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Volume 1
1. Durante a aula, dois celulares tocaram ao mesmo tempo. A professora logo
perguntou aos alunos: “De quem são os celulares que tocaram?”

Guto disse: “O meu não tocou”

Carlos disse: “O meu tocou”

Bernardo disse: “O de Guto não tocou”
Sabe-se que um dos meninos disse a verdade e os outros dois mentiram. Qual das
seguintes afirmativas é verdadeira?
a) O celular de Carlos tocou e o de Guto não tocou
b) Bernardo mentiu
c) Os celulares de Guto e Carlos não tocaram
d) Carlos mentiu
e) Guto falou a verdade
Resolução 1: Sabemos que apenas um dos meninos falaram a verdade. Sendo assim,
suponhamos que Guto tenha falado a verdade e neguemos a frase dos outros dois.

Guto: “o meu não tocou” (verdade)

Carlos: “o meu não tocou” (mentira)

Bernardo: “O de Guto tocou” (mentira)
Há uma contradição aí, pois Guto disse que o celular dele não tocou, mas Bernardo
disse que tocou.
Suponhamos agora que quem falou a verdade foi Carlos e neguemos as demais frases:

Guto: “O meu tocou” (mentira)

Carlos: “O meu tocou” (verdade)

Bernardo: “o de Guto tocou” (mentira)
Sendo assim, a partir daí, percebemos que quem realmente mentiu foram Guto e
Bernardo.
Logo, alternativa “c”.
2. A mãe de Lúcia pediu para ela não comer mais de 10 docinhos por dia. Além disso,
se em um dia ela comer mais de 7 docinhos, nos dois dias seguintes não poderá
comer mais de 5 docinhos em cada dia. Qual é o maior número de docinhos que
Lúcia pode comer durante um período de 29 dias seguidos, obedecendo ao pedido
de sua mãe?
a) 203
b) 204
c) 206
d) 213
e) 290
Resolução 2: Lúcia não pode comer mais de 10 doces por dia e se comer mais de 7 não
comerá mais de 5 nos dois dias seguintes. Então, como pede-se a maior quantidade de
doces que Lúcia pode comer, o único número maior de doces que ela pode comer todos
os dias é 7. Daí, como são 29 dias, temos: 7 ∙ 29 = 203 doces.
Logo, alternativa “a”.
3. Na figura, ABCD é um paralelogramo e o segmento EF é paralelo a AB. Qual é a
soma das áreas dos triângulos cinzentos?
a) 2 cm2
b) 4 cm2
c) 6 cm2
d) 8 cm2
e) 10 cm2
Resolução 3: Nota-se que na imagem (o paralelogramo) possui dois trapézios. Então,
podemos calcular a soma das áreas dos trapézios e subtrair da área do paralelogramo,
que assim, restará apenas a soma das áreas do triângulo. Daí, sejam:
ATMA = Área do trapézio maior
ATME = Área do trapézio menor
Ap = Área do paralelogramo
At = Soma das áreas dos triângulos
Temos:
ATMA =
(b + B) . h
(2 + 4) . h 6h
⟹ ATMA =
=
= 3h
2
2
2
ATME =
(b + B) . h
(2 + 4) . (4 − h) 6 . (4 − h) 24 − 6h
⟹ ATME =
=
=
= 12 − 3h
2
2
2
2
Ap = b . h ⟹ Ap = 4 . 4 = 16cm2
Sendo assim,
At = 16 − (3h + 12 − 3h) = 16 − 12 = 4cm²
Logo, alternativa “b”.
4. Chamamos de “ultimo algarismo” de um número como o algarismo mais à direita.
Por exemplo: o ultimo algarismo de 2014 é o algarismo 4.
a) Qual o ultimo algarismo de 114?
Resolução 4 a): Sabemos que, numa potência, todo expoente elevado à base, cuja base
seja 1, o resultado sempre será 1. Logo, como o ultimo algarismo de 11 é 1, o ultimo
algarismo de 114 será 1.
b) Qual o ultimo algarismo de 99? E qual o ultimo algarismo de 92199219?
Resolução 4 b): Para 99, temos:
9¹ = 9
Percebemos que para expoente ímpar, o ultimo algarismo é 9 e para
9² = 81
par é 1. Daí, como 9 é ímpar, o ultimo algarismo de 99 é 9. E, de
9³ = 729
forma análoga, o ultimo algarismo de 92199219 também é 9.
94 = 6561
⋮
c) Qual o ultimo algarismo de 20142014?
Resolução 4 c): Analogamente à questão anterior, temos:
20141 = 2.014
Percebemos que para expoente ímpar, o ultimo
2014² = 4.056.196
algarismo é 4 e para expoente par é 6. Daí, como
2014³ = 8.169.178.744
2014 e par, então concluímos que o ultimo alga-
20144 = 16.452.725.990.416
rismo de 20142014 será 6.
⋮
5. Os irmãos Luiz e Lúcio compraram um terreno cercado por um muro de 340 metros.
Eles construíram um muro interno para dividir o terreno em duas partes. A parte de
Luiz ficou cercada por um muro de 260 metros e a de Lúcio, por um muro de 240
metros. Qual é o comprimento do muro interno?
a) 80 m
Luiz
b) 100 m
Lucio
c) 160 m
d) 180 m
e) 200 m
Lucio
Lucio
Resolução 5: Somando as metragens dos muros de Luiz e de Lúcio, obtemos 240 + 260
= 500 m. Neste total está computado o comprimento do muro original (de 340 m) mais
duas vezes o comprimento do muro interno. Logo, o comprimento do muro interno é
igual a [500 − 340] / 2 = 80 metros. Podemos também resolver algebricamente: como o
muro interno pertence ao cercado dos terrenos de Luiz e de Lúcio, se x é a medida do
muro interno, temos: 340 + 2x = 240 + 260. Portanto x = 80 m.
6. Por conta de uma erupção de um vulcão, 10% dos voos de um aeroporto foram
cancelados. Dos voos restantes, 20% foram cancelados pela chuva. Que
porcentagem do total de voos deste aeroporto foi cancelada?
a) 28%
b) 30%
c) 35%
d) 38%
e) 70%
Resolução 6: Inicialmente, havia 100% dos voos aptos a voar. Ocorreu o primeiro
cancelamento, correspondente a 10% dos voos disponíveis, restou, portanto, 90% dos
voos iniciais. Ocorreu um segundo cancelamento, correspondente a 20% dos voos
restantes, 90%, ou seja 18%. O total de voos cancelados é 10% + 18% = 28%. A
alternativa correta é a letra “a”.
7. O número n é um inteiro negativo. Qual dos números abaixo é o maior?
a) – 3n
b) 3n
c) n – 3
d) 9n – 3
e) n - 9
Resolução 7: Se n ϵ Z, suponhamos um n qualquer: Seja n = - 1, daí aplicando em cada
alternativa, teremos, respectivamente:
(- 3)(- 1) = 3; 3(- 1) = - 3; (- 1) – 3 = - 4; 9(- 1) – 3 = - 12; (- 1) – 9 = - 10. Vemos que o
maior número é o 3. Logo a alternativa correta é a letra “a”.
8. O pai de Carolina mediu o comprimento da mesa com sua mão e contou 8 palmos.
Ela também mediu a mesa do mesmo modo e contou 11 palmos. Qual é o tamanho
do palmo de Carolina, se o palmo de seu pai mede 22 centímetros?
a) 12 cm
b) 13 cm
c) 14 cm
d) 16 cm
e) 19 cm
Resolução 8: Seja x o comprimento do palmo de Carolina, a partir do enunciado, temos:
11x = 8.22
11x = 176
x = 16
Logo, a alternativa correta é a letra “a”.
9. Uma farmácia dá desconto de 30% sobre o preço de tabela de todos os
medicamentos que vende. Ao adquirir um remédio cujo preço de tabela é R$
120,00, quantos reais uma pessoa irá pagar?
a) 36
b) 84
c) 64
d) 72
e) 116
Resolução 9: Seja x o valor a ser pago por esta pessoa, daí;
x = 120 – (120.0,3)
x = 120 – 36
x = 84
Logo, a alternativa correta é a letra “b”.
10. A metade do número 211 + 48 é igual a:
a) 25 + 44
b) 25 + 28
c) 110 + 28
d) 215 + 45
e) 29 + 47
Resolução 10:
211 + 48
2
=
2.210 + 216
2
=
2.210 +2.215
2
= 210 + 215 = 45 + 215 = 215 + 45
Alternativa correta letra “d”.
11. Para assar um frango são necessários 15 minutos para aquecer o forno e mais 12
minutos para assar cada meio quilo de frango. Paula comprou um frango de 2,5 kg.
A que horas ela deve ligar o forno para que o frango fique pronto às 20 horas?
a) 18h
b) 18h15min
c) 18h30min
d) 18h45min
e) 19h
Resolução 11: Seja x a soma do tempo de aquecer o forno e preparação do frango.
x = 15 + 5.12 = 75 min
Logo, ela deve ligar o forno às 20h – 1h15min, ou seja, às 18h45min. Alternativa “d”.
12. A professora perguntou a seus alunos: “Quantos anos vocês acham que eu tenho?”.
Ana respondeu 22, Beatriz respondeu, 25 e Celina 30. A professora disse: “Uma de
vocês errou minha idade em 2 anos, outra errou em três anos e outra em cinco anos”.
Qual é a idade da professora?
a) 26
b) 27
c) 28
d) 29
e) 30
Resolução 12: Resolveremos esta questão utilizando lógica, temos: Suponhamos que
Ana errou a idade da professora em 5 anos, daí a professora terá 27 anos, Beatriz em 2
anos, daí a professora terá 27 anos, e Celina errou em 3 anos, daí a professora terá 27
anos. Fazendo outras suposições veremos que ocorrerá contradições, ou seja, a única
que satisfaz o enunciado é a que foi dita anteriormente, assim a alternativa correta é a
letra “b”.
13. Joãozinho subtraiu o menor número de três algarismos diferentes do maior número
de três algarismos diferentes. Que resultado ele obteve?
a) 885
b) 887
c) 888
d) 890
e) 786
Resolução 13: O menor número de três algarismos diferentes é o 102, e o maior é o 987,
logo o resultado da subtração do maior número com algarismos distintos pelo menor
número com algarismos distintos é 987 – 102 = 885. Alternativa “a”.
14. Uma balança está em equilíbrio com bolas e saquinhos de areia em cada um de seus
pratos. Em um dos pratos temos 5 saquinhos de areia e 4 bolinhas, no outro 2
saquinhos de areia e 10 bolinhas. O peso de um saquinho de areia é igual é igual a
quantas bolinhas?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Resolução 14: Seja s o peso de um saquinho e b de uma bolinha. A partir do enunciado,
temos a seguinte equação: 5s + 4b = 2s + 10b, isto equivale a s = 2b. Logo, o peso de
um saquinho é o dobro do peso de uma bolinha, assim o peso de um saquinho é igual ao
peso de 2 bolas. Alternativa “b”.
15. Qual o ultimo algarismo do número 20152015?
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 5
Resolução 15: Buscaremos um padrão. 20150 = 1; 20151 = 2015; 20152 = 4060225;
20153 = ...5. Vemos que para todo n > 0, com n ϵ N, o número obtido tem como último
algarismo o número 5. Logo, 20152015, termina com o número 5. Alternativa “e”.
16. Claudia inverteu as posições de dois algarismos vizinhos no número 682479 e
obteve um número menor. Quais foram esses algarismos?
a) 6 e 8
b) 8 e 2
c) 2 e 4
d) 4 e 7
e) 7 e 9
Resolução 16: Façamos todas as inversões. 6 e 8, isto é, 862579; 8 e 2, isto é, 628479; 2
e 4, isto é, 684279; 4 e 7, isto é, 682749; 7 e 9, isto é, 682497. Vemos que o único
momento em que o número ficou menor, foi na troca 8 e 2. Alternativa “b”.
17. O símbolo  representa uma operação especial com números. Veja alguns
exemplos: 2  4 = 10 ; 3  8 = 27 ; 4  27 = 112 ; 5  1 = 10. Quanto vale 4  (8
 7)?
a) 19
b) 39
c) 120
d) 240
e) 260
Resolução 17: Vemos que as expressão obedecem o padrão: multiplicação dos
elementos e somamos o resultado com o primeiro elemento. Logo, 4  (8  7) = 4 
(8.7 + 8) = 4  64 = 4.64 + 4 = 256 + 4 = 260. Alternativa “e”.
18. Se m é um número natural tal que 3m = 81, quanto vale m3?
a) 813
b) 381
c) 64
d) 24
e) 48
Resolução 18: Basta encontrar m e eleva-lo ao cubo
3m = 81 → 3m = 34 → m = 4. Dessa forma, m3 = 43 = 64. Alternativa “c”.
19. Pedro constrói uma sequência de pilhas com cubinhos de tamanhos iguais. Ele
começa com um único cubinho. As pilhas são construídas sempre de forma
triangular, a partir da anterior, aumentando-se dois cubinhos em cada camada e
colocando-se um cubinho no topo. Na figura, estão representadas as três primeiras
pilhas da sequência. Observe que na primeira camada da terceira pilha há cinco
cubinhos.
Quantos cubinhos deverá ter a primeira camada da quinta pilha?
a) 9
b) 8
c) 7
d) 6
e) 4
Resolução 19: Vemos que na primeira camada da 1° pilha há 1 cubinho, na segunda 3
cubinhos, na terceira 5 cubinhos. Temos uma Progressão aritmética de razão 2.
Aplicando a fórmula do termo geral da PA, teremos a5 = 1 + (4) . 2 = 9. Alternativa “a”.
20. A figura mostra uma reta numerada na qual estão marcados pontos igualmente
espaçados. Os pontos A e B correspondem, respectivamente, aos números 7/6 e
19/6. Qual é o número que corresponde ao ponto C?
a) 1/6
b) 1/3
c) ½
d) 2/3
e) 1
Resolução 20: Seja x a distância entre um ponto e outro. Daí,
= ½. Daí, c = 7/6 – ½ = 2/3. Alternativa “d”.
21. O valor de 1000 × 20,12 × 2,012 × 100 é:
a) (20120)2
b) (2,012)2
c) (201,2)2
19
6
7
- 4x = 6 , isto implica x
d) (20,12)2
e) (2012)2
Resolução 21: Pela comutatividade da multiplicação, temos:
1000 × 20,12 × 2,012 × 100 =
1000 × 2,012 × 100 × 20,12 =
2012 × 2012 = (2012)2 . Alternativa “e”.
22. Maria convidou nove garotos e oito garotas para sua festa de aniversário. Ela
preparou camisetas com os números de 1 a 18, ficou com a de número 1 e distribuiu
as demais para seus convidados. Durante uma dança, ela observou que a soma dos
números de cada casal era um quadrado perfeito. Sendo assim, os possíveis três
primeiros casais que ela pode ter visto eram:
a) {2,14};{6,10};{5,10}
b) {9,16};{5,15};{4,12}
c) {3,13};{1,15};{2,18}
d) {1,15};{8,17};{7,18}
e) {5,11};{4,12};{8,8}
Resolução 22: Vemos que nas alternativas “d” e “e” a soma dos números de cada casal
formam quadrados perfeitos, mas na alternativa “e” o último par é invalido, pois as
pessoas que compõem o casal não podem vestir a mesma camisa. Logo, alternativa
correta é a letra “d”.
23. Uma sequência de números é definida por a1 = 3 e an
+ 1
= an + (an)2 para todo
número natural n ≥ 1. Por exemplo: a2 = a1 + (a1)2 = 3 + 32 = 12. Qual é o algarismo
das unidades de a2015?
a) 2
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
Resolução 23: Buscaremos um padrão, assim: a1 = 3; a2 = 12; a3 = 156; a4 = 24492
Vemos que para todo n ≥ 2, n ϵ N, para n par o número tem como último algarismo 2, e
para n ímpar tem como último algarismo 6. Logo, a2015 tem como último algarismo o
número 6, pois o índice 2015 é ímpar. Alternativa “b”.
24. Quantos números de três algarismos diferentes de zero têm pelo menos dois
algarismos iguais?
a) 125
b) 225
c) 325
d) 425
e) 535
Resolução 24: __ __ __ (Formato dos números)
Pelo Princípio Fundamental da contagem, podemos formar 729 números (9.9.9), com
repetição ou não de algarismos. E podemos formar 504 números (9.8.7), sem repetição
de algarismos. Logo, se subtrairmos 504 de 729 teremos que o resultado é a quantidade
de números que possuem ao menos dois algarismos repetidos, ou seja, 225 números.
Alternativa “b”.
25. Uma jarra contém ¼ de sua capacidade em água. Despejando um copo cheio de
água na jarra, o volume de água atinge 1/3 da sua capacidade. Quantos copos cheios
mais ainda serão necessários para acabar de encher a jarra?
a) 2
b) 3
c) 5
d) 7
e) 8
Resolução 25: O volume de um copo de água é igual a
1
2
1
3
Falta encher 1 - 3 = 3 da jarra. Para isso serão necessários
Logo, serão necessários 8 copos. Alternativa “e”.
-
1
4
2
3
1
12
=
1
12
2
=3.
do volume da jarra.
12
1
= 8.
26. A quantidade de água de uma melancia corresponde a 95% de seu peso. Joaquim
retirou água dessa melancia até que a quantidade de água correspondesse a 90% de
seu peso, que passou a ser 6 kg. Qual era o peso original da melancia?
a) 6, 5 kg
b) 7 kg
c) 8, 5 kg
d) 10 kg
e) 12 kg
Resolução 26: Após retirar a água, o peso da água corresponde a 90% do peso total. Se
o peso total é de 6 kg, então o peso da água é de 5,4kg (90% de 6). Se o peso da água é
de 5,4kg, então temos 0,6kg (5,4+0,6 = 6) de polpa. Originalmente, o peso da água
correspondia a 95% do peso total.
Logo, originalmente:
Peso total = x
Peso de água = 95x/100
Peso da polpa = 0,6kg (apenas foi retirada água, logo, o peso da polpa permanece o
mesmo).
95x/100+0,6 = x
95x+60 = 100x
5x = 60
x = 12
Peso total inicial = 12 kg.
27. Ângela tem uma caneca com capacidade para 2/3 L de água. Que fração dessa
Caneca ela encherá com ½ L de água?
a) 7/12
b) 2/3
c) ¾
d) 5/6
e) 4/3
Resolução 27: A resposta é “c”; pois 2/3 de litro de água, temos que dar um valor,
colocaremos 1 litro que é 1000ml; então 2/3 de 1 litro é 666ml (multiplicando 1000 por
2 e dividindo por 3). Agora, pergunta-se: que fração dessa caneca encherá ½ (meio)
litro?
Imagine que a caneca em si é 100%, faça a regra de três simples:
666 ml......................... 100
500 ml.......................... x.
Portanto, 666x = 50 000 → x = 50 000 ÷ 666 → x ≅ 75. Logo, a resposta é C, ¾.
28. Lucas pensou em um número, dividiu-o por 285 e obteve resto 77. Se ele dividir o
número em que pensou por 57, qual é o resto que ele vai encontrar?
a) 0
b) 20
c) 40
d) 54
e) 56
Resolução 28: Levando em consideração que há divisão com resto, e que temos
quociente 1, teremos:
Divisor = 285 x 1 + 77 = 362.
Ao dividirmos por 57, encontramos um número próximo de 57 vezes 362. Assim,
temos:
57 x 4 = 228; 57 x 5 = 285; 57 x 6 = 342; 57 x 7 = 399.
Portanto, o divisor mais próximo seria por 6. Logo, 362 – 57 x 6 =20; ou seja,
alternativa “b”.
29. Sofia nasceu antes do ano 2000, no mês de janeiro. Em fevereiro de 2013 sua idade
era igual à soma dos algarismos do ano de seu nascimento. Qual é o algarismo das
unidades do ano de nascimento de Sofia?
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
Resolução 29: Podemos fazer o seguinte:
1º 1990 = 1 + 9 + 9 + 0 = 19 (2013 ela tem 23 anos) falso;
2º 1991 = 1 + 9 + 9 + 1 = 20 (2013 ela tem 22 anos) Falso;
3º 1992 = 1 + 9 + 9 +2 = 21 (2013 ela tem 21 anos) Verdadeiro. Portanto, alternativa c.
30. O pai de Carolina mediu o comprimento da mesa da sala com sua mão e contou 8
Palmos. Ela também mediu a mesa do mesmo modo e contou 11 palmos. Qual é o
tamanho do palmo de Carolina, se o palmo de seu pai mede 22 centímetros?
a) 12 cm
b) 13 cm
c) 14 cm
d) 16 cm
e) 19 cm
Resolução 30:
8 ↔ 22
11 ↔ x, em se tratando de uma questão invertível, teremos: 11x = 176 → x = 176÷ 11→
x = 16.
31. Ao medir a cintura de Marta com uma fita métrica, Dona Célia observou que as
marcas de 23 cm e 77 cm ficaram sobrepostas, como na figura. Qual é a medida da
cintura de Marta?
a) 23 cm
b) 50 cm
c) 54 cm
d) 77 cm
e) 100 cm
Resolução 31:
Considerando que a marcação começou com o número 23, este é o número inicial da
medida. Como a fita passa sobre o número 77, eles se sobrepõem; então, a cintura de
Marta é:
77 – 23 = 54. Portanto, alternativa “c”.
32. Adriano, Bruno, César e Daniel são quatro bons amigos. Daniel não tinha dinheiro,
mas os outros tinham. Adriano deu a Daniel um quinto do seu dinheiro, Bruno deu
um quarto do seu dinheiro e César deu um terço do seu dinheiro. Cada um deu a
Daniel a mesma quantia. A quantia que Daniel possui agora representa que fração da
quantia total que seus três amigos juntos possuíam inicialmente?
a) 1/10
b) ¼
c) 1/3
d) 2/5
e) ½
Resolução 32: Como cada amigo deu a Daniel a mesma quantia, digamos que Daniel
tenha recebido x reais de cada um de seus três amigos. Inicialmente, então, Adriano
tinha 5x reais, Bruno tinha 4x reais e César tinha 3x reais. Segue que o total de dinheiro
inicial dos três amigos era de 5x + 4x + 3x = 12x reais. Como cada um de seus três
amigos lhe deu x reais, Daniel tem agora 3x reais, o que representa a quarta parte do
total de 12x. Logo, ele agora possui 1/4 da quantia que seus três amigos juntos possuíam
inicialmente. A opção correta é “b”.
33. São dadas quatro moedas aparentemente iguais, das quais três são verdadeiras e uma
é falsa. As três verdadeiras têm o mesmo peso e a falsa tem um peso diferente das
verdadeiras, mas não se sabe se a moeda falsa é mais leve ou mais pesada do que as
verdadeiras. Mostre que é possível determinar a moeda falsa empregando somente
duas pesagens em uma balança de dois pratos.
Observação: Numa balança de dois pratos só podemos comparar os pesos
colocados nos dois pratos: a balança só pode ficar equilibrada ou, então, pender para
o lado mais pesado.
Resolução 33: Sejam A, B, C e D as quatro moedas aparentemente iguais. Comparamos
as moedas A e B na balança, colocando uma em cada prato. Dois casos podem ocorrer:
a balança fica em equilíbrio ou a balança não fica em equilíbrio. Vamos analisar
separadamente cada caso. Observe que, em ambos casos, só utilizamos a balança duas
vezes.
10 Caso: A balança fica equilibrada. Podemos concluir que A e B têm o mesmo peso,
portanto, são verdadeiras. Vamos então comparar A com C. Para isso, mantemos A na
balança e colocamos C no lugar de B. Se houver equilíbrio novamente, é porque A e C
têm o mesmo peso e são, portanto, verdadeiras. Assim, A, B e C são verdadeiras e a
única opção é que D seja a moeda falsa. Se não houver equilíbrio, C é a moeda falsa.
20 Caso: A balança não fica equilibrada. Logo uma das duas moedas, A ou B é a falsa.
Substituímos A por C na balança. Se houver equilíbrio, A é a moeda falsa. Se, não
houver equilíbrio, a moeda falsa é B.
34. Certa máquina tem um visor, onde aparece um número inteiro x, e duas teclas, A e
B. Quando se aperta a tecla A, o número x do visor é substituído por 2x+1. Quando
se aperta a tecla B, o número x do visor é substituído por 3x − 1. Qual é o maior
número de dois algarismos que pode ser obtido apertando alguma sequência das
teclas A e B a partir do número 5 no visor?
a) 85
b) 87
c) 92
d) 95
e) 96
Resolução 34: O diagrama a seguir mostra os resultados de dois algarismos que podem
ser obtidos a partir do número 5, apertando cada uma das duas teclas. A opção correta é
“d”.
35. Esquecinaldo tem péssima memória para guardar números, mas ótima para lembrar
sequências de operações. Por isso, para lembrar-se do seu código bancário de cinco
algarismos, ele consegue se lembrar de que o código não tem algarismos repetidos,
nenhum dos algarismos é zero, os dois primeiros algarismos formam uma potência
de 5, os dois últimos formam uma potência de 2, o do meio é um múltiplo de 3 e a
soma de todos os algarismos é um número ímpar. Agora ele não precisa mais
decorar o número, porque ele sabe que seu código é o maior número que satisfaz
essas condições. Qual é esse código?
Resolução 35: O número começa com 25 porque 52 é a única potência de 5 com dois
algarismos.
2
5
Os candidatos aos dois últimos algarismos são as potências de 2 com dois algarismos, a
saber, 16, 32 e 64. Como 32 não serve, por apresentar o 2 repetido, temos as opções
2
5
1
6
2
5
6
4
O algarismo do meio é um múltiplo de 3, portanto, só pode ser 3, 6 ou 9, mas o 6 não
pode ser repetido. Para escolher entre as duas opções acima, basta lembrar que a soma
dos cinco algarismos deve ser é ímpar e, como 2 + 5 é ímpar, a soma dos três últimos
deve ser par. Assim, a segunda opção acima fica descartada, pois não podemos
completá-la com um múltiplo de 3, restando, apenas os números
2
5
3
1
6
2
5
9
1
6
O maior dos dois,
2
5
9
1
6
, é o código bancário de Esquecinaldo.
36. Geni é cliente de uma companhia telefônica que oferece o seguinte plano:

tarifa mensal fixa de R$ 18,00;

gratuidade em 10 horas de ligações por mês;

R$ 0,03 por minuto que exceder as 10 horas gratuitas.
Em janeiro, Geni usou seu telefone por 15 horas e 17 minutos e, em fevereiro, por 9
horas e 55 minutos. Qual foi a despesa de Geni com telefone nesses dois meses, em
reais?
a) 45,51
b) 131,10
c) 455,10
d) 13,11
e) 4,55
Resolução 36:
Vejamos a despesa em janeiro. Como 10 horas são gratuitas e Geni utilizou o telefone
por 15 horas e 17 minutos, ela deve pagar a tarifa fixa mensal de 18 reais mais o custo
de apenas 5 horas e 17 minutos. Como o preço é dado em minutos, passamos o tempo a
pagar para minutos. Sabemos que 1 hora = 60 minutos, portanto, 5 horas = 5 × 60 = 300
minutos. Logo, 5h17min = 300 + 17 = 317 minutos. Assim, a conta telefônica de Geni
em janeiro foi de 18 + 317 × 0,03 = 18 + 9,51 = 27,51 reais. Em fevereiro, Geni usou
seu telefone por menos do que 10 horas, portanto nesse mês ela só precisa pagar a tarifa
fixa mensal de 18 reais. Logo, a despesa de Geni com telefone nesses dois meses foi de
27,51+18 = 45,51 reais. Alternativa “a”.
37. André, Bruno, Celina e Dalva ganharam juntos, 21 medalhas num concurso. André
foi o que mais ganhou medalhas, Bruno ganhou o dobro de Celina e Dalva ganhou
três a mais do que Bruno. Quantas medalhas cada um pode ter ganhado?
Resolução 37: Denotemos por A,B,C e D o número de medalhas ganhas por André,
Bruno, Celina e Dalva, respectivamente. Então A, B, C e D são inteiros não negativos e
A + B + C + D = 21. Temos que

Bruno ganhou o Dobro de Celina, ou seja, B = 2C.

Dalva ganhou três a mais do que Bruno, ou seja, D = B + 3 = 2C + 3.
Assim, atribuindo qualquer valor a C, automaticamente sabemos os valores de B e D.
Mas A + 2C + C + 2C + 3 = A + B + C + D = 21. Logo, A + 5C = 18 e, portanto,
podemos expressar também A em termos de C, com A = 18−5C. Observe que C ≤ 3,
pois se C = 4, então A = 18 − 20 = −2, o que é impossível.
Como C é um inteiro maior do que ou igual a 0 e menor do que 4, temos apenas as
possibilidades seguintes.
C
A
B
D
0
18
0
3
1
13
2
5
2
8
4
7
3
3
6
9
Como André foi o que recebeu mais medalhas, C = 3 não serve. O problema tem, então,
três possíveis soluções, listadas a seguir.
A
B
C
D
18
0
0
3
13
2
1
5
8
4
2
7
38. O reverso de um número inteiro de dois algarismos é o número que se obtém
invertendo a ordem de seus algarismos. Por exemplo, 34 é o reverso de 43. Quantos
números existem que, somados ao seu reverso, dão um quadrado perfeito?
Resolução 38: Lembremos que números ab de dois algarismos, em que a é o algarismo
das dezenas e b o das unidades, são dados por ab = a × 10 + b. Por exemplo, 47 = 4 × 10
+ 7.
Seja ab um número de dois algarismos; seu reverso é, então, ba. Temos que
ab + ba = a × 10 + b + b × 10 + a = (a + b) × 11.
Por outro lado, a, b ≤ 9, de modo que a + b ≤ 18. Como 11 é um número primo e a + b ≤
18, 11 não divide a + b e, portanto, o produto (a + b) × 11 só é um quadrado perfeito se
a + b = 11. Assim, temos 8 números satisfazendo a condição do problema: 29, 38, 47,
56, 65, 74, 83 e 92.
39. Uma loja estava vendendo cada unidade de um brinquedo a R$ 13,00. Para
conseguir vender todo o seu estoque, que não era superior a 100 unidades, a
gerência da loja resolveu baixar o preço por um número inteiro de reais, obtendo R$
781,00 por todo o estoque. Qual foi a redução do preço, por unidade?
Resolução 39: Se x denota o desconto em reais e y o número total de peças, então (13 −
x) × y = 781. Assim, (13 − x) e y são divisores de 781 e, como 781 = 11 × 71, os únicos
divisores de 781 são 1, 11, 71 e 781. O divisor 13 − x de 781 não pode ser igual a 1,
pois sabemos que y ≤ 100. A única opção, então, é 13−x = 11 e y = 71, de modo que a
redução foi de x = R$ 2,00 por unidade.
40. O número 119 é muito interessante porque deixa resto 1 ao ser dividido por 2, deixa
resto 2 ao ser dividido por 3, deixa resto 3 ao ser dividido por 4, deixa resto 4 ao ser
dividido por 5 e, finalmente, deixa resto 5 ao ser dividido por 6. Existem outros
números de três algarismos com essas propriedades?
Resolução 40: Suponhamos que N seja um dos números procurados. Como N e 119
deixam os mesmos restos quando divididos por 2, 3, 4, 5 e 6, temos que a diferença N −
119 entre eles deixa resto zero quando dividido por esses números. Portanto, N − 119 é
um múltiplo de 2, 3, 4, 5 e 6. Como 60 é o mínimo múltiplo comum desses números, N
− 119 é um múltiplo de 60, ou seja, N − 119 = 60k, para algum inteiro k. Assim, N =
119+60k é um número interessante para qualquer número inteiro k. Como queremos
números distintos de 119 e de três algarismos, devemos tomar k positivo e menor do
que 15, já que 119+60×15 = 1 019 tem quatro algarismos. Assim, tomamos k de 1 a 14
e obtemos outros 14 números interessantes de três algarismos, a saber,
179, 239, 299, 359, 419, 479, 539, 599, 659, 719, 779, 839, 899, 959.
𝑥𝑦
41. Quantos são os pares de números inteiros positivos (x, y) tais que 𝑥+𝑦 = 144?
Resolução 41: A equação dada é equivalente a xy = 144(x+y) = 144x+144y, portanto,
isolando x, obtemos x =144y /y – 144. Como x e y devem ser inteiros positivos, o
denominador y − 144 deve ser um número inteiro positivo, digamos, y − 144 = n.
Substituindo essa expressão no valor de x, obtemos x =144(n + 144)/n = (144n +
1442)/n = 144 + 1442/n Como x deve ser um número inteiro, n deve ser um divisor de
1442. Sendo 1442 = 124 = 28 · 34, seus divisores são os números d da forma d = 2a · 3b,
com 0 ≤ a ≤ 8 e 0 ≤ b ≤ 4. Como há 9 valores possíveis para a e 5 valores possíveis
para b, concluímos que 1442 tem 9 × 5 = 45 divisores. Assim, para cada divisor n de
1442, obtemos uma solução (x, y) = (144 +1442/n ; n + 144) da equação xy/x + y = 144
dada. Portanto, essa equação possui 45 pares de números inteiros positivos (x, y) que a
satisfazem.
42. Observe as igualdades a seguir.
1 × 2 × 3 × 4 + 1 = 25 = 52
2 × 3 × 4 × 5 + 1 = 121 = 112
...
10 × 11 × 12 × 13 + 1 = 17.161 = 1312
...
Será que isso é sempre verdadeiro? Isto é, será sempre um quadrado perfeito o produto
de quatro números inteiros consecutivos, mais 1?
Resolução 42: Sim, será sempre um quadrado perfeito. De fato, se n−1, n, n+1 e n+2 são
quatro inteiros consecutivos, então seu produto mais 1 é um quadrado perfeito, como
segue.
(n − 1)n(n + 1)(n + 2) + 1 = n(n2 − 1)(n + 2) + 1
= n(n3 + 2n2 − n − 2) + 1
= n4 + 2n3 – n2 − 2n + 1
= n4 + 2n3 + (n2 − 2n2) − 2n + 1
= (n4 + 2n3 + n2) − 2n2 − 2n + 1
= (n2 + n)2 − 2(n2 + n) + 1
= [(n2 + n) – 1]2.
43. Sílvia vai encher seus 10 garrafões numa fonte que tem três torneiras. Um dos
garrafões demora um minuto para encher, outro dois minutos, outro três minutos e
assim por diante. Como Sílvia deverá distribuir os 10 garrafões pelas três torneiras
de modo a gastar o menor tempo possível? Qual é esse tempo?
Resolução 43: Se tivéssemos uma torneira só, o tempo gasto para encher os 10
garrafões seria de 1+2+· · ·+9+10 = 55 minutos. Como temos três torneiras e 55 =
3×18+1, uma torneira, pelo menos, vai levar 19 minutos e as outras duas, 18 minutos
cada. A tabela seguinte mostra uma forma de fazer o trabalho em 19 minutos.
Torneira 1 10 9
Torneira 1
10
9
Torneira 2
8
5
3
2
Torneira 3
7
6
4
1
44. Mostre que se o produto N = (n+6m)(2n+5m)(3n+4m), com m e n números inteiros
positivos, for um múltiplo de 7 então esse produto N também é múltiplo de 73 =
343.
Resolução 44: Consideremos os números A = n + 6m, B = 2n + 5m e C = 3n + 4m.
Como o número primo 7 divide o produto N = A × B × C, então 7 divide pelo menos
um desses fatores. Para concluir que 73 divide N, basta mostrar, portanto, que se 7
divide algum dos números A,B ou C então 7 divide cada um deles.
Suponhamos que 7 divida A. Então 7 divide 2A. Mas 2A = 2n + 12m = B + 7m. Como
7 também divide 7m, segue que 7 divide B. Da mesma forma, como 7 divide A, segue
que 7 divide 3A. Mas 3A = 3n + 18m = C + 14m. Como 7 também divide 14m,
concluímos que 7divide C.
Suponhamos que 7 divida B. Então 7 divide 4B. Mas 4B = 8n+20m = A+7(n+2m).
Como
7 também divide 7(n+2m), segue que 7 divide A. Como já foi mostrado acima,
dividindo A, 7 também divide C.
Suponhamos que 7 divida C. Então 7 divide 5C. Mas 5C = 15n + 20m = A + 7(2n +
2m).
Como 7 também divide 7(2n + 2m), segue que 7 divide A. Como já foi mostrado acima,
dividindo A, 7 também divide B.
45. Marcos fez cinco provas de Matemática. Suas notas, em ordem crescente, foram 75,
80, 84, 86 e 95. Ao digitar as notas de Marcos na ordem em que as provas foram
realizadas, o professor notou que as médias das duas primeiras provas, das três
primeiras, das quatro primeiras e das cinco provas eram números inteiros. Qual foi a
nota que Marcos tirou na última prova?
a) 75
b) 80
c) 84
d) 86
e) 95
Resolução 45: A soma das notas dá 420, que é um múltiplo de 4. Vamos retirar a última
nota somada, como a média continua sendo um número inteiro e temos 4 números, o
resultado terá que ser múltiplo de 4, e como 420 já é múltiplo de 4, então a última nota
deve ser múltiplo de 4, ou seja, 80 ou 84. Agora vamos dividir em dois casos:
1º última nota é 80.
820 – 80 = 340. A soma das 3 primeiras notas deve ser múltipla de 3, e como 340 tem
resto 1 quando dividido por 3, então a penúltima nota também deve ter resto 1 na
divisão por 3, para que 340 menos a penúltima nota seja divisível por 3, veremos se
algum tem:
Sobre seus respectivos restos temos:
75 = 0; 84 = 0; 86 = 2; 95 = 2. Como não há enquadramento de nenhum dos restos, só
podemos ter como solução 84. Alternativa “c”.
46. Um número de três algarismos tem as seguintes propriedades:

quando trocamos o algarismo das unidades com o das dezenas, ele aumenta em
18 unidades;
quando trocamos o algarismo das dezenas com o das centenas, ele aumenta em 180
unidades. Quantas unidades aumentará esse número se trocarmos o algarismo das
unidades com o das centenas?
a) 162
b) 198
c) 256
d) 360
e) 396
Resolução 46: Um número de três algarismos 100ª + 10b + c
* quando trocamos o algarismo das unidades com o das dezenas ele aumenta em 18
unidades:
100a + 10c + b – (100a + 10b + c) = 18
10c – c + b – 10b = 18
9c – 9b = 18 → c – b = 18.
* quando trocamos o algarismo das dezenas com o das centenas ele aumenta em 180
unidades:
100b + 10a + c – (100b + 10a + c) = 180
100b – 10b + 10a – 100a = 180
90b – 90a = 180 → b – a = 2.
* trocando o algarismo das unidades com o das centenas, teremos:
100c + 10b + a – (100a + 10b + c)
100c – c + a – 100
99c – 99a → 99 (c – a)
Somando (1) + (2) teremos:
(c – b) + (b – a) = 2 + 2 → c – a = 4. Fazendo a substituição em (3), temos:
99 ∙ 4 = 396 unidades. Portanto, a resposta correta, alternativa “e”.
47. Quantos sinais de adição foram utilizados na expressão: 2 + 0 +1+ 3 + 2 + 0 +1+ 3 +
2 + 0 + 1+ 3 +.......+ 2 + 0 + 1= 2013?
a) 50
b) 1342
c) 2012
d) 2013
e) 2016
Resolução 47: Podemos fazer o que segue:
18.......... 12
2013........ x
18x = 24 156
X = 24 156 por 18 → x = 1342.
48. Uma piscina com fundo e paredes retangulares está totalmente revestida com
azulejos quadrados iguais, todos inteiros. O fundo da piscina tem 231 azulejos e as
quatro paredes têm um total de 1024 azulejos. Qual é, em número de azulejos, a
profundidade da piscina?
a) 15
b) 16
c) 18
d) 20
e) 21
Resolução 48: Fatorando 231, obtemos: 231 = 3 ∙ 7 ∙ 11
Então, as possíveis dimensões para o fundo da piscina devem ser divisores de 231. Para
encontrá-los, basta combinar esses fatores 3, 7 e 11. As opções são:
3 e 77; 21 e 11; 7 e 33.
Agora, veja que uma piscina retangular possui: 2 paredes iguais + outras 2 paredes
iguais. Como as paredes ao todo possuem 1024 azulejos: 2x + 2y = 1024 e x + y = 512.
Então, 'x' é o total de azulejos de uma parede e 'y' é o total de azulejos da outra parede.
Repare que ambas as paredes, possuem em altura o mesmo número de azulejos. Logo,
podemos escrever 'x' e 'y' como: x = ab e y = ac.
Em que b e c, são as quantidades de azulejo no comprimento e na largura, e 'a' é a
quantidade de azulejos na altura, o que queremos encontrar. Portanto: ab + ac = 512 e
a(b + c) = 512. Assim, a = 512 ÷ (b + c).
Por fim, resta analisar as dimensões do fundo da piscina, que serão os possíveis valores
para b e c, Teremos: b = 3 e c = 7...........Resulta em b + c = 80.
Logo, a = 512/80.........Descarta pois 'a' deve ser inteiro.
b = 21 e c = 11............Resulta b + c = 32
Logo, a = 512/32 = 16 azulejos. Portanto, essa é a resposta, alternativa “b”.
49. As colegas de sala Ana, Alice e Aurora foram comprar seus livros de Matemática.
Alice percebeu que havia esquecido sua carteira. Ana e Aurora pagaram pelos três
livros; Ana contribuiu com R$43,00 e Aurora com R$ 68,00. Quantos reais Alice
deve pagar para Ana e para Aurora, respectivamente?
a) R$ 18,50 e R$ 18,50
b) R$ 0,00 e R$ 37,00
c) R$ 25,00 e R$ 37,00
d) R$ 12,00 e R$ 25,00
e) R$ 6,00 e R$ 31,00
Resolução 49: Como Alice recebeu emprestada por Ana e Aurora, 43 reais e 68 reais
respectivamente; temos: 43 + 68 = 111. Agora podemos dividir este resultado por 3,
assim, teremos 111 ÷ 3 = 37. Portanto, o livro custa 37 reais. Fazendo 43 – 37 = 6 reais
que Alice tem que dar para Ana; enquanto temos 68 – 37 = 31 reais que Alice tem que
dar para Aurora. Portanto, alternativa “e” é a correta.
50. Joãozinho subtraiu o menor número de três algarismos diferentes do maior número
de três algarismos diferentes. Que resultado ele obteve?
a) 882
b) 883
c) 885
d) 886
e) 888
Resolução 50: O menor número de três algarismos diferentes é 102, e o maior número
de três algarismos diferentes é 987. Logo, 987 – 102 = 885. Portanto, alternativa “c”.
51. No retângulo ABCD da figura, M e N são os pontos médios dos lados AD e BC.
Qual é a razão entre a área da parte sombreada e a área do retângulo ABCD?
1
a) 5
1
b) 4
1
c) 3
1
d) 2
2
e) 3
Resolução 51:
Verificamos que cada lado sombreado tem um lado correspondente em branco então
1
vemos que há metade da figura sombreada, portanto a razão é de 2. Alternativa “d”
52. Qual é a soma dos algarismos do número 101 500 + 101 792 + 101 822 + 101 888 +
101 889?
a) 1
b) 5
c) 10
d) 1889
e) 1890
Resolução 52:
Sabendo que 10n pode ser escrito da forma 1 ⏟
0000 … 0
n zeros
Portanto podemos notar que:
101500 + 101792 + 101822 + 101888 + 101889 =
1⏟
000 … 0 + 1 ⏟
000 … 0 + 1 ⏟
000 … 0 + 1 ⏟
000 … 0 + 1 ⏟
000 … 0 =
1500 zeros
1792 zeros
1822 zeros
1888 zeros
1889 zeros
11000.
⏟ . .01000.
⏟ . .01000.
⏟ . .0 1 ⏟
000. . .0 . Logo a soma dos algarismos é 5.
65 𝑧𝑒𝑟𝑜𝑠
29 𝑧𝑒𝑟𝑜𝑠 291 𝑧𝑒𝑟𝑜𝑠 1500 𝑧𝑒𝑟𝑜𝑠
Alternativa “b”
53. No retângulo da figura temos AB = 6 cm e BC = 4 cm. O ponto E é o ponto médio
do lado AB. Qual é a área da parte sombreada?
a) 12 cm2
b) 15 cm2
c) 18 cm2
d) 20 cm2
e) 24 cm2
Resolução 53:
Calculando a área do triângulo em branco obtemos;
Podemos verificar que como E é ponto médio então EB mede 3 cm. Dai,
AT = (Base) x (Altura) = 3 x 4 = 6 cm2
2
2
Então a área sombreada é a diferença entre a área do quadrado e a área do triângulo,
portanto,
AS = AQ – AT = (6 x 4) – 6 = 24 – 6 = 18 cm2
Alternativa “c”
54. Um aluno compara as notas das 6 provas de Português que fez em 2004 e de outras
6, da mesma matéria, que fez em 2005. Ele repara que em 5 provas ele obteve as
mesmas notas nos dois anos. Na outra prova a nota foi 86 em 2004 e 68 em 2005.
Em 2004 a média aritmética das seis notas foi 84. Qual foi a média em 2005?
a) 78
b) 81
c) 82
d) 83
e) 87
Resolução 54:
Consideremos {
𝐴 − 𝑁𝑜𝑡𝑎𝑠 𝑑𝑒 2004
𝐵 − 𝑁𝑜𝑡𝑎𝑠 𝑑𝑒 2005
MA = N1 + N2 + N3 + N4 +N5 + 86
6
84 = N1 + N2 + N3 + N4 +N5 + 86
(Equação I)
6
MB = N1 + N2 + N3 + N4 +N5 + 68
6
Da (Equação I) temos:
84 = N1 + N2 + N3 + N4 +N5 + 86
6
N1 + N2 + N3 + N4 +N5 + 86 = 504
N1 + N2 + N3 + N4 +N5 = 418
(Equação II)
Como ele obteve 5 notas iguais, vemos que a soma das notas é 418, logo da (Equação
II) temos:
MB = N1 + N2 + N3 + N4 +N5 + 68
6
MB = 418 + 68
6
MB = 81
Alternativa “b”
55. No início de janeiro de 2006, Tina formou com colegas um grupo para resolver
problemas de Matemática. Eles estudaram muito e por isso, a cada mês, conseguiam
resolver o dobro do número de problemas resolvidos no mês anterior. No fim de
junho de 2006 o grupo havia resolvido um total de 1 134 problemas. Quantos
problemas o grupo resolveu em janeiro?
a) 12
b) 18
c) 20
d) 24
e) 36
Resolução 55:
Como a todo mês o grupo dobrava o número de questões respondidas, então
consideremos x a quantidade de questões respondidas em janeiro, logo a quantidade de
questões dos demais meses são:
Fevereiro - 2x, Março - 4x, Abril - 8x, Maio - 16x, Junho – 32x
Portanto temos:
X + 2x + 4x + 8x + 16x + 32x = 1134
63x = 1134
X = 18
Alternativa “b”