MONOGRAFIA 1 NÚMEROS DE FIBONACCI
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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E COMPUTAÇÃO CIENTÍFICA MONOGRAFIA 1 NÚMEROS DE FIBONACCI Disciplina: MA148 Professor responsável: Fernando Eduardo Torres Orihuela Alunas: Mariana Moretto Pissini Marina de Almeida Maiochi RA: 103393 RA: 108222 SUMÁRIO 1) Definição______________________________________________3 2) Cálculo do tamanho de uma população de coelhos____________3 3) Propriedades matemáticas e curiosidades da sequência de Fibonacci______________________________________________6 3.1) Periodicidade da sequência de Fibonacci________________6 3.2) O Triângulo de Pascal e a sequencia de Fibonacci________7 3.3) Soma dos termos da sequência de Fibonacci_____________7 3.4) Somas dos números de Fibonacci de ordem ímpar________9 3.5) Somas dos números de Fibonacci de ordem par__________9 3.6) Fibonacci Pitagórico________________________________10 3.7) Retângulos ao quadrado ____________________________10 3.8) O número de ouro e a sequência de Fibonacci __________12 4) Bibliografia___________________________________________14 1) Definição A sucessão de Fibonacci ou sequência de Fibonacci é uma sequência de números naturais, na qual os dois primeiros termos são 0 e 1, e cada termo subsequente corresponde à soma dos dois precedentes. A sequência tem o nome do matemático pisano do século XIII Leonardo de Pisa, conhecido como Leonardo Fibonacci, e os termos da sequência são chamados números de Fibonacci. Os números de Fibonacci são, portanto, os números que compõem a seguinte sequência de números inteiros: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... Em termos matemáticos, a sequência de Fibonacci é definida recursivamente por F0 0 , F1 1 , F2 1 e Fn Fn1 Fn2 para n 3. Em seu livro de 1202, intitulado Liber Abaci, Fibonacci introduziu a sequência na matemática da Europa Ocidental, embora ela já tivesse sido descrita anteriormente por matemáticos indianos. Pela convenção moderna, a sequência inicial com F0 = 0. No Liber Abaci, ela começava com F1 = 1, omitindo-se o zero inicial, e alguns ainda escrevem a sequência dessa forma. 2) Cálculo do tamanho de uma população de coelhos No ocidente, a sequência de Fibonacci apareceu pela primeira vez no livro Liber Abaci (1202) de Leonardo de Pisa, embora ela já tivesse sido descrita por matemáticos indianos. Fibonacci considerou o crescimento de uma população idealizada (não realista biologicamente) de coelhos como no seguinte exercício: Suponha que um casal de coelhos recém-nascidos é colocado numa ilha, e que eles não produzem descendentes até completarem dois meses de idade. Uma vez atingida esta idade, cada casal de coelhos produz exatamente um outro casal de coelhos por mês. Qual seria a população de coelhos na ilha após nove meses, supondo que nenhum dos coelhos tenha morrido e não haja migração neste período? Indicando um casal de coelhos pelo símbolo (♂,♀) e a respectiva idade (0 = recém-nascidos, 1 = um mês de idade, * = pelo menos dois meses) acima e à direita do símbolo, podemos representar a evolução da população pela tabela abaixo: -3- Mês 1 2 3 4 5 6 População (♂,♀) (♂,♀) 1 (♂,♀) * (♂,♀) 0 (♂,♀) * (♂,♀) 1 (♂,♀) 0 (♂,♀) * (♂,♀) * (♂,♀) 1 (♂,♀) 0 (♂,♀) 0 (♂,♀) * (♂,♀) * (♂,♀) * (♂,♀) 1 (♂,♀) 1 (♂,♀) 0 (♂,♀) 0 (♂,♀) 0 0 Se por um lado a construção da tabela logo se torna enfadonha, por outro nos faz perceber uma regra de formação para o desenvolvimento da população. Como calcular a população no início do sexto mês? Como não há mortes, podemos inicialmente contar com a população do quinto mês. O passo seguinte é calcular o número de nascimentos. Ora, estes correspondem ao número de casais com pelo menos um mês no início do quinto mês. Isto requer que a população seja contabilizada por idade, como feito na tabela anterior. É possível evitar este trabalho, se observarmos que a população com pelo menos um mês de idade no quinto mês consiste exatamente da população total no quarto mês. Denotando por Fn a população no n ésimo mês, o argumento acima produz a equação F 6 F5 F4 . Mas o raciocínio se aplica a qualquer mês, ou seja, toda discussão pode ser refeita substituindo-se sexto por n ésimo , quinto por (n-1) ésimo e quarto por (n-2) ésimo . Então, na verdade, podemos escrever a equação: Fn Fn1 Fn2 , para n 3 . (1) Com isto, obtemos a solução do problema genérico a partir da solução de exemplares menores do problema. Ou seja, a sequência ( F n ) de população de coelhos na ilha ao longo dos meses (supondo inexistência de mortes ou migração) satisfaz a relação (1) encontrada acima. Note que, dados dois valores de elementos da sequência em quaisquer dois meses consecutivos, podemos calcular todos os valores dos elementos da sequência dos meses posteriores. É dado do problema que a população inicial F 1 de coelhos consiste de um casal. Não podemos, entretanto, calcular F 2 a partir da relação (1), pois esta envolveria o termo F 0 , não definido. A população F 2 deve ser calculada diretamente do enunciado, como feito para a construção da tabela. Feito isso, determinamos de modo trivial a solução de certos exemplares do problema. -4- Observe que podemos medir a população em número de casais ou em número de coelhos. A relação entre os termos da sequência é (1) em qualquer dos casos. As condições iniciais seriam, no entanto, diferentes. Se contarmos o número de casais, teremos F 1 = F 2 =1, e, se contarmos o número de coelhos, teremos F 1 = F 2 = 2. A sequência de números gerada no primeiro caso é exatamente a sequência de Fibonacci, enquanto que a sequência produzida no segundo caso seria exatamente o dobro da sequência de Fibonacci. Isto ilustra um ponto muito importante, a saber que a relação de recorrência que define a solução do problema é composta de duas partes: um conjunto de condições iniciais e uma fórmula que expresse o valor de um termo da sequência em função de termos anteriores. Portanto, (1) é apenas parte da relação de recorrência que, em sua forma completa, seria, se contássemos a população em termos de números de casais, F1 1 , F2 1 , Fn Fn1 Fn 2 , para n 3. (2) Note que, uma vez que uma relação de recorrência é estabelecida, podemos calcular termos anteriores aos que definem as condições iniciais usando a fórmula de recorrência, estendendo, portanto, a sequência. Assim, podemos calcular: F 0 = F 2 - F 1 = = 1-1 = 0. Neste caso, poderíamos redefinir a relação de recorrência para descrever a sequência estendida: F0 0 , F1 1 , Fn Fn1 Fn 2 , para n 2. (3) Em muitas ocasiões teremos necessidade de nos referir à(s) equação(ões) de recorrência, que é(são) obtida(s) da relação de recorrência retirando-se as condições iniciais. No caso da relação (3), a equação de recorrência seria Fn Fn1 Fn2 . -5- 3) Propriedades matemáticas e curiosidades da sequência de Fibonacci 3.1) Periodicidade da sequência de Fibonacci Os números de Fibonacci se tornam grandes rapidamente, porque sempre se somam dois números sucessivos para formar o seguinte. Enquanto o 5º número de Fibonacci é 5, o 125º é 59.425.114.757.512.643.212.875.125, e é interessante notar que o dígito da unidade aparece com uma periodicidade de 60 (isto é, a cada 60 números o digito se repete). Por exemplo, o segundo número é 1, e o sexagésimo segundo é 4.052.739.537.881 (também terminado em 1), e o 122º número, 14.028.366.653.498.915.298.923.761, também termina em 1; o mesmo vale para o 182º, e assim por diante. De mesmo modo, o 14º número é 377, e o 74º é 1.304.969.544.928.657, também termina com 7, e assim por diante. Esta propriedade foi descoberta em 1774 pelo matemático francês nascido da Itália Joseph Louis Lagrange (1736-1813), que é responsável por muitos trabalhos em Teoria dos Números e em Mecânica, e que também estudou a estabilidade do sistema solar. Os últimos dois dígitos (por exemplo, 01, 01, 02, 03, 05, 08, 13, 21, ...) se repetem na sequência com uma periodicidade de 300, e os três últimos dígitos com uma periodicidade de 1.500. Em 1963, Stephen P. Geller usou um computador IBM 1620 para mostrar que os últimos 4 dígitos se repetem a cada 15.000 vezes, e os últimos 5, a cada 150.000 vezes, e finalmente, após o computador rodar por quase 3 horas, uma repetição dos últimos 6 dígitos ocorreram no 1.500.000 números de Fibonacci. Sabendo que um teorema geral referente à periodicidade dos últimos dígitos poderia ser provado, Geller comentou: “Não parece existir ainda um modo de adivinhar o período seguinte, mas talvez um novo programa para a máquina que permita a inicialização em qualquer ponto da sequência para um teste irá reduzir o tempo de computação suficiente para que mais dados possam ser coletados”. Mas pouco tempo depois, o matemático israelense Dov Jarden mostrou que se pode provar rigorosamente que para qualquer número com últimos dígitos acima de três, a periodicidade é simplesmente: 15 10 n1 , onde n é o número dígitos que são repetidos. A demonstração da prova feita por Dov Jarden é muito extensa e não será apresentada nesse trabalho. -6- 3.2) O Triângulo de Pascal e a sequencia de Fibonacci Olhando para o Triângulo de Pascal podemos reparar que a soma dos números nas diagonais é sempre um número de Fibonacci, observe: 3.3) Soma dos termos da sequência de Fibonacci Considerando a sequência de Fibonacci, que é definida recursivamente por F1 1 , F2 1 e Fn Fn1 Fn2 , para n ≥ 3, faremos uma conjectura quanto à soma n F i 1 i e confirmaremos usando o princípio da indução matemática. F1 1 F1 F2 1 1 2 F1 F2 F3 1 1 2 4 F1 F2 F3 F4 1 1 2 3 7 Observando o esquema anterior e os resultados das somas, temos: F3 2 e F1 1 F3 1 F4 3 e F1 F2 2 F4 1 F5 5 e F1 F2 F3 4 F5 1 F6 8 e F1 F2 F3 F4 7 F6 1 Portanto, podemos fazer a conjectura: n F i 1 i Fn 2 1 -7- Precisamos provar sua veracidade, ou não, para todo valor de n ≥ 1. ( i ) Provar para n=1: 1 F i 1 F1 1 e F1 2 1 F3 1 1 i Portanto, a conjectura é válida para n=1. ( ii ) Supor válido para n = k e provar para n = k+1: k Hipótese de indução (HI) : F i 1 i Fk 2 1 Devemos provar que a mesma é válida para n = k+1. Sabemos que : k 1 Fi i 1 k F i 1 i Fk 1 . Usando a HI, temos: k 1 F i 1 Fk 2 1 Fk 1 i Fk 2 Fk 1 1 Como, por definição, k 1 F i 1 i Fk 3 Fk 2 Fk 1 , temos: Fk 3 1 F( k 1) 2 1 , que é a nossa conjectura para n = k+1. Logo, pelo Princípio da Indução Matemática, podemos afirmar que n F i 1 i Fn 2 1 , para todo inteiro n ≥ 1. -8- 3.4) Somas dos números de Fibonacci de ordem ímpar Agora seguindo a mesma ideia do item anterior, vamos somar somente os números de Fibonacci de ordem impar: Sabemos que: F2 = F1 => F1 = F2 F4 = F3 + F2 => F3 = F4 – F2 F6 = F5 + F4 => F5 = F6 – F4 . . . F2n = F2n-1 + F2n-2 => F2n-1 = F2n – F2n-2 A soma dos números de Fibonacci de ordem impar é: F1 + F3 + F5 + F7 + … + F2n-1 Substituindo os números impares pelas igualdades acima teremos: F2 + F4 – F2 + F6 – F4 + ... + F2n – F2n-2 Cancelando todos os membros que se anulam teremos: F1 + F3 + F5 + F7 + … + F2n-1 = F2n 3.5) Somas dos números de Fibonacci de ordem par Como a soma de todos os números de Fibonacci até a ordem 2n é: F1 + F2 + F3 + F4 + .....+F2n -1 + F2n = F2n+2 – 1 E a soma dos números de Fibonacci de ordem ímpar até 2n-1 é: F1 + F3 + F5 + F7 + …+ F2n-1 = F2n Então, subtraindo membro a membro as duas igualdades, restará somente a soma dos números de Fibonacci de ordem par no primeiro membro e no segundo membro: F2 + F4 + F6 + F8 +....+ F2n = F2n+2 – F2n –1 -9- Sabemos que : F2n+2 = F2n+1 + F2n => F2n+1 = F2n+2 - F2n Temos então: F2 + F4 + F6 + F8 +....+ F2n = F2n+1 –1 3.6) Fibonacci Pitagórico Os números de Fibonacci também estão relacionados às triplas pitagóricas. Estas últimas, como podemos recordar, são triplas de números que podem servir como comprimentos dos lados de um triângulo retângulo (como os números 3, 4 e 5). Tome quaisquer quatro números consecutivos de Fibonacci, como 1, 2, 3, 5. O produto dos números de fora, 1x5=5, duas vezes o produto dos números de dentro, 2 x 2 x 3 = 12, e a soma dos quadrados dos termos de dentro, 22 + 32 = 13, formam as 3 pernas da tripla pitagórica 5, 12, 13 (52+ 122= 132). Mas isso não é tudo. Note que o terceiro número, 13 é, ele próprio, um número de Fibonacci. Esta propriedade foi descoberta pelo matemático Charles Raine. 3.7) Retângulos ao quadrado Se você soma um número ímpar de produtos de números de Fibonacci sucessivos, então a soma é igual ao quadrado do último número de Fibonacci que você usou nos produtos. Um exemplo: 1, 1, 2, 3 1x1+1x2+2x3=1+2+6=9 Como o último número dessa sequencia é 3, temos que 3 2 = 9. Qualquer número ímpar de retângulos com lados iguais a números de Fibonacci se encaixa precisamente em um quadrado. - 10 - - 11 - 3.8) O número de ouro e a sequência de Fibonacci Qual é a relação entre a sequência de Fibonacci e o número de ouro? Observe, com atenção, a tabela abaixo: n Fn Fn/Fn-1 Fn/Fn-1 1 1 – – 2 1 1/1 1.000000000000000000... 3 2 2/1 2.000000000000000000... 4 3 3/2 1.500000000000000000... 5 5 5/3 1.666666666666666666... 6 8 8/5 1.600000000000000000... 7 13 13/8 1.625000000000000000... 8 21 21/13 1.615384615384615384... 9 34 34/21 1.619047619047619047... 10 55 55/34 1.617647058823529411... 11 89 89/55 1.618181818181818181... 12 144 144/89 1.617977528089887640... 13 233 233/144 1.618055555555555555... 14 377 377/233 1.618025751072961373... 15 610 610/377 1.618037135278514588... 16 987 987/610 1.618032786885245901... 17 1597 1597/987 1.618034447821681864... 18 2584 2584/1597 1.618033813400125234... 19 4181 4181/2584 1.618034055727554179... 20 6765 6765/4181 1.618033963166706529... 21 10946 10946/6765 1.618033998521803399... 22 17711 17711/10946 1.618033985017357939... A última coluna desta tabela sugere que, quando n cresce, a razão Fn / Fn-1 se aproxima cada vez mais do número de ouro: - 12 – Cálculo do número A razão áurea é definida algebricamente como: A equação da direita mostra que o que pode ser substituído na parte esquerda, resultando em: Cancelando b em ambos os lados, temos: Multiplicando ambos os lados por Finalmente, subtraindo parcelas por que é resulta: de ambos os membros da equação e multiplicando todas as encontramos: uma equação quadrática da forma em que Agora, basta resolver essa equação quadrática. Pela Fórmula de Bháskara: - 13 - A única solução positiva dessa equação quadrática é a seguinte: que é o número 4) Bibliografia “Introdução à Análise Combinatória”, José Plínio O. Santos, Margarida P. Mello, Idani T. C. Murari http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Fibonacci http://www.uff.br/sintoniamatematica/matematicaenatureza/matematicaenaturez a-html/audio-flores-br.html - 14 -
