Capitulo 4 Conformatação de pulsos

Capitulo 4
Conformatação de pulsos
versão 2008.2
Conformatação de pulso CR-RC
O termo conformatação RC (RC shaping) significa o uso de malhas passivas de resistores
e capacitores de modo a alterar de forma conveniente a forma do pulso. Quando falamos
em conformatação de pulsos nucleares, é conveniente distinguir entre circuito
diferenciador CR e integrador RC. Ambas as operações podem ser consideradas como
filtragem no domínio da freqüência, com a finalidade de melhorar a razão sinal/ruído. Em
ambos os circuitos, a constante de tempo τ = RC é um parâmetro fundamental. Na
maioria dos amplificadores lineares, a escolha da constante de tempo é feita no painel
frontal.
A – diferenciador CR ou filtro passa alta.
Fig. 1 – filtro passa alta
A figura 1 mostra um circuito diferenciador CR. As amplitudes de entrada Vin e saída
Vout são relacionadas por
77
Vin =
Q
+ Vout
C
(1)
onde Q representa a carga acumulada no capacitor. Derivando com respeito ao tempo
dVin 1
dV
= i + out
dt
C
dt
(2)
mas Vout = Ri e τ =RC
Vout + τ
dVout
dV
= τ in
dt
dt
(3)
agora se fizermos RC suficientemente pequeno, podemos desprezar o segundo termo à
esquerda
Vout ≈ τ
dVin
dt
(4)
Assim, no limite de τ pequeno comparado à duração do pulso, a malha produz um sinal
de saída que é proporcional à derivada no tempo do sinal de entrada.
Entrada Senoidal
Para uma entrada senoidal Vin com freqüência f, o sinal de saída Vout aumenta em
amplitude com o aumento da freqüência. Fica como exercício mostrar que o ganho ou
amplificação A= Vout/Vin, para um sinal senoidal (1 componente de Fourier) é dado
por
1
A=
f 
1 +  1 
 f 
2
(5)
e a diferença de fase é dada por
φ = arctan
f1
f
(6)
onde f1 = 1/2πRC. Nesta freqüência, a magnitude da reatância capacitiva XC = 1/ωC é
igual à resistência, e o ganho é 0.707. Esta queda no nível do sinal corresponde à 3
devibéis (dB), então f1 é chamada de freqüência de corte inferior de 3 dB f3dB. O valor
máximo possível para o ganho é unitário e pode se alcançado assintoticamente para f →
∞.
78
1,0
Ganho
0,8
21/2 = -3dB
0,6
0,4
0,2
0,0
0
1
2
3
4
5
-1
frequência (RC)
Fig. 2 – Ganho de um filtro passa-alta em função da frequência (em unidades de (RC)-1 ).
Entrada tipo função degrau
A função degrau é aquela que mantém o valor zero para t < 0 e mantém o valor V
para t > 0. A transição entre os dois níveis acontece em t=0 e é realizada num intervalo de
tempo arbitrariamente pequeno (rise time = 0).
Note que se aparecer uma corrente instantânea através no resistor i, a mudança de
t
1 1
tensão através do capacitor num tempo t1 é
idt . Restringindo-nos aos casos onde a
C ∫0
corrente é finita, a integral acima aproxima-se de zero para t1 → 0. Logo, segue que a
tensão através de um capacitor não pode mudar instantaneamente, se a corrente
permanecer finita.
A partir de considerações elementares a resposta do sistema é dada por
Vout = Ve − t / RC
(7)
79
1.0
entrada
Vout//Vin
0.8
-t/τ
0.6
resposta Vout=Vine
0.4
0.2
0.0
-2
0
2
4
6
8
10
t/τ
Fig 2 – Resposta de um filtro passa alta para uma entrada tipo função degrau.
Entrada tipo pulso quadrado
Um pulso ideal tem a forma mostrada na Fig. 3. Se um pulso de amplitude V e
duração tp é aplicado ao sistema, a resposta para tempos menores do que tp é igual a da
função degrau. Para t = tp , Vout (t = tp ) = exp (-tp/RC). No final do pulso, a entrada muda
abruptamente de uma tensão igual à V, e, desde que a tensão no capacitor não pode
mudar instantaneamente, a saída também deve mudar de V
Vout
entrada
V
Vp= Vexp(-tp/RC)
V
0
1
2
3
t/tp
Fig. 3 – Um pulso (tracejado) e a resposta de um circuito RC passa alta.
80
Para t > tp Vout é dado por
Vout = V (e
− t p / RC
− 1)e
− ( t −t p ) / RC
(8)
Note a distorção que resulta na passagem do pulso pelo circuito RC. Há um tilt (queda na
tensão do falling edge em relação a leading edge) e um undershoot no fim do pulso. Estas
distorções podem ser minimizadas fazendo RC << tp. No entanto, para todos os valores
da razão RC/tp sempre haverá um undershoot, e área abaixo do eixo será sempre igual à
área acima. A igualdade das áreas pode ser verificada por integração da Eq. 8 e de Vout
para t < tp. Devido ao fato da entrada e saída no circuito RC estarem separada por um
capacitor, o componente d-c ou nível médio do sinal de saída é zero.
O percentual de tilt é definido como
V −Vp
(9)
%tilt =
× 100
V
para RC<<tp, Vp pode ser aproximado por
V p ≈ V (1 −
tp
RC
(10)
)
então
%tilt ≈
tp
RC
= 2πf 3dB t p × 100
(11)
Entrada tipo onda quadrada
vi
Uma forma de onda que se mantém num nível constante V’ por um tempo T1 e num outro
nível constante V” por um tempo T2 e que é periódica com período T = T1 + T2, como
indicado na Fig. 4 é chamada onda quadrada. Estamos interessados no estado estacionário
da forma de onda de saída.
voltagem média
V
T1
T2
V'
voltagem zero
t
Fig 4 - Sinal de entrada tipo onda quadrada
81
Vi
A1
média = O V
A2
t
Fig. 5 – sinal de saída para RC >> T(período). A componente dc da saída é zero. A área
A1 é igual à área A2.
Primeiramente vamos provar que para qualquer forma de onda periódica na entrada, o
nível médio do estado estacionário é sempre zero. O circuito é governado pela equação
q
Vi = + Vo (12)
C
diferenciando resulta em
dVi
i dV
= + o (13)
dt
C
dt
onde i = dq/dt. Desde que Vo = Ri
dVi
V
dV
= o + o (14)
dt
RC
dt
multiplicando por dt e integrando num período T
t =T
T
1
∫ dVi = Vi (T ) − Vi (O) = RC ∫o Vo dt + Vo (T ) = Vo (0) (15)
t =o
No estado estacionário, o sinal de saída (assim como o sinal de entrada) é repetitivo com
período T, de modo que Vo(T)=Vo(0) e Vi(T)=Vi(0). Então, a integral do lado direito da
equação acima é zero. Uma vez que esta integral representa a área sob a forma de onda de
saída em um ciclo, fica demonstrado que o nível médio da saída é zero.
82
Uma prova alternativa deste principio importante, é baseado no domínio em
freqüência do sinal. O sinal periódico pode ser decomposto em termos de suas
componentes Fourier, que consistem de um termo constante e um número infinito de
componentes senoidais cuja freqüências são múltiplas de f = 1/T. Como o capacitor
apresenta impedância infinita para sinais d-c, nenhuma componente d-c chega à saída.
Vo
entrada
T1
t
Fig. 6 – Sinal de saída para RC<< T.
A resposta
V1
V1 exp(-t/RC)
V’1
V
V’2
V2
Fig. 7
Consideraremos agora uma entrada tipo exponencial ou uma voltagem que cresce
linearmente com o tempo.
Entrada exponencial
Das considerações anteriores (veja a figura 6) somos levados a concluir que, se a
constante de tempo do circuito diminui, os picos obtidos serão mais finos, mas a
amplitude do pico permanecera igual a discontinuiade V do sinal de entrada quadrado.
Isto e verdade para sinais de entrada com rise time zero, o que e impossível. Se RC tornase extremamente pequeno, o rise time finito do sinal de entrada deve ser considerado.
83
Considere o caso no qual o capacitor esta inicialmente descarregado e o sinal de
entrada cresce rapidamente mas não discontinuamente a partir de zero ate um nível V,
como mostrado na figura 8. Uma vez que a tensão no capacitor e supostamente zero e
desde que o sinal de entrada e zero para t=0, então Vo(0)=0 (veja Eq. 12). Segue da Eq.
14 que
 dvi 
 dv 
= o 
(16)


 dt  inicial  dt  inicial
Desde que as taxas iniciais de mudança da entrada e saída são idênticas e ambas
começam de zero, podemos antecipar que na vizinhança de t=0 o sinal de saída seguira o
de entrada. Alem do mais, a menos que a constante de tempo RC seja muito grande em
comparação com o tempo necessário para vi alcançar o seu valor final, o capacitor terá
adquirido uma carga apreciável neste intervalo de tempo.
Quantificando
exponencial do tipo
as
considerações
anteriores,
consideremos
uma
entrada
vi = V (1 − e −t / τ ) (17)
A equação 14 torna-se
V
τ
e −t / τ =
vo
dv
+ o (18)
RC dt
definindo x≡ t/τ e n ≡ RC/τ , a solução da Eq. 18, sujeita a condição de que a voltagem
inicial do capacitor e zero, e dada por
vo =
para n≠ 1 e
Vn − x / n
(
e
− e − x ) (19)
n −1
v o = Vxe − x (20)
se n=1. Estas equações são apresentadas na Fig. 8. Note que se RC e muito maior do que
τ (n>>1), o segundo termo da eq. 19 e desprezível comparado com o primeiro. Então
Vn − x / n
e
≈ Ve −t / τ (21)
n −1
Podemos concluir que, conforme diminuímos a constante de tempo, diminuira também o
sinal de saída. Por exemplo, se n=1, o sinal de saída sera somente 37% do valor de
entrada., mas teremos um pico bem fino. Aumentando RC, aumentaremos também o sinal
de saída, mas obteremos um pico largo. O valor para RC e um compromisso entre estas
características conflitantes, para uma dada aplicação.
vo ≈
84
1.2
entrada
1.0
v/vo
0.8
n=100
0.6
0.4
0.2
0.0
n=1
0
n=10
10
20
30
40
50
t/τ
Fig. 8 – Resposta de um filtro passa alta RC para uma entrada exponencial.
Entrada tipo rampa
Supomos agora uma entrada do tipo v = αt, que e conhecida como tensão tipo
rampa, ou tensão de varredura. A partir da equação 14, temos
α=
vo
dv
+ o (22)
RC dt
cuja solução para vo=0 em t=0 e
vo = αRC (1 − e −t / RC ) (23)
para t<< RC, podemos expandir a Eq. 23 em serie de Taylor
vo = αt (1 −
t
+ ....) (24)
RC
85
O sinal de saída cai lentamente conforme mostrado na Fig. 9 a. Um medida do desvio da
linearidade e descrita pelo erro de transmissão et, para t=T
et =
vi − v o
T
≈
= πf1T (25)
vi
2 RC
entrada
sinal
desvio da linearidade
saida
T
t
Fig. 9 a – Resposta de um filtro passa alta para uma tensão tipo rampa para RC>> T
Dupla diferenciação (conformatador CR-RC-CR, incompleto)
A figura abaixo mostra dois circuitos RC acoplados em cascata separados por um
amplificador A. Supomos que o amplificador opera linearmente e que sua impedância de
saída e pequena em comparação com as impedâncias de R2 e C2, de modo que R2 e C2
não sobrecarreguem o amplificador. Seja R e a combinação paralela de R1 e a impedância
de entrada do amplificador. Se as constantes de tempo R1C1 e R2C2 são pequenas em
relação ao período do sinal de entrada, então este circuito realiza aproximadamente uma
dupla diferenciação.
Se a entrada é uma rampa (vi =αt) de longa duração , a saída v do amplificador
inversor é negativa
B – Integrador RC ou filtro passa baixa
86
Fig. 6 – filtro passa baixa
No caso do circuito da Fig. 6
Vin = iR + Vout
(7)
a corrente i representa a taxa na qual o capacitor carrega ou descarrega
i=
dV
dQ
= C out
dt
dt
(8)
dVout
+ Vout
dt
(9)
combinando (7) e (8)
Vin = τ
agora, se RC for suficientemente alto
Vout =
1
τ
∫V
in
dt
(10)
por isto o nome integrador.
Entrada senoidal
Para Vin = Vo sen(2πft) o ganho é dado por
A=
1
 f 
1 +  
 f2 
2
(11)
e
87
f
(12)
f2
O ganho cai para 0.707 do seu valor de baixa freqüência para
θ = −arctg
onde f2 = 1/2πRC.
freqüência igual a f2.
Entrada tipo degrau
A resposta de um circuito passa baixa para uma entrada tipo degrau é uma exponencial
com constante de tempo igual a RC. Uma vez que a tensão no capacitor não pode mudar
instantaneamente, o sinal de saída começa em zero e cresce ate o valor estacionário V,
conforme mostrado na figura abaixo. A saída e dada por
(
)
v = V 1 − e −t / RC (13)
O rise time, conforme visto nos capítulos anteriores, e definido como o tempo que
a tensão leva de 10 % ate 90 % do seu valor final. Ele da uma indicação de quão rápido o
sistema responde a uma discontinuidade na tensão . Da Eq. 13 temos que
t rise = 2.2τ =
0.35
(14)
f2
CR-RC Shaping
A saída de um circuito diferenciador CR simples não fornece um pulso muito atrativo
para posterior analise. O fato do sinal possuir um pico muito ressaltado faz com que a
analise da altura do pico seja difícil pois a amplitude e mantida por um curto período de
tempo. Alem disso, a diferenciação permite que todas as componentes de altas
freqüências do ruído se misturem com o sinal, causando um razão sinal-ruido muito ruim.
Se um integrador RC e adicionado em serie ao sistema, podemos melhorar estes pontos
negativos do diferenciador simples. A combinação de um diferenciador com um
integrador e de fato um modo comum de conformatar pulsos . Utilizar circuitos CR-RC
para dar forma ao pulso é bastante comum em eletrônica nuclear. O pulso é filtrado a
baixas (diferenciação) e altas (integração) freqüências, resultando numa melhora na razão
sinal/ruído. A figura 7 mostra um CR-RC típico com o resultado de um pulso tipo degrau
na sua entrada. O amplificador operacional de ganho unitário (com impedância de
entrada infinita e impedância de saída igual a zero) isola os dois circuitos de modo que
um não interfira no outro. Em geral, os amplificadores possuem um botão para a escolha
da constante de tempo.
88
Fig. 7 – CR-RC pulse shaping
`
A solucao geral da resposta do circuito da figura 7 para uma entrada tipo degrau com
altura Vin em t=0 e
Vout = Vin
τD
τ D −τ I
(e
−t / τ D
− e −t / τ I
)
onde τD e τI sao as constants de tempo do diferenciador e integrador, respectivamente. A
figura 8 mostra as respostas de um circuito CR-RC. Em eletronica nuclear, os
amplificadores usam constantes de tempo de integracao e diferenciacao iguais, que
resulta numa razao sinal-ruido otimizada. Neste caso a solucao e dada por
Vout = Vin
t
τ
e −t / τ
89
0.5
τD=1, τI=1
Vout/Vin
0.4
0.3
τD=2, τI=1
0.2
τD=1, τI=2
0.1
0.0
0
2
4
6
8
10
tempo (unidade arbitraria)
Fig 8 – Respostas de um circuito CR-RC para uma funcao degrau para t=0.
A escolha da constante de tempo depende do detector utilizado.
As caracteristicas do amplificador de pulso sao designadas como a resposta a uma
entrada tipo funcao degrau. Para um amplificador idealizado discutido acima, as
caracteristicas podem ser calculadas como
Rise-time: (2π)1/2 RICI
Tempo de atraso : RICI
Clipping time : RDCD
Duracao do pulso : (2π)1/2 RICI (1 + λ2 )1/2
Amplitude maxima : Vo λ1/(1-λ)
Onde λ = RDCD/ RICI e Vo = Qo/Co
Referencias:
-
Millman e Taub, Pulse, Digital and Switching Waveforms
Knoll, Radiation Detection and Measurements
Leo, Techniques in Nuclear and Particle Experiments
W. J. Price, Nuclear Radiation Detection, McGraw-Hill Book Co. 2 edition, 1958.
Problemas:
1 – Considere um filtro passa-alta simples mostrado na figura abaixo.
R = 1 MΩ e C = 10 pF
90
A)Encontre o ganho A =V2/ V1 como função da freqüência.
B) Qual a magnitude do ganho para dc? E para freqüências muito altas?. Encontre a
freqüência de corte (meia potencia).
C) Considere um pulso retangular de entrada de altura = 1 V e duração T= 10 ns.
Supondo que o capacitor esta inicialmente descarregado., encontre a expressão para o
sinal de saída v2(t) para 0<t<T. Calcule um valor aproximado para o tilt percentual.
D)combine os resultados de B) e C) para encontrar a relação entre o tilt percentual e
freqüência de corte
2 – Obtenha Eq. (7). Dica no capacitor: q(t=0) = 0 e q(t=∞)=VC
3 – Mostre que a área abaixo da curva na Fig. 3 é igual à área acima da curva.
4 – Uma onda quadrada de 10 Hz é enviado para um amplificador. Calcule e esboce o
sinal de saída sob as seguintes condições: A freqüência de corte inferior f3dB é
a) 0.3 Hz ; b) 3. 0 Hz e c) 30 Hz
5 - Um pulso ideal quadrado de 1 µs é enviado para um amplificador. Calcule e esboce o
sinal de saída sob as seguintes condições: A freqüência de corte superior f3dB é
a) 10 MHz ; b) 1 MHz e c) 10 MHz
6- Um sinal V=Viexp(-t/τ) é aplicado a um diferenciador duplo. Encontre o sinal de saída
se τ = R1C1=R2C2. Esboce este sinal de saída e localize os mínimos.
7- Um circuito diferenciador tem componentes C = 500 pF e R = 500 Ω. Encontre
a freqüência de uma entrada senoidal que será atenuada por um fator 2 por este
circuito.
8- Uma voltagem de entrada da forma V(t) = V [1-exp(-t/k)], onde V e k são constantes, é
enviada a um circuito integrador RC simples. Encontre a forma do sinal de saída.
Prática
Identificação básica em sistemas de medidas eletrônicas
Equipamento necessário
Pulsador
Pré-amplificador
Amplificador
Osciloscópio
Analisador monocanal (SCA)
Contador
91
Bin
Cabos coaxiais
Objetivo
Os experimentos que serão realizados neste curso utilizam uma combinação de módulos
padrões NIM que são interconectados e ajustados de modo a fornecer a informação
desejada. Esta pratica tem como objetivo a familiarização do aluno com as técnicas
básicas utilizadas para a montagem de sistemas e suas respostas.
Circuitos eletrônicos
A primeira parte da pratica tem como objetivo familiarização com o osciloscópio. Este é
o instrumento que é utilizado para observar os pulsos de entrada e saída de vários
módulos no sistema para determinar se a forma do pulso, amplitude, cronometragem
(timing) etc. com respeito ao resto do equipamento.
A seguir temos a apresentação do gerador de pulsos. Este e um instrumento que simula os
pulsos que seriam originados em um detetor de radiação e fornece pulsos com
características conhecidas para a entrada do sistema. O gerador de pulsos e usado para
calibração, cronometragem, alem de operações de teste. Usados conjuntamente, o
osciloscópio e o gerador de pulsos podem garantir ao estudante que a eletrônica foi
ajustada corretamente de acordo com o diagrama de blocos que acompanha cada
experimento.
O sistema utilizado no presente experimento inclui um grupo de módulos que são
básicos à muitos experimentos, tais como, pré-amplificador, amplificador, discriminador,
contador, e osciloscópio. Cada modulo possui uma função especifica e necessária no
sistema como um todo.
Os módulos eletrônicos são divididos em dois tipos, lógico e linear. Uma discussão mais
completa sera apresentada nos próximo capítulos. Resumidamente, um módulo lógico é
um aparelho que gera um pulso de saída de amplitude fixa se o critério lógico é satisfeito.
O exemplo mais simples de um aparelho lógico é o discriminador, que fornece um pulso
de saída (sempre com a mesma amplitude) cada vez que recebe um pulso de entrada que
tem uma amplitude maior do que o nível de discriminação. Por outro lado, um módulo
linear é aquele que fornece um sinal linear que contém informação, como por exemplo a
energia da partícula incidente no detetor.
Por exemplo, partículas alfa oriundas de uma fonte produz pulsos cuja magnitude é
proporcional à energia da partícula. O pré-amplificador e o amplificador simplesmente
amplificam cada pulso por um fator de ganho apropriado além de conformatar o pulso. Se
por exemplo as partículas alfa tem uma energia de 5 MeV e que a saída do préamplificador produz uma série de pulsos de 0,5 V. Supomos ainda que o ganho do
amplificador é 10. Então os pulsos de saída do amplificador terão uma amplitude de 5V.
92
Observando as saídas direta e atenuada do pulsador
O pulsador produz pulsos de saída que são utilizados para simular pulsos de um detetor.
Normalmente a saída do gerador de pulsos sera enviada a um pré-amplificador (entrada
teste).
O pulsador possui duas saídas simultâneas, a saida direta e a saida atenuada. A saída
direta tem uma altura de pulso e tempo de subida padrão enquanto a saída atenuada pode
ter sua amplitude e tempo de subida ajustados.
Procedimento
1 – ligue o pulsador
2 – conecte um T BNC na entrada 1 do osciloscópio. Conecte um cabo coaxial de 93 Ω
na saída direta do pulsador em um dos lados do T BNC, e conecte um terminador de 100
Ω no outro lado do T. Esta terminação simula a impedância de entrada do préamplificador.
3 – Sincronize o osciloscópio ajustando o controle de trigger .
4- Faca um gráfico em papel quadriculado da figura que você observa no osciloscópio.
5- Faca um tabela e um gráfico com a altura do pulso medida no osciloscópio em função
do valor do dial do gerador de pulsos.
Verifique as seguintes características de um pulso dependem da constante de tempo do
amplificador
a) rise time
b) duração do pulso
c) amplitude do pulso
93
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