Análise em Frequência

.
Análise em
Frequência
.
Sumário
Introdução
1
Sinais periódicos e série de Fourier
1
Sinais não-periódicos e Transformada de Fourier
3
Propriedades da Transformada de Fourier
5
Janelamento ou Truncamento de Sinal
10
Transformada Discreta de Fourier
22
Fast Fourier Transform
22
Teorema de Parseval
22
2
Análise em
Frequência
.
Introdução
dicos é a série de fourier, ou seja, uma
soma linear ponderada de senóides har-
O Processamento de Sinais lida com técnicas e procedimentos utilizados para
revelar informações contidas em medidas, ou sinais, de algum processo físico
(saída), obtido a partir da excitação (entrada) do sistema a ser identificado.
Dessa maneira, não há modelagem do
sistema físico propriamente dito, importando apenas as relações de entrada/saída.
Em termos gerais, a análise de Fourier
é extremante poderosa e largamente
utilizada em engenharia. Porém, uma
série de problemas práticos aparecem
durante a aquisições dos dados que devem ser levados em considerações para
se obter de forma adequada todas as in-
monicamente relacionadas ou exponenciais complexas.
O Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 1830) foi um matemático francês, usou
as expanções em séries trigonométricas
para descrever o fenômeno de condução de calor e distribuição de temperatura através dos corpos, no entanto seu
trabalho foi motivado pelo problema de
condução de calor, as técnicas matemáticas desenvolvidas na parte inicial
do século XIX encontram agora campos muito diferentes de aplicação, por
exemplo, ótica, vibrações em sistemas
mecânicos, teoria de sistemas, eletromagnetismo, processamento de sinais e
etc.
formações obtidas por meio da medição.
A análise em frequência de um sinal envolve a resolução do sinal em suas com-
Sinais periódicos e
série de Fourier
ponentes de frequência, a representa-
É necessário salientar que a periodici-
ção matemática básica de sinais perió-
dade de sinais de tempo discreto é defi-
1
.
Análise em
Frequência
nida de forma idêntica ao sinal de tempo
n = ±1, ±2, ...
continuo (como será motrado a seguir),
Sinais periódicos que obedecem as con-
mas requerendo que o período seja N
dições de Dirichelet, ou seja
(inteiro) como se verifica a seguir.
1. Limitado
2. Número finito de descontinuidades
x[n] = x[n + N ]
Deste modo , em tempo discreto, qual-
3. Número finito de máximos e mínimos
locais
quer sinal constante tem periodo funda- podem ser representados pela série de
mental N0 = 1.
Um sinal de tempo continuo x(t) diz-se
pediriódico se existir um T (período) po-
Fourier em termos de senos e cossenos
a0 ∑
2πnt
x(t) =
+
[an cos(
)
2
TP
n=1
∞
sitivo tal que x(t) coincide com o seu
+bn sin(
deslocamento de T no tempo, ou seja,
se x(t) = x(t + T ). Como pode se notar
na figura a seguir.
2πnt
)]
TP
onde:
∫ TP
2
a0 =
x(t)dt
TP 0
∫ TP
2
2πnt
an =
x(t) cos(
)dt
TP 0
TP
∫ TP
2
2πnt
bn =
x(t) sin(
)dt
TP 0
TP
Para x(t) ímpar (onde x(−t) = −x(t)) e
periódico
x(t) = x(t ± nTP )
2
x(t) =
∞
∑
n=1
[bn sin(
2πnt
)]
TP
Análise em
Frequência
.
Para x(t) par (onde x(−t) = x(t)) e pe-
matemáticas por Marc-Antoine Par-
riódico
seval, que foi aplicado posteriormente
x(t) =
na série de Fourier. Assim tem-se a se-
∞
∑
a0
2πnt
+
)]
[an cos(
2
TP
n=1
Ou em sua forma complexa
guinte teorema de Parseval onde indica
que a potência média de um sinal pode
ser considerada como a soma das potên-
∞
∑
x(t) =
cn e
cias associadas com cada componente
j2πnt
TP
n=−∞
de frequência, como mostrado a seguir.
onde:
1
cn =
TP
∫
TP
− j2πnt
T
x(t)e
P
dt
0
Relaciona-se com an e bn , n ̸= 0
an − jbn
2
1√ 2
|cn | =
an + b2n
2
−bn
)
arg(cn ) = arctan(
an
cn =
O Teorema de Parseval se refere ao resultado que a transformada de Fourier é
o operador unitario, ou seja, que a soma
1
TP
∫
TP
x(t)2 dt =
0
∞
∑
|cn |2
n=−∞
É importante lembrar que a energia de
um sinal periódico é infinita, no entanto
tem-se uma potência média finita.
Sinais não-periódicos
e Transformada de
Fourier
(ou integral) do quadrado de uma função
é igual a soma (ou integral) do quadrado
Um sinal não periódico de tempo con-
de sua transformada. Isto foi originado
tínuo pode ser visualizado na figura a
em um teorema de 1799 sobre séries
seguir.
3
.
Análise em
Frequência
lim(∆f →0) (cn /∆f ) = X(f ) - e tem valor
complexo
X(f ) = XRe (f ) + jXIm (f )
= |X(f )|ejϕ(f )
Para um sinal x(t) em volts, |X(f )| é
Já um sinal não periódicos de tempo discreto é mostrado abaixo.
dado em volts/Hz.
Se x(t) é um sinal real, XRe (f ) e |X(f )|
são par e XIm (f ) e ϕ(f ) são ímpar.
Sinais não periódicos que obedecem as
condições de Dirichelet podem ser representados pela Transformada de Fourier
∫
∞
x(t) =
X(f )ej2πf t dt
−∞
∫
∞
X(f ) =
x(t)e−j2πf t dt
−∞
Ela pode ser interpretada como um
limite da série de Fourier quando
TP → ∞(∆f → 0), de modo que
X(f ) é uma densidade de amplitude -
4
O Teorema de Parseval
∫ ∞
∫ ∞
2
x(t) dt =
|X(f )|2 df
−∞
−∞
Análise em
Frequência
.
relaciona a energia do sinal no tempo
com a amplitude da Transformada de
Fourier. Note que no caso da série de
Fourier, o teorema relaciona potências.
Propriedades da
Transformada de
Fourier
(Modulação em Amplitude)
1
F {x(t) cos(2πf0 t)} = [X(f −f0 )+X(f +f0 )]
2
4. Diferenciação
F {ẋ(t)} = j2πf X(f )
se limt→±∞ x(t) → 0
1. Escalonamento no Tempo
5. Convolução
F {x(−t)} = X(−f )
se x(t) for real, X(−f ) = X ∗ (f )
2. Deslocamento no Tempo (atraso puro
F {h(t) ∗ x(t)} = H(f )X(f )
6. Produto (janelamento)
ou atraso de fase)
F {x(t − t0 )} = e
−j2πf t0
∫
X(f )
F {x(t)w(t)} =
∞
−∞
X(g)W (f − g)dg
3. Modulação (Deslocamento em
frequência)
= X(f ) ∗ W (f )
F {x(t)ej2πf0 t } = X(f − f0 )
5
.
Análise em
Frequência
Exemplo
Eletrobrás - 2005 - Engenheiro Telecomunicações - 53
O sinal abaixo é um gráfico de tensão em função do tempo, correspondendo
a uma onda quadrada periódica par.
No desenvolvimento em série de Fourier e nas mesmas unidades, o terceiro
harmônico tem a seguinte expressão:
(A)-(8/3π) cos(6πt/T );
(B)(4/3π) cos(2πt/T );
(C)-(8/3π) sin(3πt/T );
(D)4 cos(6πt/T );
(E)2 sin(3πt/T ).
Solução:
6
Análise em
Frequência
.
Aplicando a definição da série de Fourier no sinal temos:
2
a3 =
T
2
b3 =
T
∫
1
2π
1
− 2π
∫
1
2π
1
− 2π
2
2 cos(3ωt) +
T
2
2 sin(3ωt) +
T
∫
1
2π
1
− 2π
∫
1
2π
1
− 2π
−2 cos(3ωt)
−2 sin(3ωt)
2π
T
[
]
4 T
3π
−3π
a3 =
cos( ) − cos(
)
T 6π
2
2
[
]
4 T
9π
3π
+
cos( ) − cos( )
T 6π
2
2
[
]
4 T
3π
−3π
b3 =
sin( ) − sin(
)
T 6π
2
2
[
]
4 T
9π
3π
+
sin( ) − sin( )
T 6π
2
2
ω=
Assim pode-se obter que:
b3 = 0
a3 = −
8
3π
portanto a terceira harmônica:
f3 = a3 cos(3ωt)
f3 = −
8
6πt
cos(
)
3π
T
Desse modo a alternativa correta é a letra A.
Resposta: A
7
.
Análise em
Frequência
Exemplo
Eletrobras - 2002 - Engenheiro Eletrônico - 47
A transformada de Fourier de um pulso retangular, como representado abaixo,
de largura 2τ segundos (de - τ a +τ ) e amplitude A, e centrado na origem é:
(A)A.τ .cosωτ
(B)2.A.τ .(sen(ωτ ))/ωτ
(C)A.τ /π
(D)(A./τ π)
(E)2.A/π
Solução:
Aplicando a tranformada de Fourier no sinal podemos limitar a equação na
seguinte integral:
∫
F(ω) =
F(ω) =
8
e−iωτ
(e−iωτ − eiωτ ) (2Ai)
iω
Análise em
Frequência
.
F(ω) =
2A sin(ωτ )
ω
Resposta: A
Caiu no concurso!
INFRAERO - 2011 - Engenheiro Eletrônico - 45
Considere o sinal:
A série de Fourier desse sinal é caracterizada por:
Resposta: E
9
.
Análise em
Frequência
Caiu no concurso!
Correios - 2011 - Analista de Correios/Engenharia Elétrica - 92
Julgue os próximos itens, relativos à corrente drenada por uma carga submetida a uma tensão senoidal sem distorção.
Se a corrente em questão apresentar distorção harmônica, é possível representála por meio de uma série de Fourier e, assim, obter sua composição harmônica.
(A) Certo.
(B) Errado.
Resposta: Certo
Janelamento ou
Truncamento de
Sinal
xT (t) = x(t)w(t)
Aplicando a propriedade do produto,
temos Transformada de Fourier do si-
A Transformada de Fourier lida com sinais de comprimento infinito, mas na
nal janelado como uma convolução na
frequência
prática, um sinal é adquirido sempre
com tempo finito, truncado em uma de-
XT (f ) = X(f ) ∗ W (f )
terminada janela de tempo.
Um sinal senoidal do tipo
x(t) = cos(2πf0 t)
X(f ) = 1/2[δ(f + f0 ) + δ(f − f0 )]
10
Análise em
Frequência
.
Janelado por w(t), leva a
∫ ∞
XT (f ) =
X(g)W (f − g)dg =
−∞
1
[W (f + f0 ) + W (f − f0 )]
2
Ou seja, a janela de observação distorce
o sinal sendo analisado - leakage.
A aquisição de um sinal por um tempo
finito é equivalente a seu janelamento
por uma janela retangular
{
1, |t| < T /2
w(t) =
0, |t| > T /2
Geralmente procura-se minimizar o
efeito dos lóbulos laterais que criam a
distorção na frequência.
É possível utilizar outras funções w(t),
ou janelas, ponderando o sinal de modo
a minimizar o efeito de leakage, como,
por exemplo, a janela hann - ou hanning.
{
, |t| < T /2
cos2 πt
T
w(t) =
0, |t| > T /2
11
.
Análise em
Frequência
Exemplo
Série de Fourier
Obtenha os coeficientes da série de Fourier para uma onda quadrada, definida por
{
x(t) =
−1, = T2 < t < 0
1, 0 < t < T2
Solução:
∫ T
2
1
a0 =
x(t)dt = 0
T − T2
(
)
∫ T
2
2πnt
2
an =
x(t) cos
dt = 0
T − T2
T
(
)
∫ T
2
2πnt
2
bn =
x(t) sin
dt
T − T2
T
bn =
2
(1 − cos(nπ))
nπ
A Figura mostra a representação da série no domínio da frequência: espectro de linhas
12
Análise em
Frequência
.
Dessa maneira, a série de Fourier é dada por
(
)]
∞ [
∑
2
2πnt
x(t) =
(1 − cos(nπ)) sin
nπ
Tp
n=1
A figura mostra sucessivas aproximações da onda quadrada para a série usando
n = 2, n = 4, n = 20 e n = 200 termos.
Note que apesar do aumento no numero de termos na série, ainda há um
overshoot nas descontinuidades. Isso é conhecido como fenômeno de Gibbs
e sua amplitude não diminui com o aumento do numero de termos na série.
13
.
Análise em
Frequência
Exemplo
Transpetro – 2006 – Engenheiro de Automação - 30
A figura acima mostra um sinal oriundo de uma corrente de capacitor, cuja
expressão é dada por:
{
f (t) =
Ae−αt para t ≥ 0
0
para t ≤ 0
Onde A e α são constantes positivas. A expressão da transformada de Fourier deste sinal é:
Aω
(A) F (ω) =
α + jω
A
(B) F (ω) =
α + jω
A
(C) F (ω) =
α − jω
A
(D) F (ω) = 2
α + ω2
14
Análise em
Frequência
.
(E) F (ω) = √
Aω
α2 + ω 2
Solução:
Transformada de Fourier:
∫
∞
F (ω) =
f (t)e−jωt dt
−∞
O sinal só existe para t>0,
∫
F (ω) =
∞
−αt −jωt
Ae
0
e
[
=A
∫
∞
dt =
Ae−t(α+jω) dt =
0
]
−t(α+jω) ∞
−e
α + jω
=
=
0
A
α + jω
Resposta: B
15
.
Análise em
Frequência
Exemplo
Petrobrás – 2010 – Engenheiro de Equipamentos Jr. – Eletrônica - 46
Considere o sinal periódico v(t) mostrado na figura acima. Os pulsos têm
amplitude A, largura τ e se repetem com período T em segundos. Com base
nesses dados, analise as afirmativas a seguir.
I. O valor médio de v(t) é zero.
II. Os coeficientes da série complexa de Fourier são grandezas reais.
III. Os harmônicos de ordem par serão nulos se Tτ = 2.
É(São) correta(s) a(s) afirmativa(s)
(A) I, apenas
(B) I e II, apenas
(C) I e III, apenas
(D) II e III, apenas
(E) I, II e III
16
Análise em
Frequência
.
Solução:
I. Correto. Cada período tem a mesma área positiva e negativa.
II. Errado. Os coeficientes positivos e negativos da série são complexos conjugados para que o sinal seja real.
III. Correto. Se Tτ = 2, tem-se:
que é uma função ímpar, portanto, só haverá harmônicos ímpares.
Resposta: C
Exemplo
Petrobras – 2011 – Enegenheiro de Equipamentos – Eletrônica - 33
A resposta de um sistema linear à aplicação de um impulso δ(t) é dada por
h(t) = Aδ(t − t0 ) onde A e t0 são constantes positivas. Admitindo-se que
este sistema tenha como entrada um sinal senoidal definido por
17
.
Análise em
Frequência
x(t) = Bcos(2πf0 t), o espectro do sinal de saída, correspondente a essa
entrada, é dado pela expressão.
(A) AB
(ej2πf t0 + e−j2πf t0 )
2
(B) ABcos(2πf t0 )
(C) AB
δ(f )cos(2πf t0 )
2
(D) AB
[δ(f − f0 ) + δ(f + f0 )]e−j2πf t0
2
(E) AB
δ(f − f0 )cos(2πf t0 )
2
Solução:
O sistema possui apenas um ganho A e um atraso de t0 . Essas operações no
domínio de Fourier correspondem a um ganho e uma multiplicação por e−j2πf t0 .
A transformada de Fourier de um cosseno corresponde a dois impulsos, um
na frequência positiva e outro na frequência negativa, divididas por 2, devido à relação:
cos(2πf0 t) =
e−j2πf0 t + ej2πf0 t
2
1
F {cos(2πf0 t)} = (δ(f − f0 ) + δ(f + f0 ))
2
Pela propriedade de transformação na frequência.
Acrescentando o ganho e o atraso do sistema:
AB
[δ(f − f0 ) + δ(f + f0 )]e−j2πf t0
2
Resposta: D
18
Análise em
Frequência
.
Exemplo
Petroquímica Supae – 2010 – Enegenheiro de Equipamentos – Elétrica
O pulso v(t) foi deslocado no tempo para v(t−b), conforme mostram as figuras acima. O espectro de frequências do sistema deslocado, obtido pela
transformada de Fourier de v(t−b) apresenta um desvio de -36º no ângulo
de fase, em relação ao ângulo de fase de v(t), quando a frequência é de 100 rad/s.
O valor aproximado do tempo deslocado b é
(A) 12,6 ms
(B) 6,3 ms
(C) 4,8 ms
(D) 3,1 s
(E) 1,8 s
Solução:
19
.
Análise em
Frequência
Um atraso no tempo de b representa uma multiplicação da transformada
de Fourier de e−j2πf0 b = e−jω0 b . Ou seja, um desvio angular de transformada
de −ω0 b
−36.π
em radianos
180
−36.π
−100.b =
180
2π
b = 3 = 6, 28.10−3 ≈ 6, 3 ms
10
−ω0 b =
Resposta: B
Exemplo
Petrobras – Enegenheiro de Equipamentos Júnior - Eletrônica - 27
A energia Ex do sinal x(t) = 4[u(t+1)−u(t)]+4e−t u(t), onde u(t) é degrau
unitário, é
(A) Ex=4
(B) Ex=6
(C) Ex=10
(D) Ex=12
(E) Ex=24
Solução:
20
Análise em
Frequência
.
Sabe-se que a energia de um sinal é dada pela seguinte expressão:
∫
Ex =
∞
−∞
|x(t)|2 dt
Portanto percebe-se que o sinal pode ser integrado de -1 a 0 e de 0 a infinito, ou seja, onde os degrais unitários influenciarão no sinal.
∫
Ex =
0
−1
|4[u(t + 1) − u(t)]|2 dt+
∫
∞
+
∫
Ex =
|4e−t u(t)|2 dt
0
∫
0
∞
16dt +
−1
∫
Ex = 16
0
0
16e−2t dt
∫
∞
dt + 16
−1
Ex = 16 +
e−2t dt
0
16
|(−e−2t )|∞
0
2
Ex = 16 + 8 = 24
Resposta: E
21
.
Análise em
Frequência
Transformada
Discreta de
Fourier
Fast Fourier
Transform
A FFT é um algoritmo de implementa-
Para uma sequencia finita x(n), amostrada a cada ∆, com n=0,1,...,N -1,
define-se a TDF e sua inversa como
X(k) =
N
−1
∑
x(n)e
)nk
−j( 2π
N
n=0
x(n) =
N −1
2π
1 ∑
X(k)ej( N )nk
N k=0
ção da TDF, que se utiliza de suas propriedades de simetria e periodicidade
para reduzir o número de operações de
N 2 para N log2 N .
Os primeiros algoritmos de FFT, como o
Radix 2 FFT exigiam que o comprimento
da sequencia fosse formada por potên-
Note que X(k) = X(ej2πf ∆ ), para
cias de 2, N = 2v . O que poderia ser
f = k/N ∆ e que ambas x(n) e X(k)
feito por adição de zeros. Os algoritmos
são sequenciais periódicas com período
mais modernos já não apresentam tal
2π
2π
N , pois ej( N )(n+N )k = ej( N )nk .
restrição.
Em outras palavras, a amostragem em
frequência impôs a periodização da
transformada de Fourier.
A resolução em frequência depende
número de amostras e do período de
amostragem
Teorema de
Parseval
O teorema de Parseval em resumo dia
que a integral de menos infinito a mais
infinito do quadrado de um sinal é igual
q
∆f =
N∆
à integral de menos infinito a mais infinito da transformada de Fourier do
mesmo sinal. Teorema de Parseval em
22
Análise em
Frequência
.
tempo contínuo:
∫ ∞
|x(t)|2 dt =
−∞
1
·
2·π
∫
Esse teorema estabelece a equivalência
∞
−∞
|X(f )|2 df
Teorema de Parseval em tempo discreto:
N
−1
∑
de sinais e frequência, garantindo que
a energia no sinal de onda somada ao
longo de x(t) é igual à energia somada
N −1
1 ∑
|x[n]| dt =
·
|X[k]|2 df
N n=0
n=0
ao longo da frequência X(f ).
2
Caiu no concurso!
Marinha - 2007 - Engenheiro Mecatrônico - 3
O espectro de potência de um sinal contínuo x(t) está ilustrado na figura abaixo.
Para ω0 = 20rad/seg, pede-se:
a) Calcule o intervalo de frequências de amostragem ωs para que não ocorram distorções no sinal.
b) Para uma frequência de amostragem ωs = 4ω0 , faça uma representação
do espectro do sinal no domínio discreto.
c) Para uma frequência de amostragem ωs = 1, 5ω0 , faça uma representação do espectro do sinal no domínio discreto.
23