Distribuição Multidimensional

Ajustamento de Observações
1 – Introdução
2 – Distribuição Multidimensional
3 – Ajustamento Direto
4 - Teste de Hipóteses
5 – Teoria dos Erros
6 - Método dos Mínimos Quadrados
7 – Modelo Paramétrico
2 – Distribuição Multidimensional
Em diversas situações, descrevemos os
resultados de experimento através de duas ou
mais variáveis aleatórias.
2 – Distribuição Multidimensional
A distribuição de probabilidade para uma va
n-dimensional é dada por [ X, p(X)], onde X é o
vetor :
1
X 
 2
X 

X
  
 n
 X 
Onde Xj é uma va unidimensional
2 – Distribuição Multidimensional
Exemplo ( Bussab, 2006) : Vamos estudar a
composição de famílias com três crianças,
quanto ao sexo.
2 – Distribuição Multidimensional
Desta maneira, vamos definir :
X = número de meninos
Y = 1, se o primeiro filho for homem
0, se o primeiro filho for mulher
Z = número de vezes em que houve variação
do sexo entre um nascimento e outro dentro
da mesma família.
2 – Distribuição Multidimensional
Suponha que
possíveis composições
tenham a mesma probabilidade conforme o
quadro
Eventos
Probabilidade
X
Y
Z
HHH
1/8
3
1
0
HHM
1/8
2
1
1
HMH
1/8
2
1
2
MHH
1/8
2
0
1
HMM
1/8
1
1
1
MHM
1/8
1
0
2
MMH
1/8
1
0
1
MMM
1/8
0
0
0
2 – Distribuição Multidimensional
As distribuições unidimensionais são
x 0
p(x) 1/8
1
3/8
y
0
p(y) 1/2
1
1/2
z
0
p(z) 1/4
1
1/2
2
3/8
2
1/4
3
1/8
2 – Distribuição Multidimensional
Média (caso unidimensional)
E ( X )   xP( x) para xdiscreta
x
Exemplo : Seja X o número de filhos homens
E(X) = M = 0(1/8) + 1(3/8) + 2(3/8) + 3(1/8)= 12/8 = 1,5
Exemplo :
E(Y) = 0 (1/2) = 1(1/2) = ½ = 0,5
2 – Distribuição Multidimensional
Média (caso bidimensional)
E XY    xy p( x, y)
2 – Distribuição Multidimensional
Exemplo : Seja a distribuição conjunta de X e
Y
(x, y)
(0,0)
(1,0)
(1,1)
(2,0)
(2,1)
(3,1)
p(x,y)
(1/8)
(2/8)
(1/8)
(1/8)
(2/8)
(1/8)
2 – Distribuição Multidimensional
Outra maneira de apresentar uma tabela de
dupla entrada
X/Y 0
0
1/8
1
0
p(x) 1/8
1
2/8
1/8
3/8
2
1/8
2/8
3/8
3
0
1/8
1/8
p(y)
1/2
1/2
1
E(XY) = 0 (1/8) + 0(0) + 0(2/8) + 1(1/8) + 0(1/8) + 2(2/8) +
0(0) + 3(1/8)
= 8/8
=1
2 – Distribuição Multidimensional
Podemos verificar que E(XY) ≠ E(X) E(Y) pois
E(XY) = 1
E(X) E(Y) = 1,5 (0,5) = 0,75
Desta maneira podemos afirmar que X e Y são
dependentes.
Quando X e Y são independentes, temos
E(XY) = E(X) E(Y)
2 – Distribuição Multidimensional
Covariância entre Duas Variáveis
É o valor médio do produto dos desvios de X e Y em
relação às suas respectivas médias
Cov (X, Y) = E[ (X- E(X)) (Y-E(Y))] ou
Cov (X, Y) = E(XY) – E(X) (E(Y)
2 – Distribuição Multidimensional
Exemplo: Vamos calcular Covariância entre X e Y
Cov (X, Y) = E(XY) – E(X) (E(Y)
Cov (X,Y) = 1 – 1,5 (0,5) = 0,25
Portanto as variáveis X e Y são correlacionadas.
Quando X e Y são independentes, Cov (X, Y) = 0
Porém, se Cov(X, Y) = 0 não significa que as variáveis
sejam independentes
2 – Distribuição Multidimensional
Matriz de variância e covariância

X
 11  12

 22
  21
 ...
...

 n1  n 2
...  1n 
...  1n 
  ij
... ... 

...  nn 
 
Quando i = j
unidimensional.
Quando i
variáveis.
≠
j
temos
a
variância
da
variável
temos a covariância entre as duas
2 – Distribuição Multidimensional
Exemplo
( Dalmolin, 2002) : Calcular a matriz de
variância-covariância onde as probabilidades : 0,1 e
0,2 são associadas aos pontos da distribuição através
das circunferências (circunferência maior – maior
probabilidade). Os valores de (x e y) são dados a
seguir
2 – Distribuição Multidimensional
ponto
1
2
3
4
5
6
7
coordenadas
x
y
10
6
15
8
15
12
20
10
25
8
25
12
30
14
p(x,y)
0,1
0,2
0,1
0,2
0,1
0,2
0,1
2 – Distribuição Multidimensional
E(X) = 10(0,1) + 15(0,2) + 15(0,1) + ... + 30(0,1) = 20
E(Y) = 6(0,1) + 8(0,2) + ...+ 14(0,1) = 10
Var(X) = (10-20)2 (0,1) + (15-20)2 (0,2) + ... + (30-20)2 (0,1) = 35
Var (Y) = (6-10)2 (0,1) + ... + (14-10)2 (0,1) = 5,6
Cov (X,Y) = E(XY) – 20(10)
E(XY) = 10(6) (0,1) + 15(8)(0,2) + ... + 30 (14)(0,1) = 210
Cov (X,Y ) = 210 – 200 = 10
2 – Distribuição Multidimensional
Desta maneira, temos :
 11  var( X )  35
 12  cov( X , Y )  10
 21  cov( X , Y )  10
 22  var(Y )  5,6


X
X
 12 

  11

 21  22 
35 10 


10 5,6