Lei de Ohm Pontual e tempo de relaxação
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Prof.DanielOrquiza EletromagnetismoI EletromagnetismoI Prof.DanielOrquizadeCarvalho SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Condutividade Elétrica e Lei de Ohm na Forma Pontual (Capítulo 5 – Páginas 114 a 118) • Lei de Ohm na forma Pontual vs. Macroscópica • Tempo de Relaxação EletromagnetismoI 3 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Condutividade • Se aplicarmos uma diferença de potencial nos terminais de um fio condutor, a força ! E ! F exercida sobre os elétrons livres dentro do condutor é: ! ! F = −eE _ carga do elétron = 1,602x10-19C V • Devido às colisões com os átomos do condutor, os elétrons não são acelerados continuamente. • Os elétrons atingem uma velocidade constante (velocidade de deriva, vd): ! ! vd = −µe E • A mobilidade do elétron (µe) é um parâmetro que depende do material e tem unidades de m2V-1s-1. EletromagnetismoI 4 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Condutividade • A densidade de corrente J é dada pela densidade volumétrica de cargas livres ! E multiplicada pela velocidade das cargas livres. ! ! J = − ρeµ e E ! vd _ Densidade vol. de elétrons livres V • Em semicondutores, as lacunas também contribuem para a densidade de corrente. • Se em um dado semicondutor, a densidade de lacunas for ρh, a densidade de corrente é dada por: ! ! ! J = −ρeµe E + ρh µ h E • Note que a densidade de corrente é proporcional ao campo elétrico. EletromagnetismoI 5 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Condutividade • Lei de Ohm na forma pontual: a densidade de corrente em um ponto é proporcional ao campo elétrico naquele ponto. A condutividade do material é a constante de proporcionalidade. ! ! J =σE ! J ! E _ _ _ • A condutividade pode ser expressada em termos da mobilidade. No caso dos condutores a mobilidade dos elétrons é usada. σ = − ρeµ e • No caso de materiais semicondutores, a mobilidade das lacunas também tem que ser levada em conta. EletromagnetismoI σ = − ρeµ e + ρh µ h 6 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Lei de Ohm: Forma Pontual vs. Forma Macroscópica • Já conhecemos a forma pontual da Lei de Ohm e agora podemos relaciona-la com a forma macroscópica, que conhecemos de circuitos elétricos: B V R= I ! LAB A I S VAB • Para um condutor com seção transversal de área ‘S’, a relação entre a corrente e a densidade de corrente é: I= ∫ S ! ! ! J ⋅ dS = E σ S • A diferença de potencial aplicada no condutor pode ser relacionada ao campo elétrico. ! ! ! ! ! VAB = − ∫ E ⋅ dl =E ⋅ LAB = E L A EletromagnetismoI B 7 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Lei de Ohm: Forma Pontual vs. Forma Macroscópica • Substituindo as duas últimas expressões na Lei de Ohm (macroscópica), chegamos na equação que relaciona a resistência elétrica com a condutividade. 1L R= σ S B A I S EletromagnetismoI ! LAB 8 VAB Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Tempo de relaxação • Pergunta: O que acontece se, de alguma forma, ‘inserirmos’ uma quantidade de cargas no interior de um dado meio material? • Se as cargas tiverem o mesmo sinal as cargas se repelem. • As cargas vão se concentrar na superfície do material. • Tempo de relaxação é tempo que uma carga no interior de um material leva para decair a e-1 (36,8%) de seu valor inicial. EletromagnetismoI 9 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Tempo de relaxação • Podemos encontrar a equação que descreve a evolução da quantidade de carga dentro do material ao longo do tempo. • Para materiais homogêneos a Lei de Gauss pode ser expressa em termos de E. ! ∇ ⋅ D = ρv ! ρv ∇⋅E = ε • A equação da continuidade de carga também pode ser expressa em termos de E ! ! através da lei de Ohm na forma pontual ( J = σ E ). ! ! ∂ρv ∂ρv σ ∇ ⋅ E = − ∇⋅ J = − ∂t ! ∂t • Substituindo EletromagnetismoI ∇⋅E obtido da L.G. na equação acima: 1 ∂ρv σ =− ρv ∂t ε ρ ∂ρ σ v =− v ε ∂t 10 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Tempo de relaxação • A solução da Eq. Diferencial acima é: ρv = ρv0 e −t τ • A densidade volumétrica no ponto cai exponencialmente com o tempo. • O tempo de de relaxação τ é dado por: τ= ε σ • Qual é o tempo de relaxação para o cobre (σ = 5,8x107 S/m, ε = ε0)? τ = 1,53x10-19 s • Qual é o tempo de relaxação para o quartzo (σ = 1x10-17 S/m, ε = 5ε0)? τ = 4,43x106 s (51 dias) EletromagnetismoI 11 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Exemplo Calcule a intensidade da densidade de corrente para uma amostra de prata 7 2 para a qual σ = 6,17 ×10 [S / m] e µe = 0, 0056 ⎡⎣m / V.s⎤⎦, se: (a) A velocidade de deriva é 1,5 µm/s; (b) A intensidade de campo elétrico é 1mV/m; (c) A amostra é um cubo de 2,5 mm de lado e por ela passa uma corrente total de 0,5A. EletromagnetismoI 12 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Exemplo Um condutor de cobre (σ = 5,8x107 [S/m]) tem diâmetro de 15,24 mm e comprimento de 365,7m. Suponha que por ele circule uma corrente total de 50A. (a) Calcule a resistência total do condutor. (b) Que valor densidade de corrente existe no condutor. (c) Qual é a diferença de potencial entre as extremidades do condutor? (d) Quanta potência é dissipada no fio. EletromagnetismoI 13 Prof.DanielOrquiza
