Problemas Resolvidos de Física

Problemas Resolvidos de Física
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.
FÍSICA 3
CAPÍTULO 28 – O CAMPO ELÉTRICO
24. Mostre que a Eq. 27, que se refere ao campo elétrico de um disco carregado, em pontos situados
sobre o seu eixo, se reduz ao campo de uma carga pontual para z >> R.

σ 
z
Ez
=
1 − 2
 (disco carregado) (27)
2
2ε 0 
z +R 
(Pág. 29)
Solução.
Partindo-se da expressão inicial,

σ 
z
1 − 2

2ε 0 
z + R2 
Ez
=
,
(1)
não podemos simplesmente fazer a aproximação z2 + R2 ≈ 0, pois isso torna Ez = 0. Na verdade,
fazer z2 + R2 ≈ 0 equivale a tornar z ≈ ∞, e não z >> R. Para obter a aproximação correta, é preciso
expandir a expressão entre parênteses em termos do binômio de Newton, para em seguida truncá-la
no ponto correto. A expansão do binômio de Newton é:
2
nx ! n ( n − 1) x
+
+
1!
2!
Para isso, precisamos preparar para a expansão o termo negativo entre parênteses na Eq. (1).
1+
(1 + x ) =
n
(z
z
2
+R
)
2 1/ 2
 R2 
=
1 + 2 
z 

−1/ 2
=
(1 + x )
n
Na expressão acima, x = R2/z2 e n = −1/2. Podemos agora aplicar a expansão do binômio de
Newton.
 R2 
1 + 2 
z 

−1/ 2
=1 −
1 R2 1  3  R4 1
R 2 3R 4
−
−
+

=
−
+
+
1


2 z2 2  2  z4 2
2 z 2 8z 4
Para z >> R temos:
−1/ 2
 R2 
R2
+
≈
−
1
1


z2 
2z2

Substituindo-se (2) em (1):
Ez ≈
(2)
σ 
R2  σ R2
−
+
1
1

=
2ε 0 
2 z 2  4ε 0 z 2
Explicitando-se a densidade superficial de cargas, σ:
Ez ≈
1 q R2
4ε 0 π R 2 z 2
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Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4a Ed. - LTC - 1996.
Cap. 28 – O Campo Elétrico
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Problemas Resolvidos de Física
Ez ≈
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
1
q
4πε 0 z 2
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Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4a Ed. - LTC - 1996.
Cap. 28 – O Campo Elétrico
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