2. fatoração em números primos

2016
Matemática e Raciocínio Lógico – Damares Pavione
Capítulo 1 • Múltiplos e divisores
151
CAPÍTULO 1
MÚLTIPLOS E DIVISORES
1. NÚMERO PRIMO
Um número será primo quando não for divisível por nenhum outro número além de
1 e ele mesmo. Por exemplo, o número 13 só é divisível por 1 e por 13, portanto, é primo.
Observação: o número 1 não é um número primo.
Os primeiros números primos são fáceis de serem identificados. São eles: 2; 3; 5;
7; 11; 13; 17; 19; 23; etc.
2. FATORAÇÃO EM NÚMEROS PRIMOS
Todo número não primo pode ser decomposto em números primos. A esta decomposição chamamos de fatoração em números primos.
Para exemplificar, vamos fatorar o número 420.
•
Busca-se o menor número, maior que 1, que divida o número 420 e que a divisão
não tenha restos, ou seja, que o quociente (resultado da divisão) seja um número
inteiro. Neste caso foi o número 2. Este número encontrado para a divisão será um
número primo.
•
Realizada a divisão do número 420 por 2 (420 ÷ 2 = 210), busca-se agora o menor
número primo que dividirá o número 210 sem deixar restos. (210 ÷ 2 = 105).
•
Repete-se este processo até chegar ao número 1.
420
210
105
35
7
1
2
2
3
5
7
A decomposição do número 420 em números primos será:
420 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7
3. CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE
Em muitos cálculos precisamos saber se um número é divisível por outro ou não.
152
CORREIOS – Doutrina • Volume Único
É possível estabelecer algumas regras práticas para detectarmos um divisor. Conhecer
os principais critérios de divisibilidade auxilia, por exemplo, ao realizar a fatoração em
números primos.
Atente-se principalmente aos critérios de divisibilidade por 2; 3; 4 e 5. Estes critérios
são os mais usuais e requeridos nas operações.
A Divisibilidade por 2
Um número é divisível por 2 quando ele é par.
Exemplo: 2; 8; 18; 456.
B Divisibilidade por 3
Para ser divisível por 3, a soma dos algarismos que formam um determinado número
tem que ser divisível por 3.
Exemplos:
•
54 5+ 4 = 9 9 é divisível por 3, então, 54 também é divisível por 3.
•
354 3 + 5 + 4 = 12 Novamente testa-se o número 12 quanto à divisibilidade
por 3.
•
12 1 + 2 = 3 3 é divisível por ele mesmo. Assim, 354 é divisível por 3.
C Divisibilidade por 4
Para detectar um número divisível por 4, é necessário que o número formado pelos dois algarismos da direita do número em questão, seja divisível por 4, ou quando o
número terminar em 00.
Veja os exemplos.
•
2300 é divisível por 4, pois termina em 00;
•
6512 é divisível por 4, pois termina em 12, que é divisível por 4.
D Divisibilidade por 5
Para ser divisível por 5 basta o número terminar em 0 ou 5.
Exemplo: 5; 90; 650.
E Divisibilidade por 6
Quando um número é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo, este também é
divisível por 6.
Confira os exemplos.
•
864 é divisível por 2, pois é par. É divisível por 3, pois 8 + 6 + 4 = 18, e
18 é divisível por 3. Logo, 864 é divisível por 6.
•
82 é divisível por 2, pois é par. Entretanto, não é divisível por 3, pois
8 + 2 = 10, e 10 não é divisível por 3. Assim, 82 não é divisível por 6.
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Capítulo 1 • Múltiplos e divisores
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F Divisibilidade por 8
Para um número ser divisível por 8, é necessário que ele termine em 000, ou que
o número formado pelos três últimos algarismos seja divisível por 8.
Exemplos:
•
1000 é divisível por 8, pois termina em 000.
•
54064 é divisível por 8, pois os três últimos algarismos são 064 e, 64 é
divisível por 8.
G Divisibilidade por 9
Semelhante ao que ocorre no critério de divisibilidade por 3, para reconhecer-se
um número divisível por 9, basta a soma dos algarismos ser um número divisível por 9.
•
891 8 + 9 + 1 = 18 18 é divisível por 9, então, 891 é divisível por 9.
H Divisibilidade por 10
É o critério mais reconhecido. Basta o número terminar em zero e ele será divisível
por 10. Exemplo: 70; 110; 2340.
4. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM
Para obtermos os múltiplos de um número, basta multiplicarmos este número por
números inteiros. Um número tem infinitos múltiplos. Observe que o zero é múltiplo
de todos os números, e que um número é sempre múltiplo dele mesmo.
Os múltiplos do número 5 estão descritos a seguir.
•
0; 5; 10; 15; 20; 25; 30; etc..
•
5×0=0
•
5×1=5
•
5 × 2 = 10
•
5 × 3 = 15
•
5 × 4 = 20
•
5 × 5 = 25
•
5 × 6 = 30
Agora observe a sequência dos múltiplos de 5 e de 4
•
Múltiplos de 5: 0; 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40; 45; etc...
•
Múltiplos de 4: 0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40; 44; etc...
Há alguns múltiplos de 4 que também aparecem na lista dos múltiplos de 5. Como
o 20 e o 40. Dizemos que estes são múltiplos em comum entre 4 e 5. Ao primeiro múl-
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CORREIOS – Doutrina • Volume Único
tiplo comum chamamos de MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC). Neste caso, o
MMC entre 4 e 5 é igual a 20.
Os problemas que exigem o uso de Mínimo Múltiplo Comum (MMC), em geral,
envolvem situações cíclicas, que ocorrem de tempo em tempo.
Demonstraremos a seguir dois métodos de se encontrar o MMC entre dois ou
mais números e em seguida, através das questões resolvidas, exporemos o uso do MMC.
A Método para encontrar MMC entre dois ou mais números (1° método)
MMC entre os números 15; 30 e 40:
•
Busca-se o menor número maior que 1 (que será um número primo), que
divida pelo menos um dos três números (com quociente inteiro). Neste caso
foi o número 2.
15; 30; 40 2
•
Divide-se então, os números 30 e 40 por 2 e repete-se o número 15, pois ele
não é divisível por 2.
15; 30; 40 2
15; 15; 20
•
Analisa-se novamente para encontrar o menor número que divida pelo menos
um dos números à esquerda. Novamente escolhemos o 2 que divide pelo menos
um dos três números. Repete-se os dois números 15.
15; 30; 40 2
15; 15; 20 2
15; 15; 10
•
Repete-se este processo até que todos os números cheguem ao número 1.
15; 30; 40
15; 15; 20
15; 15; 10
15; 15; 5
5; 5; 5
1; 1; 1
•
2
2
2
3
5
O MMC será o resultado da multiplicação dos números à direita da barra.
2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 120
MMC (15; 30; 40) = 120
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Capítulo 1 • Múltiplos e divisores
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B Método para encontrar MMC entre dois ou mais números (2° método)
MMC entre os números 15; 30 e 40:
Outra maneira de se encontrar o MMC é:
•
Realizar a fatoração dos números desejados;
•
Reunir os números iguais, colocando-os sob a forma de potências, e;
•
Em cada número fatorado retirar os números de maior expoente.
15 3
ቑ3×5
5 5
1
30
15
5
1
2
3 ቑʹ× 3 × 5
5
40
20
10
5
1
2
2
2
5
ቑʹ³ × 5
Os números que apareceram nas fatorações foram:
•
Número 3: apareceu na fatoração dos números 15 e 30, ambos com expoente
igual a 1.
•
Número 5: apareceu nas três fatorações. Em todas as três com expoente igual
a 1.
•
Número 2: apareceu nas fatorações dos números 30 e 40, com expoentes iguais
a 1 e a 3, respectivamente.
Agora, selecionam-se todos os números que aparecem nas fatorações. Quando o
número aparece em mais de uma fatoração, seleciona-se o de maior expoente.
Os números de maiores expoentes são: 3 ∙ 5 ∙ 2³ = 120
MMC (15; 30; 40) = 120
Sobre o tema, a banca examinadora propôs a seguinte questão no concurso para
Agente dos Correios – Carteiro em 2011: Em um bairro onde as casas foram todas
construídas de acordo com um projeto padrão, os lotes têm 12 metros de frente, em cada
lote a caixa de correspondências fica sempre na mesma posição e os postes de iluminação
pública são espaçados em 50 metros. O carteiro que entrega correspondências nesse bairro
percebeu que a caixa de correspondências da primeira casa de uma rua bastante longa
fica exatamente atrás de um poste de iluminação. Nesse caso, caminhando nessa rua e
desconsiderando os possíveis espaços entre dois lotes vizinhos, até que encontre a próxima
caixa de correspondências atrás do poste de iluminação, o carteiro deverá percorrer uma
distância igual a: 300 metros.
€ RESOLUÇÃO
Foi dito que as caixas de correspondência ficam sempre na mesma posição do lote.
Logo, podemos concluir que a distância entre as caixas é sempre de 12 metros.
156
CORREIOS – Doutrina • Volume Único
Sabemos também que os postes de iluminação distam 50 metros um do outro.
Um poste de iluminação irá coincidir com uma caixa de correspondência nos múltiplos em comum entre 12 e 50.
Como foi questionado o encontro mais próximo entre poste e caixa, temos que
encontrar o primeiro múltiplo em comum, o MMC entre 12 e 50.
12; 50
6; 25
3; 25
1; 25
1; 5
1; 1
2
2
3
5
5
MMC (12; 50) = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 5
MMC (12; 50) = 300
A caixa de correspondência se encontrará exatamente atrás do poste de iluminação
a cada 300 metros.
Ainda sobre o tema, a seguinte questão foi proposta pela banca examinadora no
concurso para Agente dos Correios – Atendente Comercial em 2011: Considere que
3 carretas façam, repetidamente, viagem de ida e volta entre determinada editora e um
centro de tratamento da ECT em 4 dias, 5 dias e 6 dias, respectivamente, e, ao completar
um percurso de ida e volta, elas retomem imediatamente esse percurso. Se, em certo dia,
as 3 carretas partirem simultaneamente da editora, então elas voltarão a partir juntas
novamente dessa editora após: 60 dias.
€ RESOLUÇÃO
Para descobrirmos o dia que os três caminhões se encontrarão precisaremos achar
um múltiplo comum entre 4; 5 e 6. Como desejamos saber o próximo dia em que elas
se encontrarão, temos que achar o Mínimo Múltiplo Comum.
Vamos encontrar o MMC através do segundo método.
4 2
2 2
1
2²
5 5
1
5
6
3
1
MMC (4; 5; 6) = 2² x 5 x 3
MMC (4;5;6) = 60
Os caminhões voltarão a partir juntos após 60 dias.
2
3
2×3
Matemática e Raciocínio Lógico – Damares Pavione
Capítulo 1 • Múltiplos e divisores
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Observe mais uma questão proposta pela banca examinadora no concurso para
Agente de correios – Operador de Triagem e Transbordo no ano de 2011: Uma
empresa confeccionou catálogos dos tipos A e B para presentear seus clientes. Um catálogo do tipo A pesa 240 g e um do tipo B, 350 g. Os catálogos foram organizados em
pacotes, contendo cada um deles apenas catálogos de um mesmo tipo. Com base nas
informações do texto, é correto afirmar que, se todos os pacotes tiverem o mesmo peso
e se esse peso for inferior a 10 kg, então cada pacote pesará: 8,4 Kg.
€ RESOLUÇÃO
O peso dos pacotes será formado por múltiplos de 240 g e 350 g. Os pacotes terão
240 gramas vezes o número de catálogos, ou 350 gramas vezes o número de catálogos.
Perceba que não foi dito que os pacotes possuem o mesmo número de catálogo,
apenas que possuem o mesmo peso.
Assim, temos que encontrar um múltiplo comum entre 240 e 350 menor que 10
quilos, ou seja, menor que 10.000 gramas. VEJA O CAPÍTULO DE UNIDADES DE
MEDIDAS.
Vamos começar pelo primeiro múltiplo comum, o mínimo múltiplo comum.
240; 350
120; 175
60; 175
30; 175
15; 175
5; 175
1; 35
1; 7
1: 1
2
2
2
2
3
5
5
7
MMC (240; 350) = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 7
MMC (240; 350) = 8400
O primeiro múltiplo comum entre 240 e 350 é 8.400, que é menor que 10.000
gramas. Estes dois números terão múltiplos em comum a cada 8.400.
8400
16800
+8400
25200
+8400
33600
+8400
O próximo múltiplo comum será 16.800 gramas, que ultrapassam os 10 quilos.
Assim, sabemos que os pacotes pesarão 8,4 quilos, ou 8.400 gramas.
5. MÁXIMO DIVISOR COMUM
Os divisores de um número são aqueles que quando dividem o número em questão
resultam em um quociente inteiro, sem restos.