Densidade de Fluxo Elétrico - professor Daniel Orquiza de Carvalho
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Prof.DanielOrquiza EletromagnetismoI EletromagnetismoI Prof.DanielOrquizadeCarvalho SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Densidade de Fluxo Elétrico e Lei de Gauss (Páginas 48 a 55 no livro texto) • Experimento com esferas concêntricas • Densidade de Fluxo elétrico (D) • Relação entre D e E no vácuo • Lei de Gauss EletromagnetismoI 1 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Densidade de Fluxo Elétrico • A origem do conceito de fluxo e deslocamento elétrico vem do experimento que Faraday realizou com esferas metálicas concêntricas, descrito a seguir: 1. Uma esfera interna é carregada com Carga positiva conhecida +Q. 2. Uma esfera externa é colocada ao redor da primeira. 3. A esfera externa é conectada ao solo. 4. A esfera externa é retirada e a carga na mesma é medida. (O espaço entre as esferas é preenchido com um dielétrico) • Fluxo elétrico: EletromagnetismoI ψ = Q [C] 2 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Densidade de Fluxo Elétrico • A Densidade de Fluxo Elétrico (D) tem unidades de [C/m2] e é um campo vetorial cuja magnitude em cada ponto do espaço é a quantidade de fluxo Ψ por unidade de área. • No caso da esfera interna do experimento de Faraday a densidade de fluxo é uniforme ao longo da superfície. Para uma esfera de raio ‘a’: ! D • Vetor unitário radial (coord. esféricas) Para a esfera externa: ! D • Q = â 2 r r=a 4π a r=b = Q âr 4π b 2 No meio entre as esferas (a < r < b): ! Q D= â 2 r 4π r (O vetor D também é chamado de vetor Deslocamento Elétrico) EletromagnetismoI 3 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Densidade de Fluxo Elétrico • Podemos obter a Densidade de Fluxo de um carga pontual se reduzirmos o raio da esfera interna a zero e desconsiderarmos a esfera externa. Para qualquer raio ‘r’ teremos: ! Q D= â 2 r 4π r • Além disso, em aulas anteriores estabelecemos que o campo elétrico gerado por uma carga pontual é: ! E= • Q âr 4πε 0 r 2 Portanto, concluímos que no espaço livre: ! ! D = ε0 E • Onde ε0 é a permissividade do espaço livre. EletromagnetismoI 4 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Densidade de Fluxo Elétrico • Vimos que campo elétrico gerado por uma distribuição contínua de cargas é obtido de forma similar à superposição do campo de cargas pontuais, integrando ρv(r’)dv’ ao longo do volume que contem as cargas. ! ! E(r ) = • De forma similar, podemos calcular o vetor Densidade de Fluxo em um ponto no espaço devido a uma distribuição contínua de cargas: ! ! D(r ) = • ! ρv (r ')dv' ∫ 4πε R 2 âR 0 vol. ! ρv (r ')dv' ∫ 4π R 2 âR vol. Não se esqueça que R e aR são funções das coordenadas ‘linha’ (r’) da carga, e portanto devem ser levadas em conta na integração. EletromagnetismoI 5 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Lei de Gauss: O fluxo elétrico total Ψ que passa através de qualquer superfície fechada é igual à carga total contida dentro desta superfície. ψ = Q [C] • O fluxo (escalar) pode ser obtido através da integral de superfície do vetor densidade de fluxo ao longo da superfície fechada. ψ = !∫ S dψ = !∫ S EletromagnetismoI 6 " ! D ⋅ dS Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Lei de Gauss • Note que o fluxo que atravessa uma superfície ‘S’ é igual à componente normal da densidade de fluxo que sai da superfície integrada ao longo da área. ψ= • Onde: EletromagnetismoI ∫ S ! ! D ⋅ dS ! dS = dS âN (âN é o vetor unitário normal à superfície) 7 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Lei de Gauss • Se houver ‘n’ cargas envolvidas pela superfície fechada ‘S’, o lado direito da equação é o somatório de todas as cargas envolvidas. ! dS "∫ S ! ! D ⋅ dS = ∑ Qi i=1:n ! dS EletromagnetismoI 8 Prof.DanielOrquiza Eletromagnetismo I - Eletrostática SJBV Campo Elétrico de uma densidade volumétrica de cargas • A Lei de Gauss pode ser reescrita se tivermos uma distribuição continua de cargas, lembrando que, • para uma distribuição linear de cargas: ∫ ρ dl , Q= • l l para uma distribuição superficial de cargas: Q= ∫ ρ dS , s S • para uma distribuição volumétrica de cargas: Q= ∫ vol ρv dv . • Podemos usar esta última equação para escrever a forma Integral da Lei de Gauss. EletromagnetismoI 9 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Lei de Gauss na Forma Integral A integral de superfície do vetor Densidade de Fluxo Elétrico (D) ao longo de uma superfície fechada ‘S’ é igual a integral volumétrica da densidade de cargas no volume ‘V’ envolvido pela superfície ‘S’. "∫ S EletromagnetismoI ! ! D ⋅ dS = ∫ ρv dv V 10 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Densidade de Fluxo Elétrico • Voltando ao experimento de Faraday, o vetor Densidade de Fluxo Elétrico D no espaço entre as esferas, ! Q D= â , 2 R 4π r satisfaz a Lei de Gauss pois: área esfera ! Q = D ( 4π r 2 ) , • Que pode ser reescrito: Q=" ∫ S EletromagnetismoI ! ! D ⋅ dS 11 Prof.DanielOrquiza
