Capítulo 7 - Moodle

1 7 ‐ Hidrostática A Hidrostática consiste no estudo das condições necessárias para o repouso e equilíbrio de forças num 

v
fluido. Tais condições obtêm‐se admitindo velocidade nula v  0 e aceleração local nula  0 na t
equação local do momento linear e na equação do momento linear integrada num volume de controle. 
 0 ou seja à t


estacionaridade da densidade. De facto, a equação Euleriana da continuaidade:
     v   0 , t


reescreve‐se  0 para velocidade v nula. t

Nas condições de repouso ( v  0 ), a equação da continuidade conduz a Vamos admitir nos casos seguintes que a única força volúmica é o peso e portanto a densidade de força 


volúmica é a aceleração gravítica: f   gez com g=9.81 ms‐2=cte. onde ez é o versor vertical apontando para cima. Vamos igualmente admitir fluidos Newtonianos (e.g. água, ar). Nessas condições as forças de atrito anulam‐se em condições de repouso, o que não acontece em fluidos não Newtonianos (e.g. visco‐
elásticos) em que há atrito estático. 7.1 Hidrostática num referencial inercial imóvel e aplicações Vamos admitir que o fluido está em repouso num referencial inercial (ex. um referencial em repouso ou em movimento retilíneo uniforme). Por isso as acelerações aparentes são nulas. A equação local do momento linear reduz‐se ao equilíbrio entre forças de pressão e forças volúmicas, neste caso o peso:  
p   gez  0
7.1 Esta relação consiste no equilíbrio hidrostático. A pressão varia apenas na vertical, porque o seu 
gradiente tem apenas componente vertical segundo o versor vertical e z . As superfícies isobáricas (ou de igual valor da pressão) são horizontais no caso de equilíbrio hidrostático num referencial inercial. Este resultado é o princípio de Pascal. Dado que qualquer gradiente é irrotacional, tomando rot(grad p)=0 tem‐se: 
 

   p   0  gez   ; donde  
ez
z 7.2
ou seja, a densidade  pode apenas variar ao longo da vertical em condições hidrostáticas. Tal significa que num fluido com densidade variável, o equilíbrio hidrostático conduz a uma distribuição da densidade em que as superfícies isopícnicas (de densidade constante) são horizontais com a densidade crescendo no sentido descendente. Tal corresponde ao que se chama de estratificação e ocorre na atmosfera e oceano. Se por algum motivo forem criados gradientes horizontais de pressão ou densidade, perde‐se o equilíbrio hidrostático e produzem‐se acelerações locais. A densidade pode sofrer descontinuidades ao Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 2 atravessar fronteiras do domínio. Tal é o caso de um fluido em repouso no interior de um recipiente. Em equilíbrio hidrostático de um fluido, a densidade do meio não varia na superfície horizontal até cruzar com uma fronteira sólida. Num meio fluido em equilíbrio hidrostático (e.g. atmosfera em repouso, oceano em repouso, fluido em repouso no interior de máquina hidráulica, líquido ou líquidos no interior de um recipiente ou tubo, mesmo com bolsas de ar no interior), a diferença de pressão entre quaisquer dois pontos A e B vem: p  p ( B )  p ( A)  
B
A

 
B
B
 p  dr   g   ( z )ez  dr   g   ( z )dz
A
A
7.3
Assim, conhecida a pressão num determinado ponto A, é possível conhecer a pressão noutro ponto ao unir esse ponto por um percurso que percorra o fluido e calculando  g

B
A
 ( z )dz , mesmo que o percurso atravesse fronteiras livres entre fluidos, passando de uns fluidos a outros de diferentes densidades ou mesmo que a densidade varie na vertical (fluido estratificado) como por exemplo na atmosfera. A pressão decresce no sentido crescente da altitude z ou no sentido decrescente da profundidade (‐z). Se o fluido for homogéneo de densidade 0, a diferença de pressão é: p  p( B )  p ( A)  g 0  z ( A)  z ( B)
7.4
Se o ponto A estiver mais alto que B, então z(A)‐z(B)=altura da coluna de fluido= Volume V da coluna de fluido / Área  da base. Poderemos relacionar p com a massa M dessa coluna: p  g 0  z ( A)  z ( B )   g 0
V
M Peso M da coluna
g

Área 


7.5
O equilíbrio hidrostático mostra então que a diferença de pressão é proporcional à diferença de altitudes sendo numericamente igual ao peso da coluna de secção unitária ( =1 m2) entre os pontos A e B. Exemplo: Consideremos vasos comunicantes com dois líquidos homogéneos não miscíveis, de densidades diferentes 1 e 2 em contacto um com o outro. Tomemos as pressões pA e pD conhecidas. Por exemplo pA=pD=patm (pressão atmosférica) ou então pressões impostas por uma máquina hidráulica em que se pretende suportar uma pressão pD por aplicação de uma pressão menor pA . A diferença de pressão pD‐pA pode ser obtida por um integral de linha entre A e D (AB CD) e usando a equação hidrostática nos 3 percursos parciais. Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 3 pD  p A   pD  pC    pC  pB    pB  p A  

 
 

 2 gzD
2 gzB
1 g  z A  zB 
  2 g  zD  zB   1 g  z A  z B    2 g  h1 g   2  1 



h1
7.6
Esta equação permite calcular o desnível  para uma altura h1 de fluido de densidade 1. Se os pontos A e D estiverem expostos à atmosfera livre, então as pressões em A e D são ambas iguais à pressão atmosférica normal patm~1.013x105 Pa=1 atm~105 Pa. As pressões A ou D poderão ser impostas através de forças aplicadas exteriores como na figura à esquerda. Assim se A e D estiverem ao mesmo nível tem‐se: 
FA
A
 pD  p A 

FD
D
7.7 onde A e D são as áreas de aplicação das forças. Desse modo o quociente dos módulos de força iguala o quociente das áreas. Assim uma pequena força FA pode produzir uma força de pressão que equilibre uma força FD muito maior. Tal é princípio de funcionamento dos ‘macacos hidráulicos’ que permitem elevar massas grandes com aplicação de pequenas forças (e.g. macaco hidráulico para elevação de automóveis). Uma aplicação do equilíbrio hidrostático é a fórmula da deformação da superfície do mar devido a variações horizontais da pressão atmosférica à superfície. Assim as baixas pressões pB causam elevação da superfície do mar por sucção em relação a pontos de maior pressão pA. A elevação h pode ser tão grande que pode causar um tsunami meteorológica (storm surge), no caso da ocorrência de baixas pressões muito cavadas (pB muito baixa). Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 4 Outra aplicação do princípio de Pascal é a de que a pressão num sistema de vasos comunicantes (ver figura) em equilíbrio hidrostático, preenchidos por um fluido homogéneo (e.g água), depende apenas da cota z. Se numa fronteira aberta do sistema for aplicada uma pressão que destrua o equilíbrio hidrostático, por sucção (diminuição da pressão) ou compressão (aumento da pressão), então o fluido é colocado em movimento. Na figura, as superfícies livres dos vasos comunicantes preenchidos por um fluido homogéneo estão à mesma cota, uma vez que nelas a pressão é idêntica ou seja a pressão atmosférica. 7.2 Impulsão e Flutuação Consideremos um corpo ocupando um volume , de massa M, imerso (no interior) de um fluido em equilíbrio hidrostático num referencial inercial. Esse fluido pode ser estratificado ou seja com densidade variável em altitude =(z) (caso da atmosfera e oceano) ou pode ser homogéneo de densidade constante . O corpo pode ser um sólido ou um fluido (gás ou líquido), imiscível com o fluido no qual está imerso (e.g. uma bolha de ar ou óleo, libertada no seio de água). 
O corpo sofre a ação do peso  Mgez , e de forças de pressão apontando para o interior do corpo que são contrárias às que o corpo exerce sobre o fluido. A resultante das forças de pressão exercidas no corpo  chama‐se impulsão ou força de flutuação (buoyancy) http://en.wikipedia.org/wiki/Buoyancy. A impulsão é a resultante das forças de pressão aplicadas na fronteira fechada  do corpo. Tal pode obter‐se recorrendo a uma forma particular do teorema de Gauss generalizado (ver capítulo sobre análise tensorial) e que estabelece que o integral de volume do gradiente de um campo é igual ao integral na superfície fronteira desse campo multiplicado pelo versor normal exterior. Assim, aplicando 

p



ge
esse teorema ao campo da pressão e usando o equilíbrio hidrostático z , obtemos a força de impulsão como: 
Fimp 





nint p d    p dv  ez   g dv  W f ez


7.8
onde W f é o módulo do peso de fluido correspondente ao volume de  ou seja o chamado volume deslocado. Daqui se deduz o Princípio de Arquimedes: A força de impulsão é ascendente e iguala em valor absoluto o peso do fluido deslocado pelo corpo no mesmo volume deste. Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 5 A 2ª lei de Newton aplicada ao corpo, permite prever a aceleração vertical instantânea a de um corpo imerso num fluido em equilíbrio hidrostático: 

Ma  W f  Mg  ez
7.9 Se o módulo Wf da impulsão for maior que o peso Mg do corpo, este adquire uma aceleração vertical ascendente ou seja o corpo sobe a partir do repouso. Se a impulsão Wf for menor que o peso Mg do corpo, este adquire uma aceleração vertical descendente ou seja o corpo subside (desce) a partir do repouso. No caso de um corpo homogéneo de densidade c totalmente imerso num fluido homogéneo de densidade , a sua aceleração vem dada por: 
   c 
a  az ez 
gez
c
7.10
A flutuação ocorre quando a impulsão e o peso do corpo são iguais em módulo havendo equilíbrio de forças levando o corpo ao repouso. Por exemplo, gelo flutua em água, ferro flutua em mercúrio, azeite flutua em água. Quando o corpo flutua num líquido, apenas um volume parcial desse corpo está imersa. Esse volume abaixo da superfície livre é o volume deslocado com o qual se calcula Wf. Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 6 Num fluido estratificado (e.g. atmosfera) ou com descontinuidades da densidade (ex. dois fluidos sobrepostos, ar‐água), o corpo é acelerado até eventualmente estacionar num ponto em que o corpo flutue. Por exemplo, um sólido menos denso que a água e imerso nesta, sobe até emergir ou seja atingir a superfície livre ficando a flutuar. Outro exemplo é os dos balões meteorológicos de radiosondagens, que sobem até que a densidade do gás dentro do balão iguale a densidade exterior do ar (caso não rebentem antes). No caso em que o corpo de massa M que flutue na interface de 2 fluidos de densidades 1<2 (fluido 1 sobreposto ao fluido 2), tem‐se: 

Fimp   1V1   2V2  gez  Mg
7.11
onde V1 e V2 são os volumes deslocados de fluido 1 e 2. O volume total é V=V1+V2. O volume V pode incluir cavidades ocas ou não sólidas no interior do corpo e que não comuniquem com os fluidos. A relação anterior permite calcular a fração de volume imerso em cada um dos fluidos. Se o meio 2 for um líquido e o meio 1 for um gás (ex. atmosfera), então a contribuição para a impulsão do meio 1 é 

F
desprezável e imp   2V2 gez


No caso de haver uma força vertical aplicada ao corpo Faplic  Fez ascendente ou descendente, o 

 
F

Mge

Fe
equilíbrio de forças verifica‐se na forma: imp
z
z  0 . Tal aplica‐se por exemplo para calcular a força necessária para fazer mergulhar totalmente um corpo de baixa densidade. Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 7 7.3 Balanço de forças e momentos hidrostáticos Em condições hidrostáticas, a pressão é conhecida em cada ponto, dado ser obtida por integração da equação hidrostática. Desse modo é possível conhecer as forças de pressão que o fluido exerce sobre paredes ou peças sólidas fixas e imersas no fluido. Para manter essas paredes ou peças fixas (ex. comporta de uma barragem), é preciso aplicar‐lhes forças que compensem as forças de pressão. Força de pressão hidrostática aplicada a uma parede vertical Consideremos uma parede plana, de profundidade H e comprimento L, que suporta um fluido homogéneo de densidade  sobre cuja superfície livre a pressão é p0. O fluido está em repouso num referencial imóvel. Tal é caso do paredão vertical de uma barragem. Usando z como coordenada de profundidade (crescente em sentido descendente), a força de pressão executada sobre a barragem vem:  
H
H


Fp  next Fp  next L  p( z )dz  next L   p0   gz  dz 
0
0
H2  
1
H
 

 

next L  p0 H   g
n
LH
p
gH
n
LHp
z





ext
 0
 ext


2 
2
2




7.12 
onde next é o versor que aponta para o exterior do fluido, ao longo dos pontos do paredão ou então, de forma idêntica para o interior da parede. Observando a fórmula verifica‐se que a força é a que seria obtida num campo uniforme pressão igual à pressão hidrostática a meia profundidade (H/2). Momento das forças de pressão e centro de pressão A força de pressão executada sobre uma superfície  (ex. superfície sólida imersa) tem a resultante: 

Fp   pnext d 

7.13 Essa força de pressão pode contribuir para fazer rodar essa superfície em torno de um determinado eixo 
segundo um certo versor u (eg. parede mostrada na figura rodando segundo eixo do comprimento L). O 
 

momento segundo u da força de pressão vale M p  u onde M p é o momento total da força de 

pressão, dado pelo integral sobre  dos momentos das forças de pressão infinitesimais r  pnext d  
onde r é o vetor posição da força de pressão ao longo de . Tem‐se: 


 
M p   r  pnext d   rp  Fp 
Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 7.14 8 onde 
Fp

rp
é o vetor posição do centro de pressão ou seja o vector do ponto de aplicação da resultante 
Mp

que produz o mesmo momento . Para o momento segundo u apenas contribui a parte do vetor 

  
posição r que é perpendicular ao eixo, ou seja o raio de giração ru  r  ( r  u ) . Para haver equilíbrio de rotação de um corpo sólido em contacto com um fluido tem de a resultante de todos os momentos de força se anular. Para tal há que calcular os momentos das forças de pressão para cada superfície do corpo exposta a fluidos. 
O momento de forças do peso  Mgez desse corpo é: 


M g  rCM  ( Mgez ) 7.15 
onde rCM é o vetor posição do centro de massa. 



O momento de uma força aplicada Faplic é rF  Faplic onde rF é o vetor posição do ponto de aplicação da força. Momento da força de pressão aplicada a uma parede vertical Consideremos o caso da parede vertical da figura anterior, com altura H, comprimento L e eixo de 
rotação horizontal, segundo o versor horizontal u ,alinhado ao longo de L. O braço de força em cada ponto é a distância ao eixo ou seja a profundidade z. O momento de força de pressão é dado então por  
H
 gH 


M p  u  Fp z p  HL  p0 
z
L
z  p0   gz dz 
 p

0
2


p0 H / 2   gH 2 / 3  H 2 H 
 ,
zp 
p0   gH / 2
 2 3 
7.16 onde o centro de pressão está à profundidade zp do topo da parede. O centro de pressão está abaixo do centro de massa da parede de densidade uniforme e que fica à profundidade H/2 do topo desta. Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 9 Equilíbrio de rotação de um corpo em flutuação e estabilidade Num corpo em flutuação a impulsão (Força total de pressão) e o peso do corpo estão em equilíbrio ou 


seja Fimp  Mgez  0 . No entanto poderá não haver equilíbrio de rotação quando a resultante dos 


momentos dessas forças é não nula: M imp  M g  0 , produzindo a rotação num determinado sentido do corpo flutuante. Um determinado equilíbrio de rotação é estável ou instável se ao perturbar esse equilíbrio, rodando o corpo, este tende respetivamente a voltar ou não à posição de equilíbrio. Sejam G e B as posições do centro de massa e de pressão respetivamente. Para haver equilíbrio de rotação segundo um eixo horizontal tem de G e B estarem alinhados na mesma vertical. O equilíbrio perde‐se se G e B deixarem de se alinhar na vertical. O equilíbrio é recuperado (eq. estável) ou não (eq. instável) em função da posição do metacentro M definido como a interceção da linha de ação (linha colinear com a força) da impulsão nas situações de equilíbrio e fora do equilíbrio. Se M está acima de G, o equilíbrio é estável, se M está abaixo de G, o equilíbrio é instável, tal como mostra a figura abaixo. Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 10 Força de pressão hidrostática aplicada na parede de uma cavidade e saliência Em muitos casos é necessário calcular a resultante da força de pressão exercida sobre uma superfície  complexa em contacto com o fluido de densidade . Se a superfície  for fechada sobre si própria pode aplicar‐se o princípio de Arquimedes: módulo da impulsão=módulo do peso do fluido deslocado. Se a superfície não for fechada (vide figuras) poderemos considerar uma extensão e de  cuja união e se feche sobre si própria, isto é possa ser a fronteira  um domínio  de volume V. O referido volume V pode ser totalmente preenchido de fluido tornando V uma cavidade (figura à esquerda) ou excluído de fluido tornando V uma saliência (figura à direita). Mostram‐se ambos os casos. A força de pressão exercida em  é obtida pela diferença entre a força de pressão na superfície fechada (união e) e a força de pressão 
hidrostática exercida em e. Vamos calcular a força Fp , exercida pelo fluido sobre , isto é apontando 
para a parte exterior do fluido. Represente‐se por next o versor normal exterior que aponta para o 
exterior do volume V. No casos considerados e é plana e portanto next é constante, vertical e a pressão hidrostática pe em e é também constante. Assim para uma cavidade (V preenchido de fluido) tem‐se: 

Fp ,   pnext d  



pn
d


pn
d


p



gV
e


e e
z
 ext  ext

e

 





p

e

p
dv

gVe

e e z
z

7.17 


pn
d


pn
d


p



gV
e


e e
z
 int  int

e

 




p
e


  p dv   gVez
e e z
7.18 

Para uma saliência tem‐se: 

Fp ,   pnint d  




Em ambos os casos Fp , aponta no sentido ascendente. As expressões de Fp , tem aplicações interessantes. A superfície  pode pertencer a um corpo sobre o qual são aplicadas outras forças (peso, outras forças de pressão). A resultante das forças aplicadas fornece a aceleração do corpo. Para obter Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 11 equilíbrio do corpo pode controlar‐se, quer a pressão pe (ex. fluido pressurizado como numa máquina hidráulica) ou a força aplicada. Por exemplo para elevar uma tigela (de massa M) virada para baixo, acima da superfície livre da água é necessária uma força ascendente de módulo gV+Mg onde V é o volume de fluido no interior da tigela. 7.4 Hidrostática num referencial não inercial Num fluido em repouso num referencial não inercial, existe uma força adicional que é a força aparente associada às acelerações não inerciais. Para um fluido em repouso (velocidade nula), num referencial não inercial com aceleração linear a0 constante e velocidade angular  constante, a equação hidrostática é reescrita na forma: 


p   gez   f ap  0 com

 
 
f ap  aO      r

 7.19 Em condições hidrostáticas, pode‐se mostrar que o gradiente de pressão e o gradiente de densidade são vectores colineares. A superfície de separação entre dois fluidos é a superfície livre, sendo perpendicular ao gradiente de densidade. Desse modo a superfície livre é perpendicular ao gradiente de pressão ou seja coincide com uma superfície isobárica. Num fluido homogéneo de densidade , apenas sujeito a 

aceleração linear a0 (ausência de rotação), o gradiente de pressão é: p    gez   aO e portanto as superfícies isobáricas são em geral planas e oblíquas, devido à aceleração horizontal do referencial. Tal implica que as superfícies livres deixem de ser horizontais (e.g. a sup. livre de um fluido no interior de um veículo acelerado inclina‐se para o lado contrário da aceleração). Com a introdução de rotação tem‐se adicionalmente a aceleração 




centrífuga     r que é variável de ponto para ponto, sendo 


 
2
dada por:     r   d onde d é o raio de giração ou seja o 



vetor que une o eixo de rotação (colinear com  ) ao vetor posição r 
e que é perpendicular com  . Desse modo, a rotação vai impor um gradiente de pressão que é variável no espaço quer em direcção, quer em módulo, e portanto as superfícies isobáricas deixam de ser planas. 

Por exemplo, se   ez , ou seja estiver alinhado na vertical, a integração da equação hidrostática em coordenadas cilíndricas leva ao campo da pressão p(d , z )  p0   gz  
d 22
. Desse modo as 2
superfícies isobáricas e superfícies livres são parabolóides de revolução (e.g. forma da superfície livre do líquido em rotação no interior de um balde em rotação – balde de Newton). Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 12 Aplicação: Consideremos o tubo em U em repouso com um fluido homogéneo de densidade  no interior. Em repouso (figura acima), os níveis das superfícies livres são idênticos e iguais a H, como consequência do equilíbrio hidrostático inercial. A separação horizontal dos tubos é L. Colocando o sistema a rodar à velocidade angular , em torno de um dos tubos (tubo da esquerda) produz‐se um desnível H. Por continuidade ou seja por conservação da massa, o abaixamento à esquerda e a subida à direita são idênticos ou seja H/2. O valor H é obtido calculando o integral de caminho do gradiente da pressão entre as 2 superfícies livres nas quais a pressão é idêntica (p0). Assim: p
0
pressão no
topo no tubo
à direita

p
0
pressão no
topo do tubo
à esquerda
donde se tira: H

L
H 

2
 g  H 
   0  rdr
2



variação horizontal
acréscimo de pressão
do topo até ao fundo
do tuboda esquerda
 L
2g
H 

 g  H 

2


de pressão pela força decréscimo de pressão dofundo
centrífuga (da esquerda até topo do tubo da direita
à direita)
2 2
. Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 7.20