seminar

Resumo
Caos Quântico
Raúl O. Vallejos
Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas
Rio de Janeiro
www.cbpf.br/~vallejos
Caos clássico
A velha teoria quântica
Caos Clássico
Caos quântico
UFBA, Salvador,
7-11-2007
1
História
2
Lorenz
3
Dinâmica regular vs. irregular
Exemplo de dinâmica regular: o pêndulo simples
Henri Poincaré (1895)
problema gravitacional de N corpos (Oskar II)
[estabilidade do sistema solar]
> o problema de três corpos não tem solução analítica
Edward Lorenz (1961) usando um computador para simular um
modelo de clima “descobre” a sensibilidade às condições iniciais
(efeito borboleta).
Jacques Hadamard (1898)
partícula livre numa superfície de curvatura negativa
constante
> sensibilidade exponencial às condições iniciais
sistema dissipativo, não hamiltoniano
4
5
Galileo 1602
C. Huygens 1656
6
1
O pêndulo ideal
O pêndulo ideal
Espaco de fases
pθ
θ
Similar à qualquer sistema de um grau de liberdade
7
Dinâmica irregular: o pêndulo duplo
8
O pêndulo duplo ideal
9
Uma trajetória (xy)
como é a dinâmica no
espaço de fases
(quatro dimensões)?
10
11
12
2
Espaço de fases: seção de Poincaré
Trajetórias q1-q2
Seção de Poincaré, energia baixa
θ1 , θ 2 , p1 , p2
exemplo:
θ1 = 0
θ 2 , p2
13
Dinâmica quase-periódica
14
Quase-periodicidade – Espaço de fases
15
Seção de Poincaré II
Espaço de fases folheado por toros
16
17
18
3
Trajetória caótica no plano q1-q2
Bilhares
Bilhares – seção de Poncaré-Birkhoff
Bunimovich (estádio)
Sinai
hipérbole
19
Uma trajetória
20
21
Dinâmica clássica – Resumo
sistemas integráveis
Mecânica Quântica
sistemas mistos
sistemas
completamente
caóticos
22
23
24
4
A velha mecânica quântica
Séries espectrais
Hidrogênio
Max Planck (1900) > hipótese quântica:
a energia é emitida ou absorvida em quantidades discretas
Albert Einstein (1905), efeito fotoelétrico (1839),
a luz consiste de fótons
n1 = 2
25
Balmer
1885
26
Séries
27
O átomo de Bohr
Einstein 1917
Niels Bohr 1913
∫ p dq
i
i
= 2π nh
depende das coordenadas
de separação
1≤ i ≤ l
∫γ ∑ p dq
i
∫ p dq
i
i
= 2π nh
regra de quantização
Sommerfeld 1915
k
i
= 2π nk h
i
integral em um período
28
29
30
5
Pergunta
Sistemas caóticos - Fórmula do traço
Hˆ , {ε k }, {ψ k }
ˆ
Uˆ = e − iHt / h
operador de evolução
estados ligados
Como se generalizam as fórmulas de quantização quando
a dinâmica clássica não é integrável?
∞
Einstein 1917
[RBEF 2005]
i
ˆ
Gˆ E+ = − ∫ dt e −iHt / h eiEt / h
h0
Caos Quântico
operador
de Green
Martin Gutzwiller
>1966
∞
i
tr Gˆ E+ = − ∑ ∫ dt e −i ( E −ε k )t / h
h k 0
− Im tr Gˆ E+ = π ∑ δ (E − ε k )
31
Fórmula do traço II
∞
∞
i
ˆ
Gˆ E+ = − ∫ dt eiEt / h e −iHt / h
h0
tr Gˆ E+ ∝ ∫ dt e iEt / h tr e −iHt / h
ˆ
32
Fórmula do traço III
ˆ
ˆ
ν
Propagador:
soma sobre caminhos
fechados (Feynman)
q→q
Limite semiclássico:
1) caminhos fechados → trajetórias fechadas de tempo t
2) trajetórias fechadas → trajetórias periódicas de período t
3) Fourier: tempo → energia
− Im tr Gˆ E+ = π ∑ δ (E − ε k ) ≈ C (E ) + Re ∑ Aν (E ) e i Sν ( E )/ h
k
ν
34
ρ (E ) ≈ ρ 0 ( E ) + Re ∑ Aν (E ) ei S ( E ) / h
ν
ν
0
tr e − iHt / h = ∫ dq q e − iHt / h q
33
Dificuldades
ρ (E ) = ∑ δ (E − ε k ) ≈ ρ 0 ( E ) + Re ∑ Aν (E ) ei S ( E ) / h
k
> Convergência (proliferação exponencial de órbitas)
trajetórias periódicas de energia E
Sν (E )
ação
Aν (E )
amplitude, estabilidade
densidade de níveis
k
> Esquemas alternativos (regularização)
sistemas caóticos: Gutzwiller
bilhares: Balian & Bloch
sistemas integráveis: Berry & Tabor
35
Michael Berry
Jonathan Keating
36
6
Verificações
Densidade de níveis para bilhares
1. Problema de Kepler anisotrópico, Gutzwiller 1982
ρ (E ) ≈ ρ 0 ( E ) + Re ∑ Aν (E ) e
Bilhares
2. Bilhar hipérbole, Keating & Sieber 1994
ρ fl (k ) =
1
p
(hk )
=
2m
2m
1
Re ∑
2π
p ,m
 
lp
µ pπ
exp im  kl p −
mα p
2
 
sinh
2
d
ρ fl (k ) = − Im ln Z (k )
π
dk
ν
2
2
E=
Função Z dinâmica – Determinante espectral
i S ( E )/ h
André Voros 1988



ν → p, m
37


µπ
Z (k ) = ∏ 1 − exp i  kl p − p
2
p ,m 


 
1   
 −  m + α p  
2   
 
p: órbitas periódicas primitivas
m: repetições
Ainda exige regularização !
38
Conclusões
Outra pergunta
39
Espectro nuclear
Que particularidades exibe a mecânica quântica de sistemas
classicamente caóticos?
Êxito para alguns sistemas simples,
muito difícil em geral
Resposta:
Domínio de validade?
(1) flutuações espectrais universais, para um sistema fechado
(2) flutuações universais das seções de choque, para sistemas
de espalhamento
Outras questões interessantes ...
espectroscopia de neutrons lentos (tempo de vôo)
Flutuações universais <==> Teoria das matrizes aleatórias
40
Quantidade estatística de interesse:
distribuição de espaçamentos entre níveis consecutivos.
41
42
7
Teoria das matrizes aleatórias
simetria de
reversão temporal?
Teste II
Wigner 1950’s
Descrição de mínima informação:
hamiltoniano nuclear
Teste I
1730 níveis,
diferentes
núcleos
ensemble de matrizes aleatórias
SIM:
matrizes
reais
simétricas
NÃO:
matrizes
complexas
hermitianas
elementos
independentes e
gaussianamente
distribuídos
repulsão
linear
43
Hipótese RMT
44
45
Hipótese RMT II
Sistemas abertos
740 níveis,
diferentes
valores de R
Oriol Bohigas
46
47
48
8
Flutuações universais da condutância
dispositivos
submicrométricos
+
baixas temperaturas
(<100mK)
Cavidades caóticas vs integráveis
Exemplo de flutuações da condutância
transporte
coerente
quântico
Marcus et al 1992
49
Teoria vs simulação
Flutuações mesoscópicas - Teoria
G=
2e 2
h
∑ S ab
2
a∈L
b∈R
coeficiente
de transmissão
S
50
Chang et al 1994
média sobre 48 pontos
51
Não universalidade
T ∝G
Fórmula de Landauer
freqüências, temperatura, voltagem
baixas,
interação e-e desprezível
simulação versus
RMT
(ensembles
circulares)
matriz de espalhamento
(unitária)
caos!
S
ensemble de matrizes unitárias
COE, CUE
52
53
54
9
A função z de Riemann
O teorema dos números primos (PNT)
∞
1
, Re ( s) > 1
s
n =1 n
ζ ( s) = ∑
ζ ( s) =
Tópico especial
1
∏ 1− p
−s
π ( x) = # {p < x}
+ extensão analítica
π ( x) ~
fórmula de Euler (1737)
primos
x
, x→∞
ln x
conjecturas: Gauss, Legendre ~1800
provas: Hadamard, de la Vallée Pousin 1896
existem infinitos primos (Euclides, -300)
1
∑ p =∞
provas baseadas em propriedades dos zeros da
função Z de Riemann
p
55
56
Os zeros de z(s)
Zeros de z(s). II
0 ≤ Re( s ) ≤ 1
s = −2,−4,−6,K
57
Primos & zeros de z(s)
faixa crítica
zeros não triviais
Se a conjectura de Riemann for verdadeira então:
zeros triviais
Conjectura de
Riemann:
os zeros não triviais
ficam na
linha crítica
Re( s ) =
58
x
dν
≤ c x ln x
lnν
2
π ( x) − ∫
1
2
59
60
10
Prêmio
Conjectura de Hilbert-Pólya
Zeta function & RMT
Existe um operador hermitiano tal que seus autovalores
correspondem às partes imaginárias dos zeros da função
zeta de Riemann
A. M. Odlyzko 1987
GUE
ε k : ζ (12 + i ε k ) = 0
61
Analogia
62
63
Conjectura
Bilhares


µ pπ
Z (k ) = ∏ 1 − exp i kl p −
2
p ,m 


 
1   
 −  m + α p  
2   
 
Zeta de Riemann


~ 
1  
~ 1

Z  + i k  = ∏ 1 − exp − i k l p −  m + α~p  
2  
2
 p,m 


p : primo
~
l p = ln p
α~ = ln p
p
Fim
−1
Berry 1986
64
65
66
11