Programa de Bases Matemáticas

Programa de Bases Matemáticas
1. Elementos de Lógica e Linguagem Matemática
1.1. Conceitos básicos
a) Proposições simples
b) Conectivos e operadores lógicos
1.2. Lógica clássica elementar
a) Quantificadores
b) Proposições universais e particulares, exemplos e contra-exemplos
2. Conjuntos
2.1. Generalidades
a) Conceitos básicos: definição ingênua de conjuntos, pertinência,
modos de descrição de um conjunto
b) Relações elementares: subconjunto, superconjunto, conjunto vazio,
conjunto potência
c) Operações: união, intersecção, diferença, complementar e conjunto
universo, produto cartesiano
2.2. Conjuntos numéricos
a) Números naturais, inteiros e racionais: definição (intuitiva) e
operações
b) Princípio de Indução Finita: enunciados do PIF e aplicações
c) Definições recursivas: somatórios e fatorial (opcional)
d) Princípios de combinatória: contagem, arranjo, combinação
e) Números reais: operações, propriedades axiomáticas dos reais,
supremo e ínfimo, potenciação e radiciação, existência da raiz
quadrada de um número positivo
f) Representação dos números reais: representação decimal,
representação geométrica (a reta real)
g) Valor absoluto: definição e propriedades
h) Topologia da reta: distância, intervalos, conjuntos abertos, conjuntos
fechados
2.3. Complemento (após a primeira seção de Funções) – (opcional)
a) Famílias de conjuntos: conjunto de índices, operações com famílias
de conjuntos (união, intersecção, produto cartesiano)
b) Cardinalidade: conjuntos finitos e infinitos, cardinalidade, conjuntos
enumeráveis, conjuntos com a potência do contínuo
3. Funções
3.1. Generalidades
a) Conceitos básicos: relações, conceito de função, domínio, contradomínio, imagem, pré-imagem
b) Propriedades: injetividade, sobrejetividade, bijetividade, função
inversa
3.2. Funções reais a variáveis reais
a) Representações
• representação analítica: variável dependente e variável
independente
• representação gráfica: gráfico de uma função, translações
horizontal e vertical
b) Exemplos clássicos: função escada, função módulo, funções
lineares e afins, funções polinomiais, funções racionais, função
exponencial,função logarítmica, funções trigonométricas
c) Comportamentos de uma função: simetrias (funções pares,
ímpares, periódicas), monotonicidade, funções limitadas
d) Operações: soma, produto e quociente de funções, composição de
funções
4. Sequências
4.1. Conceitos básicos
a) Conceito de sequência, sequências convergentes
b) Limites infinitos
c) Sequências limitadas, sequências monotônicas
4.2. Propriedades
a) Operando com sequências
b) Teorema do Confronto
4.3. Complementos (opcional)
a) Releitura da operação de potenciação por número real
b) Sequências de Cauchy e relação com o axioma de completude
c) Séries numéricas (introdução)
d) Aplicações das séries numéricas: o número e, releitura da
representação decimal dos números reais
5. Limites
5.1. Conceitos básicos
a) Definição (intuitiva) de limite de uma função
b) Interpretação geométrica
c) Limites laterais, existência de limites
d) Continuidade
e) Limites infinitos
f) Limites no infinito
5.2. Cálculo de limites
a) Operações elementares e propriedades
b) Limite de função composta
c) Teorema do Confronto
d) Limites notáveis
e) Casos de indeterminação
6. Derivadas
6.1. Conceitos básicos
a) Definição (intuitiva) de derivada
b) Interpretação geométrica
c) Função derivada
6.2. Cálculo de derivadas
a) Regras de derivação das funções elementares
b) Propriedades do operador de derivação
c) Regra da cadeia