Departamento de Física - ICE/UFJF Laboratório de Física II

Departamento de Física - ICE/UFJF
Laboratório de Física II
Prática 2: Elementos de Hidroestática e Hidrodinâmica: Princípio de
Arquimedes e Equação de Bernoulli
OBJETIVOS
1 -. Determinação experimental do empuxo.
2 - Medida da velocidade de escoamento da água usando equação de Bernoulli.
Parte 1. Princípio de Arquimedes
1.1 Introdução
Tanto a estática como a dinâmica dos líquidos satisfazem leis que de fato são consequências das leis
de Newton para sistemas com grande número das partículas, que interagem de tal maneira que sua densidade
quase não depende da pressão. Esta é a primeira propriedade típica dos líquidos que os distinguem dos gases.
Uma segunda propriedade típica dos líquidos que faz sua distinção dos corpos sólidos, é a lei de
Pascal:
“A pressão aplicada a um líquido encerrado num vaso se transmite,
sem qualquer diminuição, a todo ponto do líquido e às paredes do
recipiente que o contém”.
Uma outra propriedade importante é que um corpo imerso em um fluido, fica sujeito às pressões
exercidas pelo fluido sobre ele em todas as direções, entretanto a pressão na parte inferior é maior que a da
parte superior do corpo. Este fato se deve a lei de Stevin que relaciona a dependência da pressão com a
profundidade, como mostra a Figura 1:
P = Po+ρ g h
(Lei de Stevin)
(1)
onde Po é a pressão na superfície do líquido, ρ é a densidade do líquido, g é a aceleração da gravidade e h a
profundidade de cada ponto do corpo.
Fig.1: Dependência da pressão com a profundidade num líquido.
5
Como consequência tem-se o Princípio de Arquimedes que diz que:
“Quando um corpo está imerso em um fluido, ele recebe deste
uma força denominada empuxo, de módulo igual e direção
contrária ao peso da porção de fluido deslocado. Este empuxo
é aplicado no centro de gravidade da porção deslocada”.
O Principio de Arquimedes tem manifestações e aplicações extremamente importantes: é este
princípio que permite animais nadarem e objetos tal como navios navegarem através de oceanos.
Historicamente, Arquimedes (287-212 a.C.) descobriu seu princípio quando recebeu a tarefa de determinar se
uma coroa feita para o rei Hierão II, de Siracusa, era de ouro puro ou se continha um metal menos nobre. O
problema era determinar o volume de um corpo irregular sem destruí-lo. Arquimedes chegou à solução do
problema durante um banho e saiu pelado pelas ruas de Siracusa gritando “Eureka! Eureka!”
Assim para um corpo em um líquido de densidade ρ , cujo volume imerso seja V, o empuxo é (E) é
dado pela equação:
E=ρgV
(2)
Vamos considerar uma das possíveis aplicações do principio de Arquimedes: indicador do conteúdo
de um combustível. Você já deve ter observado que em algumas bombas de álcool e gasolina nos postos de
serviço, existe um tubo de vidro transparente cheio com o combustível servido naquela bomba. Dentro deste
tubo estão colocados alguns objetos - duas bolas de cores diferentes, um tubinho graduado, etc. Este aparelho
simples é um densímetro e serve para o consumidor controlar a qualidade do combustível que abastece seu
veículo, evitando que a mistura alcool-gasolina fique fora das especificações técnicas.
Na Figura 2a, por exemplo, foi construído um densímetro de tal forma que quando a densidade está
correta metade do corpo fica fora do combustível. Isto significa que a densidade do corpo deve ser a metade
da densidade do líquido:
S
*
S
*
h
ρ
( h+∆ h)
ρ-∆ρ∆ ρ)
(ρ+
Figura2b
Figura 2
Figura
2a 1
Figura
este caso, como o corpo está em equilíbrio, seu peso é igual ao empuxo:
mg=ρgV
(3)
sendo V = S h. Assim, se a parte imersa do volume do corpo for maior que a metade (V+∆V) = S (h + ∆h)
(Fig. 2b) o líquido estará adulterado e com uma densidade menor (ρ - ∆ρ ) do que a correta.
6
A relação entre ∆ρ e ∆h pode ser encontrada igualando-se o peso ao empuxo na situação da Fig. 2b:
m g = (ρ - ∆ρ) g (V + ∆V)
(4)
m = ρ V - ∆ρ V + ρ ∆V - ∆ρ ∆V
(5)
Usando (1) temos:
∆ρ V = ρ ∆V
(6)
Usando as relações entre volume e alturas imersas chegamos a:
∆ρ =
ρ ∆h
h
(7)
Observa-se que, para um corpo se seção reta constante, a variação da altura submersa é proporcional
à variação da densidade do líquido.
2 - Experiência
O objetivo é determinar quantitativamente a força que a água faz sobre um objeto imerso (o
empuxo) e procurar relaciona-la com o volume da água deslocada.
Para medir o empuxo adotaremos dois procedimentos diferentes:
2.1. Podemos medir o peso de um objeto fora (peso real) e dentro de água (peso aparente). A diferença dos
dois valores é a força de empuxo de Arquimedes, a qual é proporcional ao volume do sólido. Meça 6 vezes o
valor das massas aparente e da real e aplique o procedimento estatístico para obter o valor de cada uma. Para
calcular a diferença das massas considere a propagação de erros.
2.2.. Uma outra forma de se medir o empuxo na água é determinar o volume do líquido deslocado pelo sólido
de maneira direta, usando-se o frasco de Pisani, e aplicar o Princípio de Arquimedes. Avalie o erro cometido
na medição do volume do líquido deslocado e avalie também o erro no empuxo assim calculado.
Compare e discuta os valores dos empuxos obtidos através dos dois
procedimentos. O resultado mais preciso está dentro da margem de erro do
resultado menos preciso?
2.3. Determine a densidade do objeto utilizado na experiência, e avalie o erro cometido, através de
propagação de erros das grandezas envolvidas no cálculo.
Materiais:
1 balança
20 cm de cordone
1 becker de 100 ml
1 becker de 50 ml
1 frasco de Pisani
1 sólido
água
Observações:
1 - Cuidado para não quebrar o becker
2 - Não deslocar a balança da posição onde ela foi zerada.
3 - desprezar a massa do barbante.
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Parte 2. Equação de Bernoulli
2.1 Introdução
Dinâmica de fluidos é uma teoria complicada, porém muito importante devido às suas diversas
aplicações, por exemplo, o fluxo da gasolina em motores de carros ou aviões, aerodinâmica de automóveis e
aviões, etc. Entretanto em alguns casos é suficiente saber apenas algumas propriedades simples do fluxo de
um líquido. Nesta prática vamos estudar as propriedades mais simples, em particular a equação da
continuidade e a equação de Bernoulli para escoamento estacionário. O estudo do movimento não
estacionário de um fluido é muito mais complicado.
Equação da Continuidade: Consideremos o escoamento estacionário de um fluido incompressível
(densidade constante), no qual a velocidade de escoamento em cada ponto fixo não varia com o tempo.
O comportamento do escoamento deste fluido através de um tubo não regular (como mostra a Figura
3) com seções transversais A1 e A2, com velocidades respectivamente v1 e v2 é descrito pela equação:
A1 v1 = A2 v2 (equação da continuidade de escoamento)
(8)
A1
A2
v1
v2
Fig.3
Esta equação mostra que para um fluido incompressível (densidade não muda) e que não tenha fontes
ou sorvedouros, a velocidade é inversamente proporcional à área da seção transversal do tubo de corrente
considerada. Assim, nas regiões onde o tubo sofre estrangulamento, o fluido escoa mais rapidamente.
Equação de Bernoulli: Consideremos um tubo de corrente limitado por duas seções transversais de áreas A1
e A2, situadas respectivamente nos pontos 1 e 2 do fluido (Figura 4), onde as pressões são p1 e p2, as
velocidades respectivamente v1 e v2 e as alturas em relação a um plano horizontal de referência z1 e z2.
2
A2
1
A1
z1
v1
p1
v2
p2
z2
Fig.4
8
O escoamento estacionário de um fluido perfeito incompressível é governado pela equação:
p 1
p
1 2
v1 + g z1 + 1 = v 22 + g z 2 + 2 (Equação de Bernoulli)
ρ 2
ρ
2
(9)
Esta equação exprime a conservação da energia por unidade de massa ao longo de um filete do fluido
em regime de escoamento.
2.2- Procedimento Experimental
Materiais
Dispositivo de vidro com seção transversal variável (dispositivo de Venturi)
Água corrente
2 mangueiras de borracha
1 paquímetro
Nesta prática estamos interessados em medir a velocidade da água nos pontos 1,2 e 3 da Figura 5,
posicionados a uma mesma altura. Considerando que z1 = z2, a equação de Bernoulli torna-se:
v12 + 2
p1
p
= v 22 + 2 2
ρ
ρ
Considerando que:
A2 = π r22
A1 = π r12
A equação da continuidade torna-se:
v1 r12 = v 2 r22
e assim:
r
v1 = v 2  2
 r1



2
Considerando a lei de Stevin, p= ρ g h e a expressão de v1 acima na equação Bernoulli, tem-se as
velocidades v1 e v2:
v12 =
2 g (h1 − h2 )
 r1

 r2
v 22 =
4

 − 1

2 g (h2 − h1 )
 r2

 r1
4

 − 1

Determine a velocidade de escoamento da água nas seções de área maior e menor do tubo. Faça a
medida de cada grandeza necessária 3 vezes e use o valor médio. (neste experimento não usaremos
procedimento estatístico e teoria de erros)
1
2
3
Fig.5
9
Observação: Numa torneira de jardim a água escoa com velocidade aproximadamente igual a 1m/s.
Referências: Curso de Física Básica - vol 2, H. Moysés Nussenzveig ; Fundamentos de Física - vol. 2,
Halliday-Resnick; Física, vol.2 , Paul Tipler.
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Prática 2: Elementos de Hidroestática e Hidrodinâmica: Princípio de
Arquimedes e Equação de Bernoulli
Dados coletados:
EXPERIÊNCIA 1
Massa real do
corpo (g)
mr1 =
mr2 =
mr3 =
mr4 =
mr5 =
mr6 =
Massa aparente do
corpo (g)
ma1 =
ma2 =
ma3 =
ma4 =
ma5 =
ma6 =
Medida do volume de água deslocada:
v1 =
v2 =
v3 =
v4 =
v5 =
v6 =
EXPERIÊNCIA 2
Diâmetro
Diâmtero
externo de1 interno di1
(mm)
(mm)
Diâmetro
externo de2
(mm)
Espessura
do tubo
(mm)
Altura
H + h1
(mm)
Altura
H + h2
mm)
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