Conjuntos numéricos, operações com conjuntos, potenciação e

Métodos Matemáticos Aplicados à Física – Prof. Célio Wisniewski.
Parte 1
Conjuntos e operações com conjuntos
Os conjuntos são agrupamentos de elementos tais como números, funções, figuras geométricas, etc.
Os conjuntos são representados por {elemento 1, elemento 2, ..., n–ézimo elemento}, separados por
vígulas.
Operaçõe entre conjuntos:
Intersecção: {1,3,5, 7}  {5, 7,9}  {5, 7}
União:
{1,3, 5, 7}  {5, 7,9}  {1,3, 5, 7, 9}
Está contido: {3,5}  {5, 7, 9}  não
{5, 7}  {5,7,9}  sim
Contém:
{5, 7, 9}  {3,5}  não
{5, 7,9}  {5, 7}  sim
ou
{3,5}  {5, 7,9}
ou {3,5}  {5, 7,9}
Operações entre um elemento e conjunto
Pertinência (pertence  ou não pertence  ):
5  {5, 7,9}?  sim
2  {5, 7, 9}?  não ou 2  {5, 7,9}
Conjuntos Numéricos
Há diversos sistemas de numeração: Hindu-Arábico, Babilônio, Egípcio, Romano, Chineses, Maias, entre
outros.
Conjunto dos números naturais
  0, 1, 2, ...
as operações de soma e produto são bem definidas, isto é, se a, b    a  b   e a.b  
Conjunto dos números inteiros
  ..., 2,  1, 0, 1, 2, ...
as operações de soma, subtração e produto são bem definidas, isto é, se
a, b    a  b  , a  b   e a.b  
Conjunto dos números racionais
1
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Parte 1
p

   ; p, q   e q  0 
q

as operações de soma, subtração, produto e divisão são bem definidas, isto é, se
a
a, b    a  b  , a  b  , a.b   e  , para b  0
b
Conjunto dos números irracionais
Possuem numero infinito de decimais não periódicos, exemplos:
2  1,41421356...
15  3,87298334...
  3,141592653...
e  2,718281828...
Note que: 0,3333... 
1
é racional, pois é uma dízima periódica.
3
Conjunto dos números reais
    n os .irracionais
Portanto:       
Conjunto dos números complexos
Números na forma z  a  bi, onde i  1, a e b  
1
Exemplo: z  2  i, z  i, z   2i
3
2
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Exercícios
Parte 1
Determine se os valores de y das equações pertencem ou não aos conjuntos numéricos, a partir dos valores
de x.





y  3 x  6; x  
y  3 x  6; x  
y  x / 3; x  
y  x / 2; x   e x é par
y  x; x  
Propriedades algébricas de  ( a, b, c   ):


Fechamento:
a b
a b  
Comutatividade:
ab  ba
a b  b a
3
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
Associatividade:
 a  b  c  a  b  c 

Distributividade:
a b  c   a  b  a  c






Parte 1
 a  b c  a b  c 
Elemento neutro:
a0 a
1 a  a
Elemento simétrico:
a  , (a )   tal que a  (a )  0
Elemento inverso:
1
1
a  0  ,      tal que a  1
a
a
Lei do cancelamento:
ab  ac b  c
a  b  a  c  b  c, se a  0
Lei do anulamento:
a  b  0  a  0 ou b  0
Propriedades adicionais:
I)
II)
III)
IV)
V)
VI)
0a  0
VII)
  a   a
  existe pelo menos um
a c ac

b d bd
com b, d  0
b
a
VIII)   
com a, b  0
 a  b   a  b
a
b
 a  b  a  b     a  b 
a
ad
b
IX)

com b, c  0
a a
a
c
bc

  com b  0
d
b b
b
a c
X)
  a  d  b  c com b, d  0
  a  b   a  b
b d
1
Potenciação
a n  a
 a  a  ...  a
n vezes
Propriedades da potenciação
1) () par  
2) a n  a m  a n  m
an
3) m  a n  m
a
( ) par  
()impar  
( )impar  
4
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4)  a  b   a  b
n
n
5)  a n   a nm
an
a
   n
b
b
n
e
n
m
Parte 1
para b  0
1
a
b
e    
com a, b  0
n
a
b
a
7) a 0  1
com a  0, pois 00  indeterminado
8) 0n  0 e 1n  1
com n  0
n
6) a  n 
Radiciação
b  n a  b n  a,
n
raíz n-ésima de a
Propriedades da radiciação
1)
par
( )  
2) n a  a n
1
impar
e
n
3) n a  b  n a  n b
4)
4)
n
a m n  a m
m n
a  m n a
e
()  
am  a n
par
m
e
n
n
( )  
par
()  inexistente  2 1  i  número complexo
a na

, para b  0
b nb
amn  a n a m
Racionalização de denominadores
a
a  2 b  a2 b a2 b



, para b  0

2
b
b 2 b  2 b  2 b 2
Para a n-ésima raiz:
a
a nb
a  n b n 1



, para b  0


n
b
b n b  n b 
Soma ou subtração no denominador
 a b 
1
1
a b

 

 
a b
a b  a b 
a b
a b
n 1


 a b
1
1
a b

 
 
ab
a b
a b  a b
  a
5
2
a b
b a b a b
2

a b
a  b2
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Exemplos:
5
5
3 5 3
1)



9
3
3 3
2)
2
2  4 3 4 3 4 3  2 4 33





4
3
3 4 3  4 3 4 3 4 3 
7
3)
5 1

4 5 23
ou
7 5  23 
4  23
7
7 5 212 7 5 25  25  22 7  2  2 5 22 7 5 22 7 5 22




4  23
4  23
4  23
42
8


n
1
a n1
2 2 4 a 41 2 4 33




n
4
a
3
3
a
3
ou
22
5
7 5 22


7 5 22 7 5 22

42
8
4 5 2 3 5 2 2 4 5 23  2
 33
3
3
3
1
1
4)

 

  0, 25
 
2
1 3 4
3 3
3 3  3  3 3 3
x

x 2
5)
6)
n
s

ou
4 5 23
7

Parte 1
xs
xn
n s
n
s
n

x
xs
x
s

 x 2 x x 2
x
 

x4
x  2  x  2 
xs  s xn

x n  s x n
s 2  n 2  s 1
n
x
n

s
xn
x
n
s

ns
s
n




xs
 x x
s 1
2


n
s
 n2 s  n2
x
n
s
n
x
xs  s x
xn  s x

s n

n s
n s
n  s 1
n  s 1


xn s  xs
xn
x
2
s 2  n2
n s
n s

n s
n
s
s
2
s
xs x
n2
xs
2
s
x
n  s 1
n  n s 1

xn 
 n2
6
n s
x
n
n
xs
n

2
ns
 n2
xs 
2

n s
n 2  s 1
n s
x
xs
 n2
xn
2

n s
x
s 2  n 2  s 1
xn