Formulário de Mecânica Aplicada 3. Forças. Estática da Partícula

Formulário de Mecânica Aplicada
3. Forças. Estática da Partícula
⃗⃗; 𝜆⃗𝐴𝐵 = 𝐵−𝐴 = (𝑥𝐵−𝑥𝐴)𝑒⃗𝑥 +(𝑦𝐵−𝑦𝐴 )𝑒⃗𝑦 +(𝑧𝐵−𝑧𝐴)𝑒⃗𝑧
∑ 𝐹⃗𝑗 = 0
|𝐵−𝐴|
√(𝑥𝐵 −𝑥𝐴 )2 +(𝑦𝐵 −𝑦𝐴 )2 +(𝑧𝐵 −𝑧𝐴 )2
Força de restituição elástica: 𝐹⃗ 𝑒 = −𝐾𝑢𝜆⃗𝑒 , K – constante de
proporcionalidade entre a força da mola e o seu alongamento
(constante de rigidez); 𝜆⃗𝑒 – versor com a direção que a mola
deformada tem; u – alongamento.
Força de amortecimento viscoso: 𝐹⃗ 𝑐 = −𝐶𝜈𝜆⃗𝑐 , C – constante de
proporcionalidade entre a força do amortecedor e a sua
velocidade de alongamento (constante de amortecimento); 𝜆⃗𝑐 –
versor com a direção que o amortecedor deformado tem, no
sentido dos seus alongamentos positivos; 𝜈 – velocidade de
alongamento do amortecedor.
Encastramento:
5. Campos de Momentos de Sistemas de Forças. Equivalência
Estática
Elementos de redução de um sistema de forças: Vetor principal
⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑘 × 𝐹⃗𝑘
⃗⃗⃗𝑂 = ∑ 𝑂𝑃
𝑅⃗⃗ = ∑ 𝐹⃗𝑘 ; Momento resultante 𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ × 𝑅⃗⃗
⃗⃗⃗𝑄 = 𝑀
⃗⃗⃗𝑂 + 𝑄𝑂
Propagação dos momentos: 𝑀
Equivalência estática: Dois sistemas de forças dizem-se
estaticamente equivalente sse tiverem os mesmos elementos de
redução em qualquer ponto do espaço.
Forças de atrito seco ou atrito de Coulomb: 𝜇𝑒 – coeficiente de
atrito estático, válido para situações de repouso relativo entre os
corpos, incluindo a situação limite de deslizamento iminente; 𝜇𝑐 –
coeficiente de atrito cinético ou dinâmico, válido para situações de
deslizamento efetivo entre os corpos, ou seja, quando a
velocidade tangencial é estritamente diferente de zero.
⃗⃗| ≤ 𝜇𝑒 |𝑁
⃗⃗|; No deslizamento efetivo: |𝑇
⃗⃗| = 𝜇𝑐 |𝑁
⃗⃗|;
No repouso: |𝑇
⃗⃗| = 𝜇𝑒 |𝑁
⃗⃗|
No deslizamento iminente: |𝑇
Propriedades dos campos de momentos de sistemas de forças:
O momento de um sistema de forças não varia ao longo de
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ × 𝑅⃗⃗ = 𝑀
⃗⃗⃗𝑄 = 𝑀
⃗⃗⃗𝑂 + 𝑄𝑂
⃗⃗⃗𝑂 +
direções paralelas ao vetor principal: 𝑀
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗⃗
𝛼𝑅 × 𝑅 = 𝑀𝑂
Propriedade projetiva – as projeções dos momentos de um
sistema de forças em dois pontos sobre a linha que une esses
⃗⃗⃗𝑄 ∙ 𝜆⃗𝑄𝑂 = 𝑀
⃗⃗⃗𝑂 ∙ 𝜆⃗𝑄𝑂 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗𝑂 ∙
pontos são iguais: 𝑀
𝑄𝑂 × 𝑅⃗⃗ ∙ 𝜆⃗𝑄𝑂 = 𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑄𝑂
⃗⃗⃗𝑂 ∙ 𝜆⃗𝑄𝑂
𝜆⃗𝑄𝑂 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑄𝑂 × 𝑅⃗⃗ ∙
=𝑀
4. Momentos de Forças. Equilíbrio de Sistemas de Partículas
⃗⃗⃗𝑜 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Momento de uma força em relação a um ponto: 𝑀
𝑂𝑃 × 𝐹⃗ ;
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
⃗
⃗⃗⃗
⃗
|𝑀𝑜 | = 𝑏|𝐹 |, onde b é o braço da força; 𝑀𝑜 = 𝑂𝑃 × 𝐹 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑃 ×
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ × 𝐹⃗ ⊥ dado que 𝑂𝑃
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ e 𝐹⃗ // são paralelos, com o
(𝐹⃗ // + 𝐹⃗ ⊥ ) = 𝑂𝑃
seu produto externo nulo.
Invariantes – Para o campo de momentos de um sistema de forças
existem duas entidades que são invariantes, ou seja, não variam
de ponto para ponto no espaço, o invariante vetorial (𝑅⃗⃗) e o
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ × 𝑅⃗⃗ ∙ 𝑅⃗⃗ = 𝑀
⃗⃗⃗𝑂 ∙ 𝑅⃗⃗): 𝑀
⃗⃗⃗𝑄 ∙ 𝑅⃗⃗ = 𝑀
⃗⃗⃗𝑂 ∙ 𝑅⃗⃗ + 𝑄𝑂
⃗⃗⃗𝑂 ∙
invariante escalar (𝑀
⃗⃗
𝑅
⃗⃗⃗𝑜 = 𝜆⃗ ∙
Momento de uma força em relação a um eixo: 𝑀𝜆 = 𝜆⃗ ∙ 𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗
𝑂𝑃 × 𝐹
Equação do eixo central: 𝑄 = 𝑂 +
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|
|𝑄𝑂
Equilíbrio de sistemas de partículas
Equivalência a zero do sistema de forças interiores – O sistema das
forças interiores de um sistema de partículas é equivalente a zero,
independentemente de o sistema estar ou não em equilíbrio:
∑ 𝐹⃗𝑘𝑖𝑛𝑡 = ⃗⃗
0; ∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑃𝑘 × 𝐹⃗𝑘𝑖𝑛𝑡 = ⃗⃗
0
Condição necessária de equilíbrio de um sistema de partículas – É
condição necessária do equilíbrio de um sistema de partículas que
o sistema das forças exteriores seja equivalente a zero: ∑ 𝐹⃗𝑘𝑒𝑥𝑡 =
𝑒𝑥𝑡
⃗⃗; ∑ 𝑀
⃗⃗
⃗⃗⃗𝑂𝑘
0
=0
2
⃗⃗|
|𝑅
⃗⃗⃗⃗ 𝜆 ∈ ℝ
+ 𝜆𝑅,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ × 𝑅⃗⃗| = 𝐾
⃗⃗⃗𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 | = |𝑀
⃗⃗⃗𝑂 ∙ 𝜆⃗𝑅 |; |𝑀
⃗⃗⃗𝑃 | = 𝐾 ⟺ |𝑀
⃗⃗⃗𝑂 + 𝑃𝑂
|𝑀
Esforços Internos em Peças Lineares
Convenção de Sinais
Relações entre esforços e entre esforços e cargas
𝑑𝑁
Apoios
−𝑃2 ⟺ 𝑉𝐵 = 𝑉𝐴 −
Apoio Móvel:
⃗⃗ ×𝑀
⃗⃗⃗𝑂
𝑅
𝐵
= −𝑃 ⟺ 𝑁𝐵 = 𝑁𝐴 − ∫𝐴 𝑃3 𝑑𝑥3 ;
3
𝑑𝑥3
𝐵
𝑑𝑀
∫𝐴 𝑃2 𝑑𝑥3 ; 𝑑𝑥
3
= 𝑉 ⟺ 𝑀𝐵 = 𝑀𝐴 +
𝑑𝑉
𝑑𝑥3
=
𝐵
∫𝐴 𝑉𝑑𝑥3
Nota: A existência de uma rótula (onde o momento é nulo)
acrescenta outra equação ao sistema.
Apoio Fixo:
Casos de redução dos sistemas de forças:
⃗⃗ − 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝑓𝑜𝑟ç𝑎 ú𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 (𝑒 𝑜 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑡𝑒𝑚 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 = 0)
𝑅⃗⃗ ≠ 0
⃗⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗⃗ = 0 − 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝑧𝑒𝑟𝑜 𝑜𝑢 𝑒𝑚 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙í𝑏𝑟𝑖𝑜
𝑀𝑂 ∙ 𝑅 = 0 {
𝑀
𝑅⃗⃗ = ⃗⃗
0− { 𝑂
⃗⃗⃗𝑂 ≠ 0 − 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝑏𝑖𝑛á𝑟𝑖𝑜
𝑀
⃗⃗⃗𝑂 ∙ 𝑅⃗⃗ ≠ 0 − 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝑓𝑜𝑟ç𝑎 + 𝑏𝑖𝑛á𝑟𝑖𝑜; 𝑜 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜 𝑏𝑖𝑛á𝑟𝑖𝑜 é 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜, ≠ 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜 à 𝑓𝑜𝑟ç𝑎 𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙
𝑀