Ano Lectivo 2007/2008 Opções Financeiras e Reais

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ESCOLA SUPERIOR DE GESTÃO DE TOMAR
OGE / Ramo Gestão Financeira – 3.º Ano
Ano Lectivo 2007/2008
Opções Financeiras e Reais
Exercícios Práticos – Caderno N.º 3
1) - Considere uma acção cujo preço actual é 20€ e que no final do próximo período de três meses, o
seu valor poderá ser 22€ ou 18€. Admita que estamos interessados em valorizar uma opção de compra
europeia com preço de exercício de 21€. A taxa de juro sem risco, com capitalização trimestral, é 12%.
a) - Construa uma carteira, constituída por acções e obrigações, que replique o valor desta opção de
compra.
b) - Qual o valor da opção de compra?
2) - Considere uma acção cujo preço actual é 40 e que no final do próximo período de um mês, o seu
valor poderá ser 42€ ou 38€. Admita que estamos interessados em valorizar uma opção de compra
europeia com preço de exercício de 39€. A taxa de juro sem risco, com capitalização mensal, é 8%.
3) - Considere uma acção cujo preço actual é 23€. No final do próximo período, o seu valor poderá ser
30€ ou 19€. Admita que estamos interessados em valorizar uma opção de compra europeia com preço
de exercício de 20€. A taxa de juro sem risco é 5% por período.
a)- Construa uma carteira, constituída por acções e obrigações, que iguale o valor da opção de compra
no final do período.
b)- Qual o valor da opção de compra?
4)- O preço actual de uma acção é 100. Nos próximos dois períodos de seis meses espera-se que suba
10% ou desça 10%.A taxa de juro, com capitalização semestral, é 8% ao ano.
a)- Qual o valor de uma opção de compra europeia, com preço de exercício de 100?
b)- Construa em cada nó da árvore uma carteira, constituída por acções e obrigações, que replique o
valor da opção de compra.
5) - Considere o modelo binomial de valorização de opções. Sabe-se que o valor actual da acção é 50 e
que no próximo período pode subir para 55 ou descer para 45. Se a taxa de juro sem risco, com
capitalização contínua, for 10 %, qual o valor de uma put europeia, com maturidade a seis meses e com
preço de exercício de 50? E qual o valor de uma call europeia com o mesmo preço de exercício?
Construa uma carteira, constituída por acções e obrigações, que iguale o valor da opção de venda
europeia no final do período.
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João Rosa Lopes
6) – O preço de uma acção é 50. Este preço poderá subir 6% ou descer 5% nos próximos períodos de
três meses. A taxa de juro sem risco é 5% ao ano com capitalização trimestral. Qual o valor de compra
de uma opção de venda europeia, com maturidade a sais meses e preço de exercício 51?
7) - Considere a acção A, cuja cotação actual é 80 e a obrigação B com taxa de cupão 7,88% (pagos
trimestralmente), preço 990 e maturidade de três meses. Utilizando o modelo binomial de avaliação de
opções, calcule o valor de uma put europeia sobre a acção A, com maturidade a três meses e preço de
exercício de 80, sabendo que a cotação da acção daqui a três meses será 70 ou 90. Identifique a
oportunidade de arbitragem no caso de o preço da opção ser 3,5.
8) – Admita que o preço actual de uma acção é 120, e que no próximo ano ou subirá 10% ou descerá
20%. A taxa de juro sem risco, com capitalização contínua, é 6%.
Determine o preço de uma opção de compra europeia, com maturidade a um ano e preço de exercício
130. Qual a probabilidade que o preço da acção suba?
9) - Considere a seguinte árvores binomial onde se indicam alguns dos preços que a acção DOW, Sa,
assumirá nos próximos dois meses. A taxa de juro sem risco é 4,00% ao ano, com capitalização
bimensal.
56,25
6,25
45
40,5
0
Tempo
0,0000
0,1667
0,3333
a) – Assumindo que o processo de formação de preços da acção é estacionário ao longo do tempo,
calcule o valor de uma opção de compra sobre esta acção.
b) - Construa uma carteira, constituída por acções e obrigações, que replique o valor da opção de
compra.
10) – Uma acção vale 60 euros hoje. Dentro de um ano o seu preço pode subir ou descer 15%. A taxa
de juro é 6%. Qual o preço de uma opção de compra americana com maturidade a 3 anos e preço de
exercício de 70€? E qual o preço de uma opção de venda, com a mesma maturidade e preço de
exercício de 65€?
11) – Suponha uma acção com o preço actual de 80€, u=1,5 e d= 0,5. A taxa de juro sem risco é 10% ao
ano. Calcule o valor de uma Call europeia com preço de exercício 60 e maturidade a dois anos
recorrendo ao modelo binomial com dois períodos. E qual o preço de uma Call americana?
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João Rosa Lopes
Considera agora que a empresa paga um dividendo no fim do primeiro ano para aqueles que detiveram
a acção no período anterior e tudo o resto igual. Qual o valor de uma Call europeia? E qual o valor de
uma Call americana?
12) - Calcule o preço de uma call europeia e de uma call americana, sem dividendos, e com maturidade
a três meses, quando o preço da acção é 60, o preço de exercício 60, a taxa de juro sem risco é 10% e a
volatilidade é 45%/ano. Utilize uma árvore binomial com intervalos de tempo de um mês.
13) – Utilize o modelo binomial multi-período para determinar o valor de uma call que tem uma
maturidade de 4 meses e preço de exercício de 30. A acção está cotada a 35. A acção pode subir 105
ou descer 7% por mês. A taxa de juro sem risco é 7%, com capitalização mensal.
14) - Calcule o preço de uma call americana, sobre o trigo, e com maturidade a nove meses, quando o
preço do cereal é 198 cêntimos, o preço de exercício 200 cêntimos, a taxa de juro sem risco é 8% e a
volatilidade é 30%/ano. Utilize uma árvore binomial com intervalos de tempo de três meses.
15) - Uma call e uma put europeias, sobre a mesma acção, têm maturidade a 150 dias e preço de
exercício de 100. O preço actual da acção é 95€ o desvio padrão é 0,25. A taxa de juro sem risco é 11
%.
a)- Utilizando o modelo binomial com três períodos, determine os preços destas opções.
b)- Considere agora que a acção distribui um dividendo de 2% do seu valor no dia 80. Nestas
circunstâncias qual o valor das opções?
c)- Recalcule os preços das opções considerando, em alternativa, que a acção distribui um dividendo
1,9€ no dia 80.
d)- Refaça os cálculos das alíneas anteriores, considerando agora que as opções são americanas.
16) - O preço de uma acção é 95 e o desvio padrão é 30%. A taxa de juro sem risco é 8%.
a)- Utilizando o modelo binomial com três períodos determine o preço de uma opção de compra europeia
com preço de exercício de 100 e maturidade a 6 meses.
b) - Admita agora que a acção paga um “dividend yield” de 2% sobre o seu valor, no dia 110. Qual o
valor da opção?
c)- Considerando ainda os dados da alínea a), considere agora que a empresa distribui um dividendo
discreto de 2, no dia 110. Qual deverá ser o preço da opção de compra?
1) - Uma call e uma put, sobre a mesma acção, têm maturidade a 180 dias e preço de exercício de 100.
O preço actual da acção é 120 e o desvio padrão é 0.40. A taxa de juro sem risco, com capitalização
contínua, é 8%. Considere agora que a acção distribui um dividend yield de 3% no dia 55.
a)- Aplicando o modelo de Merton, determine o valor das opções?
b)- Refaça os cálculos da alínea anterior, utilizando o modelo binomial com três períodos
18) - Considere uma opção de compra americana, sobre um activo que transacciona ex-dividendo no
período T=2, com maturidade a três meses, em que:
Preço do activo no mercado à vista = 20 €;
-Taxa de juro sem risco = 5%;
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João Rosa Lopes
Preço de exercício = 22 €;
-Volatilidade = 40% ao ano;
Dividendo = 1.
a)- Determine, utilizando o modelo binomial, o valor do activo previsto para cada nó.
b)- Qual o valor da opção?
(Nota: Para efeitos da construção da árvore binomial, considere a vida da opção dividida em intervalos
de um mês)
19) - Considere uma opção de venda americana, sobre um activo que não paga dividendos, com
maturidade a cinco meses, em que:
Preço do activo no mercado à vista = 50€;
-Taxa de juro sem risco = 10%;
Preço de exercício = 50€;
-Volatilidade = 40% ao ano.
a) -Determine, utilizando o modelo binomial, o valor do activo previsto para o nó definido por j = 0 ( j é o
índice para os movimentos de subida) e no período três.
b) -Qual o valor previsto da opção nesse nó?
(Nota: Para efeitos da construção da árvore binomial, considere a vida da opção dividida em
intervalos de um mês)
20) - Considere uma opção de compra americana, sobre um activo que não paga dividendos, com
maturidade a 150 dias, em que:
-Preço do activo no mercado à vista = 70 €;
- Taxa de juro sem risco = 9%;
-Preço de exercício = 70€;
- Volatilidade = 35% ao ano.
a) -Determine, utilizando o modelo binomial, o valor do activo previsto para o nó definido por j = 1 (j é
o índice para os movimentos de subida) e no período três.
b) -Qual o valor previsto da opção nesse nó?
(Nota: Para efeitos da construção da árvore binomial, considere a vida da opção dividida em intervalos
de um mês)
21) - O preço de uma acção é 60, o desvio padrão é 30% e existe uma opção de venda americana com
preço de exercício de 55 e com maturidade a seis meses, sendo a taxa de juro sem risco de 6%. Um
dividendo de 1,5 deverá ser pago exactamente antes de T=2.
a) - Determine, utilizando o modelo binomial, o valor do activo previsto para o nó definido por j = 2 (j é o
índice para os movimentos de subida) e no período três.
b) – Qual o valor previsto da opção nesse nó?
(Nota: Para efeitos da construção da árvore binomial, considere a vida da opção dividida em 5 períodos)
c)- Através da paridade put-call determine o valor da opção de compra tendo como base os mesmos
dados.
22) – O preço de uma acção é 50€, o desvio padrão é 35% e existe uma opção de venda americana com
preço de exercício de 45€, e com maturidade a seis meses, sendo a taxa de juro sem risco de 5%. Um
dividendo de 1,5€ deverá ser pago exactamente antes de T=4.
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João Rosa Lopes
a) - Determine, utilizando o modelo binomial, o valor do activo previsto para o nó definido por j = 1 (j é o
índice para os movimentos de subida) e no período três. (Nota: Para efeitos da construção da árvore
binomial, considere a vida da opção dividida em 5 períodos)
b) – Qual o valor previsto da opção nesse nó?
23) - Considere o modelo binomial de valorização de opções. Sabe-se que o valor actual da acção é 20€
e que em cada um dos próximos períodos pode subir 10% ou descer 5%. A taxa de juro sem risco é 0%
e a empresa distribui um dividendo de 1€ imediatamente antes do final do segundo período.
a)- Calcule o valor de uma "call" europeia emitida sobre esta acção, com de exercício igual a 20€ e
maturidade a três meses. (Considere o tempo dividido em 3 períodos).
b)- Calcule o valor de uma opção de compra americana emitida sobre a mesma acção.
24) – Considera uma Call e uma Put europeias, com maturidade a 150 dias e preço de exercício de 100.
O preço da acção subjacente é 95 e tem um desvio padrão de 25%. A taxa de juro sem risco é 11%.
Recorrendo ao modelo binomial com 3 períodos determine o valor destas opções.
Admita agora que acção paga um dividendo de 2% do seu valor exactamente antes do dia 100.
Recalcule o valor das opções.
Alternativamente considere um dividendo de 2€. Neste caso qual o valor das opções?
25) Considere uma opção de venda europeia, com maturidade a seis meses, e sobre uma acção que se
espera que pague um dividendo de 3€ por acção exactamente antes do mês quatro e outro dividendo de
3€ exactamente antes do mês oito. O preço actual da acção é 75€, o preço de exercício é 75€, a taxa de
juro sem risco é 5% e a volatilidade da acção é 35% por ano.
a) - Determine o valor da opção, utilizando a binomial directa (Divida o período de vida da opção em
intervalos de dois meses)
b) – Refaça os cálculos, considerando agora que estamos perante uma opção de venda americana.
26) – Considere uma opção de compra europeia, com maturidade a um ano, e sobre uma acção que se
espera que pague um dividendo de 4€ por acção exactamente antes do mês três. O preço actual da
acção é 90€, o preço de exercício é 90€, a taxa de juro sem risco é 5% e a volatilidade da acção é 35%
por ano.
a) - Determine o valor da opção, utilizando a binomial directa (Divida o período de vida da opção em
intervalos de três meses)
b) – Refaça os cálculos, considerando agora que estamos perante uma opção de compra americana.
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