apostila matematica discreta i prof marcos nascimento

Material de Apoio-Tecnologia em Análise e Desenvolvimentos de
Sistemas
Prof° Marcos do Nascimento - MATEMÁTICA DISCRETA I
Cápitulo I- TEORIA DOS CONJUNTOS .................................................................................................2
1.1 Introdução ..............................................................................................................................................2
1.2 Operações entre Conjuntos ...................................................................................................................3
1.3 Álgebra de Conjuntos ............................................................................................................................4
1.4 Conjuntos finitos, Princípio da Enumeração ......................................................................................4
1.5 Classes de Conjuntos, Conjunto das Partes, Partições .....................................................................5
Capítulo II- NOÇÕES DE LÓGICA .........................................................................................................5
2.1 Introdução ..............................................................................................................................................6
2.2 Proposições e Conectivos .......................................................................................................................6
2.3 Tautologias e Contradições ...................................................................................................................8
2.4 Equivalência Lógica...............................................................................................................................8
2.5 Álgebra das Proposições........................................................................................................................8
2.6 Relações de Implicação e Equivalência................................................................................................9
2.7 Quantificadores ......................................................................................................................................9
Capítulo III - Relações...............................................................................................................................10
3.1 - Produto Cartesiano ...........................................................................................................................10
3.2 – Relações .............................................................................................................................................10
3.3 Relações Inversas .................................................................................................................................10
3.4 - Tipos de Relações...............................................................................................................................11
3.5-Relação de Equivalência .....................................................................................................................11
Capítulo IV-Funções ..................................................................................................................................12
4.1 Definição ...............................................................................................................................................12
4.2 Domínio e Imagem ...............................................................................................................................12
4.3 Injetividade e Sobrejetividade ............................................................................................................12
4.4 Função Inversa .....................................................................................................................................12
4.5 Composição de Funções ......................................................................................................................12
4.6 Funções Importantes ...........................................................................................................................12
1
Cápitulo I- TEORIA DOS CONJUNTOS
Símbolos
Símbolo das Operações
: pertence
: existe
: não pertence
: não existe
: está contido
: não está contido
: A intersecção B
: A união B
A - B: diferença de A
com B
: para todo (ou
qualquer que seja)
a < b: a menor que b
: conjunto vazio
: contém
IN: conjunto dos números
naturais
: não contém
Z : conjunto dos números
inteiros
: a menor ou igual a
b
a > b: a maior que b
Q: conjunto dos números
racionais
: a maior ou igual a
b
: implica que
I: conjunto dos números
irracionais
:aeb
: se, e somente se
IR: conjunto dos números
reais
: a ou b
/ : tal que
1.1 Introdução
No estudo da Teoria de Conjuntos, trabalhamos com alguns conceitos primitivos, que devem ser entendidos e
aceitos sem definição.
Conceitos Primitivos
Conjunto: representa uma coleção de objetos.
I) O conjunto de todos os brasileiros.
II) O conjunto de todos os números naturais.
Em geral, um conjunto é denotado por uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C, ..., Z.
Elemento: é um dos componentes de um conjunto.
a.
b.
José da Silva é um elemento do conjunto dos brasileiros.
1 é um elemento do conjunto dos números naturais.
Em geral, um elemento de um conjunto, é denotado por uma letra minúscula do alfabeto: a, b, c, ..., z.
2
Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto.
I) José da Silva pertence ao conjunto dos brasileiros. II) 1 pertence ao conjunto dos números naturais.
Símbolo de pertinência: Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos o símbolo ∈ que se lê: "pertence". Um
símbolo matemático muito usado para a negação é a barra / traçada sobre o símbolo normal: ∉ ”não pertence”.
Notações: muitas vezes, um conjunto é representado com os seus elementos dentro de duas chaves { e } através de
duas formas básicas e de uma terceira forma geométrica:
Apresentação: Os elementos do conjunto estão dentro de duas chaves { e }.
a)
A={a,e,i,o,u}
b) IN={0,1,2,3,4,...}
Descrição: O conjunto é descrito por uma ou mais propriedades.
a)
A={x / x é uma vogal}
b) IN={x/ x é um número natural}
Subconjuntos
Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B, denotado por A ⊆ B, se todos os elementos de A
também estão em B. Se A ⊆ B é possível que A=B. Quando A ⊆ B, mas A ≠ B , dizemos que A é um subconjunto
próprio de B ou que A está propriamente contido em B e escrevemos A ⊂ B.
Conjunto vazio: é um conjunto que não possui elementos. É representado por { } ou por Ø. O conjunto vazio está
contido em todos os conjuntos.
Conjunto universo: é um conjunto que contém todos os elementos do contexto no qual estamos trabalhando e
também contém todos os conjuntos desse contexto. O conjunto universo é representado por uma letra U. Na
sequência não mais usaremos o conjunto universo.
Propriedades:
I) Para todo conjunto A, tem-se ∅ ⊆ A ⊆ U
III) Se A ⊆ B e B ⊆ C , então A ⊆ C
II) Para todo conjunto A, tem-se A ⊆ A
IV) A = B se e somente se A ⊆ B e B ⊆ A
1.2 Operações entre Conjuntos
União
A união dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.
A ∪ B = { x/ x ∈ A ou x ∈ B }
Intersecção
A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto
B.
A ∩ B = { x/ x ∈ A e x ∈ B }
Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são disjuntos.
Complementares
3
Todos os conjuntos considerados em cada situação são subconjuntos de um conjunto universo fixo, U. O
complementar absoluto, ou simplesmente complementar de um conjunto A, denotado por AC , é o conjunto dos
elementos que pertencem a U, mas não pertencem a A, isto é
AC = {x/ x ∈ U, x ∉ A}
O complementar relativo de um conjunto B em relação a A, ou simplesmente a diferença entre A e B, denotado
por A-B, é o conjunto dos elementos que pertencem a A , mas não pertencem a B, isto é,
A-B = {x/ x ∈ A, x ∉ B}
1.3 Álgebra de Conjuntos
Conjuntos munidos das operações de união, intersecção e complementar, satisfazem a várias leis ou identidades
que serão listadas a seguir.
Idempotência I) A ∪ A = A
II) A ∩ A = A
Associatividade
I) ( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C )
II) ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C )
Comutatividade
I) A ∪ B = B ∪ A
II) A ∩ B = B ∩ A
Distributividade
I) A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C )
II) A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C )
Identidade
I) A ∪ ∅ = A
III) A ∩ U = A
II) A ∪ U = U
IV) A ∩ ∅ = ∅
Involução
I) ( AC ) C = A
Complementares
I) A ∪ AC = U
III) A ∩ AC = ∅
II) U C = ∅
IV) ∅ C = U
I) ( A ∪ B ) C = AC ∩ B C
II) ( A ∩ B ) C = AC ∪ B C
Leis de DeMorgan
1.4 Conjuntos finitos, Princípio da Enumeração
Um conjunto é dito finito se contém exatamente m elementos distintos, em que m denota algum inteiro não
negativo. Caso contrário o conjunto é dito infinito. Por exemplo, o conjunto de letras do alfabeto é finito, enquanto
o conjunto dos inteiros positivos pares, {2,4,6,...} é infinito. A notação n(A) será usada para denotar o número de
elementos de um conjunto finito A.
1.4.1
Teorema : Se A e B são conjuntos finitos, então A ∪ B e A ∩ B são finitos e
n(A ∪ B) = n(A) + n(B ) - n(A ∩ B)
Podemos aplicar esse resultado para obter uma fórmula similar para três conjuntos.
Corolário: Se A, B e C são conjuntos finitos, então A ∪ B ∪ C também é e:
n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B )+n(C) - n(A ∩ B)- n(A ∩ C) – n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
4
1.5 Classes de Conjuntos, Conjunto das Partes, Partições
1.5.1 Classes de Conjuntos
Dado um conjunto S, podemos querer tratar de alguns de seus subconjuntos, isto é, estaríamos considerando um
conjunto de subconjuntos. Quando isso ocorrer, vamos nos referir a uma classe de conjuntos ou coleção de
conjuntos no lugar de um conjunto de conjuntos. Se considerarmos alguns dos conjuntos de uma determinada
classe, usaremos os termos subclasse ou subcoleção.
Exemplo: consideremos o conjunto S={3, 6, 8, 9}. Seja A a classe de subconjuntos de S que contêm exatamente
três elementos de S. Assim:
A = [{3,6,8}, {3,6,9}, {3,8,9}, {6,8,9}]
Logo os elementos de A são os conjuntos {3,6,8}, {3,6,9}, {3,8,9}, {6,8,9}.
Consideremos agora a classe B dos subconjuntos de S que contêm o número 3 e outros dois elementos de S.
Assim:
B = [{3,6,8}, {3,6,9}, {3,8,9}]
Os elementos de B são os conjuntos {3,6,8}, {3,6,9}, {3,8,9} que são elementos também do conjunto A, logo o
conjunto B é uma subclasse de A.
1.5.2 Conjunto das Partes
Para um dado conjunto S, podemos falar de todos os subconjuntos de S. Essa classe é chamada de conjunto das
partes de S e será denotada por Partes(S). O número de elementos de Partes(S) é dado por:
n(Partes(S))= 2n(S)
Exemplo: Suponha que S ={1,2,3}. Então:
Partes(S) = { ∅ , {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3},{2,3}, S }
1.5.3
Partições
Seja S um conjunto não vazio. Uma partição de S é uma subdivisão de S em conjuntos não vazios disjuntos. Ou
seja, uma partição de S é uma coleção {Ai} de subconjuntos não vazios de S tais que:
(i) Cada a em S pertence a algum dos Ai.
(ii) Os conjuntos em {Ai} são disjuntos dois a dois, ou seja, se Ai ≠ A j então Ai ∩ A j = ∅ .
Exemplo: consideremos o conjunto S={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e a coleção de subconjuntos de S:
A = [{1,3,5}, {2,6}, {4,8,9}]
B = [{1,3,5}, {2,4,6,8}, {7,9}]
Note que A não é uma partição de S, já que 7 pertence a S e não está em nenhum dos subconjuntos de A.
Já B é uma partição de S.
Capítulo II- NOÇÕES DE LÓGICA
5
2.1 Introdução
A lógica matemática é de fundamental importância em qualquer estudo em computação e informática.
Muitas demonstrações em matemática e muitos algoritmos em ciências da computação usam expressões
lógicas tais como:
“SE p ENTÃO q” ou “SE p OU q, ENTÃO p E q”
Dessa forma, baseando-se na lógica booleana, desenvolvida por George Boole (1815-1864), vamos
estudar definições e propriedades que permitirão ao aluno compreender não só a lógica matemática
propriamente dita, mas também a lógica usada em programação para linguagens específicas.
2.2 Proposições e Conectivos
Uma proposição é uma construção (frase, sentença) à qual se pode atribuir juízo. Em lógica matemática,
o tipo de juízo é o verdairo-falso. Em outras palavras, proposição é uma sentença declarativa que pode
ser falsa ou verdadeira, mas não ambas. Exemplos:
I) 1+4 = 6 → é uma proposição com valor lógico FALSO (F).
II) Brasil é um país. → é uma proposição com valor lógico VERDADEIRO (V).
III) 8 > 5 → é uma proposição com valor lógico VERDADEIRO (V).
IV) Faça a lista de matemática. → não é uma proposição
É possível construirmos proposições mais complexas compondo proposições através de operadores
lógicos, também chamados de conectivos. Vejamos:
I) 5 > 3 e 2 é uma raiz da equação x 2 − 5 x + 6 = 0
II) Porto Alegre é a capital do Paraná ou Santos é capital do Rio de Janeiro
III) -14 não é um número natural
IV) Se Belo Horizonte é a capital de Minas Gerais, então -12 < -14
V) A = B se e somente se A ⊆ B e B ⊆ A
Note que nos exemplos acima foram usados cinco conectivos ou operadores lógicos que estudaremos
com mais detalhe a seguir, são eles: e, ou, se-então e se-somente-se.
Conjunção: p ∧ q
Quaisquer duas proposições podem ser combinadas pela palavra “e” para formar uma proposição
composta chamada de conjunção. Simbolicamente:
p ∧ q (Lê-se “p e q”)
Observe que a conjunção p ∧ q reflete uma noção de simultaneidade para ser verdadeira. Dessa forma a
proposição composta p ∧ q é:
•
Verdadeira, apenas quando p e q são verdadeiras;
•
Falsa, em qualquer outro caso.
Tal fato é mais bem visualizado, usando-se uma tabela-verdade que descreve os valores lógicos de uma
proposição em termos das possíveis combinações dos valores lógicos das proposições componentes e dos
conectivos usados. Dessa forma, para cada combinação de valores-verdade e de conectivos, a tabelaverdade fornece o valor verdade da expressão resultante. No caso da conjunção p ∧ q , temos a seguinte
tabela-verdade:
p
V
V
F
F
p∧q
q
V
F
V
F
V
F
F
F
Figura 1: Tabela-verdade conjunção
Disjunção: p ∨ q
6
Quaisquer duas proposições podem ser combinadas pela palavra “ou” para formar uma proposição
composta chamada de disjunção. Simbolicamente:
p ∨ q (Lê-se “p ou q”)
Observe que a disjunção p ∨ q reflete a noção de que pelo menos uma (eventualmente as duas) das
proposições componentes deve ocorrer para que a resultante seja verdadeira. Dessa forma, a proposição
composta p ∨ q é:
•
Verdadeira, quando pelo menos uma das proposições é verdadeira;
•
Falsa, somente quando simultaneamente p e q são falsas.
p
V
V
F
F
p∨q
q
V
F
V
F
V
V
V
F
Figura 2: Tabela-verdade disjunção
Negação: ~ p
Dada qualquer proposição p, outra proposição, denominada negação de p, pode ser formada
inserindo a palavra “não”. Simbolicamente:
~ p (Lê-se “ não p”)
No caso da negação tem-se
•
Se p é verdadeira, então ~ p é falsa;
•
Se p é falsa, então ~ p é verdadeira.
~ p
F
V
p
V
F
Figura 3: Tabela-verdade negação
Condição: p → q
Muitas declarações, particularmente em matemática, são da forma “ se p então q”. Tais
declarações são chamadas de condicionais. Simbolicamente:
p → q (Lê-se “se p então q”)
Observe que a condição p → q reflete a noção de que, a partir de uma premissa verdadeira,
obrigatoriamente deve-se chegar a uma conclusão verdadeira. Por outro lado, partindo de uma premissa
falsa, qualquer conclusão pode ser considerada. Dessa forma, a proposição p → q é:
•
Falsa, quando p é verdadeira e q é falsa;
•
Verdadeira, caso contrário.
p
V
V
F
F
p→q
q
V
F
V
F
V
F
V
V
Figura 4: Tabela-verdade condição
7
Bicondição: p ↔ q
Outra declaração comum em matemática é da forma “ p se e somente se q”. Esse tipo de
declaração é denominada bicondicional. Simbolicamente:
p ↔ q (Lê-se “p se e somente se q”)
Neste caso a declaração bicondicional reflete a condição “nos dois sentidos”, isto é, considera
simultaneamente:
•
Sentido de “ida”: p é premissa e q é conclusão;
•
Sentido de “volta”: q é premissa e p é conclusão.
Dessa forma, considerando a noção de condição já vista anteriormente e considerando que esta é “nos
dois sentidos”, a proposição composta p ↔ q é:
•
Verdadeira, quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas;
•
Falsa, quando as proposições p e q possuem valor-verdade distintos.
p
V
V
F
F
p↔q
q
V
F
V
F
V
F
F
V
Figura 5: Tabela-verdade bicondição
2.3 Tautologias e Contradições
Algumas proposições contêm apenas o valor lógico VERDADEIRO (V) na última coluna de suas
tabelas-verdade. Tais proposições são chamadas de tautologias. Analogamente se uma proposição é
chamada de contradição se contiver apenas o valor lógico FALSO (F).
2.4 Equivalência Lógica
Duas proposições P(p,q,r ...) e Q(p,q,r...) são ditas logicamente equivalentes, ou simplesmente
equivalentes, e indicamos por
P ( p, q, r...) ≡ Q ( p, q, r...)
se elas possuírem tabelas-verdade idênticas.
2.5 Álgebra das Proposições
As proposições satisfazem determinadas leis. Seguem algumas delas:
I)
II)
III)
a) p ∨ p ≡ p
b) p ∧ p ≡ p
(Idempotência)
a) ( p ∨ q ) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r )
b) ( p ∧ q ) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r )
(Associatividade)
a) p ∨ q ≡ q ∨ p
8
b) p ∧ q ≡ q ∧ p
IV)
V)
VI)
VII)
(Comutatividade)
a) p ∨ (q ∧ r ) ≡ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r )
b) p ∧ (q ∨ r ) ≡ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r )
a)
p∨F ≡ p
p ∨V ≡ V
a)
b)
p∨ ~ p ≡ p
~V ≡ F
p ∧V ≡ p
p∧F ≡ F
b)
~~ p ≡ p
VIII) a) ~ ( p ∨ q ) ≡ ~ p ∧ ~ q
b) ~ ( p ∧ q ) ≡ ~ p ∨ ~ q
(Distributividade)
( Identidade)
p∧ ~ p ≡ F
~ F ≡V
(Complementares)
(Involução)
(Leis de DeMorgan)
2.6 Relações de Implicação e Equivalência
Os conectivos de condição e bicondição induzem as relações de implicação e de equivalência entre
fórmulas, respectivamente. A relação de implicação está diretamente relacionada com o conceito de
teorema, já a relação de equivalência permite definir a noção de “mesmo significado” entre duas fórmulas
(sintaticamente) diferentes.
•
Relação de Implicação: sejam p e q duas fórmulas. Então p implica q, denotado por: p ⇒ q , se e
somente se, p → q é uma tautologia.
•
Relação de Equivalência: sejam p e q duas fórmulas. Então p é equivalente a q, denotado por:
p ⇔ q , se e somente se, p ↔ q é uma tautologia.
2.7 Quantificadores
Proposição sobre um Conjunto: seja A um conjunto, uma proposição sobre A é uma proposição cujo
valor lógico depende do elemento x ∈ A considerado.
Quantificador: com freqüência, para uma determinada proposição p(x), é desejável quantificar os valores
de x que devem ser considerados. Assim, os seguintes quantificadores são usados em lógica:
•
Quantificador Universal: simbolizado por ∀ , que, quando associado a uma proposição p(x), é
denotado como segue: ∀ x ∈ A , p(x).(Lê-se “para todo x pertencente a A, p(x)).
•
Quantificador Existencial: simbolizado por ∃ , que, quando associado a uma proposição p(x), é
denotado como segue: ∃ x ∈ A , p(x). (Lê-se “Existe x pertencente a A, p(x)).
Seja p(x) uma proposição lógica sobre um conjunto A. Então:
I)
(Quantificador Universal) A proposição ∀ x ∈ A , p(x) é:
•
•
VERDADEIRA, se o conjunto verdade for igual ao conjunto A;
FALSA, caso contrário.
II)
(Quantificador Existencial) A proposição ∃ x ∈ A , p(x) é:
9
•
•
VERDADEIRA, se o conjunto verdade for não vazio;
FALSA, caso contrário.
Capítulo III - Relações
3.1 - Produto Cartesiano
Considere dois conjuntos arbitrários A e B. O conjunto de todos os pares ordenados (a,b), onde a ∈A e
b∈B, é chamado de produto cartesiano de A e B. Uma designação abreviada desse produto é A × B, que
pode ser lida como “A cartesiano B”. Por definição:
A × B={(a,b): a ∈A e b∈B}
Exemplo: Dados A={a,b,c,d} e B={1,2,3}, o produto cartesiano A × B, terá 12 pares ordenados e será
dado por:
A × B = {(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(c,2),(c,3),(d,1),(d,2),(d,3)}
Observações:
•
A × A=A2
•
n(A × B) = n(A).n(B)
•
A × B≠ B × A
3.2 – Relações
Definição: Sejam A e B conjuntos. Uma relação binária ou, simplesmente, relação de A para B é um
subconjunto de A × B. Suponha que R é uma relação de A para B. Então R é um conjunto de pares
ordenados onde cada primeiro elemento pertence a A e cada segundo elemento pertence a B. Assim se:
•
(a,b) ∈R;dizemos que “a é R-relacionado a B”, escrevendo aRb.
•
(a,b) ∉ R; dizemos “a não é R-relacionado a b”, escrevendo aRb.
Se R é uma de um conjunto A para si mesmo, isto é, se R é um subconjunto de A × A=A2, então dizemos
que R é uma relação em A. O domínio de uma relação R é o conjunto de todos os primeiros elementos de
um par ordenado que pertence a R, e a imagem de R é o conjunto dos segundos elementos.
Exemplo: Sejam A={1,2,3} e B={x,y,z}, e seja R ={(1,y), (1,z), (3,y)}. Então R é uma relação de A para
B, uma vez que R é um subconjunto de A × B. Com respeito a esta relação tem-se:
1Ry, 1Rz, 3Ry, mas 1Rx, 2Rx, 2Ry, 2Rz, 3Rx, 3Rz
D(R)= {1,3} e Im(R)= {y,z}.
3.3 Relações Inversas
Seja R uma relação de A em B. A relação inversa de R, denotada por R-1, é definida de B em A
por:
R-1 = {(b,a): (a,b) ∈ R }
10
Exemplo: Sejam A={a,b,c}, B={d,e,f} e R uma relação em A × B , definida por
R = {(a,d),(a,e),(a,f),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c.e),(c,f)}
Então:
R-1 = {(d,a),(e,a),(f,a),(d,b),(e,b),(f,b),(d,c),(e,c),(f,c)}
3.4 - Tipos de Relações
Reflexiva: Uma relação R é reflexiva se todo elemento de A está relacionado consigo mesmo, ou seja,
para todo a∈A: (a,a) ∈ R, isto é, para todo a∈A:aRa. Portanto, R não é reflexiva se existe a∈A e (a,a)
∉R
Exemplo: Uma relação reflexiva em A={a,b,c}, é dada por:
R = {(a,a),(a,b),(b,b),(c,c), (a,c)}
Simétrica: Uma relação R é simétrica se o fato que a está relacionado com b, implicar necessariamente
que b está relacionado com a, ou seja: quaisquer que sejam a∈A e b∈A tal que (a,b) ∈ R, segue que
(b,a) ∈ R. Logo, R não é simétrica se existe (a,b) ∈ R, mas (b,a) ∉R.
Exemplo: Uma relação simétrica em A={a,b,c}, é:
R = {(a,a),(b,b),(a,b),(b,a)}
Transitiva: Uma relação R é transitiva, se a está relacionado com b e b está relacionado com c, implicar
que a deve estar relacionado com c, ou seja: quaisquer que sejam a∈A, b∈A e c∈A, se (a,b) ∈ R e (b,c)
∈ R então (a,c) ∈ R.. Logo R não é transitiva se existem a, b e c ∈A tais que (a,b) ∈ R e (b,c) ∈ R mas
(a,c) ∉R.
Exemplo: Uma relação transitiva em A={a,b,c}, é:
R = {(a,a),(a,c),(c,b),(a,b)}
Anti-simétrica: Uma relação R em um conjunto A é anti-simétrica se (a,b) e (b,a) ∈ R então, a=b.
Portanto, não é anti-simétrica se existem a, b ∈A tais que (a,b) e (b,a) ∈ R, mas a ≠ b.
Exemplo: Uma relação anti-simétrica em A={a,b,c}, é:
R = {(a,a),(b,b),(a,b),(a,c) }
3.5-Relação de Equivalência
Uma relação R sobre um conjunto A não vazio é chamada relação de equivalência sobre A se, e
somente se, R é reflexiva, simétrica e transitiva. Isto é, R é uma relação de equivalência em A se tem as
seguintes propriedades:
1) Para todo a a∈A, aRa.
2) Se aRb, então bRa.
3) Se aRb e bRc, então aRc.
11
Exemplo: Se A={a,b,c} então a relação R em A, definida abaixo, é de equivalência:
R = {(a,a),(b,b),(c,c),(a,c),(c,a) }
Capítulo IV-Funções
4.1 Definição
Sejam A e B conjuntos. Uma função de A em B é um mapeamento de exatamente um elemento de B para
cada elemento de A. Podemos dar uma definição alternativa: uma função de A em B é um subconjunto de
A × B, onde cada elemento de A aparece exatamente uma única vez como primeiro componente do par
ordenado. Escrevemos f (a) = b se b é o único elemento de B associado pela função f ao elemento a de A.
Se f é uma função de A em B, escrevemos f : A
B.
4.2 Domínio e Imagem
Se f é uma função de A em B dizemos que A é o domínio de f e B é o contradomínio de f . Se f (a) = b,
dizemos que b é a imagem de a e a é a pré-imagem de b. O conjunto imagem, denotado por Im(f), de f é
o conjunto de todas as imagens dos elementos de A.
A definição completa de uma função requer que se forneça seu domínio, seu contradomínio e associação
(ou mapeamento). Essa última pode ser fornecida através de:
uma descrição verbal;
•
•
um gráfico;
•
uma equação;
•
ou uma coleção de pares ordenados.
Seja S ⊂ A e seja f : A → B. A imagem de S é o subconjunto de B que contém as imagens dos elementos
de S. Denotamos a imagem de S por f (S), de forma que f (S) = {f (s)/ s ∈ S}.
4.3 Injetividade e Sobrejetividade
Uma função f : A → B é injetora (ou injetiva, ou um-para-um) se nenhum elemento de B for imagem por
f de dois elementos distintos de A. Ou seja, f é injetora se f (a ) = f (a ' ) implicar a = a ' .
Uma função f : A → B. é sobrejetora (ou sobrejetiva) se o conjunto imagem de f é igual ao seu
contradomínio. Ou seja f ( A) = B.
Uma função f : A → B é bijetora (ou bijetiva) se for ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.
4.4 Função Inversa
Seja f uma função bijetora de um conjunto S para um conjunto B. A função inversa de f, denotada por f−1,
é a função que associa a um elemento b ∈ B, um único elemento a∈ A, de forma que se f (a) = b, então
f−1(b) = a.
4.5 Composição de Funções
Seja g uma função de A em B e seja f uma função de B em C. A composição das funções f e g, também
chamada da função composta de f com g. denotada por f o g é definida como a seguir:
(f o g)(a) = f (g(a))
4.6 Funções Importantes
4.6.1 Função Floor e Ceiling
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A função floor ou função chão associa ao número real x o maior inteiro que é menor ou igual a x. O valor
da função floor em x é denotado por x  . A função ceiling ou função teto associa ao número real x o
menor inteiro que é maior ou igual a x. O valor da função ceiling em x é denotado por x  .
Exemplos:
3,14 = 3 .
3,14 = 4
− 8,5 = −9
− 8,5 = −8
4,6 = 4
4,6 = 5
4.6.2 Função Valor Inteiro e Valor Absoluto
Seja x um número real qualquer. O valor inteiro de x, escrito INT(x), converte x em um inteiro deletando
(truncando) a parte fracionária de um número. Exemplo:
INT(4,18) = 4
INT(-9,5) = -9
INT(6,95) = 6
O valor absoluto de um número real x, denotado por ABS(x) ou x é definido como sendo o maior dos
valores entre x e –x. Portanto, ABS(0) =0 e, para x ≠ 0 , ABS(x) = x ou ABS(x) = -x, dependendo de x ser
positivo ou negativo. Exemplo:
− 12 = 12
5 =5
−4 = 4
4,45 = 4,45
4.6.3 Função Resto
Seja k um inteiro qualquer e seja M um inteiro positivo. Então:
k(mod M)
(lê-se k módulo M) denotará o resto inteiro de k dividido por M. Mais exatamente, k(mod M) é o único
inteiro r tal que:
k= M.q+r em que 0 ≤ r < M
•
Se k é positivo, basta dividir k por M e obter o resto r. Portanto:
25(mod 7) = 4
•
20 (mod 4) = 0
35 (mod 11) = 2
Se k é negativo, divida k por M para obter o resto r’. Portanto, k (mod M) = M – r’, quando
r’ ≠ 0 . Assim:
-26 (mod 7) = 7-5 = 2
-371 (mod 8) = 8 -3 = 5
-39(mod 3) = 0
BIBLIOGRAFIA
LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M. Matemática Discreta. 2ª ed., São Paulo: Bookman, 2004.
GERSTING, Judith L, Fundamentos Matemáticos para Ciência da Computação, 4ª edição, São Paulo: LTC, 2001.
MENEZES, Paulo B. Matemática Discreta para Computação e Informática. 3ª Ed. Porto Alegre, 2010.
SCHEINERMAN, Edward R., Matemática Discreta-Uma Introdução. 2ª ed., Cengage Learning, 2010.
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