GEOMETRIA PLANA
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Aula 21 - Baiano GEOMETRIA PLANA GEOMETRIA PLANA Quadriláteros Definição: Polígono de quatro lados formado por quatro vértices não colineares dois a dois. A Si = 180º (n – 2)= 180º (4 – 2)= 360º D Se = 360º B C n . (n- 3) 4 . (4 - 3) d= = =2 2 2 GEOMETRIA PLANA Quadriláteros Classificação Trapézio Paralelogramo Losango Quadrado Retângulo Trapezóide GEOMETRIA PLANA Quadriláteros Paralelogramo É todo quadrilátero que tem os dois pares de lados opostos respectivamente paralelos. Propriedades Lados opostos congruentes Ângulos opostos congruentes Ângulos adjacentes suplementares As diagonais se cruzam no seu ponto médio. A4 A1 A3 A2 As diagonais de um paralelogramo se interceptam formando quatro triângulos de mesma área (equivalentes). GEOMETRIA PLANA Quadriláteros Retângulo É um paralelogramo que possui os quatro ângulos congruentes (retos). Propriedades (iguais as do Paralelogramo) Lados opostos congruentes Ângulos opostos congruentes Ângulos adjacentes suplementares As diagonais se cruzam no seu ponto médio. As diagonais de um retângulo são congruentes. GEOMETRIA PLANA Quadriláteros Losango É um paralelogramo que possui os quatro lados congruentes. Propriedades (iguais as do Paralelogramo) Lados opostos congruentes Ângulos opostos congruentes Ângulos adjacentes suplementares As diagonais se cruzam no seu ponto médio. As diagonais de um retângulo são perpendiculares. GEOMETRIA PLANA Quadriláteros Quadrado É um paralelogramo que possui ângulos e lados congruentes, sendo assim o único quadrilátero regular. Propriedades (iguais as do Paralelogramo) Lados opostos congruentes Ângulos opostos congruentes Ângulos adjacentes suplementares As diagonais se cruzam no seu ponto médio. As diagonais de um quadrado são congruentes, perpendiculares e se cruzam no seu ponto médio. GEOMETRIA PLANA Quadriláteros Trapézio É um quadrilátero que possui dois lados paralelos podendo ser classificado em escaleno, retângulo ou isósceles. Trapézio Escaleno Possui quatro lados diferentes e não possui ângulos congruentes Trapézio Retângulo Possui um dos lados transversais perpendicular às bases Trapézio Isósceles Possui um os lados transversais com medidas iguais. Os ângulos da base congruentes. GEOMETRIA PLANA Quadriláteros Trapezóide É um quadrilátero que não possui lados paralelos. GEOMETRIA PLANA Quadriláteros Exemplo 1: UFMS | Dadas as proposições abaixo, dê o somatório das afirmações verdadeiras: 01. Em um retângulo qualquer, as diagonais são congruentes. Verdadeiro 02. Em um losango qualquer, as diagonais são congruentes. falso 04. Em um quadrado qualquer, as diagonais são congruentes. Verdadeiro 08. Em um retângulo qualquer, as diagonais são perpendiculares entre si. falso 16. Em um losango qualquer, as diagonais são perpendiculares entre si. verdadeiro 32. Em um quadrado qualquer, as diagonais são perpendiculares entre si. verdadeiro Gabarito: 53 GEOMETRIA PLANA Quadriláteros Exemplo 2: UFSC 2006 | Considere um hexágono eqüiângulo (ângulos internos iguais) no qual quatro lados consecutivos medem 20 cm, 13 cm, 15 cm e 23 cm, conforme figura abaixo. Calcule o perímetro do hexágono. 20 13 15 23 GEOMETRIA PLANA Quadriláteros Exemplo 2: y 20 13 120º 120º 60º 60º 13 60º 13 120º x 120º 60º x 60º 60º 120º x 120º 15 23 180º (n – 2) 180º (6 – 2) ai = = = 120º n 6 Num paralelogramo temos , ângulos opostos iguais e lados opostos iguais GEOMETRIA PLANA Quadriláteros Exemplo 2: y 120º 20 13 120º 120º 60º 60º 13 60º 120º x 120º 60º x 60º 60º 120º x 120º 15 23 2P = x + y + 20 + 13 + 15 + 23 2P = 10 + 18 + 20 + 13 + 15 + 23 2P = 99 13 20 + 13 = 23 + x 33 = 23 + x x = 10 15 + 13 = x + y 28 = 10 + y y = 18 GEOMETRIA PLANA Quadriláteros Relações Métricas Teorema de Pitot Em qualquer quadrilátero convexo, circunscritível a um círculo, as somas dos lados opostos são iguais. l2 l3 l1 l4 l1 + l3 = l2 + l4 GEOMETRIA PLANA Quadriláteros Exemplo 3: UFPR | Em um trapézio isósceles circunscritível, a base menor vale 4 e a base maior vale 16. Qual a altura desse trapézio? 4 l 10 l h 6 Pelo Teorema de Pitot: 16 4 6 l + l = 16 + 4 2l = 20 l = 10 h=8 GEOMETRIA PLANA Quadriláteros Exemplo 3: UFPR | Em um trapézio isósceles circunscritível, a base menor vale 4 e a base maior vale 16. Qual a altura desse trapézio? Método das tangentes 4 4 1 3 2 l – 1 + l – 3 = 16 1 3 2 2l - 4 = 16 10 l l l l h l-1 l-3 8 2l = 20 8 16 6 l = 10 h = 8 l-1 16 l-3 l = 10 GEOMETRIA PLANA Quadriláteros Relações Métricas Teorema de Ptolomeu Em todo quadrilátero convexo, inscritível num círculo, a soma dos ângulos internos opostos é igual a 180º. β γ α θ α + γ = β + θ = 180º GEOMETRIA PLANA Quadriláteros Exemplo 4: UDESC | Um quadrilátero inscritível possui ângulos adjacentes iguais a 80º e 120º. Sendo α e β os ângulos opostos a 80º e 120º, respectivamente, calcule o valor de 3β - 2α. Pelo Teorema de Ptolomeu: α 120º α + 80º = 180º α = 100º 80º β β + 120º = 180º β = 60º 3β - 2α 3(60º) – 2(100º) 180º – 200º – 20º GEOMETRIA PLANA Quadriláteros Exemplo 4: UDESC | Um quadrilátero inscritível possui ângulos adjacentes iguais a 80º e 120º. Sendo α e β os ângulos opostos a 80º e 120º, respectivamente, calcule o valor de 3β - 2α. α 120º 80º β GEOMETRIA PLANA Quadriláteros Relações Métricas Teorema de Hiparco Em todo quadrilátero convexo, inscritível num círculo, o produto das diagonais é igual a soma dos produtos dos lados opostos l2 d1 l3 d2 l4 l1 d1.d2 = l1.l3 + l2.l4 Aula 21 - Baiano FIM
