aula 2 - Analise vetorial - professor Daniel Orquiza de Carvalho
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Prof.DanielOrquiza EletromagnetismoI EletromagnetismoI Prof.DanielOrquizadeCarvalho SJBV Revisão Analise Vetorial e Sist. de Coord. Revisão básica álgebra vetorial e Sist. de Coordenadas (Páginas 1 a 22 no Livro texto) • Objetivo: § Introduzir notação que será usada neste e nos próximos cursos. § Relembrar as ferramentas matemáticas básicas que serão usadas. § Revisar Sistemas de coordenadas EletromagnetismoI 1 Prof.DanielOrquiza Revisão de Análise Vetorial SJBV § Grandezas Escalares § Ex: massa (m), temperatura (T), tensão elétrica (V) densidade (ρ), etc. § Fasores § Grandezas Vetoriais § Ex: Campos elétrico e magnético (E e H), velocidade (v), posição (rp) § Notação (negrito): E, H, v, rp (ou E, H, v, rp) § Vetores unitários: ax, ay, az, i, j, k (ou aˆ x, aˆ y, aˆ z) EletromagnetismoI 2 Prof.DanielOrquiza SJBV Análise Vetorial § Grandezas Vetoriais possuem intensidade, direção e sentido no espaço. § Diferentes formas de escrever: Ax é um número EletromagnetismoI 3 Prof.DanielOrquiza SJBV § Análise Vetorial Campos Escalares representam a distribuição espacial de grandezas escalares. e.g. T( r ) = T(x, y, z) r = (x, y, z) é o vetor posição EletromagnetismoI 4 Prof.DanielOrquiza SJBV § Análise Vetorial Campos Vetoriais representam a distribuição espacial de grandezas que possuem intensidade, direção e sentido. Campo Vetorial Vetor § Para visualizar Campos Vetoriais no espaço, os vetores do campo são amostrados em pontos discretos no espaço, embora o campo normalmente exista em toda a região. EletromagnetismoI 5 Prof.DanielOrquiza SJBV § Análise Vetorial Um Campo Vetorial em um sistema de coordenadas tridimensional é representado por três Campos Escalares (multiplicando vetores unitários). Ex não é número, é função Ex( r ) = Ex(x, y, z) Ey( r ) = Ey(x, y, z) Ez( r ) = Ez(x, y, z) Campo Vetorial EletromagnetismoI 6 Prof.DanielOrquiza SJBV Análise Vetorial § Campos Escalares e Vetoriais (Exemplo: Simulação Numérica) EletromagnetismoI 7 Prof.DanielOrquiza SJBV Análise Vetorial § Campos Escalares e Vetoriais (Exemplo Simulação Numérica) EletromagnetismoI 8 Prof.DanielOrquiza SJBV § Análise Vetorial A magnitude ou valor absoluto de um vetor A em coordenadas cartesianas é dada por: § Como fica o vetor unitário na direção de A? EletromagnetismoI 9 Prof.DanielOrquiza SJBV § Análise Vetorial Exemplo: A magnitude do vetor posição (rp) do ponto P em coordenadas cartesianas é: ! rp = 32 + 4 2+ 52 ! rp = 50 = 7, 07 § O vetor unitário na direção rp é: 3âx + 4 ây + 5ây ârp = 7, 07 EletromagnetismoI 10 Prof.DanielOrquiza SJBV Aritmética Vetorial Vetor distância RPQ (distância de P a Q) § O vetor distância entre os pontos P e Q cujas posições são dadas pelos vetores posição rP e rQ é: RPQ = rQ – rP Para os pontos da figura ao lado, qual é o vetor RPQ? § ! RPQ = (2 −1)âx + (−2 − 2)ây + (1− 3)âz = âx − 4 ây − 2 âz EletromagnetismoI 11 Prof.DanielOrquiza Algebra Vetorial SJBV § O produto escalar entre dois vetores A e B é igual ao produto das magnitudes dos dois vetores pelo cosseno do angulo θAB entre A e B: B θAB A § Como eu calculo o produto escalar em coordenadas cartesianas? § O produto escalar entre A = Axax + Ayay + Azaz e B = Bxax + Byay + Bzaz é: EletromagnetismoI 12 Prof.DanielOrquiza SJBV § Algebra Vetorial O Produto escalar é útil para projetarmos um vetor em uma dada direção (encontrar componente do vetor nesta direção). E Ex = E θ Ex EletromagnetismoI ax x Ex = |E| |ax| cos θ 13 Prof.DanielOrquiza SJBV § Algebra Vetorial O produto vetorial entre dois vetores A e B é o vetor cuja magnitude é a área do paralelepípedo formado por A e B e cuja direção e sentido são dados pela regra da mão direita com os dedos apontando para A e girando em direção a B. ˆ § Como eu calculo o produto escalar em coordenadas cartesianas? § O produto vetorial entre A = Axax + Ayay + Azaz e B = Bxax + Byay + Bzaz é: EletromagnetismoI 14 Prof.DanielOrquiza SJBV Sistemas de Coordenadas § Sistemas de coordenadas ortogonais são sistemas onde os eixos são perpendiculares entre si. § Para realizar integrais no Sistema Cartesiano, O elemento de linha é: O elemento de superfície é: O elemento de volume é: EletromagnetismoI 15 Prof.DanielOrquiza Sistemas de Coordenadas SJBV Sistemas de coordenadas cilíndricas Para transformar as coordenadas do ponto P do sistema cilíndrico para o cartesiano: § § Para transformar as coordenadas do ponto P do sistema cartesiano para o cilíndrico: EletromagnetismoI 16 Prof.DanielOrquiza SJBV Sistemas de Coordenadas § Sistemas de coordenadas ortogonais são sistemas onde os eixos são perpendiculares entre si. § Para realizar integrais no Sistema Cilíndrico, O elemento de linha é: O elemento de superfície é: O elemento de volume é: EletromagnetismoI 17 Prof.DanielOrquiza Sistemas de Coordenadas SJBV Sistemas de coordenadas esféricas Para transformar as coordenadas do ponto P do sistema esférico para o cartesiano: § § Para transformar as coordenadas do ponto P do sistema cartesiano para o esférico: EletromagnetismoI 18 Prof.DanielOrquiza SJBV Sistemas de Coordenadas § Sistemas de coordenadas ortogonais são sistemas onde os eixos são perpendiculares entre si. § Para realizar integrais no Sistema Esférico, O elemento de linha é: O elemento de superfície é: O elemento de volume é: EletromagnetismoI 19 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I Transformação de campos vetoriais entre sistemas de coordenadas § Como fazemos para transformar vetores unitários entre os sistemas? EletromagnetismoI 20 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I Transformação de campos vetoriais entre sistemas de coordenadas § Para transformar os vetores unitários do Sistema Cilíndrico para o Cartesiano usamos: § Para transformar Campos Vetoriais do Sistema Cartesiano para o Cilíndrico usamos: EletromagnetismoI 21 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I Transformação de campos vetoriais entre sistemas de coordenadas § Para transformar os vetores unitários do Sistema Cartesiano para o Cilíndrico usamos: § Para transformar Campos Vetoriais do Sistema Cilíndrico para o Cartesiano usamos: EletromagnetismoI 22 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I EletromagnetismoI 23 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I EletromagnetismoI 24 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I Exemplo Dados o ponto P(-2, 6, 3) e o vetor A = yax+(x+z) ay, expresse P e A coordenadas cilíndricas. Determine A em P no sistema cilíndrico. EletromagnetismoI 25 Prof.DanielOrquiza
