POLÍGONOS Polígono é a região limitada por segmentos de reta, os
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Polígono é a região limitada por segmentos de reta, os quais constituem linhas fechadas. Observe: POLÍGONO REGULAR E IRREGULAR Todo polígono regular possui os lados e os ângulos com medidas iguais. Alguns exemplos de polígonos regulares. Um polígono irregular é aquele que não possui os ângulos com medidas iguais e os lados não possuem o mesmo tamanho. OUTROS POLÍGONOS Alguns polígonos são diferente dos outros, por apresentarem lados cruzados, são eles: Estrelado Polígono formado por corda e ângulos iguais. Pode ser: Falso: Pela sobreposição de Polígonos Verdadeiro: Formado por linhas poligonais fechadas não-simples Entrecruzado Polígono, cujo prolongamento dos lados, ajudam a formar outro polígono. Entrelaçado Formado por faixas de retas paralelas que se entrelaçam Esboço dos Polígonos citados acima ELEMENTOS DO POLÍGONO Em um polígono podemos identificar os seguintes elementos: vértices, lados, ângulos internos, ângulos externos, diagonais. O triângulo é o único dos polígonos que não possui diagonal. Os vértices constituem o ponto de encontro de dois segmentos laterais. Os lados são as linhas poligonais que se encontram dois a dois em cada vértice. Os ângulos internos e externos são formados pelo encontro de dois lados consecutivos. As diagonais são segmentos de reta que unem dois vértices não consecutivos. Lembre-se, que o triângulo não possui diagonal. No polígono acima temos: Lados: AB, BC, CD, DE, AE Vértices: A, B, C, D e E Ângulos internos: a, b, c, d, e Ângulos externos: a1, b1, c1, d1, e1 Diagonais: AD ou DA, AC ou CA, BE ou EB, BD ou DB, CE ou EC CLASSIFICAÇÃO Em termos dos ângulos Em termos das medidas de seus ângulos, um polígono pode ser: 1. Convexo: Se os ângulos do polígono forem menores que 180º ele será convexo. 2. Côncavo: Caso tenha um ângulo com medida maior que 180º ele será classificado como não convexo ou côncavo. Quanto ao número de lados Não há restrições quanto ao número de lados n de um polígono desde que n ≥ 3. Embora apenas alguns possuam nomenclatura própria, segue uma tabela com alguns destes nomes: Polígonos Número de lados Nome Número de lados triângulo 3 quadrilátero 4 pentágono 5 hexágono 6 heptágono 7 octógono 8 eneágono 9 decágono 10 hendecágono 11 dodecágono 12 tridecágono 13 tetradecágono 14 Nome pentadecágono 15 hexadecágono 16 heptadecágono 17 octodecágono 18 eneadecágono 19 icoságono 20 triacontágono 30 tetracontágono 40 pentacontágono 50 hexacontágono 60 heptacontágono 70 octacontágono 80 eneacontágono 90 hectágono 100 quilógono googólgono 10100 1000 Podemos definir o triângulo como um polígono formado por três segmentos de retas que se cruzam duas a duas, formando três vértices, três ângulos e três lados. Os triângulos se classificam quanto ao tamanho da medida dos seus lados e quanto à medida de seus ângulos. CLASSIFICAÇÃO - QUANTO AOS LADOS Triângulo Equilátero: é todo triângulo que apresenta os três lados com a mesma medida. Nesse caso dizemos que os três lados são congruentes. Triângulo Isósceles: é todo triângulo que apresenta dois lados com a mesma medida, ou seja, dois lados de tamanhos iguais. Triângulo Escaleno: é todo triângulo que apresenta os três lados com medidas diferentes, ou seja, três lados de tamanhos diferentes. Quanto aos ângulos internos, o triângulo pode ser: acutângulo, obtusângulo ou retângulo. - QUANTOS AOS ÂNGULOS Triângulo acutângulo: é todo triângulo que apresenta os três ângulos internos menores que 90 o, ou seja, os três ângulos internos são agudos. Triângulo obtusângulo: é todo triângulo que apresenta um ângulo interno maior que 90 o, ou seja, que possui um ângulo obtuso. Triângulo retângulo: é todo triângulo que apresenta um ângulo interno reto, ou seja, que possui um ângulo medindo 90o. Quadrilátero é um polígono de quatro lados. Classificação dos quadriláteros: Paralelogramo >>> quatro lados paralelos dois a dois Trapézio >>> dois lados paralelos e dois não paralelos. Classificação dos paralelogramos: retângulo >>> quatro ângulos retos e lados diferentes quadrado >>> quatro ângulos retos e lados iguais losango >>> ângulos agudos e obtusos e lados iguais. Classificação dos trapézios: escaleno >>> lados não paralelos diferentes. isósceles >>> lados não paralelos iguais retângulo >>> dois ângulos retos O conceito de Ângulo Ângulo é a reunião de dois segmentos de reta orientados (ou duas semi-retas orientadas) a partir de um ponto comum. As semirretas recebem o nome de lados do ângulo e a origem delas, de vértice do ângulo. Classificação de ângulos Os ângulos são classificados de acordo com suas medidas: DEMOSTRAÇÃO No fundo quase todas as demonstrações fundamentam-se no fato de as somas das áreas de dois quadrados pequenos construídos nos lados menores ser igual ao quadrado maior construído sobre a hipotenusa Algebricamente teremos : a2+b2=c2 Já foram publicadas inúmeras demonstrações deste importante teorema . Apresentaremos algumas delas ( as mais acessíveis). Pensa-se que este teorema foi descoberto na Babilónia entre 1900-1600 AC. Pitágoras (560-480 AC), ou algum dos seus seguidores fizeram dele aplicação e talvez tenham feito mesmo a primeira demonstração.. Contudo a primeira demonstração que chegou até nós foi feita por Euclides (300 AC) nos seus Elementos . Matematicamente, se c designar a hipotenusa e a e b os catetos, vem que: c2 = a2 + b2 Outra demonstração: a2 = b2 + c2 “A soma dos quadrados dos dois catetos, num triângulo retângulo, é sempre igual ao quadrado da hipotenusa” EXEMPLOS 1 – Os lados de um triângulo medem 25 centímetros, 24 centímetros e 7 centímetros. Usando o teorema de Pitágoras verifique se esse triângulo é retangulo. Resposta: 25² = 24² + 7² 625 = 576 + 49 625 = 625 R: Sim, esse triângulo é retângulo. 2 - Qual era a altura do poste? R: Altura do poste é 4 (poste em pé) + 5 (poste partido) 3 - Uma escada de 12 metros de comprimento está apoiada sob um muro. A base da escada está distante do muro cerca de 8 metros. Determine a altura do muro. R: O muro mede aproximadamente 8,94 m de altura. 4 – Um avião percorreu a distância de 5 000 metros na posição inclinada, e em relação ao solo, percorreu 3 000 metros. Determine a altura do avião. R: O avião encontra-se a uma altura de 4000 metros. Produtos notáveis são produtos de expressões algébricas que possuem uma forma geral para sua resolução. Os produtos abaixo são exemplos, em forma geral, de produtos notáveis: QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS O quadrado da soma de dois termos a e b é indicado por ( a + b )² Para calculá-lo, basta multiplicar a + b por a + b: ( a + b )² = ( a + b ) ( a + b ) ( a + b )² = a.a + a.b + b.a + b.b ( a + b )² = a² + a.b + b.a + b² Como a.b = b.a vem que ( a + b )² = a² quadrado do 1º termo + 2ab duas vezes o produto dos termos + b² quadrado do 2º termo O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo. Exemplos: ( x + 3 )² = x² + 2.x.3 + 3² = x² + 6x + 9 ( 2x + 1)² = (2x)² + 2.2x.1 + 1² = 4x² + 4x + 1 (5x + 3y)² = (5x)² + 2.5x.3y + (3y)² = 25x² + 30xy + 9y² (x + y)2 = x2 + 2.x.y + y2 = x2 + 2xy + y2 QUADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS O quadrado da diferença entre dois termos a e b é indicado por (a – b)² Para calculá-lo basta multiplicar a – b por a – b: (a – b)² = (a – b)(a – b) (a – b)² = a² - ab – ba + b² (a – b)² = a² - 2ab + b² O quadrado da diferença entre dois termos é igual ao quadrado do primeiro, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo. Exemplos: (x – 3)² = x² - 2.x.3 + 3² = x² - 6x + 9 (2x – 1)² = (2x)² - 2.2x.1 + 1² = 4x² - 4x + 1 (5x – 3y)² = (5x)² - 2.5x.3y + (3y)² = 25x² - 30xy + 9y² (x – 1)² = x2 – 2.x.y + y2 = x2 – 2xy + y2 PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS (a + b).(a – b) = a.a + a.(-b) + b.a + b.(-b) = a² - ab + ba – b² = a² - b² (a + b)(a – b) = a² - b² O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo termo. Exemplos: (x + 2)(x – 2) = x² - 2² = x² - 4 (2a + 4)(2a – 4) = (2a)² - 4² = 4a² - 16 (m – 3)(m + 3) = m2 – 32 = m2 – 9 (x3 + y4).( x3 - y4)= (x3)2 – (y4)2= x6 – y8 CUBO DA SOMA DE DOIS TERMOS (a + b)³ = (a + b)²(a + b) = (a² + 2ab + b²)(a + b) = = a³ + 2a²b + ab² + ba² + 2ab² + b³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ Exemplos: (x + 1)³ = x³ + 3.x².1 + 3.x.1² + 1³ = x³ + 3x² + 3x + 1 (3a + 2)³ = (3a)³ + 3. (3a)².2 + 3. 3a.2² + 2³ = 27a³ + 3.9a².2 + 3.3a.4 + 8 = 27a³ + 54a² + 36a + 8 (x + 3)³ = x³ + 3x².3 + 3x.3² + 3³ = x³ + 9x² + 27x + 27 (x + 2)³ = x³ + 3x².2 + 3x.2² + 2³ = x³ + 6x² + 12x + 8 CUBO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS (a – b)³ = (a – b)(a – b)² = (a – b)(a² - 2ab + b²) = = a³ - 2a²b + ab² - ba² + 2ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ (a – b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ Exemplos: (x – 1)³ = x³ - 3.x².1 + 3.x.1² - 1³ = x³ - 3x² + 3x – 1 (x – 2y)³ = x³ - 3.x².2y + 3.x.(2y)² -(2y)³ = x³ - 6x²y + 12xy² - 8y³ (x – 2)³ = x³ - 3x².2 + 3x.2² - 2³ = x³ - 6x² + 12x – 8 (x - 3)³ = x³ - 3x².3 + 3x.3² - 3³ = x³ - 9x² + 27x - 27 TRIÂNGULO Considere o triângulo a seguir e seus ângulos internos: Vamos desenhar mais dois triângulos, idênticos ao anterior: Agora, observe: Girando os triângulos e unindo um vértice de cada um, de modo que os ângulos α, β e θ tornemse, dois a dois, adjacentes, temos um ângulo raso: Assim, a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer vale 180 o. QUADRILÁTERO Primeiramente, temos que desenhar um quadrilátero qualquer: Para encontrarmos a soma dos ângulos internos desse retângulo será necessário dividi-lo ligando dois vértices que não são vizinhos (não consecutivos), com isso obteremos dois triângulos, assim, basta somar os ângulos destes dois triângulos e teremos o resultado da soma dos ângulos internos do quadrilátero. Você lembra qual é a soma dos ângulos internos de um triângulo? A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180°, ou seja, tanto o triângulo 1 quanto o triângulo 2 tem a soma dos seus ângulos internos iguais a 180°, e a soma destes dois triângulos resulta nos ângulos do quadrilátero Agora basta realizar a seguinte continha: Com isso podemos concluir que qualquer que seja o quadrilátero convexo, a soma de seus ângulos internos será de 360°. POLÍGONO QUALQUER Vamos escolher, por exemplo, um pentágono: A partir da escolha de um vértice, dividimos o pentágono (5 lados ) em 3 triângulos ( dois a menos que o número de lados). Se a soma dos ângulos internos de cada triângulo é 180º, então a soma dos ângulos internos do pentágono será 540º (3×180o), ou seja: Onde: Si = soma dos ângulos internos do polígono n = número de lados do polígono. REFERÊNCIAS: http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/conhecendo-os-elementos-um-poligono.htm http://pt.wikibooks.org/wiki/Matem%C3%A1tica_elementar/Geometria_plana/Pol%C3%ADgonos http://www.brasilescola.com/matematica/poligonos.htm http://www.portalsaofrancisco.com.br/alfa/poligonos/poligonos.php http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/classificacao-triangulos.htm http://www.escolakids.com/classificacao-dos-triangulos.htm http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle/mec/10396/geo0400.htm http://www.brasilescola.com/matematica/angulos.htm http://www.google.com.br/imgres?q=angulos+classifica%C3%A7%C3%A3o&um=1&hl=ptBR&sa=N&biw=1024&bih=677&tbm=isch&tbnid=cqaqESh7qZlYVM:&imgrefurl=http://portaldoprofessor.mec.gov.br /fichaTecnicaAula.html%3Faula%3D1477&docid=iKIl5D7pQRGSM&imgurl=http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/aulas/1477/imagens/tiposAngul os.jpg&w=500&h=621&ei=OBGPT6qTB425tweRhtyyCw&zoom=1&iact=rc&dur=468&sig=103183003864204815319& page=1&tbnh=153&tbnw=123&start=0&ndsp=12&ved=1t:429,r:0,s:0,i:66&tx=38&ty=59 http://sempreamathematicar.blogspot.com.br/2009/12/exercicios-resolvidos-de-aplicacao-do.html http://pitagoras-upt.tripod.com/id2.html http://www.google.com.br/imgres?q=teorema+de+pit%C3%A1goras+demonstra%C3%A7%C3%B5es&um=1&hl=ptBR&sa=N&biw=1024&bih=677&tbm=isch&tbnid=03tQjn6VHR_hfM:&imgrefurl=http://www.rdpizzinga.pro.br/livros /numeros1/numeros1.html&docid=vrOfaIs17qpFRM&imgurl=http://www.rdpizzinga.pro.br/livros/numeros1/emble ma.gif&w=289&h=317&ei=0xSPT_GzEM2ltwflzOWzCw&zoom=1 http://geniousmetrics.blogspot.com.br/2010/09/exercicios-resolvidos-teorema-de.html http://exercicios.brasilescola.com/matematica/exercicios-sobre-teorema-pitagoras.htm#questao-2335 http://quimsigaud.tripod.com/produtosnotaveis/ http://matcolegiao.wordpress.com/2009/08/24/soma-dos-angulos/ http://educacao.uol.com.br/matematica/soma-angulos-internos-triangulo.jhtm http://www.alunosonline.com.br/matematica/a-soma-dos-angulos-internos-um-quadrilatero.html
