Os Elementos – Euclides de Alexandria • No Livro I Euclides

Os Elementos – Euclides de Alexandria
 No Livro I Euclides introduz 23 definições dentre as quais destacamos:
01.
Um ponto é aquilo que não tem partes;
02.
Uma linha é um comprimento sem largura;
15.
Um círculo é a figura plana fechada por uma linha tal que todos os segmentos sobre ela estejam e que passem por um
ponto determinado do interior da figura sejam iguais entre si;
23.
Retas paralelas são linhas retas que, estando no mesmo plano, prolongadas indefinidamente nos dois sentidos, não se
cruzam.

Na época de Euclides era comum diferenciar postulados de axiomas: enquanto os primeiros abrangiam áreas de
conhecimentos mais especificas (geometria), os últimos abrangiam áreas do conhecimento mais gerais (matemática).
Atualmente não ocorre esta diferenciação com frequência;

Após as definições elementares Euclides introduz cinco postulados e cinco axiomas para em seguida iniciar as
demonstrações de suas proposições.
o Postulados
i) “Uma linha reta pode ser traçada de um para outro ponto qualquer”;
ii) “É possível prolongar arbitrariamente um segmento de reta”;
iii) “E possível traçar um círculo com qualquer centro e raio”;
iv) “Dois ângulos retos quaisquer são iguais entre si”;
v) “Se uma reta, interceptando duas outras retas forma ângulos interiores do mesmo lado menores do que
dois ângulos retos, então as duas retas, caso prolongadas indefinidamente, se encontram do mesmo lado
em que os ângulos são menores do que dois ângulos retos”.
o

Axiomas
i) “Grandezas iguais a uma mesma grandeza são iguais entre si”;
ii) “Se a grandezas iguais forem adicionadas grandezas iguais, as somas serão iguais”;
iii) “Se grandezas iguais forem subtraídas de grandezas iguais, os resultados serão iguais”;
iv) “Grandezas que coincidem entre si são iguais”;
v) “O todo é maior do que suas partes”.
Atualmente os livros didáticos destacam os postulados em categorias:
o Postulados da existência
 “Numa reta, bem como fora dela, há infinitos pontos”.
 “Num plano há infinitos pontos”.
o Postulados da determinação
 “Dois pontos distintos determinam uma única (uma, e uma só) reta que passa por eles”.
 “Três pontos não colineares determinam um único plano que passa por eles”.
o Postulado da inclusão
 “Se uma reta tem dois pontos distintos num plano, então a reta está contida nesse mesmo plano”.
o
Postulados de transporte
 “Dados um segmento ̅̅̅̅
AB e uma semirreta de origem A′, existe sobre esta semirreta um único ponto B′
̅̅̅̅̅
tal que A′B′ seja congruente a ̅̅̅̅
AB”;

o
̂ B e uma semirreta ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
“Dados um ângulo AO
O′A′ de um plano, existe sobre este plano, e num dos
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ que forma com ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
semiplanos que ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
O′A′ permite determinar, uma única semirreta O′B′
O′A′ um ângulo
̂
̂
A′OB′ congruente ao ângulo AOB”.
Postulados da unicidade da paralela
 “Por um ponto passa uma única reta paralela a uma reta dada”.
Livro I: Possui 48 proposições quase todas sobre construções elementares.
Livro I – Proposição I: Construir um triângulo equilátero, dado o seu lado.
Dado o segmento 𝐴𝐵, pede-se um triângulo equilátero construído sobre 𝐴𝐵.
1)
Traça-se uma circunferência de centro 𝐴 e distância (raio) 𝐴𝐵. Seja 𝐵𝐶𝐷 essa circunferência (Postulado 3);
2)
Repita-se o processo tomando-se o centro 𝐵 e a distância 𝐵𝐴. Obtém-se a circunferência 𝐴𝐶𝐸 (Postulado 3);
3)
Traça-se as retas 𝐶𝐴 e 𝐵𝐶, unindo o ponto 𝐶, em que as circunferências se cortam, aos pontos 𝐴 e 𝐵 (Postulado 1);
Ora, sendo 𝐴 o centro do círculo 𝐶𝐷𝐵, segue-se que 𝐴𝐶 é igual a 𝐴𝐵 (Definição 15);
De modo análogo, sendo 𝐵 o centro de 𝐶𝐴𝐸, 𝐵𝐶 é igual a 𝐵𝐴 (Definição 15);
Mas já se mostrou que 𝐶𝐴 era igual a 𝐴𝐵; logo, os segmentos 𝐶𝐴 e 𝐶𝐵 são também iguais a 𝐴𝐵.
Mas 𝐶𝐴 é igual a 𝐶𝐵 (Axioma 1);
Em consequência, as linhas retilíneas 𝐶𝐴, 𝐴𝐵 e 𝐵𝐶 são iguais entre si.
Segue-se que o triângulo 𝐴𝐵𝐶 é equilátero e foi construído sobre um segmento dado, 𝐴𝐵.
Livro I – Proposição 2
Dois paralelogramos de bases e alturas respectivamente iguais, têm a mesma área.
Livro I – Proposição 47 (Teorema de Pitágoras)
Em triângulos retângulos, o quadrado construído sobre o lado que subtende o ângulo reto é igual à soma dos quadrados sobre
os lados que contêm o ângulo reto.
Livro I – Proposição 48 (Recíproca do Teorema de Pitágoras)
Se em um triângulo o quadrado de um dos lados é igual à soma dos quadrados dos outros dois, então o triângulo é retângulo.
Livro II
Com 14 proposições, quase todas sobre álgebra geométrica. Exemplos:
 Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição:
𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐

Produtos Notáveis
𝑎𝑏
𝑏2
(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2
𝑎2
𝑎𝑏
Livro II – Proposição 11 (Segmento Àureo)
Pode-se dividir uma linha reta em duas partes de modo que o retângulo contido pelo todo e uma das partes tenha área igual à
do quadrado sobre a outra parte.
Livro IX – Proposição 20
Números primos são mais do que qualquer quantidade fixada de números primos.


Comentar sobre Números Perfeitos;
Comentar sobre a divisão euclidiana;
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Comentar sobre o uso do algoritmo euclidiano para obtenção do MDC entre dois ou mais números;
Utilizar a Proposição 28 do Livro VI para resolver as equações:
𝑥 2 − 11𝑥 + 16 = 0 e 𝑥 2 − 11𝑥 − 16 = 0