Geometria do Taxista

GEOMETRIA DO TAXISTA
Geometria do Taxista é uma geometria não-euclidiana, no sentido em que a noção de
distância não é a mesma.
De acordo com o desenho abaixo, suponhamos um motorista de táxi que apanha um cliente
no ponto A e este lhe diz que quer ir ao local representado pelo ponto B.
.
B
.
C
.
A
O motorista não pode percorrer o caminho direto de A para B. Ele terá que ir primeiro ao
ponto C, e depois seguir para B. A distância percorrida é diferente da euclidiana. A distância que
vai percorrer no trajeto não é dada pela fórmula euclidiana AB entre dois pontos pois o motorista
não pode ir direto, atravessando os prédios; mas pela soma de duas distancias em direções
perpendiculares a AC + CB.
A seguir, alguns aspectos da GMT que difere da euclidiana:
1. Vamos considerar A e B dois pontos no plano e (a1, a2), (b1, b2) suas coordenadas
respectivamente:
- A distância euclidiana é dada por:
distE =
(a1-b1)² + (a2-b2)²
- A distância na GMT é dada por:
distT = |a1-b1| + |a2-b2|
Comparação: na geometria euclidiana apenas um processo entre A e B, precisamente o segmento
AB, corresponde à respectiva distância. Na GMT existem vários outros que correspondem à distT
(A, B), conforme a figura abaixo:
.
A
.
B
2. Noções de circunferência:
- Na geometria euclidiana a noção de circunferência pode ser definida a partir da distância.
- Na GMT, suponhamos um ponto C e investiguemos qual é o lugar geométrico dos pontos cuja
distância (na GMT) ao ponto C é igual a 3, por exemplo.
..
. .. . .
..
C
.
C
No desenho acima, alguns pontos “óbvios” foram marcados na figura da esquerda, por exemplo, os
4 que distam 3 em linha reta do ponto C; depois, outros com a mesma distância mas passando por
caminhos diferentes. Na figura da direita, unindo esses pontos, foi construída a circunferência de
centro C, na GMT, que tem a forma de um quadrado centrado em C e com as diagonais dirigidas
segundo as duas direções da quadricula utilizada.
3. Noções de mediatriz:
- Assim como na circunferência, na geometria euclidiana, as noções de mediatriz podem ser
definidas diretamente a partir da distância.
- Na GMT, a mediatriz de um segmento, definida como lugar geométrico dos pontos eqüidistantes
dos extremos do segmento.
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. . . . ..
.
. . .
.
D
C
C
B
A
.
.
D
.
B
A
Na figura acima, a marcação de alguns pontos óbvios leva-nos à conjectura de que, quando o
segmento tem uma qualquer das direções da quadrícula, a mediatriz, tal como na geometria
euclidiana, se confunde com a perpendicular ao segmento passando pelo seu ponto médio.
Na figura a seguir, as regiões retangulares associadas a cada segmento são um indicador do tipo de
figura que a mediatriz vai ser. Para estas posições dos segmentos AB e CD, a mediatriz torna-se
uma linha poligonal (m para o segmento AB e n para o segmento CD) que contém um segmento “a
45°” e unindo dois pontos dos lados do retângulo associado a cada segmento e ainda duas semiretas tendo como direção uma das direções da quadrícula.
..
..
..
... .
A
.
. . ... . .
.
.
.
D
C
D
m
n
.
C
A
B
.
B
A figura abaixo mostra a mediatriz formada por um segmento e por duas regiões ilimitadas – isso
acontece quando o segmento faz ângulos iguais com as duas direções da quadrícula:
.
A
.
B
Supondo agora uma circunferência de centro desconhecido. Na geometria euclidiana basta construir
a mediatriz de duas cordas da circunferência e depois a sua intersecção para obter o centro. Na
GMT:
D
D
n
N
L
M
N
L
n
A
m
.
m
C
K
A
C
M
K
B
B
No caso da figura da esquerda, as duas cordas (MN e KL) têm mediatrizes que se cruzam no centro
da circunferência; no caso da figura da direita, as mediatrizes m e n das cordas escolhidas passam
pelo centro da circunferência, mas não se cruzam, são coincidentes em toda uma região que inclui o
centro; assim, não serve para definir o centro; teríamos que escolher outra corda mais conveniente
para este fim. Dois segmentos diferentes podem ter mediatrizes que estejam sobrepostas pelo menos
em parte; nada disto acontece na euclidiana.
4. Circunferência Circunscrita:
- na geometria euclidiana, começa-se por demonstrar que as mediatrizes dos lados de qualquer
triângulo se encontram num ponto e esse ponto é, portanto o centro da circunferência circunscrita.
- na GMT, utilizando os mesmos aspectos das mediatrizes e construção do gráfico correspondente a
uma circunferência, a partir de um triangulo qualquer são traçadas as mediatrizes de acordo com a
figura anterior. Pode-se observar que elas se encontram num ponto C. Calculando a distância entre
C e um dos vértices e traçando a circunferência de centro em C, com um raio de comprimento igual
a essa distância; a circunferência resulta circunscrita ao triangulo.
.
C
Outros aspectos da geometria euclidiana podem ser verificados na GMT. Krause, em seu livro sobre
a GMT, mostra, partindo de uma axiomática semelhante à exposta no livro Geometria Euclidiana,
que apenas um axioma da geometria euclidiana não é verificado pela GMT, a congruência de dois
triângulos com dois lados e o ângulo compreendido iguais, como na figura abaixo:
21/11/06
Universidade estadual de Campinas
Trabalho de MA241
Profª Eliane Q. F. Rezende
Assunto: Geometria do Taxista
Felipe Guimarães Buzato
Tiago Rosa Parra