Monografia Número de Fibonacci

Monografia Número de Fibonacci
Nome: Sara Klavin de Souza RA: 137576
Matéria: MA148 Z
Professor: Fernando Torres
Numero de Fibonacci
Introdução
A sucessão de Fibonacci ou sequência de Fibonacci é uma sequência de números
naturais, na qual os primeiros dois termos são 0 e 1, e cada termo subsequente
corresponde à soma dos dois precedentes.
A sequência tem o nome do matemático pisano do século XIII Leonardo de Pisa,
conhecido como Leonardo Fibonacci, e os termos da sequência são chamados números
de Fibonacci. Os números de Fibonacci são, portanto, os números que compõem a
seguinte sequência de números inteiros:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, etc.
Em termos matemáticos, a sequência é definida recursivamente pela fórmula
abaixo, sendo os dois primeiros termos F0= 0 e F1= 1.
Origens
No ocidente, a sequência de Fibonacci apareceu pela primeira vez no livro Liber
Abaci (1202) de Leonardo de Pisa, conhecido como Fibonacci, embora ela já tivesse
sido descrita por matemáticos indianos. Fibonacci considerou o crescimento de uma
população idealizada de coelhos. Os números descrevem o número de casais na
população de coelhos depois de n meses se for suposto que:
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No primeiro mês nasce apenas um casal;
Casais amadurecem sexualmente (e reproduzem-se) apenas após o segundo mês
de vida;
Não há problemas genéticos no cruzamento consanguíneo;
Todos os meses, cada casal fértil dá a luz a um novo casal;
Os coelhos nunca morrem.
Mas genericamente, chama-se sequência de Fibonacci qualquer função g onde g(n +
2) = g(n) + g(n + 1). Em particular, a sequência de Fibonacci com F(1) = 1 e F(2) = 3 é
conhecida como os números de Lucas. A importância dos números de Lucas L(n) reside
no fato deles gerarem a Proporção áurea para as n-ésimas potências:
Os números de Lucas se relacionam com os de Fibonacci pela fórmula:
Com esta fórmula podemos montar a sequência de Fibonacci e descobrir, por
exemplo, quantos coelhos foram gerados no sexto mês, basta aplicar a fórmula descrita
acima até chegar ao ponto inicial de 1 e 1, como mostra a figura abaixo:
Ou seja, no sexto mês foram gerados 8 coelhos.
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F(6) = (F(6) - 1) + (F(6) - 2) = 5 e 4 → 8 ( Soma do Resultado de F(5) e F(4) )
F(5) = (F(5) - 1) + (F(5) - 2) = 4 e 3 → 5 ( Soma do Resultado de F(4) e F(3) )
F(4) = (F(4) - 1) + (F(4) - 2) = 3 e 2 → 3 ( Soma do Resultado de F(3) e F(2) )
F(3) = (F(3) - 1) + (F(3) - 2) = 2 e 1 → 2
F(2) = (F(2) - 1) + (F(2) - 2) = 1 e 0 → 1
e a primeira posição 1.
Note que a sequência de Fibonacci esta no resultado de cada posição: 1, 1, 2, 3,
5, 8,etc.
Aplicações
Os números de Fibonacci são importantes para a análise em tempo real do
algoritmo euclidiano, para determinar o máximo divisor comum de dois números
inteiros.
Os números de Fibonacci aparecem na fórmula das diagonais de um triângulo de
Pascal.
Um uso interessante da sequência de Fibonacci é na conversão de milhas para
quilômetros. Por exemplo, para saber aproximadamente a quantos quilômetros 5 milhas
correspondem, pega-se o número de Fibonacci correspondendo ao número de milhas (5)
e olha-se para o número seguinte (8). 5 milhas são aproximadamente 8 quilômetros.
Esse método funciona porque, por coincidência, o fator de conversão entre milhas e
quilômetros (1.609) é próximo de φ (1.618).