EN2609 – Sinais Aleatórios – Lista de Exercícios Suplementares 1– março 2011 EN2609 – Sinais Aleatórios Lista de Exercícios Suplementares 1 1° quadrimestre 2011 1. (PAPOULIS; PILLAI, 2002, p. 87) Suponha que o tempo de espera de um cliente por uma mesa num restaurante seja uma distribuição exponencial com média 5 minutos. Determine a probabilidade de que um cliente espere mais do que 10 minutos por uma mesa. λe − λx , x ≥ 0 . Dado: função densidade exponencial: f X ( x ) = caso contrário 0, RESPOSTA: 13,53%. 2. (HSU; 1997, p. 98) A FDP conjunta de uma VA bivariada ( X , Y ) é dada por: kxy, 0 < x < 1, 0 < y < 1 , f X ,Y (x, y ) = caso contrário 0, em que k é uma constante. Pede-se: (a) Encontre o valor de k . (b) X e Y são independentes? (c) Encontre P( X + Y < 1) . RESPOSTAS: (a) 4; (c) 1 . 6 3. (COSTA NETO; CYMBALISTA, 1993, p. 118) Certo tipo de resistor é considerado acei- tável se seu valor estiver entre 45 e 55Ω e é considerado ideal se estiver entre 48 e 52Ω. O valor desses resistores tem distribuição normal com média de 53Ω e desvio padrão de 3Ω. Em um lote de 200 resistores aceitáveis, quantos resistores ideais devem-se esperar? RESPOSTA: 87 resistores. 4. (COSTA NETO; CYMBALISTA, 1993, p. 17) Um meteorologista acerta 80% dos dias em que chove e 90% dos dias em que faz bom tempo. Chove em 10% dos dias. Tendo havido previsão de chuva, qual a probabilidade de chover? RESP: 47,06%. 5. (COSTA NETO; CYMBALISTA, 1993, p.25) Rivelino e Zé Maria estão machucados e talvez não possam defender o Corinthians em sua próxima partida contra o Palmeiras. A 1 EN2609 – Sinais Aleatórios – Lista de Exercícios Suplementares 1– março 2011 probabilidade de Rivelino jogar é de 40% e a de Zé Maria, 70%. Com ambos os jogadores, o Corinthians terá 60% de probabilidade de vitória; sem nenhum deles, 30%; com Rivelino, mas sem Zé Maria, 50%, e com Zé Maria, mas sem Rivelino, 40%. Qual é a probabilidade de o Corinthians ganhar a partida? RESP: 0,45. 6. (PEEBLES, 2001, p. 173) X = ____ 19 1 ____2 5 1 , X = , Y = 2, Y2 = e C XY = − para variá2 2 2 2 3 veis aleatórias X e Y . (a) Encontre σ X2 , σ Y2 , R XY e ρ . (b) Qual a media da variável aleatória W = ( X + 3Y ) + 2 X + 3 ? 2 Resposta: (a) σ X2 = 9 2 11 6− 3 − 66 ; σY = ; R XY = ; ρ = ; (b) 96,27. 4 2 6 99 7. (LATHI, 1998, p. 486) Duas variáveis aleatórias X e Y são relacionadas por: Y = k1 X + k 2 em que k1 e k2 são constantes arbitrárias. Mostre que o coeficiente de correlação ρ XY = 1 se k1 for positivo e ρ XY = −1 se k1 for negativo. 8. (LATHI, 1998, p. 485) Encontre a média, a média quadrática e a variância da variável aleatória X cuja FDP é dada pela figura a seguir. f X (x ) K x -1 Respostas: 3 5 17 1 X = ; E X 2 = ; σ X2 = . 3 6 18 [ ] 9. (COSTA NETO; CYMBALISTA, 1993, p. 55) Seja X uma variável aleatória contínua com função densidade constante entre a e b , a < b . Mostre que: 2 EN2609 – Sinais Aleatórios – Lista de Exercícios Suplementares 1– março 2011 (b − a ) . a+b e σ X2 = 12 2 2 E [X ] = 10. (PEEBLES, 2001, p. 178) Uma variável aleatória complexa Z é definida por Z = cos ( X ) + j sin (Y ) , em que X e Y são variáveis aleatórias independentes uniformemente distribuídas entre −π e π. (a) Encontre o valor médio de Z . (b) Encontre a variância de Z . 11. (SOARES NETO; CYMBALISTA, 1974) Considere dois eventos A e B tais que: P (A) = 1 1 1 ; P (B | A) = ; P (A | B ) = . 4 2 4 (a) Os eventos A e B são mutuamente exclusivos? Justifique. (b) Os eventos A e B são independentes? Justifique. ( ) ( ) (c) Calcule P A B , P(A B ) + P( A B ) e P A B . RESP: (c) ¾; 1 e ¼ respectivamente. 12. (PEEBLES, 2001, p. 173) (2,5) Em um sistema de controle, sabe-se que uma tensão alea- tória X tem valor médio X = m1 = −2 V e um momento de segunda ordem [ ] E X 2 = m2 = 9 V2. Se a tensão X é amplificada por um amplificador que tem como saí- [ ] da Y = −1,5 X + 2 , encontre σ X2 , Y , E Y 2 , σ Y2 e R XY . Resposta: (a) σ X2 = 5 ; Y = 5 ; E [Y 2 ] = 36,25 ; σ Y2 = 11,25 ; R XY = −17,5 . 13. (DEVORE, 2006, p. 210) Dois componentes de um microcomputador têm a seguinte FDP conjunta para seus tempos de vida útil X e Y : xe − x (1+ y ) , x ≥ 0 e y ≥ 0 f XY ( x, y ) = . caso contrário 0, (a) Quais são as FDPs marginais de X e Y ? Estes tempos de vida são independentes? Justifique. (b) Qual a probabilidade de que o tempo de vida X do primeiro componente exceda 3? Resposta: (a) f X (x ) = e − x , x ≥ 0 ; f Y ( y ) = 1 (1 + y )2 ; (b) 0,0498. 3 EN2609 – Sinais Aleatórios – Lista de Exercícios Suplementares 1– março 2011 14. (LATHI, 1998, p.483) A PDF conjunta f X ,Y ( x, y ) de duas variáveis aleatórias contínuas é dada por: f XY ( x, y ) = xye (a) Determine f X (x ) , f Y ( y ) , f X Y (x y ) e f Y X − (x 2 + y2 2 ) u ( x )u ( y ) ( y x ). (b) x e y são independentes? Resposta: (a) f X ( x ) = xe − x2 2 u ( x ) ; f Y ( y ) = ye − y2 2 u ( y ) ; f X Y (x y ) = f X ( x ) ; f Y X (y x ) = f ( y ) ; (b) Sim. Y 15. (PEEBLES, 2001, p. 101) Certo medidor é projetado para medir pequenas tensões dc, mas comete erros por causa de ruído. Estes erros podem ser representados de forma precisa por uma variável aleatória gaussiana com média zero e desvio padrão 10 −3 V. Quando a tensão dc está desconectada descobre-se que a probabilidade do medidor registrar um valor positivo é 0,5 por causa do ruído. Quando a tensão dc está presente, esta probabilidade tornase 0,2514. Qual o valor da tensão dc? Resposta: -0,67mV 4