Semana 6

Mecânica
Ondas
e
http://mo-lerc-tagus.ist.utl.pt/
Rotação
Rolamento (Forças com Rotação);
Energia Cinética de Rotação
FÍSICA
Mecânica e Ondas LERC Tagus 2ºSem 2012/13 Prof. J. C. Fernandes
1
Mecânica e Ondas LERC Tagus 2ºSem 2012/13 Prof. J. C. Fernandes
http://mo-lerc-tagus.ist.utl.pt/
Formulário
Translação
posição
Rotação
Distância [ s ]
Ângulo [ θ ]
velocidade
linear [ v = ds/dt] v = ωr
angular [ ω = dθ
θ/dt ]
aceleração
linear [ a = dv/dt] a = αr
angular [ α = dω
ω/dt ]
Massa [ m ]
Momento de inércia [ I ]
linear [ p = m v]
angular [ L = Ι ω ]
Força [ F = ma ]
Momento da Força [ τ = I α ]
momento
Energia cinética
½ mv2
½ I ω2
Trabalho
W=Fs
W=τθ
Potência
P=Fv
P=τω
Energia cinética
de rotação
K rot =
1 2
Iω
2
Aceleração angular:
Aceleração linear:
α a = α .r
a
Momento da força τ = −F ×l = 2Iα
Mecânica e Ondas LERC Tagus 2ºSem 2012/13 Prof. J. C. Fernandes
Momento de Inércia
I = ∫ r dm
2
I = ∑ mi ri 2
http://mo-lerc-tagus.ist.utl.pt/
Teorema dos
Eixos paralelos
I = I CM + Md 2
Formulário (momentos de inércia)
3
Mecânica e Ondas LERC Tagus 2ºSem 2012/13 Prof. J. C. Fernandes
http://mo-lerc-tagus.ist.utl.pt/
Um disco de massa M e raio R é acelerado por um fio enrolado à
volta de um ressalto de raio r usando uma força T. O atrito estático é
suficiente para ele rolar sem escorregar.
•
•
•
•
Solução:
Dados:
Qual a aceleração linear do cilindro?
Qual o valor da força de atrito ?
Para que valor de r a força de atrito é nula ?
Qual a aceleração linear nas condições da alínea anterior (atrito nulo)?
2 r+R
a=
T
3 MR
2r − R
Fa = T
3R
R
r=
2
T
a=
M
M , R, r , T
I Disco = 12 MR 2
4
Mecânica e Ondas LERC Tagus 2ºSem 2012/13 Prof. J. C. Fernandes
http://mo-lerc-tagus.ist.utl.pt/
Duas esferas de massa m e raio R, uma oca e outra com distribuição de massa
uniforme rolam numa rampa a partir de uma mesma altura H até uma altura h.
Sabendo que o alcance da esfera oca é L determine o alcance da esfera
maciça L´.
Solução:
2
L'
2
I
=
MR 2
I esferaOca = MR 2
= 25
esferaSóli
da
21
5
3
L
5
Mecânica e Ondas LERC Tagus 2ºSem 2012/13 Prof. J. C. Fernandes
http://mo-lerc-tagus.ist.utl.pt/
Uma esfera uniforme de massa M e raio R é livre de rodar em torno de um eixo
horizontal que passa pelo seu centro. Enrola-se uma corda à volta da esfera e
prende-se na extremidade um objecto de massa m.
(a) Determine a aceleração do objecto
(b) Determine a tensão na corda.
Solução:
I esfera =
2
5
MR 2
a=
g
2M
1+
5m
T =
mg
5m
1+
2M
6
Mecânica e Ondas LERC Tagus 2ºSem 2012/13 Prof. J. C. Fernandes
http://mo-lerc-tagus.ist.utl.pt/
Usando o teorema dos eixos paralelos determine o momento de
inércia de uma esfera sólida de massa M e raio R em relação a
um eixo tangente à esfera.
Solução:
I = 75 MR 2
I esfera . sólida =
2
5
MR 2
7
Mecânica e Ondas LERC Tagus 2ºSem 2012/13 Prof. J. C. Fernandes
http://mo-lerc-tagus.ist.utl.pt/
Considere um halter constituído por 2 massas m pontuais e uma
barra de comprimento L e massa 2m. O halter gira em torno de um
ponto P à distância x do CM. Qual é o seu momento de inércia em
relação ao eixo que passa por P?
Solução:
I = 23 mL2 + 4mx 2
I massa pontual = M R 2
I barra = 121 ML2
8
Mecânica e Ondas LERC Tagus 2ºSem 2012/13 Prof. J. C. Fernandes
Considere uma esfera fixa com raio R = 80 cm. Um berlinde de
raio r=1 cm rola a partir do topo da esfera sem escorregar.
Determine o ângulo a partir do qual o berlinde perde contacto com
a esfera.
Solução:
http://mo-lerc-tagus.ist.utl.pt/
I esfera =
2
5
MR 2
10
cosθ = 17
9
Mecânica e Ondas LERC Tagus 2ºSem 2012/13 Prof. J. C. Fernandes
http://mo-lerc-tagus.ist.utl.pt/
Considere duas roldanas solidárias com um eixo comum, de raios R2 e R1 . O momento total de
inércia das duas rodas é I=40Kgm2.
Enrola-se uma corda com um objecto com massa mi (i=1,2) a cada uma das rodas.
(a)
Qual a relação entre m1 e m2 de modo a que não haja aceleração.
(b)
Suponha que adiciona 12Kg a m1. Determina a aceleração das rodas e as tensões nas cordas.
Solução:
m1 R1 = m 2 R 2
α=
12 R1
I + 12 R + m2 R2 ( R1 + R2 )
2
1
T1 = ( g + R1α ) m1
T2 = ( g − R2α ) m2
10
Mecânica e Ondas LERC Tagus 2ºSem 2012/13 Prof. J. C. Fernandes
http://mo-lerc-tagus.ist.utl.pt/
Um pêndulo de relógio é constituído por uma barra de massa m e comprimento
L e um disco de massa M e raio R.
Localize o Centro de Massa.
Calcule o seu momento de inércia.
Solução:
yCM
m( L ) + Md
2
=
m+M
I = 13 mL2 + 12 MR2 + Md 2
I disco =
1
2
MR2
I barra = 121 ML2
11
Mecânica e Ondas LERC Tagus 2ºSem 2012/13 Prof. J. C. Fernandes
Um berlinde de massa M e raio R rola sem escorregar numa rampa
do lado esquerdo a partir de uma altura h1. Quando chega à base
volta a subir outra rampa do lado direito escorregando sem rolar.
Calcule a altura h2 atingida pelo berlinde.
Solução:
h2 =
5
7
http://mo-lerc-tagus.ist.utl.pt/
I esfera =
2
5
MR 2
h1
12
Mecânica e Ondas LERC Tagus 2ºSem 2012/13 Prof. J. C. Fernandes
http://mo-lerc-tagus.ist.utl.pt/
Um cilindro uniforme de massa m1 e raio R roda sem atrito, em torno de um eixo.
Um corpo de massa m2 em cima de um plano inclinado com ângulo θ, ligado a uma
corda de massa desprezável enrolada no cilindro é deixado cair de uma altura h.
a) Qual a aceleração de m2 ?
b) Qual a tensão na corda ?
c) Qual a energia total do sistema quando m2 está a altura h ?
d) Qual a energia total do sistema quando m2 chega á base do plano com velocidade v ?
(e) Qual o valor da velocidade v ?
Solução:
a) a =
g sin(θ )
m
1+ 1
2m2
b) T = 12 m1a
Etotal = m2 gh
v=
I cilindro = 12 mr 2
4m2 gh
2m2 + m1
13
Mecânica e Ondas LERC Tagus 2ºSem 2012/13 Prof. J. C. Fernandes
http://mo-lerc-tagus.ist.utl.pt/
PROBLEMA
A pequena esfera furada da figura pode deslizar ao longo do
fio quando este roda, como se indica na figura.
Dados:
R, M , f , µ s
ω
R
Admita primeiro que não existe atrito na esfera.
•Qual o ângulo θ em que a esfera fica em equilíbrio ?
•Qual a velocidade linear da bola em equilíbrio?
Admita agora um atrito estático na esfera de coeficiente µs (mantendo o ângulo de
M
equilíbrio encontrado antes).
•Qual a frequência angular mínima para que a bola não desça?
•Qual a frequência angular máxima para que a bola não suba?
Solução:
g

sin θ = 2

ω R


g2
2 2
v
=
R
−
ω

ω2


ω 2 ≥ g cos θ − µ s sin θ

R cos θ sin θ + µ s cos θ

ω 2 ≤ g cos θ + µ s sin θ

R cos θ sin θ − µ s cos θ
14
Mecânica e Ondas LERC Tagus 2ºSem 2012/13 Prof. J. C. Fernandes
http://mo-lerc-tagus.ist.utl.pt/
PROBLEMA
Um disco de massa M e raio R tem um fio enrolado à sua volta (yo-yo). Quando seguramos na ponta do
fio o disco cai.
Primeiro mantemos a ponta do fio fixa.
Dados: M , R
•
Qual a aceleração do centro do disco, na queda ?
•
Qual a tensão no fio ?
Admita agora que a mão exerce uma força (aceleração) para cima de modo a
que o centro do disco se mantém imóvel.
•
Qual a nova tensão no fio ?
•
Qual a aceleração angular do yo-yo?
I Disco = 12 MR 2
15
Mecânica e Ondas LERC Tagus 2ºSem 2012/13 Prof. J. C. Fernandes
http://mo-lerc-tagus.ist.utl.pt/
PROBLEMA
2 discos, cada um com massa M e raio R, estão ligados por um cilindro de
massa m e raio r (ver figura). Este conjunto rola (sem escorregar) ao longo de
um plano inclinado de ângulo θ.
Dados:
•
•
•
•
M , R, m, r , d , θ
Qual a aceleração linear do conjunto ?
Qual a sua energia cinética de translação após percorrer a distância d?
E qual a energia cinética de rotação após a mesma distância d?
Qual a razão entre as velocidades lineares em d nos 2 casos: 1) com
rotação e 2) só com escorregamento sem atrito?
d
I Disco = I cilindro = 12 MR 2
16
Mecânica e Ondas LERC Tagus 2ºSem 2012/13 Prof. J. C. Fernandes
http://mo-lerc-tagus.ist.utl.pt/
PROBLEMA
Uma vara de massa M e comprimento L está na horizontal como mostra a figura.
Cortamos um dos apoios e ela fica suspensa apenas pela extremidade A
Dados:
M,L
•
Qual a aceleração linear inicial do centro de massa da vara?
•
Qual a tensão inicial no fio de apoio em A ?
•
Qual a aceleração angular inicial da vara em relação a A ?
•
Encontre um ponto B da vara (dista x de A) onde a
aceleração linear inicial seja = à da gravidade g?
I var a ( cen tro ) =
1
12
I var a ( extrem o ) =
M L2
1
3
M L2
17
Mecânica e Ondas LERC Tagus 2ºSem 2012/13 Prof. J. C. Fernandes
http://mo-lerc-tagus.ist.utl.pt/
Na extremidade de um fio inextensível, enrolado em torno de
um cilíndro de massa m, raio R e momento de inércia I está
pendurado um corpo com a mesma massa m. Despreze a
massa da roldana. O cilindro rola sem escorregar.
Determine o valor da aceleração desta massa e a força de atrito
sobre o cilindro.
Solução: a =
[ I c ilin d r o =
1
2
mr2]
8
1
3
g ; Fa = mg ; T = mg
11
11
11
18