CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA 1. Objectivo 2. Introdução

Departamento de Física da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa
T3
Física Experimental I - 2007/08
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CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA
1.
Objectivo
Verificar a conservação da energia mecânica de corpos que se deslocam numa calha
inclinada.
2.
Introdução
Energia cinética
A energia cinética de um corpo de massa m e velocidade
trabalho realizado pela força
pode ser relacionada com o
para parar o corpo,
.
isto é, para o corpo passar da velocidade
(1)
, no estado inicial, para a velocidade nula no estado
final,
(2)
Como, por hipótese, a energia cinética do corpo no estado final é nula
0, vem:
(3)
Desenvolvendo a equação (1) vem:
cos
sendo
cos
,
,
(4)
a componente da força segundo o deslocamento, ou seja, a componente da
força que produz variação do módulo da velocidade.
A equação (4) vem:
0
(5)
T3 - Energia Mecânica
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De (3), (4) e (5) temos:
(6)
De uma forma mais geral podemos dizer que se
é a resultante das forças que actuam a
partícula de massa m, o trabalho dessa força é igual à diferença entre os valores final e inicial da
energia cinética da partícula
(7)
Energia potencial
Uma força é conservativa quando o trabalho dessa força é igual à diferença entre os valores
inicial e final de uma função que só depende das coordenadas. Essa função designa-se energia
potencial.
.
(8)
sendo Ep = Ep(x,y,z). O trabalho de uma força conservativa não depende do caminho seguido para ir
do ponto A para o ponto B. O trabalho de uma força conservativa ao longo de um caminho fechado
é nulo.
.
0
O peso é uma força conservativa. Vamos calcular o trabalho da força peso
(9)
quando o
corpo se desloca da posição A cuja ordenada é yA para a posição B cuja ordenada é yB.
.
.
(10)
Esta expressão dá a energia potencial do ponto A relativamente ao ponto B. A energia potencial Ep
correspondente à força conservativa peso tem a forma
Ep = mgy + C
(11)
Onde C é uma constante aditiva que nos permite estabelecer o nível zero da energia potencial. Uma
vez que a definição do zero de energia é arbitrário podemos escrever
Ep = mgy
fixando Ep = 0 para y = 0.
Conservação da energia mecânica
r
Se numa partícula actuar apenas a força conservativa F , o trabalho dessa força é igual à
diferença entre o valor inicial e final da energia potencial como está expresso em (8). Por outro lado
o trabalho da resultante das forças que actuam sobre a partícula é igual à diferença entre o valor
final e inicial da energia cinética, como vimos em (2), então
.
(12)
2(6)
T3 - Energia Mecânica
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Igualando os trabalhos (8) e (12) vem:
(13)
donde,
(14)
que é a expressão do princípio da conservação da energia mecânica. A energia mecânica da
partícula, soma da sua energia cinética e potencial, é constante em todos os pontos da trajectória.
Energia cinética de um corpo rígido
Um corpo rígido é um corpo em que as distâncias entre todas as partículas componentes
permanecem fixas sob a acção de uma força ou do momento de uma força; um corpo rígido é,
portanto, um caso especial de um sistema composto por muitas partículas.
O movimento geral de um sólido rígido pode sempre ser obtido pela combinação de um
movimento de translação e de rotação independentes.
•
No movimento de translação, todos os pontos do sólido se movem em trajectórias paralelas.
A velocidade de um ponto do sólido é a mesma que a velocidade do centro de massa.
•
No movimento de rotação em torno de um eixo que
passa pelo centro de massa, a velocidade de um
ponto do sólido é proporcional ao raio da
circunferência que descreve (v = ωr) e a sua
direcção é tangente à circunferência.
Na figura representam-se as coordenadas de um
ponto Pi de um corpo relativas a um ponto O fixo no
espaço e relativas ao centro de massa
CM
do corpo.
Representámos por maiúsculas as coordenadas relativas a
um referencial fixo.
(15)
Derivando em ordem ao tempo vem:
(16)
ou
(17)
é a velocidades da partícula i relativamente a um referencial de inércia. No caso geral, é
conveniente escrever a velocidade de cada partícula como a soma da velocidade do centro de massa
relativa ao referencial de inércia, adicionada da velocidade
da partícula relativa ao CM.
3(6)
T3 - Energia Mecânica
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A energia cinética total de um sistema de partículas é a soma da energias cinética de todos as
partículas constituintes,
∑
(18)
onde mi é a massa da partícula i.
A expressão (18) da energia cinética pode então escrever-se:
∑
∑
∑
.
No caso de um corpo rígido, tem-se∑
0 porque
.
∑
(19)
varre todas as direcções e todos
os pontos à mesma distância ri do CM têm a mesma velocidade em módulo. Então:
∑
∑
∑
(20)
(21)
(22)
A energia cinética de um corpo rígido é igual à soma da energia cinética de translação do
centro de massa com a energia cinética rotacional, em torno de um eixo que passa pelo centro de
massa. A constante de proporcionalidade entre a energia cinética e o quadrado da velocidade é, no
primeiro caso, a massa do corpo (que mede a inércia desse corpo associada ao movimento de
translação) e, no segundo, o momento de inércia
∑
(23)
que mede a inércia associada ao movimento de rotação.
Para um sistema com uma distribuição contínua de massa a expressão (23) vem na forma
(24)
onde r é a distância ao eixo de rotação do elemento de massa dm.
O raio de giração de um corpo é a quantidade K definida de modo que seja válida a
relação
(25)
K representa a distância ao eixo em que toda a massa pode ser concentrada sem variar o seu
momento de inércia.
Note que quando um corpo redondo rola numa superfície, há uma força de atrito no ponto de contacto, de
outro modo o corpo deslizaria. A força de atrito estático ainda que necessária para o movimento de rolar
sem deslizar origina um trabalho nulo uma vez que o deslocamento do ponto de contacto é nulo (o corpo
não escorrega), ou seja, a energia mecânica conserva-se o que significa que a força de atrito não realiza
trabalho no deslocamento do corpo, podendo considerar-se que apenas forças conservativas realizam
trabalho durante este movimento.
4(6)
T3 - Energia Mecânica
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3.
Para resolver antes da aula de realização do trabalho
1) Qual é a energia cinética de um corpo de massa 100 g que se desloca na horizontal com uma
velocidade de 10 m/s?
2) Qual é a energia potencial do mesmo corpo a 100 m de altura se se definir Ep = 0 J para uma
altura de 1000 m?
3) Considere um corpo que desce um plano inclinado sem atrito. O corpo é largado na posição
x0 com velocidade nula. Como varia a energia mecânica total com a posição? Obtenha a
expressão da energia cinética e potencial em função da posição x do corpo no plano
inclinado. Verifique que satisfazem o princípio da conservação da energia mecânica.
4.
Realização experimental
Material
•
Calha com fita métrica
•
Sensores ópticos (foto transístores), agrupados em pares separados de 2.0 cm, ligados a
uma unidade de controlo que regista os tempos que separam a passagem do corpo entre
dois sensores. A unidade de comando da calha controla ainda um electromagnete que
mantém o carrinho na posição mais elevada.
•
Carrinho que se move com atrito desprezável e cilindro.
0
A A’
a
A calha tem uma escala métrica para permitir ler posições.
Neste trabalho vai verificar a conservação de energia mecânica para um carrinho que se
move com atrito desprezável num plano inclinado. Um cilindro que rola sem escorregar num plano
inclinado, além da energia cinética de translação, possui energia cinética de rotação que vai
determinar admitindo o princípio da conservação da energia mecânica.
Carrinho que se desloca com atrito desprezável
1. Um corpo de massa m desce sem atrito um plano inclinado. Qual a força responsável pelo
movimento do corpo? Esta força é conservativa? O que é que isso significa?
5(6)
T3 - Energia Mecânica
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2. Certifique-se que, na situação em que a calha está perfeitamente nivelada e que, portanto, o
carrinho em situação de atrito desprezável se mantém parado sobre a calha, a direcção do fio-deprumo indica uma inclinação nula. Se houver erro de zero ele terá de ser tomado em conta.
3. Incline a calha de um ângulo entre 3 e 5.5º e coloque os sensores numa posição AA´.
4. Quais os dados que necessita registar para verificar a conservação da energia mecânica do
carrinho no seu movimento ao longo do no plano inclinado?
5. Largue o corpo na posição 0 e faça os registos necessários à verificação da conservação da
energia mecânica.
6. Varie a posição AA´ dos sensores ao longo da calha, e prossiga os registos para cerca de 10
posições.
7. Represente graficamente a energia cinética, potencial e mecânica nas diferentes posições do
corpo no seu movimento; inclua o ponto de largada e o ponto de referência da energia potencial.
Qual o valor da energia mecânica?
Cilindro que rola sem escorregar
8. Coloque os sensores numa posição AA´. Largue o cilindro da posição 0 e faça os registos
necessários para obter em cada ponto a energia cinética de translação e potencial do corpo; inclua o
ponto de largada e o ponto de referência da energia potencial.
9. Calcule a energia potencial no instante inicial. Admitindo a conservação da energia
mecânica, qual a energia mecânica total do corpo no seu movimento ao longo do plano inclinado?
10. Represente as energias, cinética de translação do
CM
e potencial gravítica, em função da
posição. A partir destes dados calcule a energia cinética de rotação Erot para as diferentes posições
do corpo no seu movimento.
11. Represente Erot em função de v2 e calcule o momento de inércia do cilindro utilizado.
Sabendo que o momento de um cilindro se pode escrever I = MK2 = kMR2, onde K se designa raio
de giração, calcule K ou k para o cilindro que rola no plano inclinado.
6(6)