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 IF SUDESTE MG – REITORIA Av. Francisco Bernardino, 165 – 4º andar – Centro – 36.013-­‐100 – Juiz de Fora – MG Telefax: (32) 3257-­‐4100 CONCURSO PÚBLICO PARA PROVIMENTO DE CARGO EFETIVO ORIENTAÇÕES SOBRE A PROVA DISCURSIVA • O sorteio do tema da prova discursiva ocorrerá em uma das salas de aplicação da prova, com a presença de dois candidatos das demais salas e um fiscal, sob a orientação da Coordenação, caso haja mais de uma sala da mesma área objeto do concurso; • A prova discursiva conterá questões referentes a todos os temas do Edital; • Após o sorteio do tema, o candidato deverá responder, EXCLUSIVAMENTE, às questões relacionadas ao TEMA SORTEADO; as demais questões não poderão ser respondidas ou rasuradas; • As questões devem ser respondidas APENAS no caderno de prova, que será entregue separadamente e que estão identificados com o CPF, inscrição, nome do candidato, edital e área; • ATENÇÃO: Caso o candidato não responda às questões referentes ao tema sorteado, a prova discursiva será zerada; • As demais instruções estão no caderno de provas. IF SUDESTE DE MG
CONCURSO PÚBLICO PARA PROVIMENTO DE CARGO EFETIVO
PROFESSOR DE ENSINO BÁSICO, TÉCNICO E TECNOLÓGICO
Edital 05/2014 – Campus Santos Dumont
FOLHA DE PROVA
Área: D001 - Matemática
Tema 01: Funções Reais de uma variável. Função quadrática, polinomiais,
inversa, composta, modulares, exponencial, logarítmica.
Questões:
1) Faça um texto dissertativo acerca das seguintes funções:
𝑦 = 𝑎 ! , 𝑦 = 𝑥 ! , 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔! 𝑥
Considere 𝑎 ∈ ℝ; abordar as seguintes ideias: a definição de cada uma delas; as condições de
existência; obtenção de suas funções inversas; crescimento e decrescimento; simetrias. Exponha
cada um desses itens e outros que considerar relevante. Dê o máximo de detalhes nos textos
explicativos e não deixe de colocar exemplos utilizando matemática aplicada.
2) Imagine que o senhor(a) professor(a) está diante de uma turma de transporte ferroviário e tenha
que aplicar a matemática ao conhecimento específico dos alunos. De acordo com os conceitos de
função, planeje uma aula em que possa aplicar um dos tipos de função ao transporte ferroviário
com pelo menos dois exercícios.
3) A questão abaixo refere-se às funções reais inversas.
a) Considere 𝑓: 𝐴 → 𝐵. Demonstre que a relação 𝑓 !! é uma função de 𝐵 em 𝐴 se, e somente se, 𝑓
é bijetora.
b) Demonstre que se as funções 𝑓 e 𝑔 são bijetoras tal que 𝑓: 𝐴 → 𝐵 e 𝑔: 𝐵 → 𝐶 então: (𝑔 ∘ 𝑓)!! = 𝑓 !! ∘ 𝑔!!
Critérios para avaliação:
Redação – correção gramatical
Argumentação
Originalidade
organização de ideias– sequência lógica
domínio do conteúdo
Abrangência
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3
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Área: D001 - Matemática
Tema 02: Trigonometria
Questões:
1. Disserte sobre o tema: As leis dos senos e dos cossenos.
2. Resolva os itens abaixo:
(2k + 1)π
, k∈! :
2
2 − sen 2 ( x)
− tan 2 ( x) = 2
cos2 ( x)
1
3π
b. Sabendo que tan( x) = , com π < x <
, determine sen(2 x) e cos(2 x) .
6
2
a.
Mostre que para x ∈ ℝ, x ≠
3. Resolva a equação:
−2sen 4 ( x) + 4sen 2 ( x) + 3cos 2 ( x) = 0
Critérios para avaliação:
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Área: D001 - Matemática
Tema 03: Matemática Financeira. Sequências. Progressões aritméticas e geométricas
Questões:
1. Disserte sobre o tema: Sequência uniforme de pagamentos.
2. Dona Maria pretende juntar uma quantia M de modo que aplicando esse valor num fundo
de investimento que rende juros compostos à taxa de 15% a.a. lhe proporcione a
possibilidade de fazer três retiradas anuais de R$ 3000,00 cada uma. Supondo que a
primeira retirada seja feita um ano após a aplicação, determine o valor de M.
3. Num quadrado de lado medindo 4 cm, inscreve-se um círculo. Nesse círculo se inscreve um
novo quadrado e repete-se essa operação indefinidamente. Forneça:
a. a soma dos perímetros de todos os quadrados;
b. a soma dos perímetros de todos os círculos;
c. a soma das áreas de todos os quadrados;
d. a soma das áreas de todos os círculos.
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Tema 04: Geometria Plana e Espacial
Questões:
1.
Considere um triângulo retângulo FGH, isósceles com catetos de medida 1. Sobre o triângulo,
traça-se um segmento paralelo à hipotenusa formando duas figuras de mesma área: um
trapézio e um triângulo. Determine o perímetro desse trapézio.
2.
Enuncie e demonstre o teorema de Tales.
3.
No triângulo ABC, temos AB = BC = 6 cm. Calcule o volume gerado pela revolução de 360°
da região do triângulo ABC em torno de uma reta contendo BC.
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Tema 05: Geometria Analítica no plano e no espaço
Questões:
1) Um dos tópicos amplamente adotado na geometria analítica no ensino médio são as seções
cônicas que podem ser obtidas através da interseção de um plano com um cone circular reto.
Disserte a respeito desse assunto explorando suas equações, conceitos e aplicações.
2) Considere o sistema de equações:
𝐴: (𝑥 − 2)! + 𝑦 ! = 4
𝐵: 𝑥 ! + 𝑦 ! = 4
a) Represente, no plano cartesiano, a região que constitui a solução gráfica desse sistema.
b) Considere a semirreta que parte da origem e faz ângulo de 30º com o eixo 𝑥 e intercepta as
regiões A e B. Determine as coordenadas do ponto de interseção dessa semirreta com (𝑥 − 2)! +
𝑦 ! = 4.
3) Considere um triângulo qualquer cujos vértices são: 𝐴 𝑥! , 𝑦! , 𝐵 𝑥! , 𝑦! 𝑒 𝐶 𝑥! , 𝑦! . Usando os
conceitos de geometria analítica demonstre que a área do triângulo é dada por:
! x
a
1 #
det # xb
2 #
# xc
"
Critérios para avaliação:
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ya 1 $
&
yb 1 &
&
yc 1 &%
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Área: D001 - Matemática
Tema 06: Números Complexos
Questões:
1. Disserte sobre o tema: Números complexos.
2. Considere z ∈ ! , z ≠ 1 e n ∈ " .
a. Verifique a identidade
1+ z + z 2 + z 3 +!+ z n =
b.
1− z n+1
.
1− z
Use a parte (a) desta questão para provar que
'! 1 $ *
sen )# n + &θ ,
2% +
1
("
1+ cosθ + cos 2θ + cos3θ +!+ cos nθ = +
!θ $
2
2sen # &
"2%
para 0 < θ < 2π . [Esse resultado é conhecido como Identidade de Lagrange e é útil na
teoria das séries de Fourier.]
3. Prove que para todo número z ∈ !
z ≤ Re z + Im z ≤ 2 ⋅ z
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Tema 07: Probabilidade e Estatística
Questões:
1) Disserte sobre o tema: Probabilidade
2) Muitos acontecimentos ou fenômenos podem ser previstos através de pesquisas, mas não
teremos certeza do seu resultado. Isso acontece em situações do dia-a-dia como: situações
climáticas, chuvas, taxas de inflação, etc. Baseado nos conceitos de probabilidade, considere dois
eventos A e B, sendo P(A) > 0 e prove que:
a) P ( A | A) = 1
b) P ( A ∪ B | A) = 1
c) Se A e B são mutuamente exclusivos P ( A | A ∪ B) =
P ( A)
P ( A) + P ( B)
3) Com quatro algarismos distintos entre 0,1,2,3,5,6,8 formamos a senha de um cartão eletrônico.
a) Qual a probabilidade dessa senha ser um número ímpar?
b) Considerando que os algarismos dessa senha sejam 3, 5, 8 e 6, escreva qual a
probabilidade de que esses algarismos da senha estejam em ordem crescente?
c) Sabendo que uma pessoa não lembra mais essa senha e que ela saiba que os algarismos
da senha são novamente os números 3, 5, 8 e 6, qual a probabilidade de que ela descubra a senha
na terceira tentativa e, assim, não bloqueie o cartão quando tiver usando o caixa eletrônico?
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Tema 08: Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares
Questões:
𝑎 𝑏
.
𝑐 𝑑
!
𝑑
a) Mostre que se 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠ 0, então 𝐴 é invertível e 𝐴!! = !"!!"
−𝑐
1. Dada a matriz 𝐴 =
−𝑏
.
𝑎
b) Mostre que 𝐴 é invertível se, e somente se, 𝐴! é invertível.
2.
a) Duas matrizes 𝐴 e 𝐵 são semelhantes se, e somente se, existe uma matriz 𝑃 tal que
𝐵 = 𝑃!! 𝐴𝑃. Mostre que se A e B são semelhantes, então det 𝐴 = det 𝐵.
b) Seja 𝐴 uma matriz de ordem n. Mostre que para 𝐾 ∈ ℝ.
𝑑𝑒𝑡(𝐾𝐴) = 𝐾 ! 𝑑𝑒𝑡 𝐴
⎡1 2⎤
c) Determine todas as matrizes que comutam com a matriz X = ⎢
⎥ .
⎣3 4⎦
3. Considere o seguinte sistema de equações, com incógnitas 𝑥, 𝑦 e 𝑧 no qual 𝑘 é um número
real. Determine todos os valores de 𝑘 para os quais o sistema admite uma única solução.
⎧3x + ky + z = 0
⎪
⎨kx + y − z = 0
⎪6 x + ky + 2 z = 0
⎩
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Área: D001 - Matemática
Tema 09: Análise Combinatória
Questões:
1. Defina e exemplifique os itens abaixo:
a) Arranjo Simples
b) Combinação Simples
c) Permutação Simples
2. Considerando os números de 3 algarismos distintos, formados com os dígitos 1,2,4,5,7,8 e 9.
a) Quantos são os múltiplos de 5?
b) Quantos são pares?
c) Escolhendo três números distintos dos itens anteriores, quantos são os números cuja soma é
ímpar?
3. No jogo da Mega-Sena são sorteadas 6 dezenas distintas entre os números 01 a 60. O apostador
pode marcar de 6 a 15 números, entre os 60 disponíveis no volante. Será premiado se sorteados 4,
5, ou 6 das dezenas marcadas. Determine a probabilidade de um apostador acertar 4 números
apostando um jogo com 10 dezenas.
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Tema 10: Limites e Derivadas
Questões:
1.
Disserte sobre o tema: Regras de derivação de funções reais de uma variável real.
2.
Quando um objeto estranho se aloja na traqueia, forçando uma pessoa a tossir, o diafragma
empurra-o para cima, causando um aumento na pressão dos pulmões. Isso é acompanhado por
uma contração da traqueia, fazendo um canal mais estreito por onde o ar expelido escoe. Para
uma dada quantidade de ar escapar em um tempo fixo, é preciso que ele se mova mais rápido
através do tubo mais estreito do que no mais largo. Quanto maior for a velocidade da corrente
de ar, maior a força sobre o objeto estranho. O uso de raios X mostra que o raio do tubo
circular da traqueia se contrai para cerca de 2/3 de seu raio normal durante a tosse. De acordo
com o modelo matemático para a tosse, a velocidade v está relacionada ao raio r da traqueia
pela equação:
1
v(r ) = k (r0 − r )r 2 ,
r0 ≤ r ≤ r0
2
em que k é uma constante e r0 é o raio normal da traqueia. A restrição sobre r deve-se ao
fato de que as paredes da traqueia endurecem sob pressão, evitando uma contração maior que
1
r0 (de outra forma, a pessoa ficaria sufocada).
2
!1
$
a. Determine o valor de r no intervalo # r0 ,r0 & no qual v tenha um máximo absoluto. Como
"2
%
isso se compara com a evidência experimental?
!1
$
b. Qual o valor máximo absoluto de v no intervalo # r0 ,r0 & ?
"2
%
c. Esboce o gráfico de v no intervalo !"0,r0 #$ .
3.
Seja f : I → ! , I ⊂ ! um conjunto aberto.
a. Defina a derivada de f em a ∈ I .
b. Dada a função f ( x) = sen( x) , demonstre que f '( x) = cos( x) .
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