geometria plana

GEOMETRIA PLANA
 Ângulos
Apostila Geometria
Turma : 1ª Série do Ensino Médio
Professor : Ricardo Viz Quadrat
Ângulo é o nome que se dá à abertura formada por duas
semi-retas que partem de um mesmo ponto.
A
Parte I - Revisão

Ângulos

0
AÔB ou 
B
A matemática é uma linguagem que busca dar
conta de aspectos do real e que é instrumento
formal de expressão e comunicação para
diversas áreas. Através da compreensão e
utilização
de
conhecimentos
científicos
presentes nas tecnologias podemos explicar o
funcionamento do mundo , bem como planejar,
executar e avaliar as ações de intervenção na
realidade ou em simulações. Além disso, a
matemática tem um valor formativo, o que
ajuda a estruturar o pensamento e o raciocínio
dedutivo, porém também desempenha um papel
instrumental, pois é uma ferramenta que serve
para a vida e muitas tarefas específicas em
quase todas as atividades humanas .
Ricardo Viz Quadrat
Bissetriz de um
ângulo é uma semi-reta de
origem no vértice do ângulo
que divide o mesmo em duas
partes iguais:
A
0


C
B
Em que:
OA e OB são lados do ângulo; O é o vértice.
 Observações:
ângulo
Representação
Medida em graus
B
reto
A
90º
0
raso
180º
A 0
B
A
agudo
menor que 90º

0
B
A
obtuso
maior que 90º

0
B

Ângulos Complementares.
Dois ângulos são complementares quando a soma de
suas medidas é igual a 90º.

Ex.:

Propriedade.
Ângulos opostos pelo vértice são congruentes.
Ângulos Correspondentes
Ocupam a mesma posição em sistemas angulares
distintos.
t
 +  = 90º

d

a
c
b

Obs.:
Ângulo
30º
10º
x
Complemento
60º
80º
90 – x

Ângulos Suplementares.
Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas
medidas é igual a 180º.
r
a e  são correspondentes.
b e  são correspondentes.
c e  são correspondentes.
d e  são correspondentes.



s

PARALELISMO.
Duas retas paralelas r e s , interceptadas por uma
transversal, determinam oito regiões angulares.
t
Ex.:
d


Obs.:
Ângulo
100º
40º
x
 +  = 180º
Ângulos Replementares
Dois ângulos são replementares quando a soma de suas
medidas é igual a 360º.


Obs.:
Ângulo
200º
50º
x
 +  = 360º
Replemento
160º
310º
360 – x

Ângulos Opostos pelo Vértice
São aqueles cujos lados de um são semi-retas opostas
dos lados do outro.




c
 e  são opostos pelo vértice.
 e  são opostos pelo vértice.

r
b

r // s
Suplemento
80º
140º
180 – x

a

s


Propriedade.
Entre retas paralelas, os ângulos correspondentes são
congruentes.
 Nomenclatura.
- ângulos alternos internos (congruentes)  c e d; b e .
- ângulos alternos externos (congruentes)  a e ; d e .
- ângulos colaterais internos (suplementares)  c e ; b e .
- ângulos colaterais externos (suplementares)  a e ; d e .
EXERCÍCIOS
1) Dê a medida do ângulo que somado o dobro do seu
complemento vale 140º.
2) Calcule um ângulo que somado ao quarto do seu
suplemento vale 90°.
3) Um Ângulo excede seu complemento em 48°. Determine
o suplemento desse ângulo.
4) O complemento da terça parte de um ângulo excede o
complemento desse ângulo em 30°. Determine o ângulo.
5) Duas paralelas são cortadas por uma transversal, de modo
que a soma de dois dos ângulos agudos formados vale
72o. Então, qualquer dos ângulos obtusos formados mede:
a) 142o
b) 144o
c) 148o
d) 150o
e) 152o
6) As retas r e s da figura são paralelas cortadas pela
transversal t. Se o ângulo B é triplo de A, então B - A
vale:
c)
11) Determinar o valor de x associado com:
a)
a) 20o
a) 90o
b) 85o
c) 80o
d) 75o
b) 25o
c) 40o
d) 50o
e) 70o
b) 25o
c) 40o
d) 50o
e) 70o
c) 110o
d) 120o
e) 22o40’
b)
e) 60o
7) As bissetrizes de dois ângulos consecutivos formam um
ângulo de 80º. Calcule esses dois ângulos, sabendo que a
3
medida de um deles é igual a
da medida do outro.
5
a) 20o
8) Na figura, sabendo que r // s, calcule o valor do ângulo y.
t
2x - 10º
y
x + 20º
r
s
a) 90o
9) Sendo a paralela a b, então o valor de x é:
a)
b)
c)
d)
e)
18º
45º
90º
60º 30’ 10”
n.r.a.
12) Se r//s, então  vale:
a
b) 100o
13) Sabendo que r // s, calcule x, indicado na figura:
135º
x
b
r
½x+ 2x
80º
10) Nas figuras, calcular a medida de .
s
20º
a)
b)