 + 12,4 + 27,4 + 11,4 + 8,0 =
D) 53,02 + 98,49 + 71,500002 + 23,5 + 40,900 =
6º - ARREDONDE PARA O CENTÉSIMO MAIS PRÓXIMO E COMPENSE SE NECESSÁRIO:
A) 0,060 + 0,119 + 0,223 + 0,313 + 0,164 + 0,091 + 0,030 =
B) 46,727 + 123,842 + 253,65 + 299,951 + 28,255 + 37,485 =
C) 56,456 + 32,23456 + 98,7655 + 16,8976 + 57,68732 =
D) 76,345 + 83,5467 + 36,055608 + 67,82145 + 48,7565 =
7º - DUAS VARIÁVEIS, X E Y, ASSUMEM OS VALORES: X1 = - 5; X2 = - 6; X3 = -3; Y1 = -2;
Y2 = - 4; Y3 = - 7, RESPECTIVAMENTE, CALCULAR:
(∑ X )• (∑ Y ) =
A)
(∑ X ) • (∑ Y ) =
B)
D)
(∑ X )• (∑ Y ) =
E) 
G)
∑ (X − Y ) =
H)
2
2
2
2
2
2
2
 X
∑  =
 Y
(∑ X • Y ) =
2
(∑ X ) • (∑ Y )
2
 ∑X
 =
F) 
 ∑Y 


2
I) [∑ (X + Y )] =
C)
2
=
3
8º - SE
∑ xi = 3 ;
i =1
3
3
3
3
3
i =1
i =1
i =1
i =1
i =1
∑ y i = −2 ; ∑ x i y i = 4 ; ∑ x i2 = ∑ y i2 = − 5 ; ∑ x i2 y i = − 4 .
DETERMINE:
2
3
y 

A) ∑  x i − i  =
2 
i =1
2
3
2
3 
2

B) ∑  xi −  •  y i −  =
2 
3
i =1 
3
y 
x
C) ∑  i + i  =
2
2 
i =1
3
D)
∑ (x
i =1
i
− 3) • ( y i − 2 ) =
9º - X ij REPRESENTA O ELEMENTO SUJEITO À I-ÉSIMA LINHA E À J-ÉSIMA COLUNA DA
TABELA:
i\j
1
2
1
7
5
2
DETERMINE: A)
2
6
3
3
4
∑ ∑ (Xij)2
; B)
i =1 j = 2
∑
∑ (x i + 2)
2
i =1
=
n
∑
i =1
4
2
4
(X 2 j )2 ; C)
j= 2
n
10º - PROVAR QUE: A)
3
0
2
7
x i2 + 4
2
 2 4

 Xi2 

Xij
∑  3  ; D)  ∑ ∑ 
i =1
 i =1 j = 3 
2
n
∑ x i + 4n
i =1
n
n
n
n
i =1
i =1
i =1
i =1
∑ (x i + a ) ⋅ (y i + b ) = ∑ x i y i + a ∑ y i + b ∑ x i + nab , ONDE a E b
B)
SÃO CONSTANTES.
11º - DESENVOLVA CADA UMA DAS EXPRESSÕES SEGUINTES:
6
a)
9
∑ | Xi − X | =
∑ 3i =
c)
i=2
i =4
n
b)
7
∑ Xi / n para n = 15
 Xi

+ 5 =
2

i=2
∑ 
d)
i =1
12º - ESCREVA EM NOTAÇÃO DE SOMATÓRIO:
a)
[(B 2 − 2 ) : (C 2 + 4 )]7 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +[(B 20 − 2 ) : (C 20 + 4 )]7 =
b)
(D1U12 + ⋅ ⋅ ⋅ + D18 U182 ): (D1 + ⋅ ⋅ ⋅ + D18 ) =
3
c) D 33 E3 + ... + D 12
E12 =
d) (O1 − E1 )2 ÷ E1  + (O 2 − E 2 )2 ÷ E 2  + ⋅ ⋅ ⋅ + (O5 − E 5 )2 ÷ E 5  =

2





13º - CALCULE CADA UMA DAS QUANTIDADES SEGUINTES PARA OS DADOS
ABAIXO: (N É O NÚMERO DE OBSERVAÇÕES).
Y 15; 10; 05; 09; 14; 20; 06; 17
a)
∑ (Y − 12)2 ÷ (N − 1) =
2
b)  ∑ Y 2 − (∑ Y ) ÷ N   ÷ (N − 1) =

 


c)
∑ (Y − 12)2 =
14º - QUAIS OS ELEMENTOS ESSENCIAIS E COMPLEMENTARES NUMA TABELA
ESTATÍSTICA.
15º - ESBOCE A TABELA E ESPECIFIQUE O TIPO DE SÉRIE EM CADA CASO:
A) AS CAPACIDADES DOS ESTÁDIOS DO MARACANÃ; MORUMBÍ ; MINEIRÃO E
MACHADÃO SÃO RESPECTIVAMENTE: 250.000; 120.000; 150.000; 145.000.
B) A POPULAÇÃO DO BRASIL EM 1962 ERA DE 74.100.000 ; EM 1964 78.800.000; EM 1966 83.900.000
E EM 1969 92.300.000 HABITANTES.
C) A PRODUÇÃO DE VEÍCULOS EM SÃO PAULO NOS ANOS 1998; 1999; 2000, DAS MARCAS FORD;
FIAT E CHEVROLET, FORAM RESPECTIVAMENTE: 200.000; 150.000 E 220.000.
16º - COM OS DADOS IMAGINADOS POR VOCE, ORGANIZE A SEGUINTE TABELA E QUAL
SEU TIPO. UM COLÉGIO DE 1º GRAU FUNCIONA EM TRÊS TURNOS E POSSUI ALUNOS
NAS QUATRO SÉRIES EM TODOS OS TURNOS, À EXCEÇÃO DA 3º SÉRIE, QUE NÃO
FUNCIONA NO 2º TURNO.
17º - ORGANIZE TABELAS SIMPLES E DE NOME:
A) SÉRIE CUJOS TERMOS FIXOS SÃO TEMPO E ESPÉCIE.
B) SÉRIE CUJOS TERMOS FIXOS SÃO LOCAL E ESPÉCIE.
C) SÉRIE CUJOS TERMOS FIXOS SÃO TEMPO E LOCAL.
18º - COM OS DADOS ABAIXO, PEDE-SE:
A) ORGANIZAR OS DADOS EM UMA SÉRIE;
B) IDENTIFICAR O NOME DA SÉRIE.
1 – UMA ESCOLA DE NATAL TEVE EM 1983 A SEGUINTE MATRÍCULA POR GRUPO
SOCIAL: 1º GRUPO 27; 2º GRUPO 58; 3º GRUPO 110; 4º GRUPO 150; 5º GRUPO 240.
2 – SEGUNDO O SERVIÇO DE ESTATÍSTICA ECONÔMICA E FINANCEIRA, VERIFICOU-SE
EM AGOSTO DE 1999, NO PORTO DE SANTOS, O SEGUINTE MOVIMENTO DE
EXPORTAÇÃO DE MERCADORIAS: 9.405.423 KG DE MATÉRIAS-PRIMAS, NO VALOR DE
R$ 120.234,45; 65.123.450 KG, NO VALOR DE R$ 905.567,87 DE GENEROS ALIMENTÍCIOS
E 345.123 KG DE MANUFATURAS, NO VALOR R$ 5.124,98.
3 – NÚMERO DE ALUNOS MATRÍCULADOS NO 2º GRAU NO BRASIL NOS ANOS 1986 A
1992 EM MILHARES DE ALUNOS, SEGUNDO DADOS FORNECIDOS PELO SEEC-MEC:
20.675; 22.434; 22.765; 23.876; 24.435; 24.987; 25.768.
4 – NÚMERO DE ESTABELECIMENTOS DE ENSINO DA REGIÃO NORDESTE DO BRASIL EM
1998. A REGIÃO NORDESTE SUBDIVIDE-SE EM: NATAL, JOÃO PESSOA, RECIFE,
MACEÓ, SALVADOR, ARACAJU, FORTALEZA, TERESINA E SÃO LUIS, POSSUEM UM
TOTAL DE: 50; 40; 60; 55; 65; 68; 70; 48; 57 ESTABELECIMENTOS DE ENSINO,
RESPECTIVAMENTE, CONFORME SEEC-MEC.
5 – O MOVIMENTO RELIGIOSO DE CERTO MUNICÍPIO NO PERÍODO DE 1997/99,
APRESENTARAM OS SEGUINTES DADOS: EM 1997 HOUVE 65.456 BATIZADOS
(DOS QUAIS 35.345 DO SEXO FEMININO), 26.687 CASAMENTOS E 23.654 EXTREMAS
-UNÇÕES. EM 1998 HOUVE 45.456 BATIZADOS DO SEXO MASCULINO E 26.486 DO SEXO
FEMININO; OS CASAMENTOS FORAM EM NÚMERO DE 18.876 E AS EXTREMAS
-UNÇÕES 15.234. EM 1999 DE UM TOTAL DE 76.345 BATIZADOS, 43.253 ERAM DO SEXO
MASCULINO; AS EXTREMAS-UNÇÕES FORAM 25.432 E OS CASAMENTOS 24.456.
6 – NO ANO DE 1997, HOUVE 756 MATRÍCULAS NA ESCOLA RURAL, EM 1998, 987. EM
1997, 564 ERAM BRASILEIROS, DOS QUAIS 195 MULHERES, SENDO QUE HAVIA
APENAS 6 MOÇAS ESTRANGEIRAS. EM 1998 FORAM MATRICULADOS 60
ESTRANGEIROS, DOS QUAIS APENAS 15% ERAM MULHERES; DOS BRASILEIROS
MATRICULADOS NESSE ANO, HAVIA 254 MULHERES. EM 1999, DOS 987 ALUNOS NÃO
HAVIA NENHUMA MOÇA ESTRANGEIRA, MAS DOS 654 BRASILEIROS, 188 ERAM DO
SEXO FEMININO.
7 – O NÚMERO DE DOCENTES EM EXERCÍCIO NO BRASIL EM 1992, DIVIDIDO SEGUNDO A
NATUREZA: (UNIVERSIDADES E FEDERAÇÕES ISOLADAS) E
DEPENDÊNCIA ADMINISTRATIVA (PÚBLICAS E PARTICULADAS) E QUE
CORRESPONDEM RESPECTIVAMENTE AOS SEGUINTES VALORES: 80.789; 65.765;
78.443 E 59.345, DE ACORDO COM OS DADOS FORNECIDOS PELO SEEC-MEC.
19º - USANDO UM GRÁFICO LINEAR, REPRESENTAR A TABELA ABAIXO.
EVOLUÇÃO DE MATRÍCULA GERAL NO ENSINO SUPERIOR NOS CURSOS DE
DIREITO, MATEMÁTICA, PEDAGOGIA, NO BRASIL, DE 1980 A 1992
ANOS
1980
1983
1986
1989
1992
DIREITO
32.345
35.564
37.458
45.478
57.587
CURSOS
MATEMÁTICA
15.525
17.265
19.245
25.879
30.587
PEDAGOGIA
21.254
23.457
30.458
35.478
47.965
FONTE: SERVIÇO DE ESTAT. DA EDUC. CULT.-MEC
20º - USANDO UM GRÁFICO EM COLUNA, REPRESENTAR A TABELA ABAIXO.
POPULAÇÃO DO BRASIL, EM 1950 A 1990
ANOS
URBANA
1950
15.885.458
1960
24.478.325
1970
35.478.685
1980
42.547.587
1990
58.458.478
FONTE: FUNDAÇÃO IBGE
RURAL
12.458.451
18.458.478
23.487.512
35.458.125
41.547.784
21º - USANDO UM GRÁFICO EM SETOR, REPRESENTAR A TABELA ABAIXO.
POPULAÇÃO RESIDENTE NO BRASIL, 1990
REGIÕES
POPULAÇÃO
NORDESTE
25.458.547
NORTE
16.458.547
SUDESTE
78.458.254
SUL
45.478.987
CENTRO OESTE
20.457.874
FONTE: FUNDAÇÃO IBGE
22º - ELABORE UM GRÁFICO DE ORGANIZAÇÃO DE SEU COLÉGIO.
23º - ELABORE UM FLUXOGRAMA DO CURRÍCULO DE SEU CURSO.
24º - CONSTRUA O ROL PARA SEGÜÊNCIA DE DADOS:
A) X: 2; 4; 12; 7; 8; 15; 21; 20.
B) Y: 3; 5; 8; 5; 12; 14; 13; 12; 18.
C) Z: 12,2; 13,9; 14,7; 21,8; 12,2; 14,7.
D) W: 8; 7; 8; 7; 8; 7; 9.
25º - UMA PESQUISA SOBRE A IDADE, EM ANOS DE UMA CLASSE DE CALOUROS DE UMA
FACULDADE, REVELOU OS SEGUINTES VALORES:
18, 17, 18, 20, 21, 19, 20, 18, 17, 19, 20, 18, 19, 18, 19, 21, 18, 19, 18, 18, 19, 19, 21, 20, 17, 19, 19,
18, 18, 19, 18, 21, 18, 19, 19, 20, 19, 18, 19, 20, 18, 19, 19, 18, 20, 20, 18, 19, 18, 18.
AGRUPE, POR FREQÜÊNCIA, ESTES DADOS.
26º - UMA EMPRESA AUTOMOBILÍSTICA SELECIONOU AO ACASO, UMA AMOSTRA DE 40
REVENDEDORES AUTORIZADOS EM TODO O BRASIL E ANOTOU EM DETERMINADO
MÊS O NÚMERO DE UNIDADES ADQUIRIDAS POR ESTES REVENDEDORES. OBTEVE
OS SEGUINTES DADOS:
10, 15, 25, 21, 6, 23, 15, 21, 26, 32, 9, 14, 19, 20, 32, 18, 16, 26, 24, 20, 7, 18, 28, 17, 35, 22, 19, 39,
18, 21, 15, 18, 22, 20, 25, 28, 30, 16, 12, 20.
AGRUPE, POR FREQÜÊNCIA, ESTES DADOS.
27º - CONSTRUA A DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS PARA A SÉRIE REPRESENTATIVA
DA IDADE DE 50 ALUNOS DO PRIMEIRO ANO DE UMA FACULDADE.
IDADES (ANOS)
NÚMEROS DE ALUNOS
17
18
19
20
21
TOTAL
3
18
17
8
4
f ri %
Fac i
Facri %
28º - COMPLETE O QUADRO.
xi
fi
2
5
8
10
13
TOTAL
16
f ri %
Fac i
Facri %
24
57
76
200
29º - COMPLETE O QUADRO DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS.
INT. CL.
fi
6 Ⱶ 10
10 Ⱶ 14
14 Ⱶ 18
18 Ⱶ 22
22 Ⱶ 26
TOTAL
1
f ri %
Fac i
Facri %
25
14
90
2
30º - OS GRAUS DE 32 ESTUDANTES DE UMA CLASSE ESTÃO DESCRITOS ABAIXO:
6,0 0,0 2,0 6,5 5,0 3,5 4,0 7,0 8,0 7,0 8,5 6,0 4,5 0,0 6,5 6,0 2,0 5,0 5,5 5,0 7,0 1,5
5,0 5,0 4,0 4,5 4,0 1,0 5,5 3,5 2,5 4,5.
COM REFERÊNCIA A ESSA TABELA, DETERMINE:
A) O ROL
B) A TABELA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
C) O MAIOR E O MENOR GRAU
D) A AMPLITUDE TOTAL
E) QUAL A PORCENTAGEM DOS ALUNOS QUE TIRARAM NOTA MENOR QUE 4
F) QUAL A PORCENTAGEM DOS ALUNOS QUE TIRARAM NOTA ENTRE 5 E 7 INCLUSIVE
G) QUAL O LIMITE SUPERIOR DA 2ª CLASSE
H) QUAL O LIMITE INFERIOR DA 4ª CLASSE
I) QUAL O PONTO MÉDIO DA 3ª CLASSE
J) COLOCAR A FREQÜÊNCIA ACUMULADA CRESCENTE E DECRESCENTE.
31º - SABENDO QUE AS IDADES DE UM GRUPO DE PESSOAS SE DISTRIBUEM DE FORMA
ACUMULADA CRESCENTE DA SEGUINTE FORMA:
IDADES
Fac i
34
0Ⱶ5
57
5 Ⱶ 10
103
10 Ⱶ 15
203
15 Ⱶ 20
242
20 Ⱶ 25
250
25 Ⱶ 30
TOTAL
DETERMINAR : A) f i DAS CLASSES
B) FREQÜÊNCIA ACUMULADA DECRESCENTE
32º - OS PESOS DOS 40 ALUNOS DO CURSO DE PROFORMAÇÃO ESTÃO ABAIXO
RELACIONADOS:
69 57 72 54 93 68 72 58 64 62 65 76 60 49 74 59 66 83 70 45 60 81 71 67 63 64
53 73 81 50 67 68 53 75 65 58 80 60 63 53.
DETERMINAR:
A) A TABELA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
B) A DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA ACUMULADA CRESCENTE
C) A DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA ACUMULADA DECRESCENTE
D) A DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA PORCENTUAL SIMPLES
E) A DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA RELATIVA SIMPLES
33º - A DISTRIBUIÇÃO DE FRÊNQUENCIA ABAIXO DESCREVE AS DIVERSAS FAIXAS DE
ALUGUEIS PAGOS POR 100 MORADORES DE CERTA REGIÃO DE MOSSORÓ – RN :
ALUGUEIS ( R$ 100 )
14 Ⱶ 16
16 Ⱶ 18
18 Ⱶ 20
20 Ⱶ 22
22 Ⱶ 24
24 Ⱶ 26
TOTAL
Nº MORADORES
07
20
25
33
11
04
100
CALCULE : A) O ALUGUEL MÉDIO; MEDIANO; E MODAL PAGO PELOS MORADORES.
34º - NA TEBELA SEGUINTE SÃO APRESENTADOS OS SALÁRIOS DE 200 TRABALHADORES
DE UMA COMPANHIA.
FAIXA SM
Facri %
01 Ⱶ 04
04 Ⱶ 07
07 Ⱶ 10
10 Ⱶ 13
13 Ⱶ 16
16 Ⱶ 19
TOTAL
30,0
52,5
68,5
81,0
91,0
100
A) CALCULE O SALÁRIO MÉDIO, MEDIANO E MODAL DOS TRABALHADORES.
B) INDIQUE QUE MEDIDA DE POSIÇÃO – MÉDIA, MODA OU MEDIANA
- VOCE ESCOLHERIA PARA REPRESENTAR A MASSA SÁLARIAL DA COMPANHIA SE:
- VOCE FÔSSE O DIRETOR DA COMPANHIA ENCARREGADO DA NEGOCIAÇÃO
COLETIVA OU VOCE FÔSSE O LÍDER SINDICAL, REINVIDICANDO AUMENTO
SALARIAL.
JUSTIFIQUE SUA RESPOSTA.
35º - NA DISTRIBUIÇÃO:
Nº MOTORISTAS
Nº DE ACIDENTES
12
4
20
2
4
5
5
6
7
0
9
1
18
3
DETERMINE: A) MÉDIA ARITMÉTICA
B) MEDIANA
C) MODA
36º - NA TABELA SEGUINTE SÃO APRESENTADAS AS ALTURAS DE 65 ALUNOS DO CURSO DE
MATEMÁTICA:
ALTURAS
f ri
1,75 Ⱶ 1,90 Ⱶ 2,05 Ⱶ 2,20 Ⱶ 2,35 Ⱶ 2,50
0,28
0,46
0,15
0,08
0,03
A) CALCULE A ALTURA MÉDIA, MEDIANA E MODAL
B) QUE MEDIDA DE POSIÇÃO – MÉDIA, MEDIANA OU MODA, VOCE APRESENTARIA
PARA REPRESENTAR O CURSO DE MATEMÁTICA SE VOCE:
- FÔSSE DIRETOR DO CURSO, OU DIRETOR DE OUTRO CURSO.
JUSTIFIQUE SUA RESPOSTA
37º - COMPLETE A TABELA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA ABAIXO:
CLASSE
Ⱶ 20
20 Ⱶ
Ⱶ 40
Ⱶ
Ⱶ 60
TOTAL
fi
xi
Fac
i
15
02
Fad
i
04
14
05
∑ f i = 20
38º - CONHECENDO AS ALTURAS DE 4 0 ALUNOS DO CURSO DE MATEMÁTICA
REVELOU OS RESULTADOS NA TABELA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
ABAIXO. DETERMINE COM APROXIMAÇÃO DE CENTÉSIMO:
A) ALTURA MÉDIA
B) ALTURA MODAL
C) ALTURA MEDIANA
D) DESVIO MÉDIO
E) VARIÂNCIA
F) DESVIO PADRÃO
ALTURA (m)
fi
1,20 Ⱶ 1,30
1,30 Ⱶ 1,40
1,40 Ⱶ 1,50
1,50 Ⱶ 1,60
1,60 Ⱶ 1,70
1,70 Ⱶ 1,80
TOTAL
02
06
16
10
02
04
40
39º - OBSERVOU-SE A IDADE DOS 95 CLIENTES ATENDIDOS EM UMA LOJA DE
CALÇADOS. OS RESULTADOS OBTIDOS ESTÃO EM FORMA DE TABELA, A SEGUIR,
CONSIDERAR O RESULTADO EM CENTÉSIMO. DETERMINE: A) A MÉDIA;
B) A MEDIANA; C) A FREQUÊNCIA ACUMULADA DESCRESCENTE DAS IDADES.
Idades dos clientes 25 Ⱶ 28
10
fi
28 Ⱶ 31
9
31 Ⱶ 34
33
34 Ⱶ 37
14
37 Ⱶ 40
20
40 Ⱶ 43
2
43 Ⱶ 46
7
40º -CONSIDERANDO QUATRO GRUPOS DE PESSOAS CONSTITUIDOS DE PESOS 81; 74;
70; 77 KG, COM OS SEGUINTES QUANTITATIVOS 15; 10; 20; 18 DE PESSOAS.
DETERMINE. O PESO MÉDIO E PESO MEDIANO. CONSIDERAR OS RESULTADOS
EM CENTÉSIMO.
41º - UMA AMOSTRA ALEATÓRIA DE 250 RESIDÊNCIAS DE FAMÍLIAS, CLASSE MÉDIA,
COM DOIS FILHOS, REVELOU A SEGUINTE DISTRIBUIÇÃO DO CONSUMO MENSAL DE
ENERGIA ELÉTRICA.
CONS. MENS. (KWH) Nº DE FAMÍLIAS
2
0 Ⱶ 50
15
50 Ⱶ 100
32
100 Ⱶ 150
47
150 Ⱶ 200
50
200 Ⱶ 250
80
250 Ⱶ 300
24
300 Ⱶ 350
TOTAL
250
PEDE-SE: A) O CONSUMO MÉDIO POR FAMÍLIAS;
B) A PORCENTAGEM DE FAMÍLIA COM CONSUMO MENSAL MAIOR OU
IGUAL A 200 E MENOR QUE 250 KWH;
C) A PERCENTAGEM DE FAMÍLIAS COM CONSUMO MENSAL MENOR QUE
200 KWH;
D) A PERCENTAGEM DE FAMÍLIA COM CONSUMO MAIOR OU IGUAL 250
KWH;
E) O CONSUMO MEDIANO;
F) O CONSUMO MODAL;
G) A AMPLITUDE TOTAL DA SÉRIE;
H) DESVIO MÉDIO;
I) VARIÂNCIA;
J) DESVIO PADRÃO;
K) COEFICIENTE DE VARIAÇÃO.
42º - UM AVIÃO COM VELOCIDADE DE 300 KM/H FAZ O PERCURSO DE A PARA B; O
MESMO AVIÃO NO PERCURSO DE VOLTA, AUMENTA EM 100KM/H A SUA
VELOCIDADE. QUAL FOI ENTÃO A VELOCIDADE NO PERCURSO COMPLETO (IDA E VOLTA)?
43º - EM UM CONCURSO, REALIZADO SIMULTANEAMENTE NAS CIDADES A, B E C, AS
MÉDIAS ARITMÉTICAS FORAM, RESPECTIVAMENTE, 70, 65 E 45 PONTOS, OBTIDAS
POR 30, 40 E 30 CANDIDATOS, NA MESMA ORDEM. QUAL FOI ENTÃO A MÉDIA
ARITMÉTICA GERAL DO CONCURSO?
44º - A ESCOLA GUARARAPES RECEBE DIARIAMENTE UMA VERBA DE R$ 20.000,00 QUE É
INTEGRALMENTE UTILIZADA PARA AQUISIÇÃO DE MERENDA ESCOLAR PARA SEUS
ALUNOS. SE O PREÇO UNITÁRIO DA MERENDA FOI NOS ÚLTIMOS DOIS DIAS,
RESPECTIVAMENTE, R$ 40,00 E R$ 60,00, PERGUNTA-SE QUAL O PREÇO MÉDIO
DIÁRIO DA MESMA NO PERÍODO CONSIDERADO.
45º - DETERMINE:
A) MÉDIA ARITMÉTICA; B) MODA; C) MEDIANA. DOS SEGUINTES VALORES COM SUAS
RESPECTIVAS FREQÜÊNCIAS: 3,5 ; 2,3 ; 4,6 ; 0,0 ; 5,4 ; FREQÜÊNCIAS : 5; 6 ; 3 ; 2 ; 4.
46º - OBSERVOU-SE O NÚMERO DOS 100 SAPATOS VENDIDOS EM UMA LOJA DE
CALÇADOS. OS RESULTADOS OBTIDOS ESTÃO EM FORMA DE TABELA, A SEGUIR,
CONSIDERAR O RESULTADO EM CENTÉSIMO. DETERMINE: A) A MÉDIA; B) A
MEDIANA; C) A MODA; D) O DESVIO PADRÃO; E) O DESVIO MÉDIO; F) A VARIÂNCIA;
G) AMPLITUDE TOTAL; H) A FREQUÊNCIA ACUMULADA DESCRESCENTE; I) O
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO DAS VENDAS.
Nº do Sapato 25 Ⱶ 28
2
fi
28 Ⱶ 31
9
31 Ⱶ 34
17
34 Ⱶ 37
35
47º - PARA CADA DISTRIBUIÇÃO, DETERMINE:
A) MÉDIA ARITMÉTICA
B) MEDIANA
C) MODA
D) DESVIO MÉDIO
E) VARIÂNCIA
F) DESVIO PADRÃO
G) COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
37 Ⱶ 40
20
40 Ⱶ 43
10
43 Ⱶ 46
7
I)
2
7
4
3
5
3
2
8
5
4
xi
fi
173
275
77
259
181
2
10
12
5
2
xi
fi
12
17
13
15
10
5
2
10
3
4
xi
fi
II)
III)
ASSIS MORAIS∴