VMA 00015 1 Lista 2 1. Dados três pontos colineares A, B e C tais

Fundamentos de Geometria – VMA 00015
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Lista 2
Universidade Federal Fluminense
Pólo Universitário de Volta Redonda
Instituto de Ciências Exatas
Departamento de Matemática
Axiomas de Medida de Segmentos
Prof. André Ebling Brondani
1. Dados três pontos colineares A, B e C tais que AB seja o triplo de BC, calcule as medidas
de AB e BC sabendo que AC mede 32 cm.
2. Dados três pontos A, B e C tais que A − B − C. Sejam M e N os pontos médios de AB e
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BC, respectivamente. Mostre que M N = AB + BC .
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3. Considere três pontos colineares A, B e C sendo que A − B − C e AB = BC. Se M é o ponto
médio de AB e N é o ponto médio de BC, mostre que M N = AB.
4. Qualquer que seja o segmento AB, mostre que existe um único ponto C entre A e B tal que
AC = k · AB, onde k é um número real positivo.
5. Se A e B são dois pontos distintos e k é um número real positivo, mostre que existe um único
−→
ponto P ∈ AB tal que AP = k · AB.
6. Prove que podemos traçar uma circunferência com qualquer centro e qualquer raio.
7. Um segmento ligando dois pontos de uma circunferência e passando pelo seu centro é chamado
de diâmetro. Mostre que todos os diâmetros têm a mesma medida.
8. Sejam M, N, A e B pontos distintos sobre uma mesma reta, sendo que M ∈ AB e que N está
fora de AB. Diz-se que M e N dividem harmonicamente o segmento AB quando
MA
NA
=
= a.
MB
NB
Determine as posições relativas dos quatro pontos quando a > 1.
Faça o mesmo para 0 < a < 1.
Fundamentos de Geometria – VMA 00015
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9. Suponha que M e N dividem harmonicamente o segmento AB.
(a) Mostre que
2
1
1
=
±
;
AB
AM
AN
2
(b) Se O é o ponto médio de AB, mostre que OA = OM · ON .
10. Considere quatro pontos A, B, C e D colineares. Se A − B − C e B − C − D, prove que
A − C − D.
11. Considere uma reta r. Associe a cada ponto de r um número real como é garantido pelo axioma
10. Seja A um ponto desta reta que tem coordenada x(A). Mostre que as duas semirretas `1
e `2 determinadas por A em r podem ser descritas como:
`1 = {B ∈ r; x(B) ≥ x(A)} e `2 = {B ∈ r; x(B) ≤ x(A)}.
12. Se P é o ponto de interseção de circunferências de raio R centradas nos pontos A e B. Mostre
que P A = P B.
13. Sejam A, B, C e D quatro pontos exteriores a uma circunferência de raio r e centro O. Suponha
que os segmentos AB, BC, CD e DA estão fora da circunferência e que o segmento AC contém
o ponto O. Mostre que AB + BC + CD + DA > 4r.
14. Dizemos que o ponto C de um dado segmento AB é a seção áurea de AB se C é tal que
AC
AB
=
. Neste caso, dizemos também que C divide AB em média e extrema razões.
CB
AC
√
√
5−1
5+1
(a) Se C é a seção áurea de AB, mostre que AC =
AB e AB =
AC.
2
2
√
5+1
(O número
é conhecido como número áureo).
2
(b) Mostre que todo segmento possui uma seção áurea.
15. Um subconjunto do plano é limitado se existe um disco aberto que o contém.
(a) Prove que qualquer conjunto finito do plano é limitado;
(b) Prove que todo segmento é limitado;
(c) Prove que todo triângulo é limitado;
(d) Prove que união finita de subconjuntos limitados é ainda um conjunto limitado;
(e) Prove que, dado um subconjunto limitado, M, no plano e um ponto P desse plano, existe
um disco aberto com centro em P e que contém M ; (Obs.: admita como verdadeira a
desigualdade triangular).
(f) Um conjunto que não é limitado é dito ilimitado (ou não limitado). Prove que retas são
conjuntos ilimitados.