Exercício – Movimento Uniformemente Variado (MUV) Você

Exercício – Movimento Uniformemente Variado (MUV)
Você arremessa uma bola de baixo para cima do topo de um edifício alto. A bola deixa sua
mão com velocidade de 15 m/s em um ponto que coincide com a extremidade superior do
parapeito do edifício; a seguir ela passa a se mover em queda livre. Quando a bola volta, ela
passa raspando pelo parapeito e continua a queda. A aceleração da gravidade é de 9,8 m/s2.
Calcule:
a) A posição e a velocidade da bola 1,0 s e 4,0 s depois que ela deixa sua mão;
b) A velocidade quando a bola está a 5,0 m acima do parapeito;
c) A altura máxima atingida e o tempo que ela leva para atingir essa altura;
d) A aceleração da bola quando ela se encontra na altura máxima.
Resolução:
Vamos estudar o movimento antes de resolução matemática. Perceba que são dois
movimentos, um de subida e outro de descida. Vamos chamar o movimento de subida de S e o
movimento de descida de D.
Qual o tipo de movimento descrito pela bola? Tanto na subida quanto na descida, a bola
descreve um movimento uniformemente variado (MUV) com aceleração constante de 9,8
m/s2, negativa para a subida e para a descida.
Desenhando o movimento da bola, verificamos que ela executa uma trajetória conforme a
desenhada abaixo.
S0(D), V0(D)
H
Movimento de Subida
Movimento de Descida
S0(S), V0(S)
Os referenciais adotados são que velocidade, posição e aceleração são positivos para cima.
Feita esta análise, vamos escrever as equações dos dois movimentos da bola, da subida e da
descida.
Subida (S)
∝ . . 2
∝ . Adotando o topo do edifício como 0, sabemos que 15/ e ∝ −9,8/ , obtemos:
15. − 4,9. 15 − 9,8. Descida (D)
∝ . . 2
∝
.
O movimento de descida começa a ocorrer quando a velocidade da subida é igual a zero. Isto
significa que a bola parou de subir, pois a aceleração da gravidade não permite que ela suba
mais e a bola começa a descer.
Como o instante inicial do movimento de descida é quando a velocidade de subida é igual a
zero, concluímos que 0 e o é o ponto mais alto que a bola alcança durante o
movimento de subida. Este ponto mais está indicado na figura pela letra H, logo .
Para o movimento de descida ∝ −9,8/ , obtemos:
− 4,9. −9,8. Feito isso, vamos responder as questões:
a) A posição e a velocidade da bola 1,0 s e 4,0 s depois que ela deixa sua mão
Para responder esta questão, vamos primeiro descobrir em qual movimento a bola estará nos
instantes indicados. Como descobrimos isto? Calculando o instante em que a bola chegará ao
ponto mais alto da trajetória da subida. Caso o instante indicado seja menor que o calculado, a
bola estará na trajetória de subida, caso contrário, ela estará na trajetória de descida.
Calculando o instante em que a bola chega ao ponto mais alto da trajetória, obtemos:
15 − 9,8. Onde 0. Substituindo na equação acima, obtemos:
0 15 − 9,8. 9,8 15
1,53
Desta maneira, concluímos que no instante t=1s, a bola está na trajetória de subida e no
instante t=4s, ela está na trajetória de descida.
Portanto, para o cálculo da posição e da velocidade no instante t=1s, devemos utilizar as
equações do movimento de subida:
15. − 4,9. 15 − 9,8. Substituindo t=1s, obtemos:
1 15.1 − 4,9. 1 15 − 4,9 10,1
1 15 − 9,8.1 15 − 9,8 5,2/
Para o instante t=4s preste atenção no seguinte detalhe, a bola subiu durante 1,53s, e
somente depois disso ela começa a descer. Portanto o tempo que deve ser utilizado nas
equações da descida tem que descontar o valor do tempo de subida.
Desta maneira, o tempo de descida correspondente ao instante 4s é:
4 − 1,53 2,47
E, utilizando este tempo, vamos calcular a posição e a velocidade da bola no instante t=4s,
utilizando as equações do movimento de descida:
2,47 − 4,9. −9,8. Para o cálculo de H, utilizamos a equação da posição do movimento da subida, pois H é o
ponto mais alto da trajetória da subida, que é atingida quando t=1,53s.
Calculando, obtemos:
1,53 15.1,53 − 4,9. 1,53 22,95 − 11,47 11,48
E, portanto
11,48 − 4,9. −9,8. Agora sim, podemos calcular a posição e a velocidade para o instante t=4s, lembrando que
corresponde ao instante t=2,47 s da descida.
2,47 11,48 − 4,9. 2,47 −18,4
−9,8. −9,8.2,47 −24,2/
b) A velocidade quando a bola está a 5,0 m acima do parapeito
Para este cálculo, sabemos que existem dois instantes: quando a bola está na trajetória de
subida, pois a altura máxima que ela alcança é 11,48m, conforme calculado no item a. E
também quando a bola está no movimento de descida. Então utilizaremos as equações de
ambos os movimentos.
Vamos calcular o instante no movimento de subida. Obtemos este valor substituindo a
distância dada na equação de posição do movimento de subida. Calculando, obtemos:
15. − 4,9. 5 15. − 4,9. 4,9. − 15. 5 0
Calculando as raízes da equação de segundo grau acima, obtemos:
∆ − 4. . ! −15 − 4.4,9.5 225 − 98 127
− ± √∆ −−15 ± √127
2.
2.4,9
−−15 √127
$ 2,68
2.4,9
−−15 − √127
0,38
2.4,9
Para este movimento, somente o instante t1=0,38 s é valido, pois a subida acaba no instante
t=1,53s.
Calculando a velocidade, obtemos:
0,38 15 − 9,8.0,38 15 − 3,7 11,3/
Para o cálculo da velocidade de descida, o tempo é calculado da seguinte maneira:
11,48 − 4,9. 5 11,48 − 4,9. 5 − 11,48 −4,9. −6,48 −4,9. 1,32
1,15
Calculando a velocidade, obtemos:
−9,8. 1,15 −9,8.1,15 −11,3/
c) A altura máxima atingida e o tempo que ela leva para atingir essa altura
Esta questão já foi respondida. O tempo que a bola leva para atingir a altura máxima foi
calculado no item a, com o resultado de t=1,53 s. Já a altura máxima também foi calculada no
item a, com o resultado de 11,48 m.
d) A aceleração da bola quando ela se encontra na altura máxima
Na altura máxima, a aceleração que a bola está sujeita é somente a aceleração da gravidade,
pois a velocidade é nula. Como o referencial adotado é de aceleração positiva para cima, a
aceleração da bola na altura máxima é −9,8/ .