a-ideia-de

Primeira parte: a ideia de fração
Se você quiser assustar alguém, sussurre a palavra
Sério, eu não sei o porquê de tanto pavor. Talvez
porque tem a ver com a divisão e a galera não curte
dividir. Ou quem sabe é porque fração se refere à parte e
ninguém gosta de viver em partes, mas por inteiro. E
quando digo que fração é número? ... Nossa! É cada expressão de espanto e logo vem
um “Mas, sôr, não são dois números?”.
Não se sabe se existe algum estudo estatístico, mas talvez assistir um filme de
terror e estudar fração geram quase o mesmo medo...
Mas vamos lá! Afinal, o que é fração?



É (são) uma (algumas) parte(s) de um (ou mais) inteiro(s).
Representa uma divisão.
É um número.
Três coisas?? Sim, três coisas. E dependendo da situação, pode significar mais outras.
Comecemos pela primeira ideia: é (são) uma (algumas) parte(s) de um (ou mais)
inteiro(s)
Quando se fala em inteiro, tem que entender que é algo que vai ser dividido, ou seja,
ainda está inteiro (dããããã). Pode ser uma tradicional barra de chocolate, uma
inconfundível pizza de queijo ou talvez o inesquecível retângulo.
Bom, você deve lembrar, vagamente, dessa aula na escola... eu disse vagamente! Ah, é
a primeira vez estudando fração? Melhor ainda!!!
Mas, antes, vamos fazer uma combinação:
Tudo é perfeito e funciona.
Entendeu? Vou repetir:
1
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Agora, sim, prepare-se...
Imagine que alguns de seus amigos te convidaram para comer uma pizza na sua
casa... Isso mesmo: na sua casa. Mas todo mundo vai ajudar! Eles vão levar a alegria e
você a pizza e a bebida.
Bom, considere que a pizza é um círculo perfeito (lembre-se da combinação) e
que será dividida entre você e seus amigos, digamos um total de quatro pessoas. Se a
pizza for dividida em quatro pedaços iguais e, cada um comer um pedaço, significa que
cada um vai comer um quarto da pizza. Representamos o que cada um comeu pela
fração
1
4
(um quarto)
Mas vamos supor que essa pizza não tenha sido dividida em quatro pedaços, mas
em oito pedaços iguais. Afinal, comer uma fatia muito grande pode deixá-la fria no final,
não é mesmo? E cada um come dois pedaços. Uma fatia nessa nova divisão é
representada por
1
8
(um oitavo)
Se, dessa última divisão, já foram consumidos três fatias, então podemos
representar esse consumo por
3
8
(três oitavos)
E se a pizza for dividida em treze pedaços iguais? Tudo bem. Cinco fatias podem ser
representadas por
5
13
(cinco treze avos)
Como? A gente usa “avo” para frações em que o denominador é
maior do que dez. Mas isso é assunto para daqui a pouco com os
nomes das frações. Seguimos com a confusão da pizza...
2
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O que você já percebeu até então?... Ah, nada?... Tá, começa a leitura novamente e
quando chegar aqui responde:
“Puxa, mas é óbvio! O denominador mostra em quantas partes foi
dividido o inteiro e o numerador quantas partes foram consideradas!”
Tá ficando mais claro? Espero que sim. No caso do exemplo que estamos vendo,
quando dizemos que 3/8 da pizza já foram devoradas, significa que foram 3 fatias
(partes) de uma pizza (inteiro) que foi dividida em 8 partes iguais.
Às vezes um desenho deixa mais simples. Olha:
3
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Aí você vai perguntar (é minha esperança, né?): “Tá, mas e aquelas frações que
tem o numerador maior do que o denominador?”.
Bom, nesse caso, significa que temos mais de um inteiro. Vamos supor que foram feitas
duas pizzas de mesmo tamanho e que foram divididas em oito partes. Se alguém,
sozinho, comer onze fatias, então essa quantidade pode ser representada por
11
8
Veja que
8 3 11
+ =
8 8
8
Desse jeito, podemos relacionar fração de qualquer coisa “inteira”!!
Olha os exemplos:
1) Em um pote com 15 bombons, Anastrogildo comeu 2/3 do total e teve uma bela dor
de barriga. O banheiro virou seu segundo quarto. Quantos bombons Anastrogildo
comeu?
O denominador (3) indica em quantas partes foi dividido o total de bombons, ou seja,
15 ÷ 3 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 = 5 bombons em cada parte.
O numerador (2) indica quantas partes esse morto de fome comeu, ou seja, 2 partes. Isso
dá 2 × 5 = 10 bombons. E dá-lhe chá de boldo!
4
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2) Biangelize resolveu fazer uma saia com a toalha de mesa de sua mãe. A toalha tem o
formato de um retângulo e tem 6 metros quadrados. Biangelize decidiu cortar 1/3 dessa
toalha. Sabendo que a tesoura que ela usou é cega e que ela levou um tempão para
cortar esse pedaço, quantos metros quadrados foram utilizados para essa saia?
O que diz o denominador? Isso! Em quantas partes foi dividida a toalha. Desse jeito, a
toalha foi dividida em 3 partes. Logo, cada parte tem 6 ÷ 3 = 2 metros quadrados.
O que diz o numerador? Boa! Quantas partes Biangelize usou para fazer a saia. Logo, ela
pegou uma parte, ou seja, 2 metros quadrados.
3) De um galão de 20 litros de água, completamente cheio, o
estudante chinês Ja Fhui utiliza 3/10 para preparar um chá de
mosquito, excelente para insônia. Quantos litros de água Já Fhui
utiliza para preparar esse delicioso chá?
A quantidade total foi dividida em 10 partes. Logo, cada parte tem
20 ÷ 10 = 2 litros. Como Já Fhui utilizou 3 partes, então são 3 × 2 =
6 litros de água.
4) De um total de 3 Gb de
Hkshnaodapralertudokiskjy
ainda resta para ele
seu
pacote
de
dados,
Andrew
já consumiu 2 Gb. Que fração representa o que
consumir?
A divisão mais simples do
total de dados a ser feita é aquela cujo
denominador é o número que representa esse total. Nesse caso, 3. Como ele já consumiu
2 partes, então falta uma parte. Logo, a fração que representa o que falta é 1/3.
5) Petrolinea Perri é uma ótima professora! A galera adora suas aulas. Teve um dia que
faltaram 2/5 de seus alunos, de uma turma de 35 alunos. O porquê? Consumo exagerado
de fast food. Todos esses que faltaram se encontraram em um shopping na tarde
anterior e se empanturraram com esses lanches. Resultado: um piriri “daqueles” que
eles mal paravam em pé. Mas, afinal, quantos alunos foram à aula da professora
Petrolinea?
Veja bem. Se faltaram 2 partes da turma, então significa que foram as 3 partes restantes.
Logo, a fração da turma que compareceu é 3/5. Os 35 alunos foram divididos em 5
partes, ou seja, cada parte com 35 ÷ 5 = 7 alunos. Sendo 3 partes presentes, então são
3 × 7 = 21 alunos presentes... e com saúde!
5
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Agora, a segunda ideia: representa uma divisão.
Sabe aquela barrinha que fica entre o carinha de cima (numerador) e o carinha
de baixo (denominador)? Pois então! Essa barrinha representa uma divisão. Uma divisão
entre o numerador e o denominador, beleza?
É aqui que começa a aparecer o número com vírgula...
A vírgula separa dois mundos! Mundo inteiro e mundo decimal!
Mas vamos começar devagarinho, onde a divisão entre o numerador e o
denominador geram outros inteiros. Pisca o olho:
5
5
= 1 (𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜)
18
9
12
4
30
6
= 2 (𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜𝑠)
= 3 (𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜𝑠)
= 5 (𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜𝑠)
E por aí vai...
O medo surge quando a divisão não é exata! Quando tem inteiro e mais uns
“pedacinhos”. Mas, calma! Não se assuste! Aliás, esse medo já passou no início da
página 3, quando você entendeu o que era fração. O que vamos apresentar agora é uma
outra “roupa” de fração chamada de número decimal.
Considere a fração
1
10
(um décimo)
e sua roupa decimal
1
= 0,1
10
6
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Isso mesmo! Um décimo é igual a zero vírgula um. Podemos dizer que a “origem”
dos números decimais, especificamente os números com vírgula, é o 0,1. Discussão para
mais tarde, tomando um suco de laranja e comendo um pastel de queijo.
É a partir dele que construímos os outros números decimais, mais diretamente
os decimais exatos, porque tem alguns decimais que não são exatos, eles continuam,
continuam e continuam.... Mas, cuidado! Nem todo número decimal é outra roupa de
uma fração. São os números irracionais, que vamos deixar para um outro dia, ok?
Os decimais que não são exatos, aqui na nossa conversa, são decimais que tem
alguns algarismos que se repetem infinitamente. Olha dois exemplos:
0,376 (𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙 𝑒𝑥𝑎𝑡𝑜)
0,376376376 … (𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙 𝑛ã𝑜 𝑒𝑥𝑎𝑡𝑜)
Entendeu? O da esquerda “termina” (exato) e o da esquerda não “termina” (não
exato). Por isso os pontinhos “...” (reticências).
Voltando aos decimais exatos... Como 1/10 é igual a 0,1, podemos estabelecer o
seguinte:
2
= 0,2
10
3
= 0,3
10
4
= 0,4
10
5
= 0,5
10
6
= 0,6
10
7
= 0,7
10
8
= 0,8
10
9
= 0,9
10
Mas como assim?? Uma forma de verificar a verdade dessas frações e suas roupas
decimais é “desmanchar” cada uma em adição. Gruda o olho:
2
1
1
=
+
= 0,1 + 0,1 = 0,2
10 10 10
3
2
1
=
+
= 0,2 + 0,1 = 0,3
10 10 10
4
3
1
=
+
= 0,3 + 0,1 = 0,4
10 10 10
E segue o fluxo...
Sem querer, já estamos conversando sobre adição de números decimais... Viu como
uma coisa puxa outra? Mais um conhecimento para ser dividido!
7
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O segredo de encontrar o número decimal é encontrar uma fração equivalente a qual
estamos fazendo a divisão. Te liga:
2
4
=
= 0,4
5 10
Veja que multiplicamos por 2 o numerador (2) e o denominador (5). Logo, fazendo a
mesma operação* em cima e embaixo, obtemos uma fração equivalente (que não deixa
de ser igual, pra falar a verdade)! Assim,
2
= 0,4
5
Tá, mas e se na hora de procurar uma fração equivalente eu não conseguir encontrar
uma com denominador 10? Bom, aí a gente tenta com 100, 1000, 10 000, e por aí vai.
Olha:
1
25
=
= 0,25
4 100
Tanto o numerador quanto o denominador foram multiplicados por 25.
Opa! Já não tem só uma casa decimal! E agora?...
Vamos ver mais exemplos até chegar em algum lugar... porque em algum lugar a gente
vai chegar!
3
75
=
= 0,75
4 100
5 125
=
= 1,25
4 100
10 250
=
= 2,50
4
100
7 175
=
= 1,75
4 100
Agora, mudando o denominador...
3
375
=
= 0,375
8 1000
Hey! Aumentou mais uma casa decimal! Para ter o 1000, multiplicamos o numerador e
o denominador da fração original por 125.
5
625
=
= 0,625
8 1000
10 1250
=
= 1,250
8
1000
8
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7
875
=
= 0,875
8 1000
Hum... tá rolando uma parada estranha aí...
Volta nos exemplos anteriores, lá onde o denominador é 10 e volta até aqui, ok?
Já leu novamente? Ok, espero que sim. Olha que legal:
Quando a fração tem denominador 10, seu número decimal tem apenas uma casa
decimal... Reparou?
E quando a fração tem denominador 100, seu número decimal tem apenas duas casas
decimais... Te ligou?
... Nas frações com denominador 1000, o número decimal tem apenas três casas
decimais...
Se você está prestando atenção a essa leitura, longe da TV, longe do computador e de
todos os seus atrativos, longe do telefone celular, longe da cozinha (calma que a janta
tá quase pronta) ou longe da janela de onde se vê uma nuvem no formato de um
elefante pulando corda, então você vai perceber que há algo em comum com a
quantidade de zeros depois do “1” no denominador da fração e o número de casas
decimais... Mira!
Denominador Números de zeros Número de casas decimais
10
um
uma
100
dois
duas
1000
três
três
10000
quatro
quatro
100000
cinco
cinco
Ou seja, para descobrir o número decimal de uma fração com esses denominadores (ou
equivalentes), basta repetirmos o valor do numerador e ajustar a vírgula de acordo com
o número de casas decimais.
Com essa observação, podemos chegar a uma regrinha prática:
1 ⏟
000 … 0
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒
𝑧𝑒𝑟𝑜𝑠
= ⋯,⏟
…………………
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒
𝑐𝑎𝑠𝑎𝑠
𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑖𝑠
9
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Olha como fica tranquilo, agora...
2
= 0, 002
⏟
1 000
⏟
3 𝑐𝑎𝑠𝑎𝑠
34
= 0,
1 00
⏟
592
= 59,
1 ⏟
0
8234
= 823,
1 ⏟
0
3
𝑧𝑒𝑟𝑜𝑠
1
𝑧𝑒𝑟𝑜
2
𝑧𝑒𝑟𝑜𝑠
𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑖𝑠
⏟
2
1 𝑐𝑎𝑠𝑎
𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙
1
𝑧𝑒𝑟𝑜
179
= 0, 000179
⏟
1 000000
⏟
6 𝑐𝑎𝑠𝑎𝑠
6
𝑧𝑒𝑟𝑜𝑠
0,028 =
34
⏟
2 𝑐𝑎𝑠𝑎𝑠
𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑖𝑠
𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑖𝑠
28
1000
89330
= 893,
1 00
⏟
2
𝑧𝑒𝑟𝑜𝑠
48,09 =
⏟
4
1 𝑐𝑎𝑠𝑎
𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙
30
⏟
2 𝑐𝑎𝑠𝑎𝑠
𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑖𝑠
4809
100
Bom, depois de toda essa conversa fica fácil ver como transformar as frações
decimais em números decimais (e vice-versa).
E aquelas frações que não tem como “transformar” em outra equivalente com
denominador 10, 100, 1000 ou outro “parente” deles? Como faz?
Isso é história para a terceira parte do material de frações! Aí a gente fala mais
sobre dizimas periódicas e números decimais...
Mas agora vamos a...
...terceira ideia de fração: é um número.
Toda fração, sendo decimal ou não, representa um número. Entendeu?
UM número.
Talvez essa poderia ter sido a primeira ideia de fração a
ser apresentada, mas deixei para o fim, não para fazer mistério,
mas para “concluir” que, apesar de todas as peripécias que se
pode fazer utilizando-a, fração é um número.
Se você chegou até aqui procurando saber o que era
fração, significa que já passou pelos números naturais e pelos números inteiros. As
frações são números racionais, que de certa forma significam divisão, como vimos
anteriormente.
Número é número. Não se discute.
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Sabe aquela brincadeira de adivinhar o número? Não? É a que diz assim:
“Pense em um número. Multiplique por 3. Ao resultado, some 2. A esse, multiplique por
5. Qual foi a resposta final?”. Daí a pessoa que está perguntando adivinha o número que
você pensou.
Proponho que pense em uma fração caso alguém queira fazer essa brincadeira com
você.... E deixe o “mágico” quebrar a cabeça para descobrir!!
E então? Ficou mais claro? Caso
[email protected] !
ainda
tenha
dúvidas,
envie-as
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E no próximo material....
 Simplificação de frações
 Operações com frações
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