introdução

Capítulo 1
INTRODUÇÃO
Denotemos por N o conjunto dos números naturais, por Z o conjunto dos números inteiros e
por R o conjunto dos números reais.
1.1 Desigualdades
A representação geométrica dos números reais sugere que estes podem ser ordenados. Usando
os símbolos usuais para maior (>), maior ou igual (≥), menor (<), menor ou igual (≤), podemos
ver, por exemplo, que se a, b ∈ R e a < b, então b − a > 0; no eixo coordenado temos que a está
à esquerda de b. Para todo a, b ∈ R temos: ou a > b, ou a < b, ou a = b.
É conhecido que a ordenação dos números reais é compatível com as operações de adição e
multiplicação, definidas em R. De fato:
Proposição 1.1. Para todo x, y, z, w ∈ R, temos:
1. Se x > y, então x + z > y + z.
2. Se x > y e z > w, então x + z > y + w.
3. Se x > y e z > 0, então x · z > y · z.
4. Se x > y e z < 0, então x · z < y · z.
Outras propriedades elementares são:
1. Se x > y =⇒ −x < −y.
2. x · y > 0 =⇒ x > 0 e y > 0 ou x < 0 e y < 0.
3. x · y < 0 =⇒ x > 0 e y < 0 ou x < 0 e y > 0.
9
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
10
1.2 Intervalos
Muitos subconjuntos de R são definidos através de desigualdades. Os mais importantes são os
intervalos.
Sejam a, b ∈ R tais que a < b.
Intervalos Abertos
Os intervalos abertos de extremidades a e b, são denotado por (a, b) é definido por:
(a, b) = {x ∈ R/a < x < b}.
(
a
)
b
Figura 1.1: Intervalo aberto.
Intervalos Fechado
Os intervalos fechados de extremidades a e b, denotado por [a, b] é definido por:
[a, b] = {x ∈ R/a ≤ x ≤ b}.
[
a
]
b
Figura 1.2: Intervalo fechado.
Intervalos Semi-aberto e Intervalo Semi-fechado
Os intervalos semi-abertos e semi-fechados, são denotados e definidos, respectivamente, por:
[a, b) = {x ∈ R/a ≤ x < b} e
[
a
(
a
(a, b] = {x ∈ R/a < x ≤ b}.
)
b
]
b
Figura 1.3: Intervalos semi-abertos e semi-fechados.
Os quatro intervalos assim definidos são ditos limitados. Introduzindo os símbolos −∞ e +∞,
os quais não são números reais, podemos definir os intervalos ilimitados:
(a, +∞) = {x ∈ R/a < x} e
(−∞, a] = {x ∈ R/x ≤ a},
1.3. EQUAÇÕES
11
(−∞, a) = {x ∈ R/x < a} e
[a, +∞) = {x ∈ R/x ≥ a}.
(
a
]
a
Figura 1.4: Intervalos ilimitados.
Note que:
R = (−∞, +∞).
Os intervalos aparecem de forma natural na resolução de inequações, pois, a solução é, em
geral, dada por um intervalo ou uma reunião de intervalos.
1.3 Equações
As equações são igualdades entre duas expressões matemáticas que apresentam alguns valores desconhecidos, chamados incógnitas e que só se verificam para determinados valores das
incógnitas.
As equações aparecem de forma natural em diversas aplicações. Por exemplo:
[1] Um pintor experiente pinta uma casa em 10 horas e seu aprendiz pinta, a mesma casa, em
15 horas. Em quanto tempo pintam a casa se trabalham juntos?
[2] Uma corretora tem dois terrenos A e B, ambos de forma retangular. O comprimento do
terreno A mede 7 metros a mais que sua largura. O comprimento do terreno B mede 2 metros
a mais que o comprimento do terreno A e sua largura mede 3 metros a menos do que a largura
do terreno A. Se a área de B é de 37 m2 a menos do que a área do terreno A, determine as
medidas dos terrenos.
Observações 1.1.
1. Estudaremos as equações em R que apresentam uma incógnita. Resolver uma equação
em R significa determinar todos os valores possíveis, em R, da incógnita e que tornam a
igualdade verdadeira. A solução de uma equação é também dita raiz da equação. Para
determinar as raízes de uma equação utilizamos as propriedades elementares dos números reais.
2. Como a definição de equação é muito ampla, nestas notas nós consideraremos as equções ditas elementares, isto é, as mais utilizadas e que não requerem quase nenhum prérequisito.
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
12
Exemplo 1.1.
[1] Um pintor experiente pinta uma casa em 10 horas e seu aprendiz pinta, a mesma casa, em
15 horas. Em quanto tempo pintam a casa juntos?
Seja x o número de horas do pintor e de seu aprendiz quando trabalham juntos. Se representa1
mos com a unidade (1), o trabalho total a ser realizado; então: é o trabalho realizado quando
x
trabalham juntos em uma hora, logo:
1
1
+
10 15
é a quantidade de trabalho realizado pelo pintor e seu aprendiz em uma hora, e:
1
1
1
1
1
+
= =⇒ = ,
10 15
x
6
x
donde temos x = 6, isto é, trabalhando juntos gastam 6 horas para pintar a casa.
[2] Uma corretora tem dois terrenos A e B, ambos de forma retangular. O comprimento do
terreno A mede 7 metros a mais que sua largura. O comprimento do terreno B mede 2 metros
a mais que o comprimento do terreno A e sua largura mede 3 metros a menos do que a largura
do terreno A. Se a área de B é de 37 m2 a menos do que a área do terreno A, determine as
medidas dos terrenos.
Seja x a largura do terreno A, então x + 7 é o comprimento do terreno A, (x + 7) + 2 é o
comprimento do terreno B, x − 3 é a largura do terreno B, x (x + 7) é a área do terreno A e
((x + 7) + 2)(x − 3) a área do terreno B; logo:
((x + 7) + 2)(x − 3) + 37 = x (x + 7),
donde obtemos −x+10 = 0 e x = 10. O terreno A mede 10 m de largura e 17 m de comprimento
e o terreno B mede 7 m de largura e 19 m de comprimento.
1.4 Equações Polinomiais
Um equação polinomial de grau n em R, é definida como:
a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + . . . . . . + an−1 xn−1 + an xn = 0,
onde ai ∈ R e an 6= 0. Os números reais ai são ditos coeficientes da equação polinomial.
Agora enunciaremos o Teorema Fundamental da Álgebra:
Teorema 1.1. Toda equação polinomial, de grau n ≥ 1 com coeficientes sendo números complexos, admite n soluções complexas.
Ou equivalentemente:
Toda equação polinomial, de grau n ≥ 1 possui n raízes reais e/ou complexas.
Este teorema nos garante que podemos achar soluções das equações polinomiais.
1.4. EQUAÇÕES POLINOMIAIS
13
1.4.1 Equações Polinomiais de Primeiro Grau
Seja a ∈ R, a 6= 0, então
b
x=− .
a
a x + b = 0 tem a única solução
Exemplo 1.2.
[1] A soma de dois números pares consecutivos é 102 . Ache os números
Seja x um dos números, o seguinte número par será x + 2; logo:
x + x + 2 = 102 =⇒ 2 x + 2 = 102 =⇒ x = 50.
Os números são 50 e 52.
[2] Um pai tem 42 anos de idade e seu filho 10 anos. Daqui a quantos anos a idade do pai será
o triplo da idade do filho?
Seja x os anos que devem passar; logo, devemos ter:
x + 42 = 3 (x + 10) =⇒ 2 x = 12 =⇒ x = 6.
Em 6 anos o pai terá o triplo da idade do filho.
1.4.2 Equações Polinomiais de Segundo Grau
Seja a, b, c ∈ R, a 6= 0, então
a x2 + b x + c = 0 tem soluções: x =

√
−b + b2 − 4 a c





2a
√



b2 − 4 a c
−b
−


.
2a
Para outras equações polinomiais, ver os parágrafos seguintes.
Exemplo 1.3.
[1] Determine os números reais que são iguais ao seu quadrado.
Seja x o número procurado; logo devemos ter x2 = x, isto é:
x (x − 1) = 0 =⇒ x = 0 e
[2] Determine a solução de (x − 3)2 + 5 = x + 4.
x = 1.
Desenvolvendo (x − 3)2 + 5 = x + 4, temos x2 − 7 x + 10 = 0 que tem soluções:
x=2 e
x = 5.
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
14
[3] A diferença entre as medidas da base e da altura de um retângulo é 4 m. Determine as
dimensões do retângulo se a área é 60 m2 .
Sabemos que a área de um retângulo é base × altura. Se x é a altura, temos:
x (x + 4) = 60 =⇒ x2 + 4 x − 60 = 0 =⇒ x = 6.
A altura mede 6 m e a base mede 10 m. Note que consideramos somente a raiz positiva da
equação.
1.5 Equações Redutíveis a Quadráticas
A seguir apresentaremos alguns tipos equações não quadráticas, porém solúveis pelos métodos
utilizados para equações quadráticas.
1.5.1 A Equação Biquadrada
A equação biquadrada é do tipo:,
a x4 + b x2 + c = 0,
onde a, b, c ∈ R, a 6= 0. Fazendo u = x2 , a equação fica:
a u2 + b u + c = 0,
qu e é uma equação quadrática.
Exemplo 1.4.
[1] Determine a solução de x4 − 3 x2 + 2 = 0.
Fazendo u = x2 , a equação fica:
u2 − 3 u + 2 = 0,
√
que tem soluções u = 1 e u = 2. Como x = ± u, as soluções da equação são:
x = 1, x = −1, x =
√
√
2 e x = − 2.
[2] Determine a solução de 3 x4 + 2 x2 − 1 = 0.
Fazendo u = x2 , a equação fica:
3 u2 + 2 u − 1 = 0,
√
1
que tem soluções u = −1 e u = . Como x = ± u, as soluções da equação são:
3
1
1
x = i, x = −i, x = √ e x = − √ ,
3
3
√
onde i = −1 é a unidade imaginária.
1.5. EQUAÇÕES REDUTÍVEIS A QUADRÁTICAS
15
1.5.2 Outras Equações Redutíveis a Quadráticas
As equações do tipo:
a (x − p)2 + b (x − p) + c = 0,
onde a, b, c, p ∈ R, a 6= 0. Fazendo u = x − p, a equação fica:
a u2 + b u + c = 0.
As equações do tipo:
a (xr − p)2 + b (xr − p) + c = 0,
onde a, b, c, p ∈ R, a 6= 0 e r ∈ Q. Fazendo u = xr − p, a equação fica:
a u2 + b u + c = 0.
Em geral, as equações do tipo:
a (xr − p)2n + b (xr − p) + c = 0,
onde a, b, c, p ∈ R, a 6= 0 e r ∈ Q. Fazendo u = (xr − p)n , a equação fica:
a u2 + b u + c = 0.
Exemplo 1.5.
[1] Resolva (x + 2)2 + 11 (x + 2) − 12.
Fazendo u = x + 2, a equação fica:
Logo, x = −14 e x = −1.
u2 + 11 u − 12 = 0 =⇒ u = −12 e
u = 1.
[2] Resolva (x2 − 1)2 + (x2 − 1) − 12 = 0.
Fazendo u = x2 − 1, a equação fica:
u2 + u − 12 = 0 =⇒ u = −4 e u = 3.
√
Logo, x2 = −3 e x = ± 3 i, x = ±2.
[3] Resolva x2/3 + 4 x1/3 − 5 = 0.
Fazendo u = x1/3 , temos:
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
16
u2 + 4 u − 5 = 0 =⇒ u = −5 e
u = 1.
Logo, x1/3 = −5 e x = −125, x1/3 = 1 e x = 1.
[4] Resolva (x2 − 8)2 − 5 (x2 − 8) + 6 = 0
Fazendo u = x2 − 8, temos:
u2 − 5 u + 6 = 0 =⇒ u = 2 e
√
√
Logo, x2 − 8 = 2 e x = ± 10, x2 − 8 = 3 e x = ± 11.
u = 3.
1.6 Equações Algébricas não Polinomiais
Equações algébricas são equações em que para determinar suas soluções somente podemos utilizar as operações de adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação inteira e radiciação.
As equações polinomiais são um caso particular das quações algébricas.
Exemplo 1.6.
[1] Determine a solução de x + 5
√
x = 6.
Primeiramente observemos que x > 0. Façamos t =
que tem solução:
√
x, (t > 0); então, a equação fica t2 +5 t = 6
t = −6 e t = 1.
A única solução da equação original é x = 1.
[2] Determine a solução de
√
3x + 1 −
√
x + 4 = 1.
1
Primeiramente observemos que x ≥ − ; escrevamos a equação:
3
√
√
3x + 1 = x + 4 + 1
e elevemos ao quadrado ambos os lados da equação. Temos:
√
√
3 x + 1 = ( x + 4 + 1)2 =⇒ x + 4 = x − 2 =⇒ x2 − 5 x = 0
que tem solução x = 0 e x = 5. Note que x = 0 não é solução da equação original (por que?);
logo, a única solução é x = 5.
[3] Determine a solução de
p
3
1+
√
x=2
Primeiramente observemos que x > 0. Elevando ao cubo ambos os lados da equação, temos:
1+
√
x = 8 =⇒
√
x = 7 =⇒ x = 49.
1.7. INEQUAÇÕES
17
1.7 Inequações
As inequações em R, são desigualdades que apresentam uma incógnita. Resolver uma inequação em R significa determinar todos os valores possíveis, em R, da incógnita e que tornam a
desigualdade verdadeira. Para determinar as raízes de uma inequação utilizamos as propriedades elementares dos números reais.
Exemplo 1.7.
O preço para pintar um apartamento é apresentado de duas formas:
(a) 2500 reais mais 30 reais por hora.
(b) 100 reais por hora.
Quando a forma (a) é mais vantajosa?
Seja x o número de horas; então devemos resolver
100 x > 2500 + 30 x =⇒ x >
250 ∼
= 35.714.
7
Logo, a proposta (a) é mais conveniente se a pintura for realizada em menos de 35 horas.
1.7.1 Inequações Lineares
Determinemos o conjunto-solução de:
a x + b ≥ 0.
Note:
a x + b ≥ 0 ⇐⇒ a x ≥ −b;
logo:
b
Se a > 0, x ≥ − ; o conjunto-solução é
a
b
[− , +∞).
a
b
Se a < 0, x ≤ − ; o conjunto-solução é
a
(−∞, −
b
.
a
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
18
1.7.2 Inequações Quadráticas
Seja a x2 + b x + c = 0 a equação do segundo grau. Denotemos por
∆ = b2 − 4 a c
o discriminante da equação e α, β as raízes reais da equação (α ≤ β). O conjunto-solução S de
uma desigualdade quadrática depende dos sinais de a e de ∆, respectivamente.
1. Para ∆ > 0.
(a) Se a > 0, a desigualdade a x2 + b x + c ≥ 0 tem conjunto-solução:
S = (−∞, α] ∪ [β, +∞)
e a x2 + b x + c ≤ 0 tem conjunto-solução S = [α, β]
(b) Se a < 0, a desigualdade a x2 + b x + c ≥ 0 tem conjunto-solução:
S = [α, β]
e a x2 + b x + c ≤ 0 tem conjunto-solução S = (−∞, α] ∪ [β, +∞).
2. Para ∆ = 0.
(a) Se a > 0, a desigualdade a x2 + b x + c ≥ 0 tem conjunto-solução:
S=R
e a x2 + b x + c ≤ 0 tem conjunto-solução S = {α}.
(b) Se a < 0, a desigualdade a x2 + b x + c ≥ 0 tem conjunto-solução:
S = {α}
e a x2 + b x + c ≤ 0 tem conjunto-solução S = R.
3. Para ∆ < 0.
(a) Se a > 0, a desigualdade a x2 + b x + c > 0 tem conjunto-solução:
S=R
e a x2 + b x + c ≤ 0 tem conjunto-solução S = ∅.
(b) Se a < 0, a desigualdade a x2 + b x + c ≥ 0 tem conjunto-solução:
S=∅
e a x2 + b x + c < 0 tem conjunto-solução S = R.
1.7. INEQUAÇÕES
19
Para outras inequações polinomiais, ver os parágrafos seguintes.
Exemplo 1.8.
[1] Ache a solução de: 2 x2 − 3 x − 3 ≥ −1.
Note que 2 x2 − 3 x − 3 ≥ −1 é equivalente a 2 x2 − 3 x − 2 ≥ 0, ∆ > 0, a > 0 e as raízes de
1
2 x2 − 3 x − 2 = 0 são x = − e x = 2; logo:
2
1
S = − ∞, − ] ∪ [2, +∞).
2
[2] Ache a solução de: 3 (2 x − 5)(x − 1) ≤ (5 − 2 x)2 .
0 ≤ (5 − 2 x)2 − 3 (2 x − 5)(x − 1) =⇒ 0 ≤ −(2 + x) (−5 + 2x) =⇒ 0 ≥ (2 + x) (−5 + 2x).
5
; logo:
2
5
S = − 2, .
2
As raízes de (2 + x) (−5 + 2x) = 0 são x = −2 e x =
[3] Determine o conjunto solução de x2 + 1 < 2 x2 − 3 < −5 x.
Estudemos separadamente x2 + 1 < 2 x2 − 3 e 2 x2 − 3 < −5 x:
(a) x2 + 1 < 2 x2 − 3:
x2 + 1 < 2 x2 − 3 ⇐⇒ x2 − 4 > 0 =⇒ x < −2, ou x > 2.
Logo:
S1 = (−∞, −2) ∪ (2, +∞).
(b) 2 x2 − 3 < −5 x
1
2 x2 − 3 < −5 x ⇐⇒ 0 > (3 + x) (2 x − 1) =⇒ x > −3 e x < .
2
Logo:
1
S2 = (−3, ).
2
Logo:
S = S1 ∩ S2 = (−3, −2).
[4] Determine os valores de a tais que:
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
20
x2 y 2 + a x y 2 + y 2 + x y + a y + 1 > 0,
∀x, y ∈ R.
Fatorando, podemos reescrever a inequação:
p y 2 + q y + 1 > 0,
onde p = x2 + a x + 1 e q = x + a. Logo, temos uma equação quadrática em y; para que seja
positiva para todo y, devemos ter:
(
(
x2 + a x + 1 > 0
p>0
⇐⇒
3 x2 + 2 a x + 4 − a2 > 0.
∆<0
Ambas as equações são quadráticas em x; logo devemos exigir que os discriminantes de ambas
as equações sejam negativos (por que?):
(
√
a2 − 4 < 0
⇐⇒ |a| < 2 e |a| < 3.
2
2
4 a − 12 (4 − a ) < 0
Logo:
√ √
S = (− 3, 3).
1.8 Outros Tipos de Inequações
[1] Ache a solução de: x3 < x.
Fatorando x3 − x = x (x + 1) (x − 1); então, x3 − x < 0 é equivalente a x (x + 1) (x − 1) < 0, da
qual obtemos x < −1 ou 0 < x < 1. O conjunto-solução é:
[2] Ache a solução de:
S = (−∞, −1) ∪ (0, 1).
6x − 2
≥ 9.
3x + 6
Note que a desigualdade não é equivalente a 6 x − 2 ≥ 9 (3 x + 6). Se 3 x + 6 > 0, isto é x > −2;
8
então, 6 x − 2 ≥ 9 (3 x + 6), donde obtemos x ≤ − . Se 3 x + 6 < 0, isto é x < −2; então,
3
8
6 x − 2 ≤ 9 (3 x + 6), donde obtemos − ≤ x. Logo, o conjunto-solução é:
3
8
S = [− , −2).
3
[3] Ache a solução de:
x+2
x
≤
.
x−1
x+4
1.9. VALOR ABSOLUTO
Resolvemos
21
x+2
x
7x + 8
−
≤ 0, que é equivalente a
≤ 0, da qual obtemos
x−1
x+4
(x − 1) (x + 4)
8
− ≤ x < 1 ou x < −4. Logo, o conjunto-solução é:
7
[4] Ache a solução de:
8 S = − ∞, −4 ∪ − , 1 .
7
x
x+1
<
.
2−x
3+x
Resolvemos
x+1
x
3 + 2 x + 2 x2
−
< 0, que é equivalente a
> 0, logo:
2−x x+3
(x − 2) (x + 3)
Devemos resolver: 3 + 2 x + 2 x2 > 0, (x − 2) > 0 e (3 + x) > 0, donde x > 2
Devemos resolver: 3 + 2 x + 2 x2 > 0, x − 2 < 0 e 3 + x < 0, donde x < −3. Então:
S = (−∞, −3) ∪ (2 + ∞).
1.9
Valor Absoluto
O valor absoluto ou módulo de um número real a, denotado por |a| é definido como o maior
número do conjunto {a, −a}, ou equivalentemente:
(
a se a ≥ 0
|a| =
−a se a < 0.
Observe que o valor absoluto de um número real é sempre não negativo e possui as seguintes
propriedades imediatas. Sejam a, b ∈ R; então:
1.
√
a2 = |a|, para todo a ∈ R
2. |b| < a se e somente se b ∈ (−a, a), a > 0
3. |a · b| = |a| · |b|
4. |b| ≥ a se e somente se b ≥ a ou b ≤ −a, a > 0
a |a|
5. =
, se b 6= 0
b
|b|
6. |a + b| ≤ |a| + |b|.
7. |a − b| ≤ |a| + |b|
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
22
8. |a| − |b| ≤ |a − b|.
Exemplo 1.9.
[1] Ache a solução de: |x2 − x + 1| > 1.
Pelas propriedades anteriores, |x2 − x+ 1| > 1 é equivalente a: x2 − x+ 1 > 1 ou x2 − x+ 1 < −1.
1 2 7
+ < 0,
Se x2 − x+ 1 > 1, então x (x− 1) > 0 e x < 0 ou x > 1; se x2 − x+ 1 < −1, então x−
2
4
o que é impossível. O conjunto-solução é:
S = (−∞, 0) ∪ (1, +∞).
[2] Ache a solução de: |9 − 2 x| ≥ |4 x|.
Pela propriedades anteriores, |9 − 2 x| ≥ |4 x| é equivalente a: 9 − 2 x ≥ |4 x| ou 9 − 2 x ≤ −|4 x|;
Se 9 − 2 x ≥ |4 x|, então 2 x − 9 ≤ 4 x ≤ 9 − 2 x; logo,
9
3
≤x≤ .
2
2
Se 9 − 2 x ≤ −|4 x|, então 9 − 2 x ≤ 4 x ≤ 2 x − 9, que não possui solução. O conjunto-solução é:
−
9 3
S= − , .
2 2
[3] Ache a solução de: 2 − |x − 3| ≤ 3 x + 1.
Pela propriedades anteriores, se x − 3 ≥ 0, temos: 2 − (x − 3) ≤ 3 x + 1 que é equivalente a
x ≥ 1. Por outro lado, se x − 3 < 0, temos: 2 + (x − 3) ≤ 3 x + 1 que é equivalente a x ≥ −1. O
conjunto-solução é:
3 − 2 x
≤ 4.
[4] Ache a solução de: x+2 Resolvamos −4 ≤
S = [−1 + ∞].
3 − 2x
≤ 4.
x+2
Se x > −2 , −4 (x + 2) ≤ 3 − 2 x ≤ 4 (x + 2):
(a) −4 (x + 2) ≤ 3 − 2 x, é equivalente a x ≥ −
11
.
2
5
(b) 3 − 2 x ≤ 4 (x + 2), é equivalente a x ≥ − , e:
6
5
S1 = − , +∞).
6
Se x < −2 , −4 (x + 2) ≥ 3 − 2 x ≥ 4 (x + 2):
(a) −4 (x + 2) ≥ 3 − 2 x, é equivalente a x ≤ −
11
.
2
1.9. VALOR ABSOLUTO
23
5
(b) 3 − 2 x ≥ 4 (x + 2), é equivalente a x ≤ − , e:
6
S2 = (−∞, −
Finalmente:
[5] Resolva
√
S = S1 ∪ S2 = (−∞, −
x + 1 > |x + 1|.
11 .
2
11 5
∪ − , +∞).
2
6
Primeiramente observamos que x + 1 ≥ 0, isto é −1 ≤ x; por outro lado, se x = −1 a inequação
não é válida.
Se x + 1 ≥ 0, então |x + 1| = x + 1 e:
√
Logo:
x + 1 > x + 1 ⇐⇒ x + 1 > (x + 1)2 ⇐⇒ x2 + x < 0.
S = (−1, 0).
|x|
.
x
Temos dois casos: x > 0 e x < 0.
|x|
Se x > 0, temos que
= 1 e:
x
[6] Resolva |x − 1| <
|x − 1| < 1 ⇐⇒ 0 < x < 2.
Logo:
S1 = (0, 2).
Se x < 0, temos que
|x|
= −1 e S2 = ∅. Então:
x
S = S1 = (0, 2).
[7] Ache a solução de:
p
|x| − 1 ≥ a,
a 6= 0.
Primeiramente, devemos ter |x| − 1 ≥ 0, isto é |x| ≥ 1. Logo:
e:
x ∈ S1 = (−∞, −1] ∪ [1, +∞);
|x| − 1 ≥ a2 .
Por outro lado, 1 + a2 > 1 e −(1 + a2 ) < −1, então:
Se a > 0:
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
24
x ∈ S2 = (−∞, −1 − a2 )] ∪ [1 + a2 , +∞);
e
S = S1 ∩ S2 = (−∞, −1 − a2 )] ∪ [1 + a2 , +∞).
Se a < 0, temos:
S = (−∞, −1] ∪ [1, +∞).
Por que?
[8] Ache a solução de:
x + 3
x
x − 2 ≥ |x| .
Note que:
x
=
|x|
(
1
−1
se x > 0
se x < 0.
Se x > 0, resolvemos:
x + 3
x+3
x − 2 ≥ 1 ⇐⇒ x − 2 ≥ 1 ou
Logo:
x+3
≥ 1 ou
x−2
x+3
≤ −1.
x−2
x+3
5
≤ −1 ⇐⇒
≥ 0 ou
x−2
x−2
⇐⇒ x > 2 ou
−
2x + 1
≤0
x−2
1
≤ x < 2.
2
Isto é:
S1 = (0, 2) ∪ (2, +∞),
pois, x ∈ (0, +∞).
Se x < 0, como o valor absoluto de qualquer número é positivo, temos:
S2 = R − {2} ∩ (−∞, 0) = (−∞, 0).
logo, a solução é:
S = S1 ∪ S2 = R − {0, 2}.
[9] Se x ∈ N, ache a solução de:
1.10. DISTÂNCIA
25
(x − 3)2
p
1 − |x − 3| −
x2 + x + 1
p
4 − |x|
≤ 0.
Analisando a inequação podemos obsevar que (x−3)2 é sempre não negativo e o denominador
é quadrático e sempre positivo pois seu coeficiente principal é 1 e seu discriminante ∆ = −3.
Logo, para resolver a inequação basta resolver:
p
1 − |x − 3| −
p
4 − |x| ≤ 0 ⇐⇒
p
1 − |x − 3| ≤
p
4 − |x|.
Primeiramente:
1 − |x − 3| ≥ 0 e
4 − |x| ≥ 0 ⇐⇒ x ∈ [2, 4].
Agora:
p
1 − |x − 3| ≤
p
4 − |x| =⇒ |x| ≤ 3 + |x − 3|.
Como x ∈ N, verificamos a inequação para x = 2, 3, 4; logo, não é difícil ver que:
S = {2, 3, 4}.
1.10
Distância
Usando o valor absoluto podemos definir a distância entre dois números reais.
A distância entre os números reais a e b é |a − b|.
Então |a| é a distância de a à origem.
Exemplo 1.10.
[1] A distância entre os números π e −π é |π − (−π)| = 2 π.
[2] A distância entre os números −2 e −12 é | − 12 − (−2)| = | − 10| = 10 e a distância entre os
números −2 e 23 é |23 − (−2)| = 25.
1 3
[3] A distância entre os números − e é:
6 2
1 3 − − =−
6 2 5 5
= .
3 3
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
26
1.11 Sequências: P.A. e P.G.
Denotemos por N o conjunto dos números naturais e por R o conjunto dos números reais.
Definição 1.1. Uma sequência de números reais é uma função:
f : N −→ R.
f (n) = an é chamado o termo geral da sequência. A sequência é denotada por:
an
Não confundir a sequência an
função que define a seqüência .
n∈N
n∈N
= a 1 , a 2 , . . . . . . , an , . . . .
com {a1 , a2 , . . . . . . , an , . . . } que é o conjunto-imagem da
Exemplo 1.11.
1
1
1 1
1
/n∈N .
= 1, , , . . . , , . . . ; o conjunto-imagem é
[1] Se
n n∈N
2 3
n
n
1
1
2
3
4
5
6
7
1
.
n
√
√
√
= 1, 2, . . . , n, . . . ; o conjunto-imagem é { n / n ∈ N}.
Figura 1.5: Gráfico da sequências
[2] Se
√ n n∈N
3
2
1
1
2
3
4
5
6
Figura 1.6: Gráfico da sequência
[3] Se (−1)n
n∈N
7
√ n .
= − 1, 1, −1, . . . , (−1)n , . . . ; o conjunto-imagem é {−1, 1}.
1.12. PROGESSÕES ARITMÉTICAS (P.A.)
27
1.12 Progessões Aritméticas (P.A.)
Uma progressão aritmética (P.A.) é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é
igual à soma do termo anterior com uma constante r, chamada razão da P.A.., isto é,
an
n∈N
é uma P.A.
⇐⇒ an − an−1 = r, ∀n ≥ 1
Não é difícil ver que o termo geral e a soma dos n primeiros termos de uma P.A. são, respectivamente:
an = a1 + (n − 1) r
e
Sn =
(an + a1 ) n
2
Logo, as P.A. são sequências do tipo:
a, a + r, a + 2 r, a + 3 r, . . . . . . , a + (n − 1) r . . .
1.12.1 Interpolação Aritmética
Interpolar aritmeticamente n números entre outros dois conhecidos a e b, consiste em construir
uma P.A.
a, a1 , a2 , ..., an , b.
Como a P.A. tem n + 2 termos e a1 = a e an+2 = b, podemos determinar r; de fato:
b = a + [(n + 2) − 1] r =⇒ r =
b−a
n+1
Uma vez conhecido o valor de r, obtemos todos os termos da P.A. Os termos da P.A. são chamados meios aritméticos.
1.13 Progessões Geométricas (P.G.)
Uma progressão geométrica (P.G.) é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo,
é igual ao produto do termo anterior por uma constante q 6= 0, chamada razão da P.G.. Isto é,
an
n∈N
é uma P.G.
⇐⇒
an
= q, ∀n > 1
an−1
O termo geral e a soma dos n primeiros termos de uma P.G. são, respectivamente:
an = a1 · q n−1
e
Sn =


n a1




a1 (1 − q n )



1−q
se q = 1
se q > 1
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
28
se a P.G. é finita. No caso em que a P.G. tem infinitos termos, temos:
S=
Logo, as P.G. são sequências do tipo:
a1
1−q
−1 < q < 1
a, a q, a q 2 , a q 3 , . . . . . . , a q n−1 . . .
1.13.1 Interpolação Geométrica
Interpolar geometricamente n números entre outros dois conhecidos a e b; consiste en construir
uma P.G.
a, a1 , a2 , ..., an , b.
Com a P.A. tem n + 2 termos e a1 = a e an+2 = b, podemos determinar q; de fato:
b = aq
n+1
=⇒ q =
r
n+1
b
a
Uma vez conhecido o valor de q, obtemos todos os termos da P.G. Os termos da P.G. são chamados meios geométricos.
Exemplo 1.12.
[1] Determine cinco meios aritméticos entre -18 e 25.
A P.A. é: −18, a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , 25. Então aplicando a fórmula para n = 5, a1 = a = −18 e
a7 = b = 25, temos:
r=
e:
a2 = −
43
,
6
65
11
7
32
, a3 = − , a4 = , a5 =
6
3
2
3
[2] Determine quatro meios geométricos entre 25 e
Temos que a1 = 25 e a6 =
a6 =
107
.
6
1
.
125
1
, logo:
125
q=
e:
e
r
5
1
1
= ,
3125
5
1
a2 = 5, a3 = 1, a4 = ,
5
e a5 =
1
.
25
[3] Se num edifício o primeiro andar se encontra a 7.4 m de altura e a distância entre dois
andares consecutivos é de 3.8 m, determine a altura do décimo nono andar.
1.13. PROGESSÕES GEOMÉTRICAS (P.G.)
29
Temos uma P.A. tal que r = 3.8; como an = a1 + (n − 1) r, temos que:
a19 = 7.4 + 18 × 3.8 = 75.8 m.
7π
[4] Se os ângulos de um triângulo formam uma P.A. e se o maior ângulo é
, determine a
12
medida dos outros ângulos.
Seja a3 o maior ângulo:

7π


a1 = a3 − 2 r =
− 2r


12






7π
−r
a2 = a3 − r =

12








 a3 = 7 π
12
Logo: a1 =
=⇒ a1 + a2 + a3 = π =⇒ r =
π
.
4
π
π
e a2 = .
12
3
[5] (Puc-SP) As medidas dos lados de um triângulo formam a P.A. (x + 1, 2 x, x + 5). Determine
o perímetro do triângulo.
Como an − an−1 = r para todo n temos a2 − a1 = a3 − a2 , donde x = 3 e o perímetro do
triângulo é 18.
[6] Numa empresa de serviços de informação telefônica do tipo 0300., o número de pessoas que
ligaram, por dia, variou de acordo com uma P.A. de razão 4. Sabendo-se que cada ligação foi
correspondente a 0.4 dólares, e que no primeiro dia duas pessoas ligaram, determine o número
mínimo de dias a fim de que o total arrecadado atinja o valor de 81.920 dólares:
Sabemos que:
an = a1 + (n − 1) r
e
Sn =
(2 a1 + (n − 1) r) n
(an + a1 ) n
=
.
2
2
Como a1 = 0.8 e no segundo dia ligam 6 pessoas que corresponde a 6 × 0.4 = 2.4, temos r = 1.6
e:
81.920 =
(2 × 0.8 + (n − 1) × 1.6) n
= 0.8 × n2 =⇒ n = 320.
2
Logo, são 320 dias.
[7] (Mack-SP) Seja a P.G. de termos positivos (x − 2,
Sabemos que:
an
= q;
an−1
logo, temos que
a3
a2
=
e:
a2
a1
√
x2 + 11, 2 x + 2, . . .). Determine a7 .
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
30
a3 a1 = a22 =⇒ (2 x + 2) (x − 2) = x2 + 11 =⇒ x = 5.
Logo, a1 = 3 e a2 = 6 donde q = 2 e a7 = 192.
[8] Determine 3 números em P.G. tal que a soma seja 26 e o produto seja 216.
Temos:

2

a + a q + a q = 26


=⇒ q =
a3 q 3 = 216
6
=⇒ a2 − 20 a + 36 = (a − 2) (a − 18) = 0.
a
Se a = 2, q = 3 e os números são 2, 6 e 18.
1
Se a = 18, q = e os números são 18, 6 e 2.
3
[9] A soma dos 3 primeiros termos de uma P.G. é 38. Sabendo que se subtraimos 2 do terceiro
termo, êles passam a formar uma P.A., calcule o quinto termo da P.G.
Sabemos que a1 + a1 q + a1 q 2 = 38 e que {a1 , a1 q, a1 q 2 − 2} é uma P.A, logo:
a1 (q − 1) = a1 q 2 − 2 − a1 q ⇐⇒ a1 [2 q − q 2 − 1] = −2.
Temos o seguinte sistema:

2

a1 + a1 q + a1 q = 38
=⇒ q =


a1 [2 q − q 2 − 1] = −2
3
2
ou
q=
2
3
e
a1 = 8
ou a1 = 18,
respectivamente, e
a5 =
81
2
ou a1 =
32
.
9
[10] Um fundo de investimentos contava com 760 clientes e, no mês passado, admitiu 60 novos
investidores. Espera-se que, daqui por diante, o número de clientes novos, por mês, seja sempre
o dobro do número de clientes atraidos no mês anterior. Em quanto tempo o número total de
investidores nesse fundo ultrapassará 10000?
Note que temos:
760 + 60 + [120 + 240 + . . . . . . + 120 × 2n−1 ] > 10000 ⇐⇒
820 + 120 [1 + 2 + . . . . . . + 2n−1 > 10000
Este último é equivalente a:
120 [2n − 1] > 9180 ⇐⇒ 2n >
155
⇐⇒ 2n+1 > 155.
2
O menor n que satisfaz a desigualdade é n = 7; logo, 7 meses é o prazo mínimo.
1.13. PROGESSÕES GEOMÉTRICAS (P.G.)
31
[11] Ache 4 números naturais entre 2 e 486 tais que formem uma P. G.
Note que a1 = 2 e a6 = 486, logo
a6 = a1 q 5 =⇒ q 5 = 243 =⇒ q = 3.
Os 4 números são:
{, 6, 18, 54, 162}.
[12] Seja uma P.G. tal que an+1 < an para todo n ∈ N. Se a soma dos tres primeiros termos é 39
e o seu produto é 729, e se denotamos por a, b e c os tres primeiros termos da P.G, determine o
valor de a2 + b2 + c2 .
Seja q a razão da P.G, poderemos escrever os tres termos por:
x
{ , x, x q}.
q
Por outro lado:
x
× x × x q = 729 =⇒ x3 = 729 =⇒ x = 9.
q
9
Logo, temos: { , 9, 9 q}. Por outro lado:
q
9
1
+ 9 + 9 q = 39 =⇒ 3 − 10 q + 3 q 2 = 0 =⇒ q =
q
3
ou
q = 3.
Como os termos da P.G. satisfazem an+1 < an para todo n ∈ N, devemos ter que:
q=
1
3
(por que?). Os termos são 27, 9 e 3:
272 + 92 + 32 = 819.
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
32
1.14 Exercícios
1. Determine os valores de x tais que:
(a)
√
x2 = x
p
(x − 1)2 = x − 1
(b)
√
(c) x2 − 2 x + 1 = 1 − x
√
(d) x4 = x2
(e) |x + 1| = |x − 1|
(f) |x − 1|2 = |2 x − 1|
2. Determine a solução de :
(g) |x| = |x + 7|
(h) |x − 1|2 = |2 x + 1|
4 − x
=3
(i) 3x 2 x =4
(j) x − 1
(a) (x + 5)2 − 2 (x + 5) − 5 = 0
(i) (x2 − 2)2 − 3 (x2 − 2) + 1 = 0
(b) x2/5 − 7 x1/5 − 8 = 0
(j) (x3 + 1)2 + 5 (x3 + 1) − 1 = 0
(c) 2 (x3 − 1)2 − 6 (x3 − 1) − 2 = 0
(d) x4/3 − 2 x2/3 − 2 = 0
√
√
(k) ( x − 3)2 + x − 4 = 0
(l) (x + 1)4 − 3 (x + 1)2 + 2 = 0
(e) 4 (x + 3)1/3 + 3 (x + 3)2/3 − 4 = 0
√
√
(f) x + 2 − 6 4 x + 2 − 16 = 0
√
√
(m) (( 5 x−1)4 −1)4 −2 ( 5 x−1)4 −1)+1 = 0
(g) (x − 3)2 − 5 (x − 3) + 6 = 0
(n) (x3 + 1)2 − (x3 + 1) − 2 = 0
(h) (x + 4)2 − (x + 4) − 4 = 0
(o) (x2 − 2 x + 1)2 − 5 (x2 − 2 x + 1) − 6 = 0
3. Ache a solução das seguintes desigualdades e represente no eixo coordenado o conjunto
solução:
(a) x4 − x2 < 0
(i) |x2 − 1||x + 1| > 0
(c) x2 + x > 2
(k) |x − 1| + |x − 2| > |10 x − 1|
(b) x2 − 2 ≥ x
(d) (x − 5)4 (x + 10) ≤ 0
(e) |x + 2| < 1
(f) |x − 5| < |x + 1|
(g)
4 x2
+ 10 x − 6 < 0
(h) |x − 1|2 < |2 x + 1|
(j) 2 x2 − 2 ≤ x2 − x
(l) x2 − 7 x + 8 > (x − 6)2
(m) |x2 − x − 1| < 2
(n) |x + 1| + |x + 2| > |10 x − 1|
(o) |x2 − 1| < |x − 1|
1.14. EXERCÍCIOS
33
4. Resolva as seguintes inequações:
x
≥0
x−1
x
−2≥0
(b)
x−5
(g)
x2
≥x+1
x+3
(h)
x2 − 4
≥0
x+6
x−1
≥0
(d)
x+1
x
x
≤
(e)
x−3
x+1
(i)
(x + 1) (x − 7)
>0
(x − 1) (x − 6) (x + 3)
(f)
(k) 3 (
(a)
(c)
x−1
>2
x+5
x2 + 2
>x
x+3
(j) 3 (x + 3) ≥ 2 (1 −
1
)
x
1
− 3) > 5 (x + 1)
x
5. Se 3 x + 15 = 0, determine o valor de
(a)
|x + 5|
|x − 5|
(b) |x| −
|x − 8| |x + 6|
|1 − 2 x|
6. Verifique se é verdadeiro ou falso, dando um exemplo no caso de a resposta ser falso:
(a) Para todo x, y e z: |x + y + z| = |x| + |y| + |z| e
(b) Para todo x e y: |x − y| ≤ |x| − |y|.
(c) Para todo x e y: ||x| − |y|| ≤ |x + y|.
7. Resolva as seguintes inequações com valor absoluto:
(a) |2 x − 1| > 3
(b) |2 x + 5| ≥ |x + 4|
x 1
(c) − ≥ 5
5 2
2 x − 1
≤1
(d) x+3 x + 1
>2
(e) x − 2
3 x − 1
<3
(f) x+7 2 x − 1
>3
(g) 2x + 1 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
34
8. As temperaturas nas escalas de Fahrenheit (F) e Celsius (C) estão relacionadas pela fórmula:
C=
5 (F − 32)
.
9
A que temperatura na escala de Fahrenheit corresponde na escala de Celsius um objeto
que está entre 40 e 50 graus Celsius.
9. Uma resistência tem 7 Ohms e uma resistência variável é instalada em paralelo. A resistência resultante é dada por:
RT =
7R
.
R+7
Determine o valor de R tal que RT seja maior que 3 Ohms.
10. O quíntuplo de um número x subtraído de 12 é sempre maior do que 13. Escreva e resolva
essa inequação.
11. A soma de 5 com a metade de um número é sempre maior do que a diferença entre 10 e
o dobro desse número. Resolva essa inequação.
12. (Parte Inteira) Para todo x ∈ R, denotamos e definimos a parte inteira de x por:
[[x]] = n ⇐⇒ n ≤ x < n + 1, onde n ∈ Z.
Verifique se é verdadeiro ou falso, dando um exemplo no caso de a resposta ser falso:
(a) [[x]] = x se, e somente se x ∈ Z.
(b) Para todo x e y: [[x]] + [[y]] < [[x + y]]
x
[[x]]
=
(c) Para todo x e n ∈ N:
n
n
Determine a solução de:
(a) [[x]]2 − 2 [[x]] − 2 ≤ 0.
(b) [[4 x2 − 5 x − 4]] ≤ 1.
p
(c)
[[x]]2 − 12 + [[x]]2 − [[x]] − 6 ≥ 0.
13. Determine quatro meios aritméticos entre 1 e 19.
1.14. EXERCÍCIOS
35
1
14. Determine cinco meios geométricos entre 8 e .
8
15. Determine seis meios geométricos entre 1 e 2187.
16. Numa P. A. a soma do segundo e quinto termos é 45 e a razão é a metade do primeiro
termo. Calcule a soma dos 20 primeiros termos.
17. Numa P. A. a razão, o número de termos e o último termo são números inteiros consecutivos. Sabendo que o primeiro termo é -10, calcule a soma dos 10 primeiros termos.
18. Numa P. A. de 36 termos, o primeiro termo é 25 e o último 305. Calcule a razão.
19. Numa P. A. de 9 termos e razão 2, a soma de seus termos é igual a zero. Calcule o sexto
termo da P.A.
20. Numa P. A. o primeiro termo é 12 e a razão é 3. Calcule o número de termos para que a
soma seja 882.
21. Calcular a soma dos 80 primeiros termos da PA : 6, 9, 12, 15, 18 ...
22. Determine x para que x + 2, 18 + x e x + 66 estejam em P.G.
23. Numa P.G. de 6 termos, a soma dos 3 primeiros termos é 65 e a soma dos 3 últimos é 1755.
Calcule o primeiro termo.
24. Em 2005 o preço de um certo produto era x − 3 reais, em 2008 era de x + 1 reais e em 2011
era de 2 x + 8 reais. Sabendo que o aumento foi dado em P.G.,de 3 em 3 anos, determine
a razão da P.G.
25. Uma empresa de prospecção de água contratou a abertura de um poço sob as seguintes
condições: recebe 100 reais pelo primeiro metro perfurado, 200 pelo segundo, 400 pelo
terceiro e assim sucessivamente, duplicando sempre até o último metro perfurado. Se a
estimativa é de que o poço deverá ter 10 metros, quanto será o custo total da perfuração?
26. Três números a, b e c estão em P.A. Se a + b, b e b + c estão em P.G. e a2 + c2 = 8, calcule a
razão das duas progressões.
27. Determine n, se:
32 + 33 + . . . . . . 3n = 1089.
28. (UFSC 1989) Numa PG de 6 termos positivos a razão é 5. O produto do décimo termo
com o último é 12500. Determine o valor do terceiro termo.
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
36
29. Os termos do primeiro membro da equação:
3 + 6 + ... + x = 381
formam uma P.G. Determine o conjunto solução da equação.
30. (UFRRJ 2004) Em uma P.A. não constante de 7 termos, com termo médio igual a 6, os
termos 2a , 4a e 7a , nesta ordem, formam uma P.G. Determine esta P.A.
31. Quantos inteiros consecutivos, começando com 10, devem ser considerados para que sua
soma seja igual a 2035?
8
32. Determine a soma dos termos da P. G. infinita: 10, 4, .
5
33. Calcule a soma de todos os inteiros entre 100 e 800 que são divisíveis por 3.
34. (FUVEST/01) Uma P. A. e uma P. G. tem̂, ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que
os seus terceiros termos são estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o
segundo termo da P. A. excede o segundo termo da P. G. em 2. Determine o terceiro
termo das progressões.