Desenvolvimento do Princípio de Cavalieri atráves da integral de

Desenvolvimento do Princípio de Cavalieri atráves da integral de Riemann
Rayani Melega
Orientadora: Sueli Mieko Tanaka Aki
Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação
Depatamento de Matemática - USP - São Carlos - S.P.
1 Objetivo.
A integral de Riemann, criada por Bernard Riemann, foi a primeira definição rigorosa de integral
de uma função em um intervalo. Os objetivos do
presente trabalho são definir rigorosamente a integral como limite de somas de Riemann, usar
esse conceito para calcular o volume de um determinado sólido e com essas ferramentas introduzir e aplicar o Princípio de Cavalieri. Observamos que esse trabalho está voltado principalmente para os alunos que cursam Licenciatura em
Matemática, por isso o cuidado de realizar uma
apresentação interessante e útil levando em conta
a especificidade do curso.
2 Métodos.
A definição da integral de Riemann depende muito
explicitamente da estrutura de ordem da reta, portanto nesse trabalho será estudado a integração
de funções reais em intervalos fechados. Para
chegarmos na definição da integral de Riemann
será usado como elemento motivador a idéia de
área, entretanto a integral se descreve em termos
puramente numéricos. Obtida a integral como o
limite de uma soma, o próximo passo é relacionála com o volume de um sólido que possui a propriedade que para todo x ∈ [a, b], o plano perpendicular ao eixo Ox em x intercepta o sólido em
uma seção transversa, cuja área é A(x), onde A
é uma função contínua em [a, b].
3 Resultados.
Seja f : [a, b] → R uma função positiva. Consideremos o problema de definir a área da figura
delimitada pelo gráfico de uma função positiva
f, pelo eixo dos x e por duas retas x = a e
x = b. Seja P = {x0 , x1 , x2 , ...xn } uma partição de
[a, b], e ξ1 , ξ2 , ..., ξn um pontilhamento de P , onde
ξ1 ∈ [xo , x1 ] , ξ2 ∈ [x1 , x2 ] , .., ξn ∈ [xn−1 , xn ] e
∆x1 = x1 −x0 , ∆x2 = x2 −x1 ,..., ∆xn = xn −xn−1 .
A soma de Riemann é dada por
Sn =
n
X
f (ξi )∆xi
(1)
i=1
Considerando uma sequência infinita dessas somas correspondentes a diferentes partições. O
valor limite, à medida que n cresce acima de qualquer número dado, é o que devemos tomar como
sendo a área da figura delimitada pelo gráfico de
f . Portanto, por definição temos que a integral de
Riemann é
Z b
n
X
f (x)dx = lim
f (ξi )∆xi .
(2)
n→∞
a
i=1
O volume do sólido descrito acima, pode ser
definido através da integral de Riemann,
Z b
n
X
Vsólido = lim
A(ξi )∆xi =
A(x)dx. (3)
n→∞
i=1
a
Sendo assim, conseguimos uma aplicação muito
útil e interessante dessa maneira intuitiva de conceber integral como soma de infinitos elementos
infinitesimais que é o Princípio de Cavalieri para
volumes que diz “Se dois sólidos são tais que, relativamente a um mesmo eixo Ox, suas seções
transversais correspondentes à mesma abscissa
x têm áreas iguais A(x), então eles têm volumes
iguais". Aplicando o Princípio de Cavalieri podemos obter o volume da esfera comparando-a com
um cone circular reto e um cilindro circular reto,
ambos com raios da base iguais ao da esfera.
Portanto,
4πR3
(4)
Vesf era =
3
4 Conclusões.
Com o desenvolvimento dessa teoria podemos,
aplicar o Pricípio de Cavalieri em problemas muito
interessantes para graduandos em Licenciatura
Matemática, como por exemplo o cálculo do volume da esfera que é um resultado que deve ser
demonstrado no ensino médio.
5 Referências Bibliográficas.
[1] Ávila, G. - Análise Matemática para Licenciatura.
[2] Rudin, Walter - Princípios de Análise
Matemática.
[3] Boyer, Carl B. - História da Matemática.
[4] Guidorizzi, H. L. - Um Curso de Cálculo.
[5] Figueiredo, D. G. - Análise na Reta.