Funções e Modelos

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2014.2
Funções e Modelos
Danielly Guabiraba- Engenharia Civil
Vitor Bruno- Engenharia Civil
Quatro maneiras de representar uma função
• Verbalmente (Descrevendo-a com palavras);
• Numericamente (Por meio de uma tabela de
valores);
• Visualmente (Através de um gráfico);
• Algebricamente (Utilizando-se uma fórmula
explícita).
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Visualmente
Numericamente
Algebricamente
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Exemplo 01
Se f(x)= 2x²-5x+1 e h diferente de zero, calcule:
f(a+h)-f(a)
h
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Teste da Reta Vertical
Def.: Uma curva no plano xy é o gráfico de uma
função de x, se e somente se, nenhuma reta vertical
cortar a curva mais de uma vez.
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Funções Definidas por Partes
Def.: São funções que possuem fórmulas distintas em
diferentes partes de seus domínios.
Ex 2.: Seja f a função definida por:
Calcule f(0), f(1) e f(2). Esboce o gráfico.
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Exemplo 03
Esboce o gráfico da função valor absoluto f(x)=|x|
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Exemplo 04
Considerando o custo c(w) do envio pelo correio de
uma carta com peso w trata-se de uma função
definida por partes pois à partir da tabela de valores,
temos:
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Simetrias
Def.:
Função Par: Se uma função f satisfizer f(-x)=f(x)
para todo x em seu domínio, então f é chamada
função par. Por exemplo, na função f(x)=x² é par.
Função Ímpar: Se f satisfizer f(-x)=-f(x), para
todo número x em seu domínio, dizemos que f é uma
função ímpar. Por exemplo, a função f(x)=x³ é ímpar.
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Exemplo 05
Determine se a função é par ou ímpar, ou nenhum
dos dois.
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Modelos Matemáticos: Uma lista de
funções essenciais
Função Potência:
Uma função da forma f(x)=𝑥 𝑎 , onde a é uma
constante, é chamada função potência. Alguns casos:
i) a=n, onde n é um inteiro positivo
Gráficos de f(x)=𝑥 𝑛 para a= 1, 2, 3, 4, e 5
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Função Potência
ii) a=1/n, onde n é um inteiro positivo
Gráficos das funções raízes
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Função Potência
iii) a=-1
O gráfico da função recíproca f(x)=𝑥 −1 =1/x está na
figura abaixo. Seu gráfico tem a equação y=1/x, ou
xy=1, e é uma hipérbole com eixos coordenados
como suas assíntotas.
Função Recíproca
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Funções Racionais
Uma função racional f é a razão de dois polinômios:
𝑃(𝑥)
𝑓 𝑥 =
𝑄(𝑥)
Em que P e Q são polinômios. O domínio consiste em
todos os valores de x tais que Q(x) seja diferente de
zero.
2𝑥 4 − 𝑥 2 + 1
𝑓 𝑥 =
𝑥2 − 4
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Funções Algébricas
Uma função f é chamada função algébrica se puder
ser construída por meio de operações algébricas
(como adição, subtração, multiplicação, divisão e
extração de raízes) a partir de polinômios. Toda
função racional é automaticamente uma função
algébrica. Ex.:
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Funções Algébricas
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Funções Trigonométricas
Com
relação
aos
ângulos
das
funções
trigonométricas, em cálculo, convenciona-se dar a
medida em radianos. Por exemplo, se f(x)=senx,
entende-se que senx seja o seno de um ângulo cuja
medida de radianos é x.
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Funções Trigonométricas
Além disso, os zeros da função seno ocorrem nos
múltiplos inteiros de 𝜋, isto é,
Senx=0 quando x=n𝜋, n é um número inteiro
Uma propriedade importante das funções seno e
cosseno é que elas são periódicas, com um período
de 2𝜋, logo, para todos os valores de x,
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Funções Trigonométricas
A natureza periódicas dessas funções torna-as
adequadas à modelagem de fenômenos repetitivos
como maré, cordas vibrantes e ondas sonoras.
Função Tangente
A função tangente relaciona-se com as funções seno e
𝑠𝑒𝑛𝑥
cosseno pela equação 𝑡𝑔𝑥 =
, não está definida
𝑐𝑜𝑠𝑥
quando cosx=0, sua imagem é (-∞,∞)
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Funções Exponenciais
As funções exponenciais são da forma f(x)=𝑎 𝑥 , em
que a base a é uma constante positiva.
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Funções Logarítmicas
As funções logarítmicas 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥, onde a base a é
uma constante positiva e são inversas das funções
exponenciais. A figura abaixo mostra os gráficos de
quatro funções logarítmicas com várias bases. Em cada
caso o domínio é (0,∞), a imagem é (-∞, ∞) e as funções
crescem vagarosamente quando x>1.
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Exemplo
Classifique as funções a seguir como um dos tipos
discutidos.
a) f(x)=5𝑥
b) g(x)=𝑥 5
c)
1+𝑥
h(x)=
1− 𝑥
d) u(t)= 1 − 𝑡 + 5𝑡 4
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Combinações de Funções
Duas funções f e g, podem ser combinadas para
formar novas funções f + g, f – g, fg, f/g.
Se o domínio de f é A e o domínio de g é B, então o
domínio de f + g será a intersecção desses domínios.
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Combinações de funções
Exemplo:
Se
e
encontre as funções:
f+g
f–g
fg
f/g
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Composição de funções
Uma outra maneira de combinar funções é pela
composição. Considere:
Analisando as funções percebemos que y é uma
função de x. Assim:
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Composição de funções
Definição:
Dadas duas funções f e g, a função composta f g é
também chamada de composição de f e g. É definida
por:
f(g(x))
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Exemplo
Sabendo que:
Encontre a função composta f(g(x)); g(f(x)); f(f(x));
g(g(x))
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Obrigada pela atenção!
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