Problemas Resolvidos de Física

Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
Problemas Resolvidos de Física
HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FUNDAMENTOS DE FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE
JANEIRO, 1996.
FÍSICA 2
CAPÍTULO 16 – FLUIDOS
67. Se a velocidade de escoamento, passando de baixo de uma asa, é 110 m/s, que velocidade de
escoamento na parte de cima criará uma diferença de pressão de 900 Pa entre as superfícies de
cima e de baixo? Considere a densidade do ar  = 1,30  103 g/cm3. (Ver Exercício 66.)
(Pág. 73)
Solução.
Considere o seguinte esquema:
B
ps
vs
A
vi
pi
Aplicando-se a equação de Bernoulli aos pontos A e B, localizados sobre as linhas de corrente do ar
bem próximas à asa, nas partes inferior (i) e superior (s):
1
1
ps   gys   vs2  pi   gyi   vi2
2
2
Os termos gyi e gys são aproximadamente iguais. Logo:
1/ 2
2
1

vs    pi  ps   vi2  
2

 
1/ 2


2
1
2

3
vs  
900
Pa

1,30
kg/m
110
m/s







3 
2
 
 1,30 kg/m  
 116,1232
m/s
vs  116 m/s
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a
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Cap. 16 – Fluidos
1
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FÍSICA 2
CAPÍTULO 18 – DINÂMICA DOS FLUIDOS
12. Em um furacão, o ar (densidade 1,2 kg/m3) sopra sobre o telhado de uma casa a 110 km/h. (a)
Qual a diferença de pressão entre o interior e o exterior da casa que tende a arrancar o teto? (b)
Qual o módulo da força devida a esta diferença de pressão sobre um teto de 93 m2 ?
(Pág. 94)
Solução.
Considere o seguinte esquema da situação, onde A é a área do telhado:
ve
i
e
A
F
(a) Aplicando-se a equação de Bernoulli aos pontos localizados no interior (i) e no exterior (e) do
telhado da casa:
1
1
pi   gyi   vi2  pe   gye   ve2
2
2
A pressão no interior é a pressão atmosférica (p0), enquanto que a pressão no exterior é p.
Considerando-se que os pontos i e e encontram-se no mesmo nível em relação ao solo, teremos yi =
ye = y. Pode-se considerar que a velocidade do ar no interior (vi) é aproximadamente zero. Logo:
1
pi   gy  0  pe   gy   ve2
2
2
pi  pe 
1 2 1
 110

 ve  1, 2 kg/m3  
m/s   560,1851
2
2
 3, 6

Pa
pi  pe  560 Pa
(b)
F   pi  pe  A   560,1851 Pa   93 m2   52.097, 222
N
F  52 kN
Esta força é equivalente ao peso de uma massa de cerca de 5 toneladas, ou seja, cerca de cinco
carros de passeio.
13. As janelas de um edifício medem 4,26 m por 5,26 m. Num dia de tempestade, o vento está
soprando a 28 m/s paralelamente a uma janela do 53o andar. Calcule a força resultante sobre a
janela. A densidade do ar é 1,23 kg/m3.
(Pág. 94)
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a
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Cap. 18 – Dinâmica dos Fluidos
2
Problemas Resolvidos de Física
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Solução.
Aplicando-se a equação de Bernoulli a pontos localizados no interior (i) e no exterior (e) da janela
do prédio:
1
1
pi   gyi   vi2  pe   gye   ve2
2
2
Considerando-se que a pressão no interior é a pressão atmosférica (p0), que a pressão no exterior é
p, que yi = ye e que a velocidade do ar no interior (vi) é aproximadamente zero, teremos:
1
p0  p   v 2
2
Nesta equação, chamamos a velocidade do ar no exterior simplesmente de v. Logo:
1
(1)
p0  p   v 2
2
A força resultante sobre o vidro será:
F   p  p0  A   p  p0  DH
Na Eq. (2), D é a largura e H é a altura da janela. Substituindo-se (1) em (2):
1
1
2
F   v 2 DH  1, 23 kg/m3   28 m/s   4, 26 m  5, 26 m   10.804, 048
2
2
F  10,8 kN
(2)
N
Esta força é exercida de dentro para fora do edifício. Quanto maior for a velocidade do vento no
exterior, maior será a diferença de pressão sobre a janela e, portanto, maior será a força. Caso esta
força seja maior que a força máxima de coesão do material que compõe o vidro, haverá ruptura do
mesmo.
15. A Fig. 30 mostra um líquido escoando por um orifício em um tanque de grandes dimensões a
uma distância h abaixo da superfície do líquido. O tanque é aberto na parte superior. (a)
Aplicando a equação de Bernoulli à linha de corrente que liga os pontos 1, 2 e 3, mostre que a
velocidade com que o líquido sai do orifício é
v  2 gh .
Este resultado é conhecido como lei de Torricelli. (b) Se a saída do orifício apontasse
diretamente para cima, qual seria a altura máxima atingida pelo jato de líquido? (c) Como a
viscosidade ou a turbulência afetariam a sua análise?
(Pág. 94)
Solução.
(a) Considere o seguinte esquema da situação:
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a
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Cap. 18 – Dinâmica dos Fluidos
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y
h
1
2
0
v
Aplicando-se a equação de Bernoulli aos pontos 1 e 2, teremos:
1
1
p1   gy1   v12  p2   gy2   v22
2
2
A análise da situação revela que p1 = p2 = p0, em que p0 é a pressão atmosférica. Considerando-se
que o diâmetro do tanque é muito maior do que o diâmetro do orifício, temos que v1  v2. Logo, se
observarmos o escoamento por curto período de tempo podemos supor que v1  0. De acordo com o
referencial adotado temos y2 = 0. Portanto:
1
p0   gh  0  p0  0   v 2
2
1
gh  v 2
2
v  2 gh
Este resultado é o mesmo obtido para um corpo solto em queda livre de uma altura h.
(b) Considere o seguinte esquema:
y
h
0
1
3
v
2
Aplicando-se a equação de Bernoulli aos pontos 3 e 4, teremos:
1
1
p3   gy3   v32  p4   gy4   v42
2
2
No topo do jato líquido a velocidade de escoamento é zero.
1
p0  0   v 2  p0   ghmax  0
2
Substituindo-se o resultado do item (a):
1
 2 gh   ghmax
2
hmax  h
Este resultado é esperado, pois sendo o fluido ideal não há dissipação de energia mecânica durante
o fluxo. Logo, a energia potencial gravitacional inicial que é convertida em energia cinética no item
(a) é reconvertida em potencial no item (b).
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a
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Cap. 18 – Dinâmica dos Fluidos
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(c) A viscosidade do líquido dissiparia parte da energia mecânica do sistema, enquanto que a
turbulência ocasionaria perda de pressão. Em ambos os casos, o resultado prático seria a diminuição
da velocidade de saída do fluido em (a) e da altura em (b).
16. Um tanque contém água até a altura H. É feito um pequeno orifício em sua parede, à
profundidade h abaixo da superfície da água (Fig. 31). (a) Mostre que a distância x da base da
parede até onde o jato atinge o solo é dado por x = 2 [h(H  h)]1/2. (b) Poderia ser perfurado um
orifício a outra profundidade, de modo que este segundo jato tivesse o mesmo alcance? Em caso
afirmativo, a que profundidade? (c) Determinar a que profundidade h deveria ser feito um
pequeno orifício para que a água que sair por ele atinja o solo à distância máxima da base. Qual
é esta distância máxima?
(Pág. 94)
Solução.
Considere o seguinte esquema da situação:
y
1
h
v2
H
2
x
x
Aplicando-se a equação de Bernoulli aos pontos 1 e 2:
1
1
p1   gy1   v12  p2   gy2   v22
2
2
1
1
p0   gy1   0  p0   gy2   v22
2
2
1
 g  y1  y2    v22
2
Como y1  y2 = h, temos:
v2  2 gh
(1)
Na coordenada x, o jato de fluido possui velocidade constante:
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x  x0  vxt
x  0  v2t
(2)
Substituindo-se (1) em (2):
x  t 2 gh
(3)
Na coordenada y, o jato de fluido possui movimento com aceleração constante:
1
y  y0  v0 y t  at 2
2
1
0  y0  0t  gt 2
2
1
  H  h    gt 2
2
t
2  H  h
g
(4)
Na Eq. (4), t é o tempo que o jato de fluido leva para atingir o solo. Substituindo-se (4) em (3):
x
x2
2  H  h  2 gh
g
 H  h h
(5)
(b) Sim. Veja o esquema a seguir.
y
1
h
h’
H
x
x
A outra profundidade (h’) deve produzir o mesmo alcance x. Isto significa que na expressão:
 H  h  h  2  H  h h
 H  h  h   H  h h
h  Hh   Hh  h   0
x2
'
'
'2
'
'
'
2
As raízes desta equação são:
h1'  h
h2'  H  h
Logo:
h'  H  h
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(c) O alcance máximo é obtido derivando-se (5) em relação a h e igualando-se o resultado a zero
(ponto de máximo da função):
dx d

2  H  h h  0
dh dh
H  2h
0
 H  h h

h

H
2
20. A água represada por um dique tem 15,2 m de profundidade. Um cano horizontal de 4,30 cm de
diâmetro passa através do dique 6,15 m abaixo da superfície da água, como ilustra a Fig. 34. A
extremidade do cano no lado seco do dique está tampada. (a) Calcule a força de atrito entre a
parede do cano e a tampa. (b) A tampa é removida. Qual o volume de água que escoa pelo cano
em 3 horas?
(Pág. 94)
Solução.
Considere o seguinte esquema da situação:
y
1
h
0
3
2
d/2
fat
F
(a) Para que a rolha permaneça em equilíbrio estático na horizontal (coordenada x), a força devido à
pressão hidrostática, exercida da esquerda para a direita, deve ter o mesmo módulo da força de
atrito estático entre a rolha e a represa, exercida da direita para a esquerda. Logo:
  d 2 
f at  F  p2 A2    gh     
  2  
f at 
 ghd 2
4

  998 kg/m3  9,81 m/s 2   6,15 m  0, 043 m 
4
2
 87, 4382
N
f at  87 N
(b) Considere agora o seguinte esquema para a nova situação:
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a
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y
1
h
0
3
d/2
v3
2
Para determinar o volume escoado é preciso calcular a vazão, que por sua vez depende do cálculo
da velocidade de escoamento (v3). Este é feito por meio da aplicação da equação de Bernoulli aos
pontos 1 e 3:
1
1
p1   gy1   v12  p3   gy3   v32
2
2
1
1
p0   gy1   0  p0   gy3   v32
2
2
1
 g  y1  y3    v32
2
Como y1  y3 = h, temos:
v3  2 gh
A vazão no ponto 3 (Vz) vale:
V
d 
 A3v3      2 gh
t
2
2
Vz 
V 
V 
d2
4
2 gh  t
  0, 043 m 
4
2
3.600 s 

2  9,81 m/s 2   6,15 m   3 h 
  172, 2810
h 

m3
V  170 m3
21. Um sifão é um dispositivo para remover líquidos de um recipiente que não pode ser tombado.
Ele funciona como mostra a Fig. 35. O tubo deve ser inicialmente cheio, mas tão logo isso tenha
sido feito, o líquido escoará até que seu nível paire abaixo da abertura do tubo em A. O líquido
tem densidade  e viscosidade desprezível. (a) Com que velocidade o líquido sai do tubo em C?
(b) Qual é a pressão no líquido no ponto máximo B? (c) Qual é a maior altura possível h1, a que
um sifão pode fazer subir a água?
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a
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y
0
(Pág. 95)
Solução.
(a) Aplicando-se a equação de Bernoulli aos pontos S e C, teremos:
1
1
pS   gyS   vS2  pC   gyC   vC2
2
2
Como vS  vC, é razoável desprezar o termo que envolve vS. Logo:
1
p0   g  d  h2   0  p0  0   vC2
2
vC  2 g  d  h2 
(b) Aplicando-se a equação de Bernoulli aos pontos B e C, teremos:
1
1
pB   gyB   vB2  pC   gyC   vC2
2
2
1
1
pB   g  d  h1  h2    vB2  p0  0   vC2
2
2
De acordo com a equação de continuidade, temos:
AB vB  AC vC
(1)
Como AB = AC, isto implica em vB = vC. Aplicando-se este raciocínio em (1), teremos:
pB   g  d  h1  h2   p0
pB  p0   g  d  h1  h2 
(c) Uma das condições que limitam a altura h1 é a velocidade com que o líquido passa pelo ponto B.
Quanto maior for h1, menor será vB. O maior valor que h1 pode ter é quando vB = 0. Logo,
aplicando-se a equação de Bernoulli aos pontos S e B, teremos:
1
1
pS   gyS   vS2  pB   gyB   vB2
2
2
p0   g  d  h2   0  pB   g  d  h1  h2   0
p0  pB   gh1
(2)
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Na Eq. (2), a soma pB + gh1 deve ter o valor constante p0 (pressão atmosférica). Quanto maior for
h1, menor deverá ser pB para que a soma continue dando p0. O limite dessa situação ocorre quando
pB = 0. Neste caso, h1 = h1max. Portanto:
p0  0   gh1max
h1max
1, 015 Pa 

p0


 10,3162
 g  998 kg/m3  9,81 m/s 2 
m
h1max  10,3 m
25. Um tubo oco está colado, em uma das extremidades, a um disco DD (Fig. 37). O conjunto é
colocado um pouco acima de um outro disco CC de papelão. Soprando-se pelo tubo, o disco CC
é atraído para DD. Seja A a área do papelão e v a velocidade média do ar entre CC e DD.
Determinar a força dirigida para cima que atua no papelão, cujo peso deve ser desprezado.
Suponha que v0  v, onde v0 é a velocidade do ar no interior do tubo.
(Pág. 95)
Solução.
Considere o seguinte esquema da situação:
1
-v
p
p0
2
v
Fres
A força resultante sobre o papelão vale:
Fres  pres A   p0  p  A
(1)
Para calcular pB, aplicamos a equação de Bernoulli aos pontos 1 e 2:
1
1
p1   gy1   v12  p2   gy2   v22
2
2
Como p1 = p0, gy1  gy2 (a pressão exercida por uma coluna de ar pequena é desprezível) e v0 
v, teremos:
1
p0  p   v 2
2
1
(2)
p0  p   v 2
2
Substituindo-se (2) em (1):
________________________________________________________________________________________________________
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Fres 
1 2
v A
2
27. O ar escoa sobre a parte superior da asa de um avião, cuja área é A, com velocidade vs, e sob a
parte inferior da asa com velocidade vi. Mostre que a equação de Bernoulli prevê que a força de
sustentação S orientada para cima sobre a asa será
1
S   A  vs2  vi2 
2
onde  é a densidade do ar. (Sugestão: Aplique a equação de Bernoulli a uma linha de corrente
bem próxima à superfície superior da asa e a outra linha de corrente igualmente próxima à
superfície inferior. Você pode justificar o fato de termos considerado as constantes para as duas
linhas de corrente iguais?)
(Pág. 96)
Solução.
Considere o seguinte esquema da situação:
S
B
vs
A
vi
A força de sustentação (S) é a força resultante da diferença de pressão do ar imediatamente acima e
abaixo da asa (pi  ps).
Fres  S   pi  ps  A
(1)
O termo pi  ps é pode ser calculado por meio da aplicação da equação de Bernoulli às linhas de
corrente do ar bem próximas à asa, nas partes superior e inferior:
1
1
ps   gys   vs2  pi   gyi   vi2
2
2
Como gys  gyi (a pressão exercida por uma coluna de ar pequena é desprezível), teremos:
1
(2)
pi  ps    vs2  vi2 
2
Substituindo-se (2) em (1):
1
S   A  vs2  vi2 
2
A equação de Bernoulli somente tem validade quando aplicada a pontos sobre a mesma linha de
corrente. Para que ela possa ser plicada a pontos que estejam em linhas de corrente diferentes, o
escoamento além de ser estacionário, incompressível e não-viscoso, deverá ser irrotacional. Para
que seja irrotacional e homogêneo, as linhas de corrente do escoamento devem ser paralelas e
igualmente espaçadas, como no esquema abaixo:
________________________________________________________________________________________________________
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Cap. 18 – Dinâmica dos Fluidos
11
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No caso das linhas de corrente que fluem ao longo da asa do avião, essa condição não é satisfeita.
Pode-se obter boa aproximação ao tomarmos pontos sobre linhas de corrente próximas à asa, acima
e abaixo da mesma, como os pontos A e B do esquema inicial.
31. Considere o medidor de Venturi da Fig. 9. Aplicando-se a equação de Bernoulli aos pontos 1 e
2, e a equação de continuidade (Eq. 3), verifique a Eq. 11 para a velocidade do escoamento no
ponto 1.
Eq. 3
A1v1  A2v2
va
2   '    gh
  A2  a 2 
Eq. 11
(Pág. 96)
Solução.
Aplicando-se a equação de continuidade aos pontos 1 e 2, teremos:
A1v1  A2v2
v2 
A1v1
A2
(1)
Aplicando-se a equação de Bernoulli aos pontos 1 e 2, teremos:
1
1
p1   gy1   v12  p2   gy2   v22
2
2
Como os pontos 1 e 2 estão no mesmo nível em relação ao solo horizontal, temos y1 = y2. Logo:
1
1
p1  p2   v22   v12
2
2
Mas, p1  p2 = (’  )gh, em que ’ é a densidade do líquido no tubo curvo. Logo:
  '    gh  12   v22  v12 
________________________________________________________________________________________________________
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Cap. 18 – Dinâmica dos Fluidos
12
Problemas Resolvidos de Física
v v 
2
2
2
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2   '    gh

(2)
Substituindo-se (1) em (2):
2   '    gh
 A1v1 
2

  v1 

 A2 
2
v 
2
1
2   '    gh
 A12  A22 

2
 A2 

v1  A2
2   '    gh
  A12  A22 
________________________________________________________________________________________________________
a
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Cap. 18 – Dinâmica dos Fluidos
13
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
Problemas Resolvidos de Física
RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 5.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 2003.
FÍSICA 2
CAPÍTULO 16 – DINÂMICA DOS FLUIDOS
05. (a) Considere um fluido de massa específica  que escoa com velocidade v1 e passa
abruptamente de uma tubulação cilíndrica com área de seção transversal a1, para outra
tubulação cilíndrica mais larga, cuja área de seção transversal é a2 (veja a Fig. 36). O jato de
líquido que emerge da tubulação estreita mistura-se com o que se encontra na tubulação mais
larga, depois ele escoa quase uniformemente com velocidade média v2. Sem se preocupar com
os detalhes de menor importância relacionados à mistura, utilize o conceito de momento linear
para mostrar que o aumento de pressão devido à mistura é aproximadamente igual a
p2  p1   v2  v2  v1  .
(b) Mostre, partindo-se da equação de Bernoulli, que em uma tubulação cuja seção transversal
aumente gradativamente, esta diferença de pressão pode ser expressa por
1
p2  p1    v12  v22  .
2
(c) Determine a perda de pressão devida ao alargamento brusco da tubulação. Você seria capaz
de fazer uma analogia com os choques elásticos e inelásticos entre partículas, estudados na
mecânica?
(Pág. 82)
Solução.
(a) Vamos considerar uma porção do fluido de massa m que ocupe a região de turbulência durante
um intervalo de tempo t. Uma vez que a pressão deve ser contínua, esperamos que no ponto A,
imediatamente após o estreitamento e no limite esquerdo de m, a pressão seja p1 e no ponto B,
imediatamente após a região de turbulência e no limite direito de m, seja p2. Veja o esquema a
seguir.
m
y
a1
v1, p1
v2, p2
A
B
a2
z
x
A força horizontal resultante F sobre a porção de massa m é dada por:
________________________________________________________________________________________________________
a
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Problemas Resolvidos de Física
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
F  p1a2i  p2 a2i
F   p1  p2  a2 i
Como o escoamento é estacionário antes e após a região de turbulência (antes do ponto A e após o
ponto B), o momento linear de m antes de ocupar a região de turbulência é:
p1  mv1i
E após ocupar a região de turbulência é:
p 2  mv2i
A variação do momento linear p sofrida por m é igual ao impulso recebido pela força resultante
devido à variação de pressão quando esta ocupa a região de turbulência. Sendo t o intervalo de
tempo que m permanece na região de turbulência, temos:
p  p2  p1  F t
mv2 i  mv1i   p1  p2  a2 i t
p2  p1 
1 m
 v1  v2 
a2  t
Como a vazão mássica é a mesma antes e após a turbulência, temos:
m
  a1v1   a2v2
t
Substituindo-se (2) em (1):
1
p2  p1   a2v2  v1  v2 
a2
(1)
(2)
p2  p1   v2  v1  v2 
Note que se tivéssemos substituído (2) em (1) da forma seguinte:
1
p2  p1   a1v1  v1  v2 
a2
Da equação de continuidade temos:
a1v1  a2v2
(3)
(4)
Substituindo-se (4) em (3):
1
p2  p1   a2v2  v1  v2 
a2
p2  p1   v2  v1  v2 
(b) No caso de o fluxo ser estacionário ao longo de toda a tubulação, podemos aplicar a equação de
Bernoulli:
1
1
p1   gy1   v12  p2   gy2   v22
2
2
Desprezando-se a variação de nível na tubulação (y1 = y2):
1
1
p1   v12  p2   v22
2
2
1
p2  p1    v12  v22 
2
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a
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(c) A perda de pressão p corresponde à diferença das respostas obtidas nos itens (b) e (a):
1
p    v12  v22    v2  v1  v2 
2
1
1
1
p    v12  v22   2v2  v1  v2     v12  v22  2v2v1  2v22     v12  2v2v1  v22 
2
2
2
1
2
p    v1  v2 
2
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a
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