REVISÃO - DESIGUALDADE, MÓDULO E FUNÇÕES

REVISÃO - DESIGUALDADE, MÓDULO E FUNÇÕES
Marina Vargas R. P. Gonçalvesa
a Departamento
1
de Matemática, Universidade Federal do Paraná, [email protected],
http:// www.estruturas.ufpr.br
REVISÃO DE DESIGUALDADE
O conjunto dos números reais será representado pela simbologia IR. Em IR estão definidas duas
operações, adição (+) e multiplicação (·) e uma relação (≤). A adição associa a cada par (x, y) de
números reais um único número real, representado por x + y, a multiplicação, um único real, indicado
por x · y. Admitiremos que a quádrupla (IR, +, ·, ≤) é um corpo ordenado, ou seja, satisfazem:
i) (x + y) + z = x + (y + z)
ii) y + x = x + y
iii) x + 0 = x
iv) Para todo x ∈ IR existe um único y ∈ IR tal que x + y = 0, ou seja x = −y. Denominamos esse y
de oposto de x, e o denotamos por −x. Assim x + (−x) = 0.
v) x(yz) = (xy)z
vi) xy = yx
vii) x · 1 = x
viii) Para todo x ∈ IR com x 6= 0existe um único y ∈ IR tal que x · y = 1. Tal y é denominado de
1
inverso de x e indicado por x−1 ou . Assim x · x−1 = 1.
x
ix) x(y + z) = xy + xz
x) x ≤ x
xi) x ≤ y e y ≤ x ⇒ x = y
xii) x ≤ y e y ≤ z ⇒ x ≤ z
xiii) Quaisquer que sejam os reais x e y, tem-se que x ≤ y ou y ≤ x.
xiv) Quaisquer que sejam os números reais x, y, z, w e
x ≤ y
⇒x+z ≤y+w
z ≤ w
somando-se, membro a membro, desigualdades de mesmo sentido, obtém-se outra de mesmo sentido.
1
xv) Quaisquer que sejam os números reais x, y, z e
x ≤ y
0 ≤ z
⇒ xz ≤ yz
multiplicando-se ambos os membros de uma desigualdade por um mesmo número positivo, o
sentido da desigualdade se mantém.
Desta forma é possível resolver a inequação a seguir
Exemplo 1.1
5x + 3 < 2x + 7
Solução:
5x + 3 < 2x + 7 ⇔ 5x < 2x + 4
⇔
3x < 4
4
⇔
x<
3
4
Assim, {x ∈ IR|x < }.
3
Graficamente:
Figure 1
Exemplo 1.2 Estude o sinal da expressão x − 3
Solução:
• Se x − 3 = 0 ⇒ x = 3
• Se x − 3 < 0 ⇒ x < 3
• Se x − 3 > 0 ⇒ x > 3
Assim,
Figure 2
Exemplo 1.3 Determine o conjunto de valores de x ∈ IR para os quais
Solução:
2x − 6
< 1.
x−1
2x − 6
−1<0
x−1
2x − 6 − x + 1
<0
x−1
x−5
<0
x−1
• x−5
• x−1
Figure 3
Assim, {x ∈ IR|1 < x < 5}.
Ver Exemplos 07, 08 e 09 das páginas 07, 08 e 09 - livro do Guidorizzi (1995).
Ver Exemplo 08 da página 10 - livro do Leithold (1994).
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REVISÃO DE MÓDULO
Seja x um número real; definimos o módulo (ou valor absoluto) de x por:
Definição 2.1
|x| =
x
−x
se
se
x≥0
x<0
(1)
Da definição (2.1), o valor absoluto de um número é um número positivo ou zero; ou seja, não
negativo.
Em termos geométricos, o valor absoluto de um número real x é sua distância em relação ao valor
zero.
Figure 4
• |13| = 13
Exemplo 2.1
• | − 4| = 4
• |0| = 0
• |x2 | = x2
• |x − 1| =
x − 1,
−x + 1
se
se
x≥1
x<1
A desigualdade |x| < a, onde a > 0, estabelece que na reta numérica real a distância da origem até o
ponto x é menor que a unidades; ou seja, −a < x < a. Portanto, x está no intervalo aberto (−a, a), ver
Fig.(5).
Figure 5
O que nos leva ao Teorema (2.1)
Teorema 2.1 Seja x ∈ IR e a > 0. Então
|x| < a
se e somente se
−a < x < a
Demonstração: Como |x| = x se x ≥ 0 e |x| = −x se x < 0, segue que o conjunto solução da
desigualdade |x| ≤ a é a união dos conjuntos
{x | x < a e x ≥ 0} e {x | − x < a e x < 0}
Observe que o primeiro desses conjuntos é equivalente a {x | 0 ≤ x < a}, e o segundo é equivalente a
{x | − a < x < 0} pois −x < a é equivalente a x > −a. Assim o conjunto solução de |x| < a é
{x | 0 ≤ x < a} ∪ {x | − a < x < 0} ⇔ {x |a < x < a}
Comparando a desigualdade dada e o seu conjunto-solução, concluímos que
|x| < a ⇔ −a < x < a
Exemplo 2.2 Resolva cada uma das equações para x.
a) |3x + 2| = 5
b) |2x − 1| = |4x + 3|
c) |5x + 4| = −3
Solução:
a) Essa equação estará satisfeita se
• 3x + 2 = 5 ou −3x − 2 = 5
Portanto x = 1 ou −
7
3
b) Essa equação estará satisfeita se
• 2x − 1 = 4x + 3 ou 2x − 1 = −(4x + 3)
Portanto x = −2 ou −
1
3
c) Como o valor absoluto de um número não pode ser negativo, logo essa equação não tem solução.
Teorema 2.2 Se a, b ∈ IR, então
|ab| = |a| · |b|
(2)
a |a|
=
b
|b|
(3)
|a + b| ≤ |a| + |b|
(4)
Teorema 2.3 Se a, b ∈ IR e b 6= 0,
Teorema 2.4 (Desigualdade Triangular)
Se a, b ∈ IR, então
Corolário 2.1 Se a, b ∈ IR, então
|a − b| ≤ |a| + |b|
Corolário 2.2 Se a, b ∈ IR, então
|a| − |b| ≤ |a − b|
Ver Leithold (1994).
3
REVISÃO DE FUNÇÕES
Definição 3.1 Entendemos por uma função f uma terna
(A, B, a 7→ b),
que também pode ser representada por
f: A → B
a 7→ b
onde A e B são dois conjuntos e a 7→ b, uma regra que nos permite associar a cada elemento a de A
um único b de B. O conjunto A é o domínio de f e indica-se por Df , assim A = Df . O conjunto B é o
contradomínio de f , então B = CDf .
Definição 3.2 Quando x percorre o domínio de f , f (x) descreve um conjunto denominado imagem de
f . Este é indicado por Imf onde,
Imf = {f (x)|x ∈ Df }
ou
Imf = {y ∈ CDf | ∃x ∈ Df com f (x) = y}
Uma função de f de domínio A e contradomínio B é usualmente indicado por
f : A → B.
Uma função de uma variável real a valores reais é uma função f : A → B, onde A e B são subconjuntos de IR1 .
Exemplo 3.1 Seja
f : IR → IR
.
x 7→ x3
Têm-se:
a) Df = IR;
b) Imf = {y = x3 |y ∈ IR}, pois para todo y em IR existe x real tal que x3 = y.
c) O valor que f assume em x é f (x) = x3 . Esta função associa a cada real x o número real f (x) = x3 .
Definição 3.3 O gráfico de uma função real f : A → B é o subconjunto de pontos (x, y) ∈ IR2 tais que
x ∈ Df e y = f (x):
Gf = {(x, y) ∈ IR2 |x ∈ Df e y = f (x)}.
Exemplo 3.2 Seja f a função dada por f (x) =
√
x. Tem-se:
a) Df = {x ∈ IR|x ≥ 0};
√
b) Imf = {y ∈ IR|y ≥ 0}, pois para todo y em IR existe x real tal que x = y.
√
c) Gráfico de f . A função f é dada pela regra x 7→ y, y = x. Quando x cresce, y também
cresce, sendo o crescimento de y mais lento que o de x; quando x aproxima-se de zero, y também
aproxima-se de zero, só que mais lentamente que x.
Figure 6
Exemplo 3.3 Considere a função g dada por g(x) = y =
1
1
. Tem-se:
x
Até menção em contrário, só trataremos com funções de uma variável real a valores reais.
a) Dg = {x ∈ IR|x 6= 0};
b) Img = {y ∈ IR|y 6= 0}. Essa função associa a cada x 6= 0 o real g(x) =
c) g(x + h) =
1
onde x 6= −h.
x+h
d) Gráfico de g.
Figure 7: software Maple 13.
3.1
Conceitos Fundamentais
1. Função Par:
f (−x) = f (x).
Exemplo: f (x) = x2 .
2. Função Ímpar:
f (−x) = −f (x).
Exemplo: f (x) = x3 .
3. Funções por partes:

x<0
 −x,
2
x
,
0
≤
x≤1
f (x) =

1,
x>1
4. Função com valor absoluto:
f (x) = |x|,
ou ainda,
f (x) =
−x, x < 0
x, x ≥ 0
1
.
x
5. Função Composta:
Exemplo: f (x2 + 1) =
√
f ◦ g(x) = f (g(x)).
√
x2 + 1, sendo f (x) = x e g(x) = x2 + 1.
6. Translação de Gráfico - Vertical
y = f (x) + k
• Translada o gráfico k unidade para cima se k > 0.
• Translada o gráfico |k| unidade para baixo se k < 0
Figure 8: Para transladar o gráfico f (x) = x2 para cima (ou para baixo), adicionamos constantes positivas (ou negativas) à fórmula de f .
7. Translação de Gráfico - Horizontal
y = f (x + h)
• Translada o gráfico h unidade para a esquerda se h > 0.
• Translada o gráfico |h| unidade para a direita se h < 0
Figure 9: Para transladar o gráfico f (x) = x2 para a esquerda, adicionamos uma constante positiva a x.
Para transladar o gráfico para a direita, adicionamos uma constante negativa a x.
8. Função Injetora:
∀x1 , x2
x1 =
6 x2 ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 )
x1 = x2 ⇒ f (x1 ) = f (x2 )
9. Função Sobrejetora: Uma função é sobrejetora (ou sobrejetiva) quando o conjunto imagem coincide com o contradomínio da função.
10. Função Bijetora: Uma função bijetiva (função bijetora, correspondência biunívoca ou bijecção), é
uma função injetiva e sobrejetiva (injetora e sobrejetora).
11. Função Inversa: f (x) tem que ser bijetora.
Observação 3.1
f −1 (x) 6=
e
1
f (x)
1
= [f (x)]−1
f (x)
Se f é injetora ela pode ser invertida de modo que mande de volta cada valor assumido ao ponto
do qual ele veio.
12. Função Exponencial:
f (x) = ax , para a > 1
Exemplo: f (x) = 2x .
13. Função Logarítmica:
y = loga x ⇔ x = ay
Propriedades:
• aloga x = x
• loga ax = x, (a > 0, a 6= 1, x > 0)
log x
• Mudança de base: loga x =
log a
14. Funções Trigonométricas:
f (x + p) = f (x)
para qualquer valor de x e p é o período da função.
Exemplo: cos(θ + 2π) = cos(θ) e p = 2π.
3.1.1
Coeficiente Angular
Definição 3.4 Seja a equação da reta y = mx + b, onde y para pelos pontos (x1 , y1 ) e (x2 , y2 ), então
podemos dizer que m é o coeficiente angular da reta y com
m=
∆y
y2 − y1
=
∆x
x2 − x1
e a equação da reta y pode ser reescrita como
y − y1 = m(x − x1 ) ou y − y2 = m(x − x2 )
4
LISTA DE EXERCÍCIOS
1. Resolva as inequações:
a)x − 3 > 0
b)x + 3 ≤ 6x − 2
c)2x + 1 ≥ 3x
2x − 1
<0
d)
x+1
x−3
e) 2
<0
x −1
f) x(2x − 1) ≤ 0
g) (2x − 3)(x2 + 1) < 0
2. Faça a análise de sinal das expressões
a) 5x − 4
b) 7 − x
x−6
c)
x−3
(x − 1)
d)
(x − 1)2
2 − 3x
e)
x+2
f) (x − 2)(x + 2)
g) (2x − 1)(x2 + 1)
3. Ache o conjunto solução das inequações:
a)|3x + 4| > 7
b) |x2 + 4x + 7| > 3
4. Provar o Teorema (2.2) e os Corolários (2.1) e (2.2).
5. Calcule:
1
a) h(−1) e h
, sendo h(x) = −x3 + x2 − 3
2
√
x
b) g(0), g(2) e g( 2), sendo g(x) = 2
x −1
1
6. Calcule o domínio de f (x) = p
.
|x| − x
7. Escreva se as funções abaixo são funções pares, ímpares ou nenhuma delas e faça o gráfico de cada
uma delas.
a) f : IR → IR, tal que x 7→ f (x) = 1 − x4
b) f : IR → IR, tal que x 7→ f (x) = x5 + x
c) f : IR → IR, tal que x 7→ f (x) = 2 − x3
8. Existe uma função que seja par e ímpar ao mesmo tempo? Se existir, dê um exemplo.
REFERENCES
Guidorizzi H.L. Um Curso de Cálculo, volume I. LTC, 1995.
Leithold L. O Cálculo com Geometria Analítica, volume I. Harbra, 1994.