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Unidade I
MATEMÁTICA APLICADA
Prof. Luiz Felix
Sistemas de numeração
 A vida do homem, há milhares de anos,
era muito diferente da atual. Ele não tinha
necessidade de contar, uma vez que não
comprava, não vendia, não usava
dinheiro.
 Com o passar dos anos, os costumes
foram mudando, e o homem passou a
cultivar a terra, a criar animais, a
construir casas e a comercializar. Foi
então que surgiu a necessidade de
contar.
contar
 Com o progresso das civilizações,
apareceu a necessidade de aprimorar os
processos de contagem e
de
registrá-los.
Sistemas de numeração
 Foram criados, então, símbolos e regras
que resultaram nos diferentes sistemas
de numeração.
 O sistema de numeração decimal é o que
normalmente utilizamos.
 Conhecido como indo-arábico porque foi
criado pelos hindus e divulgado pelos
árabes, esse sistema utiliza dez símbolos
diferentes – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – para
expressar os algarismos com os quais
contamos unidades, dezenas, centenas,
milhares e demais quantidades e,
obviamente, com os quais realizamos
todo tipo de cálculo.
Expressões numéricas
 Uma expressão numérica é uma
sequência de números associados por
operações. Essas operações devem ser
efetuadas respeitando-se a seguinte
ordem:
1. potenciações e radiciações;
2. multiplicações e divisões;
3. adições e subtrações.
 Exemplo: 102 ÷ 52 + 51 . 23 – 50 =
100 ÷ 25
2 +5.8–1=
4 + 40 – 1 =
44 – 1 = 43
Expressões numéricas
 Em expressões numéricas com sinais de
associação (parênteses, colchetes e
chaves), inicialmente devem ser
efetuadas as operações dentro dos
parênteses, depois as que estão dentro
dos colchetes e,
e por último
último, as que estão
dentro das chaves, respeitando-se, ainda,
a prioridade das operações:
 37 + 2.{25 + [ 18 – (5 – 2).3]} =
37 + 2.{ 25 + [18 – 3.3]} =
37 + 2.{25 + [18 – 9]} =
37 + 2.{25 + 9} =
37 +2.34 =
37 + 68 = 105
Expressões algébricas
 Chamamos de expressões algébricas
aquelas que envolvem números, letras e
operações indicadas entre eles.
 As letras, em uma expressão algébrica,
representam qualquer número real. Elas
são chamadas de incógnitas.
Exemplos:
 X + 7 em que X é a incógnita, um
número qualquer (valor desconhecido).
 3 . K em que K é a incógnita
incógnita, um
número qualquer (valor desconhecido).
Expressões algébricas simplificação
 x + x = 2x
 3k – 5k = – 2k
Nos exemplos acima, os monômios são
semelhantes (as letras são iguais e os seus
expoentes também).
 3 (x + 2) – 7 . x
3x + 6 – 7x
– 4x + 6
Razão
 Chama-se razão qualquer relação
numérica entre grandezas feita através de
uma divisão.
 Dá-se o nome de razão entre os dois
números racionais a e b, com b ≠ 0, ao
quociente entre eles. Indica-se a razão de
a para b por:
a ou a : b
b
 Termos de uma razão:
7 = antecedente.
8
consequente.
Razão - exemplo
 Em um salão de festas, há 20 mesas e 80
cadeiras. Encontre a razão entre o
número de mesas e o número de cadeiras
(lembrando que razão é divisão):
20 = 1
Indica que para cada mesa
80
existem 4 cadeiras.
4
Lê-se “1 está para 4” ou “1 para 4”

Qual a razão entre o número de cadeiras
e o número
ú
de
d mesas?
?
80 = 4 = 4
Indica que para 4 cadeiras
20
existe uma mesa.
1
Razões inversas

4 e 8
8
4
 O produto das duas razões é igual a 1,
isto é, 4 x 8 = 1
8
4
 Dizemos, então, que as razões são
inversas quando o antecedente de uma é
o consequente da outra e vice-versa.
Interatividade
Calcule o valor da seguinte expressão:
24 + 2 . (42 ÷ 8 – 1)
a) 8
b) 18
c) 34
d) 55
e) 162
Proporção
 É a igualdade entre razões.
 Exemplo: meu carro faz 13 km por litro de
combustível. Então, para 26 km, preciso
de 2L; para 39 km, preciso de 3L e assim
por diante.
R1 = 26 = 13
R2 = 39 = 13
2
3
Logo, R1 = R2
1
1
Proporção - propriedades
Grandezas diretamente proporcionais:
 O aumento de uma implica o aumento da
outra.
 A redução de uma implica a redução da
outra.
 Ex.: número de biscoitos e quantidade de
trigo.
Proporção - Propriedades
Grandezas inversamente proporcionais:
 O aumento de uma implica a redução da
outra.
 A redução de uma implica o aumento da
outra.
 Ex.: velocidade média de um automóvel e
tempo de viagem.
Porcentagem
 5%
= _5_
= 0,05
100
 30% = 30 = 0,3
100
Calcule:
30% de 80  30 . 80 = 0,3 . 80 = 24
100
5% d
de 140  _5_
5 . 140 = 0
0,05
05 . 140 = 7
100
Porcentagem - exemplo
 Uma televisão custa R$ 1.500,00, mas a
loja está oferecendo um desconto de
15%. Quanto o cliente deverá pagar por
esta televisão?
15% de 1500  15 .1500 = 0,15 . 1500= 225
100
1500 – 225 = 1275  R$ 1.275,00
Porcentagem - exemplo
 Um automóvel foi comprado por
R$18.000,00. Após uma reforma e a
inclusão de vários acessórios, teve
uma valorização (acréscimo no valor)
de 10% em seu preço. Quanto ficou o
novo valor do automóvel?
10% de 18000  10 .18000 = 0,1.18000=1800
100
18000 + 1800 = 19800  R$ 19
19.800,00
800 00
Regra de três simples
 Seu gerente precisa cortar 20% dos
gastos do departamento. Quanto
representa isso? O valor é alto ou baixo?
 Supondo que as despesas do
departamento são de R$ 2.000,00, para
determinar quanto é 20% de 2.000, vamos
fazer uma regra de três.
 R$ 2.000,00 é o total, ou seja, é 100%
 Queremos saber quanto vale 20% (x)
 Na regra de três simples
simples, duas grandezas
estão envolvidas.
Regra de três simples
2.000 → 100%
x
→
20%
100 . x = 20 . 2000
x = 20 . 2000 = 40000 = 400
100
100
 O departamento deverá reduzir suas
despesas em R$ 400,00;
400 00; portanto,
portanto as
despesas totais passarão dos atuais
R$ 2.000,00 para R$ 1.600,00.
Regra de três simples
 Numa receita de macarrão caseiro, lê-se:
misturar 110g de farinha de trigo para
cada ovo. Quantos ovos devemos
adicionar à massa para 550g de farinha
de trigo?
110g → 1
550g → x
110 . x = 1 . 550
x = 1 . 550 = 550 = 5
110
110
Deverão ser usados 5 ovos para
550g de farinha de trigo.
Grandezas proporcionais
 Você deve usar esse raciocínio para
grandezas diretamente proporcionais
(quanto mais farinha, mais ovos; assim,
quanto menos água, menos suco).
Interatividade
Em um supermercado, um produto custa
R$ 150,00. Ele foi vendido com um lucro de
R$ 36,00. De quantos por cento foi o lucro
sobre o preço de venda?
a) 15%
b) 19%
c) 24%
d) 28%
e) 33%
Grandezas inversamente
proporcionais
 Observe que algumas proporções
(relação entre grandezas) se apresentam
de forma diferente, isto é, as proporções
são grandezas inversamente
proporcionais, de forma que, para
resolver a questão
questão, não basta aplicar a
regra de três simples.
 Inversamente proporcional significa que
enquanto uma grandeza cresce, a outra
diminui.
 Para a proporção de grandezas
inversamente proporcionais, o modo de
calcular é diferente.
Grandezas inversamente
proporcionais
 Em uma obra de construção, se 6
operários levantam um muro em 10 dias,
quantos operários serão necessários
para levantar o mesmo muro em 4 dias?
 Note que as grandezas são inversamente
proporcionais, pois quanto mais
operários forem contratados, menor será
o tempo necessário para a conclusão do
trabalho.
Grandezas inversamente
proporcionais
Inicialmente, organizamos as grandezas em
colunas; são os dias e os operários:
dias
operários
10
→
6
4
→
x
Atenção: como as grandezas são
inversamente proporcionais, devemos
inverter uma das colunas e, então,
multiplicar em cruz:
di
dias
operários
ái
10
→
x
4 . x = 10 . 6
4
→
6
x = 60 = 15
4
Regra de três composta
 Uma regra de três é composta quando há
mais de duas grandezas envolvidas no
problema.
Regra de três composta
 12 tecelões, em 90 dias de trabalho, com
uma jornada de 8 horas diárias,
produzem 36m de tecido. Quantos dias
levarão 15 tecelões para fazer 12m de
tecido com o dobro da largura,
trabalhando 6 horas por dia?
operários
dias
horas/dia
metros
12
90
8
36
15
x
6
24
 Note que o problema pede 12 metros de
tecido, e não 24. Para facilitar o cálculo,
foi dobrado o comprimento.
 Assim, não se acrescentou
uma nova grandeza – a largura.
Regra de três composta
operários
dias
horas/dia
metros
12
90
8
36
15
x
6
24
Determinação da proporcionalidade
direta e inversa:
 a primeira providência é estabelecer a
direção de proporcionalidade entre cada
grandeza e a grandeza a ser determinada.
Regra de três composta
operários
dias
horas/dia
metros
12
90
8
36
15
x
6
24
 Com o aumento do número de operários,
a quantidade de dias deve diminuir.
diminuir Logo,
Logo
trata-se de uma relação inversamente
proporcional. Portanto, você deve
inverter a coluna dos operários. Temos,
assim, provisoriamente:
operários
dias
horas/dia
metros
15
90
8
36
12
x
6
24
Regra de três composta
operários
dias
horas/dia
metros
15
90
8
36
12
x
6
24
 Agora, a coluna das horas/dia - quanto
mais horas trabalhadas por dia
dia, menos
dias serão necessários. Logo, você deve
inverter a coluna das horas/dia. Temos,
assim, provisoriamente:
Operários
dias
horas/dia
metros
1
15
90
6
36
12
x
8
24
Regra de três composta
operários
dias
horas/dia
metros
15
90
6
36
12
x
8
24
 Agora, a coluna metros - quanto mais
dias trabalhados,
trabalhados mais metros serão
produzidos. Ou seja, as duas grandezas
são diretamente proporcionais. Portanto,
não mexemos na última coluna.
operários
dias
horas/dia
metros
1
15
90
6
36
12
x
8
24
Regra de três composta
operários
dias
horas/dia
metros
15
90
6
36
12
x
8
24
operários
dias
15
90
12
x
x = 90 . 12
15
dias horas/dia
90
6
x
8
x = 90 . 8
6
dias metros
90
36
x
24
x = 90 . 24
36
Regra de três composta
x = 90 . 12
x = 90 . 8
15
x = 90 . 24
6
36
 Nas equações acima, podemos identificar
que 90, 12, 8 e 24 pertencem ao
numerador. Também verificamos os
números que fazem parte do
denominador, que são 15, 6 e 36. Dessa
forma, montamos a expressão:
x = 90 . 12 . 8 . 24 = 207360 = 64
15 . 6 . 36
3240
 Os trabalhadores precisarão de 64 dias
de trabalho para fazer a quantidade de
tecido solicitada.
Interatividade
Seis galinhas botam 30 ovos em 5 dias. 20
galinhas botarão quantos ovos em 10 dias?
a) 100
b) 150
c) 200
d) 250
e) 300
Conjuntos
Designa-se conjunto uma representação de
objetos, podendo ser representado de três
modos:
 Representação ordinária A = 0, 1, 2, 3, 4
 Representação abstrata A = x  Z  0  x  4
 Representação por diagramas de Venn -
0
1
2
3
4
A
Operações entre conjuntos
 Interseção: elementos comuns.
Dados os conjuntos A=0,4,9 e B=4,8 ,
A  B = 4
 União: composição de todos os
elementos.
elementos
Dados os conjuntos A=1,4,8 e B=7,8 ,
A  B = 1,4,7,8
 Diferença entre A e B: elementos de A
que não pertencem
q
p
a B.
Dados os conjuntos A=2,3,5 e B=2,4 ,
A – B = 3,5
Cardinalidade de conjuntos
 Define-se a cardinalidade de um conjunto
A como o número de elementos que
pertencem ao conjunto A.
 Denotamos a cardinalidade de um
conjunto A por card(A) ou n(A), e se lê
“cardinalidade de A” ou “número de
elementos de A”.
Exemplo:
 A = -1, 3, 8, 9  n(A) = 4
Plano cartesiano
 O plano cartesiano é constituído por dois
eixos, x (eixo das abscissas) e y (eixo das
ordenadas), perpendiculares entre si, que
se cruzam na origem.
 Cada ponto P=(a,b) do plano cartesiano é
formado por um par ordenado de
números indicados entre parênteses: a
abscissa e a ordenada, respectivamente.
Esse par ordenado representa as
coordenadas de um ponto.
Plano cartesiano
Produto cartesiano
 Conjunto de todos os pares (x,y), tais que
x pertence a A e y pertence a B, indicado
pela expressão A x B:
A x B = (x,y) / x  A e y  B
Exemplo: A = 1,2,3 e B = 1,2,5
(1,1),
, ), (1,2),
( , ), (1,5),
( , ), (2,1),
( , ), (2,2),
( , ), (2,5),
( , ),
A x B = (
(3,1), (3,2), (3,5)
Relação binária: domínio,
contradomínio e conjunto imagem
 Qualquer subconjunto do produto
cartesiano A X B é chamado de relação
de A em B.
 A relação específica que envolve o
produto cartesiano de dois conjuntos é
chamada de relação binária.
 Representa-se a relação binária por
R: A → B
 O conjunto A é chamado de domínio da
relação,
ç , e o conjunto
j
B é chamado de
contradomínio da relação.
Relação binária: domínio,
contradomínio e conjunto imagem
 Sendo A = -2, -1, 0, 1 e B = 2, 3, 4, 5, 7,
vamos criar a relação f: A
B
A
B
-2
-1
0
1
3
2
4
7
5
 Domínio: A = -2, -1, 0, 1
 Contradomínio: B = 2,, 3,, 4,, 5,, 7
 Conjunto imagem: é composto por todos
os elementos em que as flechas de
relacionamento chegam, ou seja,
C = 3, 4, 5
Interatividade
Observando o 2º quadrante do plano
cartesiano, podemos afirmar que:
a) x > 0 e y > 0
b) x < 0 e y < 0
c) x > 0 e y < 0
d) x < 0 e y > 0
e) x = 0 e y = 0
ATÉ A PRÓXIMA!