Escola Secundária/2,3 da Sé-Lamego Ficha de Trabalho de

Escola Secundária/2,3 da Sé-Lamego
Ficha de Trabalho de Matemática A
Ano Lectivo 2011/12
Distribuição de probabilidades
Nome: ________________________________________________________
1. Numa turma do 12.º ano, a distribuição dos alunos por idade e
sexo é a seguinte:
Para formar uma comissão que vai preparar um baile de
finalistas, vão ser sorteadas três rapazes e duas raparigas
desta turma.
12.º Ano
N.º: ___
Turma: ____
12.º X
16 anos
17 anos
Rapazes
6
8
Raparigas
5
7
a) Qual é a probabilidade de a comissão ficar constituída apenas por jovens de 16 anos?
Apresente o resultado na forma de dízima, com quatro casas decimais.
b) Admita agora que já estão sorteados quatro dos cinco jovens que vão constituir a comissão: os três rapazes e
uma rapariga, a qual tem 16 anos de idade.
Para a comissão ficar completa, falta, portanto, escolher aleatoriamente uma rapariga.
Seja X a variável aleatória: número de raparigas de 17 anos que a comissão vai incluir.
Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável X . Apresente as probabilidades na forma de
fração.
2. O João tem, no bolso, seis moedas: duas moedas de 1 euro e quatro de 50 cêntimos.
O João retira, simultaneamente e ao acaso, duas moedas do bolso.
a) Seja X a quantia, em euros, correspondente às moedas retiradas pelo João.
Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável X , apresentando as probabilidades na forma
de fração irredutível.
b) Depois de ter retirado as duas moedas do bolso, o João informou a sua irmã Inês de que elas eram iguais. Ela
apostou, então, que a quantia retirada era de 2 euros.
Qual é a probabilidade de a Inês ganhar a aposta? Apresente o resultado sob a forma de fração irredutível
3.
a) Seja  um espaço de resultados finito, associado a uma experiência aleatória.
Sejam A e B dois acontecimentos possíveis, mas não certos.
Prove que A e B são independentes se, e só se, P (B | A)  P (B | A) .
b) Numa caixa existem cinco bolas brancas e três bolas pretas. Ao acaso tiram-se sucessivamente duas bolas da
caixa, não repondo a primeira bola na caixa, antes de retirar a segunda.
b1) Utilizando a propriedade enunciada na alínea anterior, mostre que os acontecimentos «a primeira bola
retirada é preta» e «a segunda bola retirada é branca» não são independentes.
b2) Seja X a variável aleatória «número de bolas brancas que ficam caixa, após a extração das duas
bolas».
Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável X . Apresente as probabilidades na
forma de fração irredutível.
1
4. A Sofia tem dois dados equilibrados.
Um dos dados é um cubo com as faces numeradas de 1 a 6.
O outro dado é um octaedro com as faces numeradas de 1 a 8.
A Sofia lança os dois dados e observa os números saídos (nas faces que ficam
voltadas para cima).
a) No âmbito desta experiência, dê um exemplo de dois acontecimentos, A e B, nem impossíveis, nem certos, e
tais que A  B e P ( A  B )  P ( A) .
b) Seja X a variável aleatória: soma dos números saídos.
Determine P ( X  5) . Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
c) Considere os acontecimentos:
C: o produto dos números saídos é 16.
D: os números saídos são iguais.
Sem utilizar a fórmula da probabilidade condicionada, indique o valor de P (C | D ) e de P (D | C ) .
Numa pequena composição, justifique a sua resposta, começando por explicar o significado das probabilidades
pedidas, no contexto da situação descrita.
5. Uma caixa, que designamos por caixa 1, contém duas bolas pretas e três bolas verdes.
Uma segunda caixa, que designamos por caixa 2, contém duas bolas pretas e uma bola verde.
a) Considere a seguinte experiência: retirar, ao acaso, uma bola de cada caixa.
Seja X a variável aleatória: «número de bolas verdes que existem no conjunto das duas bolas retiradas».
Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória X , apresentando as probabilidades
na forma de fação irredutível.
b) Considere agora que, tendo as duas caixas a sua constituição inicial, se realiza a seguinte experiência:


ao acaso, retiram-se simultaneamente três bolas da caixa 1 e colocam-se na caixa 2;
em seguida, novamente ao acaso, retiram-se simultaneamente duas bolas da caixa 2.
Sejam os acontecimentos:
A: «as três bolas retiradas da caixa 1 são da mesma cor»;
B: «as duas bolas retiradas da caixa 2 são de cores diferentes».
Sem utilizar a fórmula da probabilidade condicionada, determine o valor de P (B | A) , apresentando o seu valor
na forma de fração irredutível. Numa pequena composição, explique o raciocínio que efetuou. O valor pedido
deverá resultar da interpretação do significado de P (B | A) , no contexto do problema, significado esse que
deverá começar por explicar.
c) Considere agora que, na caixa 2, tomando como ponto de partida a sua constituição inicial, se colocam mais n
bolas, todas amarelas. Esta caixa fica, assim, com duas bolas pretas, uma bola verde e n bolas amarelas.
Considere a seguinte experiência: ao acaso, retiram-se sucessivamente duas bolas dessa caixa.
5
, determine o valor de n .
Sabendo que a probabilidade de uma delas ser amarela e a outra ser verde é
39
6. Uma caixa contém dez bolas.
Quatro bolas estão numeradas com número 1, cinco com o número 2 e uma com o número 3.
a) Extrai-se, ao acaso, uma bola da caixa.
Seja X o número da bola extraída.
Construa a tabela da distribuição da variável aleatória X , apresentando as probabilidades na forma de dízima.
2
b) Da caixa novamente completa, tiram-se simultaneamente, ao acaso, duas bolas.
Determine a probabilidade de essas duas bolas terem o mesmo número. Apresente o resultado na forma de
fração irredutível.
c) Considere, uma vez mais, a caixa com a sua constituição inicial.
Tira-se, ao acaso, uma bola da caixa, observa-se o número e repõe-se a bola na caixa juntamente com mais
dez bolas com o mesmo número.
Seguidamente, tira-se ao acaso, uma segunda bola da caixa.
Sejam A e B os seguintes acontecimentos:


A: «sair bola com o número 1 na primeira extração»;
B: «sair bola com o número 1 na segunda extração».
Sem aplicar a fórmula da probabilidade condicionada, indique, na forma de fração, o valor de P (B | A) .
Numa pequena composição, explique o seu raciocínio, começando por referir o significado de P (B | A) , no
contexto da situação descrita.
7. A Patrícia tem uma caixa com cinco bombons de igual aspeto exterior, mas só um é que tem licor.
A Patrícia tira, ao acaso, um bombom da caixa, come-o e, se não for o que tem licor, experimenta outro.
Vai procedendo desta forma até encontrar e comer o bombom com licor.
Seja X a variável aleatória «número de bombons sem licor que a Patrícia come».
Qual é a distribuição de probabilidades da variável X ?
[A]
xi
0
1
2
3
4
P( X  x i )
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
[B]
xi
0
1
2
3
4
P( X  x i )
0,1
0,1
0,2
0,2
0, 4
xi
1
2
3
4
5
P( X  x i )
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
xi
1
2
3
4
5
P( X  x i )
0,1
0,1
0,2
0,2
0, 4
[C]
[D]
8. Uma certa variável aleatória X tem a seguinte distribuição de probabilidades:
xi
1
2
P( X  x i )
a
b
Qual é a média dessa variável aleatória?
[A]
ab
[B]
ab
2
[C]
a  2b
9. Numa caixa estão bolas brancas e bolas pretas.
Extraem-se ao acaso, e em simultâneo, três bolas da caixa.
Seja X o número de bolas brancas extraídas.
Sabe-se que a distribuição de probabilidades da variável aleatória X é:
[D]
2a  b
xi
1
2
3
P( X  x i )
1
15
a
a
Qual é a probabilidade de se extraírem menos de três bolas brancas?
[A]
1
15
[B]
4
15
[C]
8
15
[D]
11
15
3
10. Numa caixa estão três cartões, numerados de 1 a 3.
Extraem-se ao acaso, e em simultâneo, dois cartões da caixa.
Seja X : «o maior dos números saídos».
Qual é a distribuição de probabilidades da variável X ?
[A]
xi
2
3
P( X  x i )
1
3
2
3
xi
2
3
P( X  x i )
1
2
1
2
[B]
[C]
xi
1
2
3
P( X  x i )
1
3
1
3
1
3
xi
1
2
3
P( X  x i )
1
6
1
3
1
2
[D]
11. A distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é dada pela
tabela ( a e b designam números reais).
A média da variável aleatória X é igual a 1.
xi
0
2
4
P( X  x i )
a
b
b
xi
0
1
2
P( X  x i )
1
4
a
b
Qual é o valor de a e o valor de b ?
[A]
a
1
1
e b
2
4
[B]
a
3
1
e b
5
5
[C]
a
2
1
e b
3
6
[D]
a
1
1
e b
2
6
12. Um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6, é lançado duas vezes.
Seja X a variável aleatória que designa o «número de vezes que, nesses dois
lançamentos, sai face par».
A distribuição de probabilidades da variável X é dada pela tabela ( a e b
designam números reais).
Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
[A]
a
1
1
e b
4
2
[B]
a
1
1
e b
4
4
[C]
a
1
1
e b
2
4
[D]
a
1
1
e b
2
2
13. Na figura está representada a planificação de um dado equilibrado.
Lança-se este dado duas vezes.
Seja X a variável aleatória: «soma dos números saídos nos dois lançamentos».
1
Indique o valor de k , tal que P ( X  k )  .
9
[A]
[C]
4
1
3
[B]
[D]
2
4
14. A distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é dada pela tabela
( a designa um número real).
Qual é o valor médio desta variável aleatória?
[A]
1,1
[B]
1,2
xi
0
1
2
P( X  x i )
a
a
0, 4
xi
0
a
2a
P( X  x i )
0,2
0, 4
b
1,3
[C]
1, 4
[D]
15. Uma variável aleatória X tem a distribuição de probabilidade dada pela tabela
( a e b designam números reais positivos).
Sabe-se que o valor médio da variável aleatória X é 2, 4 .
Qual é o valor de a ?
[A]
[B]
3
2,5
[C]
1,5
[D]
2
16. O João vai lançar seis mil vezes um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6, e vai adicionar os números
saídos. De qual dos seguintes valores é de esperar que a soma obtida pelo João esteja mais próxima?
[A]
20 000
[B]
21000
22 000
[C]
23 000
[D]
Soluções
1
p
2
20  10
 0,0083
364  66
X  xi
0
1
P ( X  xi )
4
11
7
11
X  xi
1
1,5
2
P ( X  xi )
2
5
8
15
1
15
p
P ( X  5) 
X  xi
3
4
5
P ( X  xi )
5
14
15
28
3
28
6
0
1
2
X  xi
1
2
3
P ( X  xi )
4
15
8
15
1
5
P ( X  xi )
0, 4
0,5
0,1
8
15
p
n  10
C
A
A
C
11
C
14
A
8
14
7

20 10
10
13
1
6
1
P (D | C ) 
2
16
45
P (B | A ) 
9
4
1

48 12
P (C | D ) 
7
X  xi
P (B | A ) 
4
1
7
5
B
3
12
C
15
C
16
A
5
Escola Secundária/2,3 da Sé-Lamego
Ficha de Trabalho de Matemática A
Ano Lectivo 2011/12
Distribuição de probabilidades
12.º Ano
Proposta de Resolução:
1.
a) A comissão é constituída por 3 rapazes e 2 raparigas.
Ora, temos 12 raparigas. À primeira vista poderá parecer-nos que existem 12  11  132 maneiras diferentes de
escolher, ao acaso, duas dessas 12 raparigas. Mas, essa suposição está errada.
Admitamos que queremos escolher duas raparigas de entre as seguintes três: Ana, Beatriz, Celina .
É fácil concluir que existem apenas três possibilidades: Ana, Beatriz , Ana, Celina e Beatriz, Celina .
Não seis: (Ana, Beatriz) , (Beatriz, Ana) , (Ana, Celina) , (Celina, Ana) , (Beatriz, Celina) e (Celina, Beatriz) .
32
Isto é, como não interessa a ordem dos dois elementos considerados, o valor procurado é
, que traduz o
2
número de subconjuntos de dois elementos que se podem obter de um conjunto de três elementos.
Admitamos agora que pretendemos escolher três rapazes de entre quatro: Abel, Belmiro, Carlos, Daniel .
432
maneiras, não 4  3  2  24 : Abel, Belmiro, Carlos ,
32
Abel, Belmiro, Daniel , Abel, Carlos, Daniel e Belmiro, Carlos, Daniel .
É imediato concluir que existem apenas 4 
Porque é que divide por 3  2 ?
Basta reparar que cada um desses subconjuntos de três elementos dá origem a 3  2  6 ternos ordenados
com esses três elementos.
Portanto, regressando ao problema, concluímos existirem
12  11 132

 66 maneiras de selecionar duas das
2
2
14  13  12
 364 maneiras de selecionar três dos catorze rapazes.
32
Logo, NCP  364  66  24024 .
doze raparigas e
65 4 54

 20  10  200 (número de maneiras de escolher 3
32
2
rapazes de 16 anos, de entre 6, e escolher 2 raparigas de 16 anos, de entre 5).
De forma análoga, conclui-se: NCF 
Logo, a probabilidade pedida é p 
(p 
C3  5C2
20  10
 0,0083 .
364  66
6
C3  12C2
14
, usando notação de cálculo combinatório)
b) Para terminar a constituição da comissão falta apenas escolher uma rapariga, de entre 11 disponíveis: 4 delas
com 16 anos e 7 delas com 17 anos. Portanto, a variável aleatória X pode assumir os valores: 0 e 1 .
Assim:

P ( X  0)  P (escolher uma rapariga de 16 anos) 
4
11

P ( X  1)  P (escolher uma rapariga de 17 anos) 
7
11
Logo, a tabela de distribuição de probabilidades da variável X é:
X  xi
0
1
P ( X  xi )
4
11
7
11
6
2.
a) A variável aleatória X pode assumir os seguintes valores:


1,5 : o João retira uma moeda de 1 euro e uma moeda de 50 cêntimos;

1 : o João retira duas moedas de 50 cêntimos.
2 : o João retira as duas moedas de 1 euro;
Como o João retira as duas moedas simultaneamente (e não as distinguindo entre si), o número de casos
65
possíveis é NCP 
 15 , ou seja, é o número de subconjuntos de dois elementos de um conjunto de seis
2
elementos (ver resolução do problema anterior).
43
 6 maneiras diferentes, logo NCFX 1  6 .
2
O João pode retirar duas moedas de 50 cêntimos de
O João pode retirar uma moeda de 1 euro e uma moeda de 50 cêntimos de 2  4  8 maneiras diferentes, logo
NCFX 1,5  8 .
O João pode retirar as duas moedas de 1 maneira, logo NCFX  2  1 .
Assim, temos:
6
2

15 5
( P ( X  1) 
8
15
( P ( X  1) 

P ( X  1) 

P ( X  1,5) 

P ( X  2) 
1
15
( P ( X  1) 
4
C2
6
C2

6
2
 )
15 5
C1  4C1
2
6
C2
2
C2
6
C2


2 4 8

)
15
15
1
)
15
Logo, a tabela de distribuição de probabilidades da variável X é:
X  xi
1
1,5
2
P ( X  xi )
2
5
8
15
1
15
Nota:
Admita que o João, ao retirar simultaneamente duas moedas do bolso, começa por pegar numa delas e,
seguidamente, numa outra. Desta forma, as probabilidades acima indicadas podem ser calculadas da seguinte
maneira:
4 3 2 3 2
   
6 5 3 5 5

P ( X  1) 

P ( X  1,5) 

P ( X  2) 
(Porquê?)
2 4 4 2 8
   
6 5 6 5 15
(Porquê?)
2 1 1
 
6 5 15
(Porquê?)
b) Vamos resolver o problema recorrendo à interpretação da probabilidade condicionada.
Se as duas moedas eram iguais, então ambas eram de 1 euro ou ambas eram de 50 cêntimos.
Logo, o número de casos possíveis é NCP  NCFX  2  NCFx 1  1  6  7 .
O número de casos favoráveis é NCF  NCFX  2  1 .
Logo, a probabilidade pedida é p 
1
.
7
(p
2
C2
C2  4C2
2

1
1
 )
1 6 7
7
3.
a) Ora,
P (B | A )  P (B | A ) 
P( A  B) P( A  B)

P ( A)
P ( A)
 P ( A )  P ( A  B )  P ( A)  P ( A  B )
 (1  P ( A))  P ( A  B )  P ( A)  P ( A  B )  0
 P ( A  B )  P ( A)  P ( A  B )  P ( A  B )
 P ( A  B )  P ( A)  P (( A  B )  ( A  B ))
 P ( A  B )  P ( A)  P (( A  A)  B )
 P ( A  B )  P ( A)  P (  B )
 P ( A  B )  P ( A )  P (B )
 A e B são independentes
b1) Consideremos os acontecimentos:


A: «a primeira bola retirada é preta»;
B: «a segunda bola retirada é branca».
5
, pois, se a primeira bola extraída é preta, ficam na caixa 7 bolas: 5 brancas e 2 pretas.
7
5
5
Logo, a probabilidade de, na segunda extração, retirar uma bola branca é
 .
25 7
Ora, P (B | A) 
4
, pois, se a primeira bola extraída não é preta, ficam na caixa 7 bolas: 4 brancas e 3
7
4
4
pretas. Logo, a probabilidade de, na segunda extração, retirar uma bola branca é
 .
43 7
Por outro lado, P (B | A) 
Portanto, tendo em conta a propriedade enunciada em a), dado que P (B | A)  P (B | A) , então os
acontecimentos A e B não são independentes.
b2) Como inicialmente há 5 bolas brancas na caixa, depois de extraídas duas bolas poderão ficar na caixa 5, 4 ou 3
bolas brancas. Logo, a variável aleatória X pode assumir os valores: 3, 4 ou 5.
Passando a calcular as probabilidades, temos:
5 4 5
 
8 7 14

P ( X  3)  P ( A  B )  P ( A)  P (B | A) 

P ( X  4)  P (( A  B )  ( A  B ))  P ( A  B )  P ( A  B )  P ( A)  P (B | A)  P ( A)  P (B | A) 

P ( X  5)  P ( A  B )  P ( A)  P (B | A) 
3 2
6
3
 

8 7 56 28
Logo, a tabela de distribuição de probabilidades da variável X é:
8
X  xi
3
4
5
P ( X  xi )
5
14
15
28
3
28
3 5 5 3 15
   
8 7 8 7 28
4.
a) Se A  B , tem-se que A  B  A , pelo que P ( A  B )  P ( A) .
Portanto, basta apresentar dois acontecimentos diferentes, A e B, nem impossíveis, nem certos, e tais que
A  B . Um exemplo possível é:


A: «sair face 2 no dado cúbico»;
B: «sair face par no dado cúbico».
b) O número de casos possíveis é NCP  6  8  48 , pois existem 6 resultados possíveis no dado cúbico e, para
cada um deles, existem 8 resultados possíveis no dado octaédrico.
O número de casos favoráveis é NCF  4 , visto que os casos favoráveis são: (1,4), (2,3), (3,2) e (4,1) .
4
1
Logo, P ( X  5) 
.

48 12
c) P (C | D ) significa «probabilidade de o produto dos números saídos ser 16, sabendo que os números saídos
são iguais».
Se os números saídos são iguais, existem seis casos possíveis, que são (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5) e (6,6) ,
dos quais apenas um, que é o caso (4,4) , é favorável ao acontecimento «o produto dos números saídos é 16».
1
Tem-se, assim, P (C | D )  .
6
P (D | C ) significa «probabilidade de os números saídos serem iguais, sabendo que o produto dos números
saídos é 16».
Se o produto dos números saídos é 16, existem dois casos possíveis, que são (2,8) e (4,4) , dos quais um, que
é o caso (4,4) , é favorável ao acontecimento «os números saídos são iguais».
1
Tem-se, assim, P (D | C )  .
2
5.
a) Como de cada uma das caixas podemos tirar zero ou uma bola verde, então a variável aleatória X pode
assumir os valores: 0, 1 e 2.
Consideremos o acontecimento Vi : «tirar uma bola verde da caixa i », com i  1,2 .
Tendo em consideração que os acontecimentos V1 e V2 são independentes, temos:
2 2 4
 
5 3 15

P ( X  0)  P (V1  V2 )  P (V1)  P (V2 ) 

P ( X  1)  P ((V1  V2 )  (V1  V2 ))  P (V1  V2 )  P (V1  V2 )  P (V1)  P (V2 )  P (V1)  P (V2 ) 

P ( X  2)  P (V1  V2 )  P (V1)  P (V2 ) 
3 2 2 1 8
   
5 3 5 3 15
3 1 3
1
 

5 3 15 5
Logo, a tabela de distribuição de probabilidades da variável X é:
X  xi
0
1
2
P ( X  xi )
4
15
8
15
1
5
9
b)
Sejam os acontecimentos:
A: «as três bolas retiradas da caixa 1 são da mesma cor»;
B: «as duas bolas retiradas da caixa 2 são de cores diferentes».
P (B | A) significa «probabilidade de as duas bolas retiradas da caixa 2 serem de cores diferentes, sabendo que
as três bolas retiradas da caixa 1 são da mesma cor».
Se as três bolas retiradas da caixa 1 e colocadas na caixa 2 são da mesma cor, terão de ser necessariamente
todas verdes, pois a caixa 1 apenas contém 2 bolas pretas.
Após a transferência dessas 3 bolas verdes para a caixa 2, esta ficará com 2 bolas pretas e 4 bolas verdes.
65
Ao retirarmos duas bolas desta caixa, existem NCP 
 15 casos possíveis (note que as bolas são
2
retiradas simultaneamente, portanto os resultados elementares são conjuntos de dois elementos e não pares
ordenados), dos quais apenas NCF  2  4  8 são favoráveis ao acontecimento «sair uma bola de cada cor».
8
.
Assim, de acordo com a Regra de Laplace, a probabilidade pedida é
15
C1  4C1
2
(
6
C2

2 4 8
, usando cálculo combinatório)

15
15
c)
Admitamos que, ao retirar simultaneamente duas bolas da caixa 2, se começa por pegar numa das bolas e,
seguidamente, numa outra bola. Assim, a probabilidade pedida pode ser expressa por (onde o índice indica a
ordem pela qual a bola foi pegada):
p  P (( A1  V2 )  (V1  A2 ))
 P ( A1  V2 )  P (V1  A2 )
 P ( A1)  P (V2 | A1)  P (V1)  P ( A2 | V1)
1
1
n
n



n3 n2 n3 n2
2n

(n  3)(n  2)

(usando cálculo combinatório, temos: p 
Como p 
C1  1C1
n
n 3
C2

2n
n 1

)
( n  3)(n  2) (n  3)(n  2)
2
5
, vem:
39
78n  5n 2  25n  30  5n 2  53n  30  0
53  532  600
10
3
 n  10  n 
5
 n
Como n   , a solução procurada é n  10 .
10
6.
a) Como as bolas estão numeradas com os números 1, 2 e 3, então a variável aleatória X pode assumir os
valores: 1, 2 e 3.
Passando a calcular as probabilidades, temos:

P ( X  1) 
4 2
  0, 4
10 5

P ( X  2) 
5
1
  0,5
10 2

P ( X  3) 
1
 0,1
10
Logo, a tabela de distribuição de probabilidades da variável X é:
X  xi
1
2
3
P ( X  xi )
0, 4
0,5
0,1
10  9
 45 , pois das dez bolas da caixa retiram-se duas
2
simultaneamente, não interessando, por isso, a ordem da sua seleção.
b) O número de casos possíveis é NCP 
Para que as duas bolas tenham o mesmo número, há duas hipóteses: têm ambas o número 1 ou têm ambas o
43
número 2. O número de casos favoráveis da primeira hipótese é N1 
 6 e o número de casos favoráveis
2
5 4
da segunda hipótese é N2 
 10 . Portanto, o número de casos favoráveis ao acontecimento «as duas
2
bolas terem o mesmo número» é NCF  N1  N2  16 .
Logo, a probabilidade pedida é p 
(p
C2  5C2
4
10
C2

16
.
45
6  10 16

, usando cálculo combinatório)
45
45
Admitindo que, ao retirar simultaneamente duas bolas da caixa, se começa por pegar numa das bolas e,
seguidamente, numa outra bola, podemos calcular a probabilidade pedida da seguinte forma:
p  P ("1,1" " 2,2 ") 
4 3 5 4 32 16
(Porquê?)
 
 

10 9 10 9 90 45
c)


A: «sair bola com o número 1 na primeira extração»;
B: «sair bola com o número 1 na segunda extração».
P (B | A) significa «probabilidade de sair bola com o número 1 na segunda extração, sabendo que saiu bola
com o número 1 na primeira extração».
Se na primeira extração saiu uma bola com o número 1, então essa bola foi reposta na caixa juntamente com
mais dez bolas com o mesmo número.
A caixa fica, assim, com 14 bolas com o número 1, com 5 bolas com o número 2 e uma bola com o número 3,
num total de 20 bolas.
Assim, de acordo com a Regra de Laplace, a probabilidade de extrairmos agora da caixa «uma bola com o
14
7
.
número 1» é

20 10
11
7.
Como há apenas 4 bombons sem licor, a variável aleatória X : «número de bombons sem licor que a Patrícia
come» pode assumir os valores: 0, 1, 2, 3 e 4.
As respetivas probabilidades são:

P ( X  0) 
1
 0,2
5

P ( X  1) 
4 1 1
   0,2
5 4 5

P ( X  2) 
4 3 1 1
    0,2
5 4 3 5

P ( X  3) 
4 3 2 1 1
     0,2
5 4 3 2 5

P ( X  4) 
4 3 2 1 1 1
      0,2
5 4 3 2 1 5
Logo, a alternativa correta é A.
2
8. Ora,    pi xi  a  1  b  2  a  2b .
i 1
Logo, a alternativa correta é C.
3
9. Como
1
7
 pi  1  15  a  a  1  a  15 .
i 1
Assim, P ( X  3)  P ( X  1)  P ( X  2) 
1
7
8
.


15 15 15
Logo, a alternativa correta é C.
10.
Como se extraem em simultâneo dois cartões, a variável aleatória X : «o maior dos números saídos» pode assumir
os valores: 2 e 3.
Como existem três casos possíveis ( 1,2 , 1,3 e 2,3 ), as respetivas probabilidades são:
1
3

P ( X  2)  P (1,2) 

P ( X  3)  P (1,3  2,3) 
2
3
Logo, a alternativa correta é A.
11. Ora,
3
1

 pi  1
b




a
b
b
1

 i 1

6
 
 
.
3
0  2b  4b  1
 p x 1
a  2
 i i

3
 i 1
Logo, a alternativa correta é C.
12
12. Na experiência aleatória considerada existem NCP  6  6  36 casos possíveis.
O número de casos favoráveis ao acontecimento «não sair qualquer face par» é NCFX 0  3  3  9 .
O número de casos favoráveis ao acontecimento «sair apenas uma face par» é NCFX 1  3  3  3  3  18 .
O número de casos favoráveis ao acontecimento «sair duas faces pares» é NCFX  2  3  3  9 .
Deste modo, as respetivas probabilidades são:

P ( X  0) 
9
1

36 4

P ( X  1) 
18 1
 a
36 2

P ( X  2) 
9
1
 b
36 4
Logo, a alternativa correta é C.
13. A variável aleatória X : «soma dos números saídos nos dois lançamentos» pode assumir os
valores: 2, 3 e 4.
As respetivas probabilidades são:
2 2 1
 
6 6 9

P ( X  2)  P (1  1)  P (1)  P (1) 

P ( X  3)  P ((1  2)  (2  1))  P (1)  P (2)  P (2)  P (1) 

P ( X  4)  P (2  2)  P (2)  P (2) 
2 4 4 2 16 4
   

6 6 6 6 36 9
4 4 16 4
 

6 6 36 9
Logo, a alternativa correta é B.
3
14. Como
 pi  1  a  a  0, 4  1  a  0,3 .
i 1
3
Assim,    pi xi  0,3  0  0,3  1  0, 4  2  1,1 .
i 1
Logo, a alternativa correta é A.
15. Ora,
3
 pi  1
0,2  0, 4  b  1
b  0, 4
 i 1
 
 
.
3






0,2
0
0,
4
a
b
2
a
2,
4

a  2
 p x 1
 i i
 i 1
Logo, a alternativa correta é C.
16. Como o dado é equilibrado e tendo em conta a distribuição de probabilidades da variável aleatória X : «número
saído», é de admitir que as respectivas frequências absolutas, num total de seis mil lançamentos, sejam
aproximadamente as indicadas na tabela:
xi
1
2
3
4
5
6
P( X  x i )
1
1
1
1
1
1
fi
1000
6
6
1000
6
1000
6
1000
6
1000
6
1000
Assim, é de esperar que a soma obtida pelo João esteja próxima de: 1000  (1  2  3  4  5  6)  1000  21  21000 .
Logo, a alternativa correta é A.
13