laplace aplicada a circuitos

TENSÕES E CORRENTES
TRANSITÓRIAS E
TRANSFORMADA
DE
LAPLACE
PRINCIPAIS SINAIS NÃO SENOIDAIS
Degrau de amplitude E - É um sinal que vale 0 volt para t < 0 e vale E volt,
constante, para t >0. Ver fig. 1-a.
v
E
E
0
0
R
v
t
(a)
(b)
Fig. 1
A fig. 1-b mostra um exemplo da geração desse sinal. Com a chave aberta, a tensão em
R é igual a zero volt. Com a chave fechada tem-se, em R, a tensão E volt. Supondo que
a chave fechou no instante t = 0, tem-se o sinal na forma de degrau mostrado na fig. 1.a.
Degrau unitário – É o degrau em que o valor para t > 0 é 1. Neste caso ele é
designado por u (t ) . Ver fig. 2.
u (t )
1
0
0
−
0
t
0+
Fig. 2
Uma dúvida que se poderia ter seria sobre o valor da função para t = 0, uma vez que,
pela figura 2, vemos que o valor pode ser qualquer um entre zero e 1.
Por convenção, em t = 0, a função u (t ) é descrita analiticamente pelas expressões:
Para t = (0 − )
u (t ) = 0
Para t = (0 + )
u (t ) = 1
O sinal degrau representado na fig. 1-a é designado por:
v = E × u (t )
1
Sinal impulso unitário
É um sinal que é zero para qualquer t ≠ 0 e é infinito para t = 0 . Entretanto sua área é
igual a 1. Ver fig. 3.
∞
δ (t )
Área = 1
0
0
t
Fig. 3
Este sinal é, também, chamado de função Dirac e é representado por δ (t ) .
Uma das maneiras matemáticas de descrevê-lo se refere à fig. 4.
h=
0
1
τ
t
0
τ
Fig. 4
Nessa figura temos um pulso f (t ) de duração τ e amplitude h =
Sua área fica:
A =τ ×
1
τ
=1
Portanto, a área é igual a 1 independentemente do valor de τ .
Neste caso poderíamos dizer que
1
δ (t ) = lim f (t ) = lim h = lim = ∞
τ
τ →0
τ →0
τ →0
Portanto, tem-se para δ (t ) :
τ =0
h→∞
área = 1
2
1
τ
.
A função E × δ (t ) representa um impulso com área E.
Rampa unitária
É também chamada de rampa de inclinação unitária. Ela é definida como sendo a
função f (t ) que obedece as seguintes características:
Para
t<0
f (t ) = 0
Para
t≥0
f (t ) = t
Matematicamente, designa-se este tipo de função como sendo u −1 (t )
A fig. 5-a mostra essa função. A fig. 5-b mostra o sinal a × u −1 (t ) que vem a ser uma
rampa com inclinação igual a a .
a × u −1 (t )
u −1 (t )
a
1
0
0
1
(a)
0
0
t
Fig. 5
3
(b)
1
t
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Aplicação
A transformada de Laplace é um algoritmo matemático que permite a resolução de
equações diferenciais de uma maneira puramente algébrica. É muito útil para o cálculo
de tensões e correntes transitórias em circuitos elétricos.
Definição
Define-se como transformada de Laplace, de uma função temporal f (t ) , a igualdade:
[ f (t )] =
∞
0
f (t )e − st dt
Esta operação transforma uma função da variável tempo em outra função que depende
apenas da variável s. Por isto, é comum dizer:
Função
Transformada de Laplace dessa função
F (s ) =
onde
∞
0
f (t )
F (s )
f (t )e − st dt
(1)
--------------------------------------------------------------------------------------------Exemplo 1 : Determinação da transformada de Laplace de um degrau unitário u (t ) .
Ver fig. 6.
u (t )
1
0
0
t
Fig. 6
Neste caso
F (s ) =
∞
0
∞
1
1 × e dt = − e − st
s
− st
=
0
=−
(
)
1 −∞ 0
1
1
e − e = − (0 − 1) =
s
s
s
4
u (t ) =
F (s ) =
1
s
(2)
----------------------------------------------------------------------------------------------Teorema 1: A multiplicação de uma função temporal, por uma constante, equivale a
multiplicação, de sua transformada de Laplace, pela mesma constante
Seja
Neste caso,
∞
0
F (s ) =
∞
0
f (t )e − st dt
a × f (t )e − st dt = a
∞
0
f (t )e − st dt = a × F (s )
--------------------------------------------------------------------------------------------------Exemplo 2 – Determinação da transformada de Laplace de um degrau de amplitude E.
Ver fig. 7.
f (t )
E
t
0
Fig. 7
Neste caso,
f (t ) = E × u (t )
De acordo com o teorema 1, tem-se:
E × u (t ) = E ×
u (t ) = E ×
1 E
=
s s
E
(3)
s
---------------------------------------------------------------------------------------------------------E × u (t ) =
Exemplo 3 -
Determinação da transformada de Laplace da função:
∞
∞
0
0
F (s ) = e −αt e − st dt =
e −(α + s )t dt
Portanto:
5
f (t ) = e −αt
F (s ) = −
∞
1 −(α + s )t
e
s +α
= 0− −
1
1
=
s +α
s +α
0
-------------------------------------------------------------------------------------------------------Exemplo - 3 - Determinação da transformada de Laplace da derivada de uma função:
df (t )
dt
Sabemos que
d
(U × V ) = U × dV + V × dU
dt
dt
dt
Multiplicando, os dois lados da igualdade, por dt fica:
d (U × V ) = U × dV + V × dU
Integrando os dois lados da igualdade tem-se:
U × V = UdV + Vdu
ou
UdV = UV − VdU
∞
Sabemos que
0
(4)
f (t )e − st dt = F (s )
f (t ) = U
1
Neste caso, V = − e − st
s
Vamos fazer
e
(5)
dV = e − st dt
Vamos aplicar estas igualdades na equação (4)
∞
∞
0
f (t )e − st dt = −
1
f (t ) × e − st
s
+
0
6
1
s
∞
0
e − st d [ f (t )]
ou
∞
0
( )
f (t )e − st dt =
f 0+ 1
+
s
s
F (s ) =
f 0+ 1
+
s
s
∞
0
( )
df (t ) − st
e dt
dt
ou
df (t )
dt
ou
df (t )
= sF (s ) − f (0 + )
dt
(6)
-------------------------------------------------------------------------------------------------Exemplo 4 – Transformada de Laplace da integral de uma função f (t ) .
Supondo que F (s ) é a transformada de Laplace de f (t ) é demonstrável que se
v(t ) = A ×
t
0
f (t )dt
então
v(t ) = A ×
( )
F (s ) v 0 +
+
s
s
(7)
--------------------------------------------------------------------------------------------Exemplo 5 - Transformada de um impulso de área A.
É, também, demonstrável que:
Aδ (t ) = A
(8)
--------------------------------------------------------------------------------------------------Exemplo 6 – Transformada de Laplace de uma rampa de inclinação C.
f (t ) = 0 para t < 0
f (t ) = Ct para t ≥ 0
C
s2
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Resultado:
F (s ) =
7
Exemplo 7 - Transformada de Laplace de uma senoide
f (t ) = A sen βt
Resultado:
F (s ) = A
β
s +β2
2
-----------------------------------------------------------------------------------------------------Exemplo 8 – Transformada de Laplace de uma co-senoide
f (t ) = A cos β t
Resultado:
s
s +β2
--------------------------------------------------------------------------------------------------------F (s ) = A
2
Anti-transformada de Laplace
Se a transformada de Laplace de f (t ) é F (s ) , então a anti-transformada de Laplace de
F (s ) , é
f (t ) , ou seja:
[ f (t )] = F (s )
se
então
−1
[F (s )] = f (t )
(9)
É costume designar a função no tempo com letra minúscula e a transformada com letra
maiúscula. Exemplo:
i
⇔
I
Equivale a
i(t )
⇔
I (s )
8
Aplicação da transformada de Laplace para a determinação de tensões e correntes
em circuitos elétricos.
Exercício 1: - Determinar a corrente i no circuito da fig. 8, após o fechamento da
chave. Suponha que o capacitor está descarregado.
i
R
C
E
Fig. 8
Solução:
Após o fechamento da chave, tem-se um circuito fechado. Neste caso, pode-se aplicar
a segunda lei de ohm:
− E + Ri +
1
C
t
0
i × dt = 0
(10)
Vamos aplicar a transformada de Laplace a todos os termos, lembrando que a fonte de
alimentação excita o circuito na forma de degrau. Portanto sua transformada é
E (s ) =
E
s
Ver equação (3).
A tensão no capacitor é
vc (t ) =
1
C
t
0
i × dt
Sua transformada é:
V c (s ) =
( )
I Vc 0 +
+
Cs
s
Ver expressão (7)
Como, em nosso caso, a tensão no capacitor, no instante inicial, é zero, resulta:
V c (s ) =
I
Cs
Portanto, a transformada de Laplace da expressão (10) fica:
9
−
E
I
+ RI +
=0
s
Cs
(11)
Nesta expressão, I representa a transformada de Laplace da corrente i (t ) .
A seguir, determina-se, algebricamente, a expressão de I:
I R+
I=
E
1
E
=
Cs
s
=
1
s
+R
Cs
I=
E
ou
1
+ Rs
C
E
×
R
1
(12)
1
s+
RC
Finalmente, faz-se a anti-transformada de I. Dessa maneira, obtém-se a expressão da
corrente i em função do tempo.
Para a anti-transformação usa-se tabelamentos, das transformadas de Laplace,
publicados em manuais ou em livros didáticos que tratam do estudo de transitórios em
circuitos elétricos. Nas últimas páginas desta apostila temos reproduções parciais desse
tabelamento.
1
Para o caso deste exercício precisamos anti-transformar a expressão
.
1
s+
RC
A linha 1.102 da tabela mostra que
−1
1
= e −αt
s +α
Por comparação concluímos que:
1
−1
=e
−
1
t
RC
1
RC
Portanto, a corrente i (t ) fica representada pela expressão:
s+
i (t ) =
1
E − RC t
e
R
(13)
A fig. 4 mostra como varia essa corrente ao longo do tempo.
10
i (t )
E
R
t
0
Fig. 9
----------------------------------------------------------------------------------------------Exercício 2: - Determinar a corrente i e a tensão v, no circuito da fig. 10, logo após
o fechamento da chave.
i
R
E
L
v
Fig. 10
Solução:
a) Determinação da corrente i.
Após o fechamento da chave, aplica-se a segunda lei de ohm:
− E + Ri + L
di
=0
dt
(14)
Aplica-se a transformada de Laplace a todos os termos, lembrando que a excitação é
um degrau de amplitude E. Portanto sua transformada é dada pela igualdade (3). Para
di
transformar o termo
aplica-se a expressão (6), lembrando que a corrente no indutor,
dt
no instante inicial, é zero.
−
E
+ RI + LsI = 0
s
(15)
Nesta expressão, I representa a transformada de Laplace da corrente i (t ) .
A seguir, determina-se, algebricamente, a expressão de I:
11
E
s
I (R + Ls ) =
I=
E
s(Ls + R )
I=
E
×
L
ou
1
(16)
R
s s+
L
Precisamos determinar a anti transformada da expressão
1
R
s s+
L
No tabelamento, fornecido, não encontramos nenhuma expressão semelhante a essa.
Entretanto, a linha 1.105 informa que a anti-transformada de
1
e −αt − e −γt
γ −α
é
(s + α )(s + γ )
Se fizermos α = 0 concluiremos que a anti-transformada de
1
s (s + γ )
1 − e −γt
é
γ
Fazendo a identidade com o resultado do nosso problema, tem-se:
1
s (s + γ )
Concluímos que
1
≡
s s+
R
L
R
≡γ
L
Portanto, a anti-transformada da função
E
1
I= ×
R
L
s s+
L
resulta:
i (t ) =
L
− t
R
E 1− e
×
R
L
L
12
R
ou
− t
E
i (t ) =
1− e L
R
(17)
A fig. 11 mostra esta corrente em função do tempo.
i (t )
E
R
t
0
Fig. 11
a) Determinação da tensão no indutor
Pela expressão (13) sabemos que a tensão no indutor é dada pela expressão:
v(t ) = L
di
dt
Pela expressão (6) sabemos que, quando a corrente inicial é nula, a
transformada de Laplace desta tensão é:
V ( s) = LsI
Substituindo o valor de I pelo valor fornecido pela expressão (16), tem-se:
V (s ) = Ls
V (s ) = E
E
×
L
1
s s+
R
L
1
= E×
s+
R
L
1
s+
R
L
A anti-transformada resulta:
v(t ) = Ee
R
− t
L
(18)
A fig. 12 mostra a variação dessa tensão no indutor ao longo do tempo.
13
v(t )
E
t
0
Fig. 12
Exercício 3: - Determinar a corrente i, no circuito da fig. 13, logo após o
fechamento da chave. Supõe-se que, tanto a corrente inicial da bobina quanto a
tensão inicial no capacitor, são nulos.
R
C
E
L
vL
Fig. 13
Equação diferencial:
− E + Ri +
1
C
t
0
idt + L
di
=0
dt
Transformadas de Laplace:
−
E
I
+ RI +
+ LsI = 0
s
Cs
onde I representa a transformada de Laplace de i (t ) , ou seja, I = I (s )
Determinando, algebricamente, o valor de I, encontra-se:
I (s ) =
E
L
1
R
1
s2 + s +
L
LC
19
Precisamos achar a anti-transformada da expressão:
14
1
R
1
s2 + s +
L
LC
A tabela não fornece a anti-transformada da forma com que essa expressão se
apresenta. Precisamos mudar sua forma para se enquadrar na tabela.
Vamos fazer
R
= 2α
L
1
= ω 02
LC
e
Portanto
1
1
= 2
R
1
s + 2αs + ω 02
s2 + s +
L
LC
Vamos somar e subtrair, ao denominador, o termo α 2
Resulta:
1
1
1
= 2
=
2
2
2
2
2
s + 2αs + ω 0
s + 2αs + α + ω 0 − α
(s + α ) + ω 02 − α 2
(
2
Caso a
Se ω 02 − α 2 ≥ 0
(s + α )
então podemos usar a identidade
1
2
(
+ ω −α
2
0
2
≡
1
) (s + α )
2
21
+β2
β 2 = ω 02 − α 2
Caso b
Se
ω 02 − α 2 < 0 então podemos usar a identidade
(s + α )
onde
1
2
(
+ ω −α
2
0
2
≡
1
) (s + α )
− β 2 = ω 02 − α 2
2
22
−β2
ou
β 2 = α 2 − ω 02
Solução para o caso a
A linha 1.301 da tabela fornece:
15
)
20
1
−1
(s + α )
2
+β
2
=
1
β
e −αt sen βt
Neste caso
E e −αt
sen βt
L β
i (t ) =
23
Substituindo os valores:
α=
R
2L
1
R2
− 2
LC 4 L
β = ω 02 − α 2 =
chega-se ao resultado final
i (t ) =
E
L R2
−
C
4
e
−
R
t
2L
sen
1
R2
− 2 t
LC 4 L
24
A fig. 14 mostra como varia essa corrente em função do tempo.
i (t )
t
0
Solução para o caso b
Fig. 14
Seguindo procedimento semelhante chega-se ao resultado:
16
i (t ) =
E
R2 L
−
4 C
e
−
R
t
2L
senh
R2
1
−
t
2
LC
4L
25
onde senh θ significa seno hiperbólico de θ .
A fig. 15 mostra esta corrente versus variação do tempo.
i(t )
t
0
Fig. 15
Maneira prática de resolução do circuito quando as condições iniciais são nulas.
Desenha-se o circuito no domínio da transformada de Laplace com as seguintes
relações:
Impedância de resistor
Impedância de indutor
Impedância de capacitor
R
Ls
1
Cs
Exemplo: Circuito RLC série. Ver fig. 16.
R
I (s )
E (s )
1
Cs
Ls
Fig. 16
Calculando a corrente, resulta
17
I (s ) =
E (s )
R + Ls +
1
Cs
Supondo excitação em degrau, tem-se:
I (s ) =
ou
E
s
R + Ls +
I (s ) =
E
L
1
Cs
1
R
1
s2 + s +
L
LC
26
Comparando (26) com (19), vemos que são idênticas.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------Exercício 4 - Determinar a tensão v L (t ) no indutor do circuito da fig. 13.
Solução:
Supondo que a transformada de Laplace de v L (t ) é V L (s ) , utilizamos, para esse cálculo,
o circuito mostrado na fig. 17, cujos parâmetros estão enquadrados no domínio das
transformadas de Laplace. Considere ω 02 − α 2 ≥ 0
R
I (s )
E (s )
Ls
Fig. 17
Pela lei de ohm tem-se:
V L ( s ) = I (s ) × Ls
Vimos que
I (s ) =
1
Cs
E
L
1
R
1
s2 + s +
L
LC
Portanto:
18
VL ( s )
V L (s ) = E
ω 02 − α 2 ≥ 0
Como
s
s2 +
R
1
s+
L
LC
≡
s
s2 +
R
1
s+
L
LC
então podemos usar a identidade
s
(s + α )2 + β 2
R
onde α =
2L
β=
e
1
R
−
LC
2L
2
Determinação da Anti-transformada de
F (s ) =
s
(s + α )2 + β 2
Na linha 1.303, se fizermos a 0 = 0 , teremos
f (t ) =
onde
(α
β
1
2
)
1
+ β 2 2 e −αt sen (βt + ψ )
ψ = tg −1
β
−α
Após algumas operações e simplificações algébricas chega-se ao resultado da tensão no
indutor:
vL (t ) = E
1
R 2C
1−
4L
e
−
R
t
2L
sen
1
R2
−
t +ψ
LC 4 L2
19
onde
4L
−1
R 2C
ψ = tg −1
Casos onde se tem valores iniciais não nulos
Seja o caso de um indutor de valor L, com uma corrente inicial I 0 . Ver fig. 18-a.
I0
C
L
V0
(b)
(a)
Fig. 18
Neste caso, quando a bobina é percorrida por uma corrente I, a tensão equivalente nesse
um indutor fica:
V L (s ) = LsI − LI 0
A segunda parcela corresponde a uma fonte de tensão cuja força eletromotriz possui
valor LI 0 . A representação, no circuito, está mostrada na fig.19-a.
1
Cs
VL (s )
Ls
VC (s )
V0
s
LI 0
(b)
(a)
Fig. 19
Seja o caso onde se tem uma tensão inicial, de valor V0 , no capacitor. Ver fig. 19-b.
Quando este capacitor é percorrido por uma corrente I, a tensão equivalente neste
componente fica:
VC ( s ) =
I V0
+
Cs s
20
A segunda parcela corresponde a uma fonte de tensão cuja força eletromotriz possui o
V
valor 0 . A representação no circuito está mostrada na fig. 19-b.
s
-----------------------------------------------------------------------------------------------------Exercício 5
Dado o circuito da fig. 20,
a) Determinar a corrente i (t ) após o fechamento da chave.
b) Determinar a tenção vC (t ) após o fechamento da chave.
i
R
C
E
V0
vC
Fig. 20
Solução:
A fig. 21 mostra o circuito no domínio da transformada de Laplace:
R
I (s )
1
Cs
E
s
V0
s
VC (s )
Fig. 21
a)
−
E
I V0
+ IR +
+
=0
s
Cs s
E − V0
E − V0
E − V0
1
s
I=
=
=
×
1
1
1
R
R+
Rs +
s+
Cs
C
RC
A linha 1.102, da tabela, nos fornece a anti transformanda. Resulta:
i (t ) =
1
E − V0 − RC t
e
R
21
b) VC (s ) = I ×
ou
ou
VC (s ) =
1 V0
+
Cs s
E − V0
×
R
1
1
RC
Cs s +
VC (s ) = (E − V )0 ×
1
RC
s s+
+
V0
s
+
1
RC
V0
s
As linhas 1.101 fornece a anti-transformada da segunda parcela. A linha 1.105, quando
se faz α = 0 , fornece a anti-transformada da primeira parcela. Resulta:
1
vc (t ) = (E − V0 ) 1 − e RC
ou
vc (t ) = E 1 − e
1
t
RC
t
+ V0
+ V0 e
−
1
t
RC
--------------------------------------------------------------------------------------------------------Exercício 6
Dado o circuito da fig. 22,
a) Determinar a corrente i (t ) após a chave mudar do ponto A para o ponto B.
b) Determinar a tensão v L (t ) após a chave mudar do ponto A para o ponto B.
R1
A
I0
B
E1
R2
L
E2
Fig. 22
Solução:
Antes de mudar a chave de A para B:
Corrente contínua através do indutor:
I0 =
22
E1
R1
vL
Após a mudança de A para B:
Corrente inicial no indutor: I 0 =
E1
R
a) A fig. 23 mostra o circuito equivalente no domínio da transformada de Laplace:
I (s )
R2
VL ( s )
Ls
E2
s
LI 0
Fig. 23
Aplicando a segunda lei de Ohm, tem-se:
−
E2
+ R2 I + LsI − LI 0 =0
s
E2
×
L
1
R
R
s+ 2
s s+ 2
L
L
Usando as anti-transformações da linha 1.105 ( fazendo α = 0 ) e da linha 1.102, resulta:
I=
1
i (t ) =
+ I0
R
R
− 2t
− 2t
E2
1 − e L + I 0e L
R2
onde
b) V L (s ) = LsI − LI 0
1
s
+ I0L
− I0L
R2
R2
s+
s+
L
L
ou
V L (s ) = E 2 ×
ou
V L (s ) = ( E 2 − I 0 R 2 )
1
R
s+ 2
L
Anti transformando (linha 1.102 da tabela), resulta:
23
I0 =
E1
R1
V L (s ) = (E 2 − I 0 R2 )e
−
R2
t
L
onde
I0 =
E1
R1
Teoremas dos valores iniciais e finais.
Sendo F (s ) a transformada de Laplace de f (t ) , o teorema do valor inicial afirma:
lim f (t ) = lim sF (s )
s→∞
t→0
Portanto, podemos calcular o valor inicial de uma função temporal utilizando sua
transformada de Laplace. Basta multiplicar F (s ) por s e calcular o valor de seu limite
quando s tende para o infinito.
Da mesma forma, o teorema do valor final afirma:
lim f (t ) = lim sF (s )
t→∞
s→0
Portanto, podemos calcular o valor final de uma função temporal utilizando sua
transformada de Laplace. Basta multiplicar F (s ) por s e calcular o valor de seu limite
quando s tende a zero.
Vamos verificar as afirmações utilizando o resultado do exercícios 5.
Vimos, no exercício 5 que a corrente no circuito resultou
i (t ) =
1
E − V0 − RC t
e
R
Valor inicial
Podemos ver que
lim i (t ) =
t→0
E − V0
R
No domínio da transformada de Laplace tínhamos:
I (s ) =
E − V0
×
R
1
s+
1
RC
Podemos ver que
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E − V0
s
E − V0
lim sI (s ) = lim
=
×
1
R
R
s→∞
s→∞
s+
RC
Isto confirma a validade do teorema do valor inicial
Valor final
Voltando à expressão de i (t )
1
E − V0 − RC t
e
R
i (t ) =
Podemos ver que
lim i (t ) = 0
t→∞
No domínio da transformada de Laplace tínhamos:
I (s ) =
E − V0
×
R
1
s+
1
RC
Podemos ver que
s
lim sI (s ) = lim E − V0 ×
=0
1
R
s→0
s→0
s+
RC
Isto confirma a validade do teorema do valor final
---------------------------------------------------------------------------------------------------------Exercício 7
Trabalhando apenas no domínio da transformada de Laplace , determinar os valores
inicial e final da corrente no indutor do circuito do exercício 6
Solução:
I (s ) =
E2
×
L
1
s s+
R2
L
+ I0
1
R
s+ 2
L
25
sI (s ) =
E2
×
L
s
1
+ I0
R
R
s+ 2
s+ 2
L
L
Valor inicial
E2
1
s
= 0 + I0 = I0
lim sI (s ) = lim
×
+ I0
R
R
L
s→∞ s→∞
s+ 2
s+ 2
L
L
Portanto
lim i(t ) = I 0
t →0
(valor inicial)
Valor final
E2
s
1
lim sI (s ) = lim
×
+ I0
R
R
s→0 s→0 L
s+ 2
s+ 2
L
L
Portanto
E
lim i (t ) = 2
t → ∞ R2
=
E2
E
+0= 2
R2
R2
(valor final)
Por inspeção no circuito do exercício 6, pode-se confirmar sem dificuldades os
resultados deste exercício 7.
------------------------------------------------------------------------------------------------------Utilização dos teoremas dos valores iniciais e finais.
Muitas vezes , quando se trabalha com circuitos muito complicados, a obtenção da antitransformada de Laplace fica extremamente trabalhosa. Se estamos interessados,
apenas, em conhecer os valores iniciais e finais das tensões e correntes, nos diversos
pontos do circuito, não teremos a necessidade de calcular as anti-transformadas.
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