Apostila de Matemática – EJA

Centro Estadual de Educação Supletiva de Votorantim
APRESENTAÇÃO
Nesta apostila, elaborada pelos orientadores de Matemática, você
encontrará o conteúdo da programação da 3ª série do Ensino Médio (2º
Grau).
Não se aprende Matemática lendo, é preciso usar lápis e papel para
resolver os exercícios.
As dúvidas que surgirem deverão ser esclarecidas com o Orientador
de Aprendizagem na Sala de Matemática.
Os exercícios que farão parte desta Apostila são de sua
responsabilidade. Se necessário, tire suas dúvidas com o Professor.
Com certeza, as dificuldades surgirão e para tentar resolvê-las
procuramos elaborar esta apostila de maneira simples e objetiva com uma
metodologia auto-instrucional, atendendo as necessidades de que o aluno é
levado a construir seu conhecimento gradativamente.
No final do curso você verá que adquiriu uma série de conhecimentos
que serão ferramentas para compreender melhor o mundo que o cerca,
tornando-o um cidadão mais seguro e respeitado.
Não escreva na apostila, use seu caderno!
META DOS ORIENTADORES DE APRENDIZAGEM
“Formar indivíduos competitivos, com responsabilidade social,
adequando seus valores e conhecimentos, a fim de se tornarem agentes
transformadores dentro de uma visão de mundo, acreditando no valor
daquilo que vêem e pensam”.
OBJETIVOS (Módulo 13 e 14 )
Nesta U.E. você será capaz de;
- Fazer uso das operações de permutação,combinação e probabilidade;
-
Reconhecer a importância do plano cartesiano no estudo da equação
da reta e sua aplicação na vida cotidiana;
2
MÓDULO 13
ANÁLISE COMBINATÓRIA
O PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO
A palavra Matemática, para um adulto ou uma criança, está
diretamente relacionada com atividades e técnicas para contagem do
número de elementos de algum conjunto. As primeiras atividades
matemáticas que vivenciamos envolvem sempre a ação de contar objetos
de um conjunto, enumerando seus elementos.
As operações de adição e multiplicação são exemplos de “
técnicas” matemáticas utilizadas também para a determinação de uma
quantidade. A primeira ( adição) reúne ou junta duas ou mais quantidades
conhecidas; e a segunda ( multiplicação) é normalmente aprendida como
uma forma eficaz de substituir adições de parcelas iguais.
Exemplo : 4 + 4 +4 + 4 +4 = 20 corresponde a 5 . 4 = 20
A multiplicação também é base de um raciocínio muito importante em
Matemática, chamado princípio multiplicativo. O princípio multiplicativo
constitui a ferramenta básica para resolver problemas de contagem sem que
seja necessário enumerar seus elementos ( como veremos nos exemplos).
Esse princípio estabelece o número de maneiras distintas( diferentes ) de
ocorrer um evento.
Os problemas de contagem fazem parte da chamada análise
combinatória.
A partir deste módulo, você vai aprofundar o estudo dessa
parte da Matemática.
EXEMPLO 1
Maria vai sair com suas amigas e, para escolher a roupa que usará,
separou 2 saias e 3 blusas. Vejamos de quantas maneiras ela pode se
arrumar.
3
Assim, Maria dispõem de 3 x 2 = 6 maneiras ou possibilidades
diferentes de se vestir.
EXEMPLO 2
Natália vai viajar de São Paulo a Salvador, passando pelo Rio de
Janeiro. De São Paulo ao Rio de Janeiro ela pode ir de carro, de avião ou de
ônibus; do Rio de Janeiro a Salvador ela pode ir de avião ou ônibus. De
quantas maneiras diferentes ela pode fazer a viagem?
Solução:
avião
carro
ônibus
São Paulo
Rio de Janeiro
três possibilidades
Avião
ônibus
Salvador
duas possibilidades
Aplicando o princípio fundamental da multiplicação, temos:
3 . 2 = 6 possibilidades.
EXEMPLO 3
Quantos números naturais de dois algarismos diferentes podemos
formar usando 6,7,8 e 9?
Solução:
Veja o diagrama de árvore abaixo, indicando todas as possibilidades:
6
7
8
9
67
68
69
(1)
(2)
(3)
7
6
8
9
76
78
79
(4)
(5)
(6)
Você não precisa fazer essa contagem
basta aplicar o princípio fundamental da
multiplicação. Você tem
quatro
algarismos e três possibilidades de
combinação para cada um deles, portanto:
8
6
7
9
86
87
89
(7)
(8)
(9)
4 . 3 = 12 possibilidades
9
6
7
8
96
97
98
(10)
(11)
(12)
4
EXEMPLO 4
Quantos números naturais de dois algarismos podem ser formados
com os algarismos 5,6,7 e 8 ?
Solução:
Algarismos das
unidades
Algarismos das dezenas
Nesse caso, como não foi exigido que os algarismos sejam
diferentes, existem 4 possibilidades para o algarismo das dezenas e quatro
para o das unidades. Logo, aplicamos o princípio fundamental da
multiplicação:
4 . 4 = 16
EXEMPLO 5
De quantas maneiras diferentes é possível pintar a figura abaixo,
cobrindo os retângulos de preto ou vermelho?
Solução:
Cada retângulo terá duas possibilidades : preto ou vermelho. Logo o
número total de possibilidades é, pelo princípio fundamental de
multiplicação : 2. 2. 2. 2. 2. 2 = 26 = 64
EXEMPLO 6
As placas de automóveis eram todas formadas por duas letras (
inclusive K,Y e W ) seguidas por 4 algarismos. Hoje em dia as placas dos
carros estão sendo todas trocadas e passaram a ter três letras seguidas e 4
algarismos. Quantas placas de cada tipo podemos formar?
5
Não esqueça:
São 26 letras
do alfabeto e
10 algarismos.
Solução :
No primeiro caso, escolhendo uma letra
como exemplo:
L
L N
N
N
N
Como cada letra (L) pode ser escolhida de 26 maneiras (total de
letras ) e cada algarismo (N) de 10 modos distintos, a resposta é:
26.26.10.10.10.10 = 6 760 000
No segundo caso
L L L N
N
N N
26.26.26.10.10.10.10 = 26 . 6 760 000 = 175 760 000
A nova forma de identificação de automóveis possibilita uma
variedade 26 vezes maior. A diferença é de 169 000 000 , ou seja, 169
milhões de placas diferentes a mais do que anteriormente.
CURIOSIDADES DA LOTECA
Ao apostar na Loteria
Esportiva você quer acertar os 13
jogos, evidentemente. Mas não é tão
fácil assim.
A certeza em acertar todos os
jogos seria apostar “ triplo “ nos
13 jogos, o que você não pode fazer.
Ao fazer isto, faria 313 = 1 594 323
apostas
( lembre-se que 313 =
3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3 ) e a probabilidade de acertar seria igual a 1.
6
Exercícios:
1) Andréa tem 4 blusas, 3 calças e 4 pares de tênis. De quantas
maneiras diferentes ela pode combinar as 3 peças?
2) O cardápio de um restaurante oferece: dois tipos de salada, dez de
pratos quentes, cinco de bebida e 3 de sobremesa. Quantos pedidos
diferentes é possível fazer, escolhendo um item de cada?
3) Existem 3 linhas de ônibus ligando a cidade A à cidade B e 4
outras ligando B a C. Uma pessoa deseja viajar de A a C, passando por B.
Quantas linhas de ônibus diferentes poderá utilizar na viagem?
AS PERMUTAÇÕES
Nesta aula você estudará um tipo muito comum de problemas de
contagem que está relacionado com as várias formas de organizar ou
arrumar os elementos de um conjunto.
Organizar tais elementos é uma atividade cotidiana que inclui várias
possibilidades, sendo que cada pessoa adota uma estratégia. No entanto,
muitas vezes precisamos saber quantas maneiras podemos arrumar um
conjunto de elementos ou simplesmente saciar a curiosidade sobre o
número total de possibilidades.
Consultando um dicionário encontramos:
PERMUTAR
dar mutuamente, trocar.
PERMUTAÇÃO
ato ou efeito de permutar, troca, substituição;
EXEMPLO 1:
De quantas maneiras podemos arrumar 5 pessoas em fila indiana?
SOLUÇÃO:
Ao escolher uma pessoa para ocupar a 1ª posição na fila temos 5
pessoas à disposição, ou seja, 5 opções; para o 2º lugar, como uma pessoa
já foi escolhida, temos 4 opções; para o 3º lugar sobram três pessoas a
serem escolhidas; para o 4º lugar duas pessoas, e para o último lugar da fila
sobra apenas a pessoa ainda não escolhida.
Pelo princípio multiplicativo ou seja, multiplicando o nº de opções
temos:
7
5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 opções , essa seqüência de multiplicações é
denominada fatorial e é representada pelo símbolo (!).
5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120, onde o símbolo ! é chamado fatorial.
FATORIAL
Sendo um nº natural , n! ( lê-se n fatorial) é o produto de todos os
números naturais consecutivos de 1 até n.
EXEMPLO 1:
3 ! = 3. 2 .1 = 6
7 ! = 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 5040
fatorial é uma multiplicação
EXEMPLO 2
Quantos são os anagramas da palavra MARTELO?
Você sabe o que é um anagrama?
Anagrama é uma palavra formada pela transposição (troca) de
letras de outra palavra. Existem também anagramas de frases, nos
quais se trocam as palavras, formando-se outra frase.
Ex: CASA
Casamento
Amizade
Amor
Satisfação
Satisfação
Amor
Amizade
Casamento
SOLUÇÃO:
Cada anagrama da palavra MARTELO é uma ordenação das letras
M, A, R, T, E, L, O. Assim, o número de anagramas é o número de
permutações possíveis com essas letras, ou seja:
7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5040
EXEMPLO 3:
Um grupo de 5 pessoas decide viajar de carro, mas apenas 2 sabem
dirigir. De quantas maneiras é possível dispor as 5 pessoas durante a
viagem?
SOLUÇÃO:
O banco do motorista pode ser ocupado por uma das 2 pessoas que
sabem guiar o carro e as outras 4 podem ser permutadas pelos 4 lugares
restantes, logo:
trocam entre si
2 . 4! = 2 . 4 . 3 . 2 . 1 = 48 maneiras
sabem dirigir
8
EXERCÍCIOS:
4 ) Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra
AMOR?
5 ) a) Quantos números distintos de 6 algarismos podem se formados
com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6?
b) Quantos desses números são pares?
PERMUTAÇÕES ( com repetição de elementos )
Quantos anagramas podemos formar com a palavra BANANA ?
Aparecem 3 vezes a letra A e 2 vezes a letra N . Calculamos o total
de 6! = 720 e dividimos pelo fatorial de 3 e pelo fatorial de 2.
6!
nº total de permutações de 6 letras.
3! 2!
produto das repetições possíveis com as letras A e N.
2
6 . 5 . 4 . 3 . 2! = 6 . 5. 2 = 60
3 . 2 . 1 . 2!
Uma expressão geral para permutações com objetos nem
todos distintos
Havendo n elementos para permutar e dentre eles um elemento se
repete p vezes outro elemento se repete q vezes, temos:
n!
p! q!
No exemplo anterior, você viu que podemos ter mais de 2 elementos
que se repetem. Neste caso, teremos no denominador da expressão o
produto dos fatoriais de todos os elementos que se repetem.
Uma fração com fatoriais no numerador e no denominador pode ser
facilmente simplificada.
Observe os exemplos:
a) 10! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6! = 10 . 9 . 8 . 7 = 5040
6!
6!
9
b) 5! =
7!
5!
=
1 = 1
7 . 6 . 5!
7.6
42
2
c) 5! = 5 . 4 . 3! = 5 . 4 = 20 = 10
3! 2!
3! 2!
2.1
2
EXERCÍCIOS:
6 ) Quantos são os anagramas da palavra PARANÁ ?
PERMUTAÇÕES CIRCULARES
A expressão geral do número de permutações circulares será o
número total de permutações, n!, dividido pelas n vezes que cada roda
equivalente foi contada:
n! = n . ( n – 1 ) ! = ( n – 1 ) !
n
n
EXEMPLO 1:
Quantas rodas de ciranda podemos formar com 8 crianças?
SOLUÇÃO:
Podemos formar 8! = 7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5040 rodas diferentes.
8
EXEMPLO 2:
Se no encontro de 7 presidentes as reuniões fossem ocorrer ao redor
de uma mesa, de quantas maneiras poderíamos organizá-los?
SOLUÇÃO:
7!
7
=
6! = 6.5.4.3.2.1. = 720 posições circulares diferentes
EXERCÍCIOS:
7 ) De quantos modos 9 pessoas podem formar uma roda de ciranda?
10
AS COMBINAÇÕES
Até agora você estudou problemas de análise combinatória que
envolvia o princípio multiplicativo e as permutações.
Se você observou os problemas de permutações apresentados, percebeu
que possuem duas características em comum:
todos os objetos são usados na hora de formar o agrupamento;
a ordem em que os objetos são arrumados no agrupamento faz
diferença.
Nos problemas que envolviam anagramas com as letras de uma palavra,
por exemplo, todas as letras da palavra original tinham de ser usadas, e a
ordem em que arrumávamos as letras era importante, pois cada ordem
diferente fornecia um novo anagrama.
Agora, você estudará um tipo diferente de problema em que:
há um grupo grande de elementos e desse grupo formamos grupos
menores,
não utilizamos todos os objetos;
a ordem em que os objetos são arrumados “não faz diferença”.
Vamos começar a compreender .Leia e resolva o problema.
EXEMPLO 1:
Em uma obra havia três vagas para pedreiro. Cinco candidatos (grupo
grande) se apresentaram para preencher as vagas. De quantas formas o
encarregado da obra pode escolher os três (grupo menor) que ele precisa?
SOLUÇÃO:
Note que não vai usar todos os candidatos, de 5 escolherá apenas 3.
Além disso, a ordem em que ele vai escolhê-los não faz diferença (se
escolher primeiro João, depois José e por último Pedro, ou primeiro José,
depois Pedro e por último João, o grupo escolhido será o mesmo).
Esse tipo de agrupamento chama-se combinação. No caso do nosso
exemplo, temos uma combinação de 5 objetos (os 5 candidatos) 3 a 3
(apenas 3 serão escolhidos).
Vamos supor que temos n objetos disponíveis para escolha e que,
destes, vamos escolher p objetos (p<n). O número de maneiras de se fazer
essa escolha chama-se combinação e representa-se por C. Portanto, o
número de combinações de n elementos p a p é calculado por:
p
C
= n!
Onde : n = nº de elementos
n
(n – p)! p!
P = nº de elementos
de cada grupo
11
Em nosso exemplo, temos n = 5 e p = 3. Aplicando a fórmula,
obtemos:
3
C =
5!
= 5!
= 5 . 4 . 3! = 5 . 4 = 20 = 10
5
(5 – 3)! 3!
2! 3!
2! 3!
2.1
2
EXEMPLO 2:
Determine quantas comissões de 3 alunos podem ser formadas entre
os 5 colegas que se dispuseram a representar a classe:
André ( A )
Beatriz ( B )
Carla ( C )
Dario(D)
Eloá ( E )
Solução :
A comissão será formada por 3 alunos qualquer que seja a ordem.
Assim { A,B,C} e {C,B,A} são a mesma comissão.
Portanto cada comissão é uma combinação dos elementos do
conjunto tomados 3 a 3 .
A, B, C
A, C , D
A, B, D
A, C , E
Total = 10, isto é
C
A, B, E
A, D, E
B, C , E
B, C , D
B, D, E
C , D, E
3
5
= 10 usando a fórmula você obterá :
Onde n = 5
p=3
p
Cn
= n!
=
( n-p)! p!
5!
=
( 5 – 3)! 3!
5.4.3! = 20 = 10
2! 3!
2
EXEMPLO 3:
Em um hospital há apenas 5 leitos disponíveis na emergência. Dez
acidentados de um ônibus chegam e é preciso escolher 5 para ocupar os
leitos. Os outros ficariam em macas, no corredor do hospital. De quantas
formas poderíamos escolher 5 pessoas que ficariam nos leitos?
SOLUÇÃO:
Na realidade, os responsáveis pela emergência estudariam cada caso
e escolheriam os mais graves, mas imagine que todos tenham a mesma
gravidade.
12
Nesse caso, há duas coisas a observar: de 10 pessoas, 5 serão
escolhidas e a ordem em que a escolha é feita não importa. Trata-se, então,
de uma combinação onde:
n = 10 (número de “objetos” disponíveis)
p = 5 (número de “objetos” a serem escolhidos)
Usando a fórmula, temos:
C 5 =
10
10!
=
(10 – 5)! 5!
10! = 10 . 9 . 8. 7 . 6 . 5! = 10 .9 . 8. 7. 6 =
5! 5!
5! 5!
5!
= 30240___ = 30240 = 252
5. 4. 3. 2. 1
120
Logo, há 252 formas de escolher as 5 pessoas que irão ocupar os 5
leitos.
EXERCÍCIOS:
8 ) Quantas comissões de 3 pessoas podemos formar num grupo de
sete pessoas ?
9 ) Uma quituteira faz 10 tipos diferentes de docinhos e 15
qualidades de salgadinhos. Para organizar uma festa, Lúcia vai escolher 10
tipos de salgadinhos e 6 tipos de docinhos diferentes. De quantas formas
ela pode escolhê-los?
Sugestão: Use duas vezes a fórmula da combinação. Primeiro para os
docinhos e depois para os salgadinhos.
O CONCEITO DE PROBABILIDADE
13
14
Veja outros exemplos de experimentos aleatórios:
1 ) O lançamento de uma moeda
Não se pode determinar o resultado, antes de efetuar o lançamento da
moeda.
2 ) A aposta em jogo qualquer da Loteria Esportiva.
Não se pode prever o resultado, antes do jogo ser efetuado.
3 ) A disputa de par ou ímpar.
Não se pode prever o resultado, se par ou ímpar, antes da disputa.
Daremos início ao estudo das probabilidades. Quando usamos
probabilidades?
Você ouviu falar desse assunto em situações como: a probabilidade
de ser sorteado, de acertar numa aposta, de um candidato vencer uma
eleição, de acertar o resultado de um jogo etc. Portanto, “usamos
probabilidades em situações em que dois ou mais resultados diferentes
podem ocorrer e não é possível saber, prever, qual deles realmente vai
ocorrer em cada situação”.
Ao lançar para o alto uma moeda e quiser saber se o resultado é cara
ou coroa, não podemos prever o resultado mas podemos calcular as
chances de ocorrência de cada um. Este cálculo é a probabilidade de
ocorrência de um resultado.
Por meio dos exemplos abaixo você aprenderá o cálculo de
probabilidades.
EXEMPLO 1:
Qual a chance de dar cara no lançamento de uma moeda?
SOLUÇÃO:
Raciocinando matematicamente os resultados cara e coroa têm as
mesmas chances de ocorrer. Como são duas possibilidades (cara ou coroa)
podemos dizer que a chance de dar cara é de 1 para 2. Isto é o mesmo que
dizer que a probabilidade de o resultado ser cara é ½ (1:2) ou 0,5 ou 50%.
Neste exemplo você Calculou intuitivamente a probabilidade do
resultado ser cara e você deve Ter percebido que a probabilidade de dar
coroa é a mesma, 50%.
No entanto, quando dizemos que a probabilidade é ½ ou 50% isso
não significa que a cada 2 lançamentos um vai ser cara e o outro vai ser
coroa. O fato da probabilidade ser ½ ou 50% quer dizer apenas que as
chances são iguais e que, se fizermos muitos lançamentos, é provável que
aproximadamente metade deles dê cara como resultado.
15
EXEMPLO 2:
No lançamento de um dado qual a probabilidade do resultado ser um
número par?
SOLUÇÃO:
Para que o resultado seja par devemos conseguir:
Assim, temos 3 resultados favoráveis (2, 4 ou 6) em um total de 6
resultados possíveis (1, 2, 3, 4, 5, 6).
As chances de dar um resultado par são 3 num total de 6. Então,
podemos dizer que a probabilidade de isso acontecer é 3/6 ou ½.
Generalizando essa solução:
P (par) = nº de resultados favoráveis = 3 = 1
nº total de resultados possíveis 6
2
= 50%
Onde P (par) significa probabilidade de o resultado ser par.
Nos três exemplos que acabamos de ver há dois ou mais resultados
possíveis, todos com a mesma chance de ocorrer. A probabilidade de
ocorrer um desses resultados ou um conjunto de resultados que satisfaçam
uma condição ou exigência. E, é representado por p (E) e calculado por:
p (E) = nº de resultados favoráveis a E
nº total de resultados possíveis
EXEMPLO 3:
Numa urna estão 10 bolas de mesmo tamanho e de mesmo material,
sendo 8 pretas e 2 brancas. Pegando-se uma bola qualquer dessa urna, qual
a probabilidade de ela ser branca?
SOLUÇÃO:
p (branca) = nº de bolas brancas = 2 = 1 = 20%
nº total de bolas
10
5
16
EXEMPLO 4:
De um baralho normal de 52 cartas e mais 2 coringas retiramos uma
das cartas ao acaso. Qual a probabilidade de:
a) ser um ás?
b) Ser um coringa, em jogos que também consideram o 2 como
coringa?
SOLUÇÃO:
O número total de cartas é 54 sendo que há 13 cartas (às, 2 a 10,
valete, dama, rei) de cada um dos 4 naipes (copas, ouro, paus e espadas) e 2
coringas.
a) p (ás) = nº de ases existentes = 4 = 0,07 = 7%
nº total de cartas
54
b) Como as 4 cartas com o nº 2 também são consideradas coringas, a
probabilidade de tirar um coringa será:
p (ás) = nº de coringas
=
6
nº total de cartas
54
= 0,11 = 11%
VOCÊ VENCEU !!
Qual é a probabilidade de você existir ?
Podemos dizer que a nossa vida tem início com uma competição
esportiva: uma corrida que reúne 225 milhões de espermatozóides.
Nessa corrida pela vida, o percurso é coberto em cerca de 8 horas. A
meta final é o óvulo da mãe.
Só o vencedor sobrevive.
Se todos esses espermatozóides pudessem fecundar os óvulos,
teríamos milhões de indivíduos diferentes. Assim, a chance que você teve
de nascer foi de
1
ou, simplesmente 0,0000004%.
225000000
EXERCÍCIOS:
10 ) De um baralho de 52 cartas é retirada uma carta ao acaso.
a )Qual a probabilidade de a carta retirada ser um rei?
b )Qual a probabilidade de a carta retirada ser uma figura (valete,
dama ou rei)?
11 ) No lançamento de um dado:
a) qual a probabilidade de o número obtido ser menor ou igual a 4?
b) E de ser obtido o número 1
17
GABARITO:
1 ) 48
9 ) 630630
2 ) 300
10 ) a ) 4/52 ou 7,69%
b ) 12/52 ou 23%
3 ) 12
4 ) 24
11 ) a ) 4/6 ou 66%
b ) 1/6 ou 16%
5 ) a ) 720
b ) 360
6 ) 120
7 ) 40320
8 ) 35
18
Módulo 14
INTRODUÇÃO A GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO
DA RETA
Com a Geometria Analítica é possível dar uma interpretação
geométrica (através de medidas e retas), a equações com duas variáveis
(letras).
A utilização do método cartesiano (gráficos) contribuiu
decisivamente para o progresso das ciências.
As representações cartesianas são utilizadas, entre outras coisas,
para:
Mostrar a variação da temperatura de um doente;
Perceber a variação da inflação;
Registrar o resultado de uma pesquisa;
Localizar um ponto qualquer no globo terrestre, etc.
Você pode localizar qualquer lugar do mundo. Para isso bastam duas
indicações que se “juntam” (latitude e longitude), para formar um ponto.
A associação de pontos com números é a base da Geometria
Analítica.,também chamada de Geometria de Coordenadas e baseiam-se
nos eixos X (horizontal) e Y (vertical).
Você já estudou como se localiza pontos no referencial cartesiano,
mas é necessário recordar para entender este módulo. Veja:
1- um ponto é formado por um par ordenado de números, onde o 1º
número é o X e o 2º é o Y. ( X , Y )
Veja o plano cartesiano desenhado abaixo e observe as localizações dos
pontos
A (2 ,2 )
B (-3 , 3 )
C (-2 , -3 ) D ( 1, –2 ) E ( -2, 1 )
Y
.
B
3
A
2
E
1
-3
-2
-1
0
X
1
2
3
-1
-2
C
.
.
D
-3
19
Agora, você vai estudar outros assuntos relacionados com o referencial
cartesiano.
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
Com dois pontos pode-se traçar uma reta. Localizando esses pontos
quaisquer na reta você tem um segmento (pedaço) de reta. Para saber a
distância entre esses dois pontos ou o comprimento do segmento é
necessário saber a localização desses pontos no plano cartesiano. Para isso
fixa-se uma unidade de medida tanto para o eixo X como para o eixo Y.
1º caso: Os pontos A e B são extremos de um segmento paralelo ao eixo
x, conforme mostra o desenho abaixo:
XA é um número do eixo X
XB é um outro número do
eixo X
A
B
XA
Definimos: Distância
Observe que os dois pontos
A e B tem o mesmo valor
no eixo Y. Isso mostra que o
segmento AB é paralelo ao
eixo X
XB
D (A,B ) = XB - XA
Lê-se: distância de A e B é igual ao módulo da diferença das abscissas
(pontos do eixo X) de A e B
Este conceito é usado freqüentemente em física. Por exemplo: O
gráfico da velocidade de um carro em função do tempo mostra quanto
tempo ele permaneceu em velocidade constante.
Veja o gráfico: V
(m/s)
60
8
X1
32
X2
t (s)
20
Para determinar a resposta basta calcular a distância entre os dois valores
de X usando a fórmula: D = X2 - X1
32 - 8 = 24 segundos. Portanto esse valor
mostra o tempo em que o carro manteve a velocidade constante de 60 m/s.
2º Ex.: Qual a distância entre os pontos A (3,2) e B (6,2)?
A
B
2
X
3
6
Para você entender observe o plano cartesiano abaixo cujo segmento
AB é paralelo ao eixo do X (abscissa):
A é 1º ponto do eixo X, logo A =(3 , 2) B é o 2º ponto de X, logo B =(6 , 2)
X1Y1
X2 Y2
Observe que Y1 = Y2 = 2 pois a reta está no mesmo ponto, portanto:
D = X 2 - X1
D=6–3
D =3
R: 3 unidades iguais á fixada nos dois eixos.
2º Caso: Os pontos são extremos de um segmento paralelo ao eixo y .
Definimos
D (A,B) = YB – YA pois XA = XB Lê-se: distância
de A e B é igual ao módulo da diferença das ordenadas ( valor de Y) dos
pontos A e B.
EX.: Qual é a distância entre os pontos A(7,2) e B(7,5)
D (A,B) = YB – YA = 5 – 2 = 3
Y
5
B
2
A
7
R: 3 unidades de comprimento .
21
Nos dois casos descritos onde os segmentos de reta são paralelos ao
eixo X ou Y não existe coeficiente angular, pois não existe inclinação da
reta.
3ºcaso: O segmento AB está numa reta inclinada formando com o
eixo X um ângulo que pode ser maior ou menor do que 90º. Para calcular
o coeficiente angular ( inclinação) aplica-se o conceito de tangente do
ângulo.
tang = cateto oposto ( segmento do eixo Y)
cateto adjacente ( segmento do eixo X )
O coeficiente angular é representado pela letra M e para calcular usa a
fórmula:
COEFICIENTE ANGULAR
Y2
M = Y2 – Y1
Cat. oposto
Y1
X2 – X1
X1
X2
Cat. adjacente
A fórmula do coeficiente angular é a mesma da tangente. Você pode
determinar a medida do ângulo (graus) olhando e comparando o resultado
do coeficiente angular na coluna da tangente da tabela trigonométrica.
1º EXEMPLO: ÂNGULO MENOR DO QUE 90º (a reta é crescente e o
coeficiente angular é positivo). Observe o gráfico abaixo:
Y
Y2
4
Y1
1
4
5
X1
X2
X
No gráfico ao lado a reta
inclinada forma com o eixo X
um ângulo menor do que 90º.
Aplicando a fórmula você
determina o
coeficiente
angular que a reta tem com o
eixo do X
22
M = Y 2 – Y1
X2 – X1
=
Olhando na coluna da tangente da
tabela trigonométrica verificamos
que a medida em graus que mais se
aproxima do valor 3 do coeficiente
angular
encontrado
é
aproximadamente 72º
4 -1 = 3 = 3
5–4
1
Na física podemos enumerar uma infinidade de exemplos desse gráfico
que representa uma função crescente, tais como:
- o espaço percorrido por um carro em determinados instantes,
- a velocidade desse carro em função do tempo decorrido,
- a elevação da temperatura de uma pessoa durante um intervalo de
tempo, etc.
Exemplo:
O espaço percorrido por um móvel pode ser dada através de um gráfico
identificando a posição (eixo vertical) em m (metros) em função do tempo
( eixo horizontal) em s ( segundos), onde S é o espaço percorrido.
S(m
)
B
30
20
A
10
0
2
4
1- Qual o coeficiente angular ( nesse caso, a velocidade média), entre os
pontos A e B?
Na física a velocidade média é dada pela fórmula:
V = S2 - S1 que é a mesma do coeficiente angular, portanto
t2 - t 1
V = 30 – 10 = 20 = 5m/s ( coeficiente angular) do segmento AB.
4 - 0
4
23
2º EXEMPLO: ÂNGULO MAIOR DO QUE 90º ( a reta é decrescente e
o coeficiente angular é negativo, portanto o 1º ponto é ( 1 , 7 ) e o 2º é
(5 , 2)
X 2 Y2
X1 Y1
Y
Y1 7
Y2
2
1
5
X1
X2
X
No gráfico ao lado a reta inclinada
forma com o eixo X um ângulo
maior do que 90º.
Por essa reta passsam dois pontos:
(1 , 7) e (5 , 2)
X 1 Y1
X2 Y 2
M = Y2 - Y1 = 2 - 7 = - 5 = - 5 = - 1,25
X2 - X1
5- 1
4
4
Este gráfico mostra a variação decrescente de uma função. Veja alguns
exemplos aplicado em física.:
- a diminuição da velocidade em função do tempo ( aceleração
negativa),
- a diminuição da temperatura de uma pessoa em função do tempo,
etc.
EXEMPLO
Quando você caminhar pelas ruas de Votorantim observe que
algumas apresentam declividade ou coeficiente angular. Leia o texto da
figura.
A inclinação de uma reta é chamada coeficiente angular (ou
gradiente).
Em alguns países você vê coeficientes angulares nos sinais de trânsito
para indicar subida muito íngreme (difícil de subir).
24
EXERCÍCIOS:
1. Localize os pontos e calcule o coeficiente angular da reta:
Y2 19
Y1 4
0
X1
3
X2
Vista parcial da Av. Luiz do Patrocino Fernandes
2) Ao descer a Av. Luiz do Patrocino Fernandes observe a sua
declividade. Tome como referência a escola EMEF “Profº Abimael Carlos
de Campos, que está localizada no ponto A ( -10 , 631) e, a primeira casa
da Avenida, localizada no ponto B ( 10 , 36 ), em relação a linha de trem,
que representa o eixo X. O canteiro central da avenida representa o eixo Y.
Determine o coeficiente angular desse intervalo da avenida, observando o
gráfico que está representando o problema aplicando a fórmula.
Y
A escola está localizada
na calçada de nº ímpar
e a casa na outra
calçada. O canteiro
central é o ponto zero
X 1 , Y1
( -10 , 631)
(10 ,36)
X
25
3. Calcule o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos:
A ( - 6 , 2 ) e B ( 4 , -7). Preste atenção na regra de sinais ao
substituir os números negativos na fórmula.
4. O crescimento Y de uma cultura biológica passa de 8 cm² para
10cm², enquanto o tempo X aumenta de 1 para 2 horas. Se a taxa média de
crescimento é representada pelo coeficiente angular da reta que passa por
esses dois pontos, determine essa taxa média de crescimento.
Observação: para resolver, determine os pontos e aplique a fórmula do
coeficiente angular. Se quiser faça o esquema do gráfico.
EQUAÇÃO GERAL DA RETA
A equação geral da reta é dada pela função linear ( 1º grau )
representada pela fórmula aX + bY + c = 0 onde:
a é o nº que acompanha a variável X
b é o nº que acompanha a variável Y
c é o nº que não tem variável.
OBSERVE O EXEMPLO:
4X –2Y +10
a
b
c
a=4
b = -2
c = 10
Para determinar a equação da reta é necessário que se conheça dois
pontos que pertençam a ela para aplicar a fórmula:
EQUAÇÃO GERAL DA
RETA
X - X1 = Y - Y1
X2 - X1
Y2 - Y1
LEMBRE-SE que o 1º ponto é formado por (X1 , Y1 ) e o 2º ponto
por (X2 , Y2).
26
1º EXEMPLO:
Determine a equação da reta que passa pelos pontos A e B, sabendo que A
(1,2) e B(3,5)
para aplicar a fórmula você precisa determinar os valores de X1 = 1
Y1 = 2
X2 = 3
Y2 = 5
X - X1 =
Y - Y1 SUBSTITUINDO AS LETRAS PELOS NÚMEROS
X2 - X1
Y2 - Y1
X - 1 = Y - 2
3 - 1
5 - 2
X - 1
2
=
Y - 2
3
EFETUA-SE A MULTIPLICAÇÃO APLICANDO A
PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA, isto é, multiplica
pelos dois termos dos numeradores)
3 . ( X - 1) = 2 . (Y - 2)
=
3X - 3 = 2Y - 4 (A EQUAÇÃO TEM QUE SER IGUAL A ZERO
PORTANTO TROCAM-SE OS SINAIS DOS TERMOS QUE PASSAM PARA O
1º MEMBRO DA IGUALDADE)
3X – 3 - 2Y + 4 = 0 (REDUZ OS TERMOS SEMELHANTES)
3X - 2Y + 1 = 0 É A EQUAÇÃO DA RETA
2º EXEMPLO:
Determine a equação da reta que passa pelos pontos (2 , -1) e (-3, 2)
X - X1 = Y - Y1 SUBSTITUINDO PELOS NÚMEROS
X2 - X1
Y2 - Y1
X - 2 = Y - (-1) ( USE A REGRA DE SINAIS)
-3 - 2
2 - (-1)
X - 2 =
Y + 1 = (MULTIPLICANDO)
-5
3
3X - 6 = -5Y - 5
3X - 6 + 5Y +5 = 0
3X +5Y - 1 = 0 EQUAÇÃO DA RETA
X1 = 2
Y1 = -1
1º
ponto
X2 = -3
2º ponto
Y2 = 2
27
EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA
Reduzir é deixar a equação geral da reta (aX + bY + c ) em função da
variável Y.
Veja o exemplo:
3X +5Y - 10 = 0 EQUAÇÃO DA RETA (isola-se o termo com Y,
passando os outros termos para o outro membro, trocando os sinais)
5Y = - 3X + 10
Y = - 3X + 10 OU
5
Y = -3X + 10
Y = -3X + 2
5
5
5
OBSERVAÇÃO:
Na equação reduzida você encontra o coeficiente angular e o
coeficiente linear sem usar fórmulas.
No exemplo acima você tem: Y = -3X + 2
5
onde -3 é o coeficiente angular e
+2 é o coeficiente linear .
5
Exercícios:
5. Determine em cada caso a equação da reta que passa pelos pontos:
a) ( 1 , 3) e ( 2 , 5)
b)
Y
7
4
1 2
X
6. Escreva a equação da reta
( em função de Y)
4X - 5Y -10 = 0
na forma reduzida
28
DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA NO PLANO
CARTESIANO
Para determinar a distância entre o ponto P e a reta r (olhe o gráfico),
você aplica a fórmula:
OBSERVAÇÃO: as duas barras verticais da fórmula representam o
valor absoluto do número, isto é, sem sinal positivo ou negativo pois não
existe medida negativa da distância.
D = a . X + b .Y + c
a²
onde a,b,c são os
.P (X , Y)
b²
coeficientes da reta e X , Y os nº do
ponto.
r
1º Exemplo:
Qual a distância entre o P.A. (Pronto Atendimento) de Votorantim em
relação a Avenida 31 de março sabendo-se que o P.A. está localizado no
ponto (800 , 392) e a reta da avenida é determinada pela equação:
4X – 5Y + 40 = 0
Substituindo os valores
a=4 b=-5
c = 40
e
X = 800 Y = 392 na fórmula,
D = a . X + b .Y + c
D = 1280
a²
b²
=
1280
6,4
41
D = 4 . 800 – 5 . 392 +40
4²
=
D = 3200 – 1960 +40
5²
16
25
D = 200
A distância entre o P.A. e a Av. 31 de março é de 200m.
2º Exemplo: Calcular a distância do ponto P( 5 , 4 ) à reta 1X + 2Y – 9 = 0
D=a.X +b.Y +c
a²
X Y
b²
a
b
c
D = 1. 5 + 2 . 4 – 9 = 5 + 8 – 9 = 4 = 1,8
1²
2²
5
2,2
29
EXERCÍCIOS:
7. Determine a distância do ponto ( 3 , 2 ) à reta 3X + 4Y – 29 = 0
8. Um menino está soltando pipa e a linha esticada está representada pela
equação da reta 3X + 4Y +20 = 0
A ponta de uma antena de TV está distante da linha no ponto P (80 , 60).
Determine a distância, em metros, entre a ponta da antena e linha da pipa.
P ( 80 , 60 )
Use a fórmula da
distância entre um
ponto e uma reta
CONDIÇÃO PARA QUE DUAS RETAS SEJAM PARALELAS
1- Duas retas são paralelas quando tem o mesmo
angular .
Mr = Ms
coeficiente
Exemplo:
Y = 3X - 9 ( equação da reta r )
r
s
Y = 3X + 2 (equação da reta s )
então 3 é o coeficiente angular de r e s,
logo Mr = Ms = 3
30
2-Duas retas são perpendiculares (formam entre si ângulos de 90º)
quando
o coeficiente angular de uma é igual ao inverso do coeficiente angular
da outra reta.
Os coeficientes têm sinais contrários.
Exemplo:
Y = 3X - 9 ( equação da reta r)
Mr =
-
Y = - 1 X + 2 (equação da reta s)
1
Ms
3
então 3 é o coeficiente angular de r e
- 1 é o coeficiente angular de s,
3
r
Ms
logo Mr =
-1
Ms
s
Mr
GABARITO
1º 5
2º -29, 75
3º - 9
10
4º 2cm²
5º a) 2X – Y +1 = 0
6º Y = 4X - 10 ou
5
5
7º D = 2,4
b) 3X – Y +1 = 0
Y = 4X – 2
5
8º A distância entre a torre e a pipa é 100m
31
Bibliografia:
Desenhos ilustrativos tirados dos livros:
BONGIOVANNI, Vicenzo, Vissoto, Olímpio Rudinin Leite, Laureano,
José Luiz Tavares. MATEMÁTICA VIDA. Quinta Série a Oitava
Série
São Paulo. Editora Ática. 7ª Edição. 1995.
IMENES, Luiz Marcio, Lellis Marcelo. MATEMÁTICA. Oitava Série
São Paulo. Editora Scipione. 1999.
SCIPIONE, Di Pierrô Netto. MATEMÁTICA CONCEITOS E
HISTÓRIAS. 6ª Edição. Oitava Série. São Paulo. Editora Scipione
1997.
ELABORADO PELA EQUIPE DE MATEMÁTICA 2007:
- Elisa Rocha Pinto de Castro
- Francisco Carlos Vieira dos Santos
- Josué Elias Latance
- Rosy Ana Vectirans
COLABORAÇÃO:
- Adriana Moreira Molinar
- Esmeralda Cristina T. Ramon
- Rosimeire Maschetto Nieri
- Sara M. Santos
DIREÇÃO:
- Elisabete Marinoni Gomes
- Maria Isabel Ramalho de Carvalho Kupper
COORDENAÇÃO:
- Neiva Aparecida Ferraz Nunes
APOIO: Prefeitura Municipal de Votorantim
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