Espelhos curvos

Óptica
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Introdução
A partir de uma curva podemos gerar uma superfície de revolução. Tal superfície é obtida através
da rotação da curva em torno de um eixo, de preferência, de um ângulo de 360 graus. Para curvas
fechadas e simétricas em relação a um eixo (como uma elipse) basta uma rotação de 180 graus para
se gerar uma superfície de revolução.
A partir de superfícies de revolução podemos gerar espelhos simétricos em relação a um eixo.
As superfícies geradas pela revolução de uma curva têm duas faces: uma face interna e outra,
externa. Dependendo da face que utilizamos com a finalidade de refletir os raios luminosos, os
espelhos curvos podem ser classificados como espelhos côncavos ou convexos. Quando a superfície refletiva for a face interna, o espelho é dito côncavo. Quando utilizamos a superfície externa
para refletir os raios luminosos, o espelho é denominado convexo.
Os espelhos côncavos fazem com que um feixe constituído por raios paralelos se converta num
feixe de raios convergentes. Espelhos convexos, por outro lado, fazem com que o mesmo feixe se
transforme num feixe divergente. Espelhos cilíndricos conjugam a um feixe de luz incidente, cujos
raios são paralelos, uma imagem linear; produzem imagens em apenas uma dimensão.
Spherical concave and convex mirrors do not focus parallel rays to a single point due to spherical
aberration. However, the ideal of focusing to a point is a commonly-used approximation. Parabolic
reflectors resolve this, allowing incoming parallel rays (for example, light from a distant star) to be
focused to a small spot; almost an ideal point. Parabolic reflectors are not suitable for imaging nearby
objects because the light rays are not parallel.
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Os espelhos curvos podem produzir imagens reais (quando a imagem resulta do encontro dos
raios luminosos refletidos) bem como imagens virtuais (nesse caso, a imagem resulta do encontro
do prolongamento dos raios refletidos).
Conceitos Gerais
Um objeto emitindo luz pode ser pensado como constituído de um número muito grande de
pontos luminosos localizados na sua superfície. Cada ponto emite uma onda esférica que emana
desse ponto. Denominamos esse ponto, do qual os raios emanam, ponto objeto e o representaremos pela letra O.
Se uma onda esférica, ou parte dela, emana de um determinado ponto, dizemos que a onda é
uma onda divergente a partir desse ponto. Se a onda colapsar num determinado ponto, dizemos
que a onda converge para ele. A onda é denominada, nesse caso, onda convergente.
Denominamos ponto focal a um ponto como aquele a partir do qual uma onda esférica diverge
ou um ponto em direção ao qual um segmento de onda esférica converge.
A um determinado ponto objeto, um espelho pode conjugar um e apenas um ponto imagem I.
Nesse caso, dizemos que a imagem é uma imagem perfeita. Quando isso ocorre dizemos que o
espelho é um espelho estigmático. Nesses espelhos, cada ponto objeto é perfeitamente focalizado num ponto imagem.
No entanto, nem todos os sistemas ópticos produzem imagens perfeitas. O sistema pode produzir
várias imagens do mesmo ponto. Isso acarreta uma sensação análoga à de um “borrão” para a imagem
de um ponto. A imagem fica fora de foco. Forma-se uma imagem, mas não uma imagem perfeita.
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Quando um sistema óptico não consegue estabelecer uma relação biunívoca entre todos os
pontos-objeto e respectivas imagens (quando a imagem não é perfeita), dizemos que o sistema
exibe aberrações.
Superfícies Cartesianas
Superfícies que levam à formação de imagens perfeitas são denominadas superfícies cartesianas. O termo se aplica tanto para a reflexão da luz quanto para a refração da luz. Como neste
capítulo estamos interessados em espelhos curvos, abordaremos apenas as superfícies cartesianas
para a reflexão.
As superfícies cartesianas para a reflexão são, além da superfície plana, aquelas superfícies denominadas cônicas. São superfícies de revolução, geradas a partir de uma das curvas obtidas através do
seccionamento de um cone. Essas curvas são: a elipse, a parábola e a hipérbole.
Espelhos parabólicos são aqueles para os quais a superfície é um paraboloide de revolução. Nos espelhos hiperbólicos e elípticos, as superfícies de revolução são, respectivamente, a hipérbole e a elipse.
Um espelho elíptico refletirá a luz proveniente de um de seus focos para o outro foco. Espelhos
parabólicos são úteis quando se quer coletar ou distribuir luz. Coletores parabólicos fazem o mesmo
com o som ou ondas eletromagnéticas.
O interesse por espelhos parabólicos advém da sua propriedade de fazer com que qualquer raio
incidente paralelamente ao seu eixo seja refletido passando por um ponto conhecido como foco.
Podem ser usados assim para concentrar a luz incidente, de objetos distantes, num determinado
ponto. Eles foram introduzidos na Astronomia em 1721, quando Jonh Hadley construiu o seu telescópio refletor.
Espelhos Esféricos
Quando a superfície refletora for uma superfície esférica, diz-se que o espelho é esférico.
Como os demais espelhos obtidos a partir de curvas de revolução, os espelhos esféricos
podem ser côncavos ou convexos.
Na figura ao lado apresentamos um espelho convexo. O espelho tem o seu centro de
curvatura localizado no ponto C. O raio de curvatura é igual à distância entre o centro
Sistema óptico perfeito.
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e qualquer ponto na superfície do espelho. Nessa figura apresentamos um raio luminoso proveniente do objeto (localizado no ponto 0) incidindo sobre um espelho de raio R, o qual é refletido ao
atingir um ponto P sobre o espelho. Apresentamos, também nessa figura, um outro raio incidente,
agora atingindo o vértice (V ) do espelho. Ele volta sobre si mesmo. O vértice é equidistante de qualquer ponto sobre as extremidades da calota. A imagem (I ) é o ponto de encontro da continuação
dos raios refletidos (nesse caso, a imagem é virtual). O eixo que passa pelo ponto objeto (0), pelo
vértice (V ) e pela imagem (I ) é o eixo principal. Qualquer eixo paralelo a ele é um eixo secundário.
A distância do objeto ao vértice será designada por p, enquanto a distância da imagem será
designada por p′.
Definimos ainda dois planos. Um plano frontal é qualquer plano perpendicular ao eixo principal.
O plano focal é o plano frontal que passa pelo foco de um espelho. Quando as imagens são perfeitas,
os objetos situados num plano frontal têm suas imagens localizadas num outro plano frontal.
fig
Óptica Gaussiana: Equação Fundamental
Para definirmos a óptica gaussiana é importante considerar os seguintes ângulos:
• α – ângulo formado pelo raio incidente e o eixo principal
• α′ – ângulo formado pelo raio refletido e o eixo principal
• φ – ângulo formado por dois segmentos de reta: um deles une o ponto P ao centro de curvatura, e o outro é o segmento que une o centro de curvatura ao vértice.
Na óptica gaussiana, estamos interessados na formação de imagens quando os ângulos referidos acima são pequenos. Trata-se, na verdade, de uma óptica na qual os resultados obtidos são
decorrentes de aproximações.
Raios incidentes que formam um pequeno ângulo de incidência em relação ao eixo principal
são denominados raios para-axiais. Pode-se definir a óptica gaussiana como a óptica que descreve
imagens formadas a partir de raios para-axiais.
Para entendermos o significado da óptica gaussiana e uma definição mais precisa de óptica
gaussiana, consideremos um raio qualquer e consideremos a tangente de qualquer dos ângulos
definidos acima; por exemplo, a tangente do ângulo φ. Pode-se escrever a tangente de qualquer
ângulo como uma série de potências do ângulo. Utilizando o teorema de Taylor, escrevemos:
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tan ϕ = ϕ + ϕ3 + ......
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( 1 )
Na óptica gaussiana fazemos uso da aproximação:
tan ϕ ≅ ϕ
( 2 )
Procuraremos agora relacionar as distâncias s e s′ ao raio de curvatura. De acordo com a fig.
(000) e utilizando o resultado de que o ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos ângulos
internos, obteremos as seguintes relações simples:
θ = α + φ e 2θ = α + α′
( 3 )
α − α′ = −2φ.
( 4 )
Donde inferimos que:
Na aproximação gaussiana, a relação acima pode ser escrita como relações que envolvem as
tangentes de cada um dos ângulos, isto é,
tanα − tanα′ = −2tanφ
( 5 )
Sendo h a altura do ponto P em relação ao eixo principal, podemos escrever:
h h
h
− = −2
s s′
R
( 6 )
1 1
1
− = −2
s s′
R
( 7 )
Donde se infere que:
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Método analítico
O método analítico permite determinar com precisão a localização e o tamanho da imagem,
bem como determinar se houve ou não a inversão da imagem. O método é particularmente útil no
caso de objetos extensos.
O que é essencial no método analítico é o uso de um sistema de coordenadas cartesianas. Trata-se
de um referencial com origem no vértice do espelho esférico. Tomamos os eixos x e y adotando a
seguinte convenção:
• O eixo das abscissas (o eixo x) é tomado como coincidente com o eixo principal. Ele é orientado no sentido contrário ao da luz incidente.
• O eixo das ordenadas (o eixo y) é perpendicular ao eixo principal e tem o sentido ascendente.
Um sistema de referência para o qual se adota a convenção acima é conhecido como referencial
de Gauss.
Um ponto P do objeto tem coordenadas (xp, yp).
De grande interesse é o caso em que o objeto é suficientemente esguio (uma vela, por exemplo)
para que possamos atribuir apenas um valor para a coordenada x de qualquer ponto do objeto
(isto é, válido se ele for suficientemente fino). Nessas circunstâncias, podemos falar de uma coordenada x do objeto e uma outra coordenada para a imagem. Atribuímos os símbolos p e p′ para as
abscissas do objeto e da imagem. Denominamos ainda f ao valor da abscissa associada ao foco e R,
ao valor da coordenada da abscissa associada ao centro de curvatura.
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O ponto extremo do objeto é caracterizado pela abscissa p e pela ordenada y. À ordenada y associada ao ponto extremo do objeto damos o nome de i. A ordenada associada ao extremo da imagem
designamos por o.
Dadas a distância focal e a posição do objeto, é possível determinar, analiticamente, a posição
da imagem. Sendo f, p e p′ as respectivas abscissas, pode-se mostrar que a relação entre essas três
grandezas é:
1 1 1
= +
f
p p′
( 8 )
Portanto, uma vez conhecidas duas abscissas, a terceira fica inteiramente determinada.
A equação acima é também conhecida como equação de Gauss e é uma equação fundamental no
estudo dos espelhos esféricos.
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Reflexão da Luz em Espelhos Esféricos
Para os espelhos esféricos valem igualmente as já enunciadas leis da reflexão. É importante, no
entanto, entender o significado geométrico dos ângulos de incidência e reflexão nesse caso. Em
primeiro lugar, os ângulos de reflexão e de incidência são medidos a partir da normal à superfície
(a regra é geral). Assim, a primeira providência ao determinarmos a direção do raio refletido num
ponto qualquer sobre o espelho é traçarmos a normal à superfície passando por esse ponto.
Como a superfície é esférica, a normal é uma reta passando pelo ponto P e pelo centro da esfera
(C) da qual a calota se originou. A regra vale para qualquer ponto sobre a esfera. A figura a seguir
mostra a normal N para três situações distintas (pontos A, B e P).
Determinação de imagens - Método gráfico
Para determinarmos a posição da imagem de um ponto que emite raios luminosos (ponto luminoso), colocado numa posição P diante de um espelho esférico, devemos analisar o que acontece
com os vários raios de luz emitidos pela fonte. Na realidade, o trabalho fica enormemente facilitado
ao nos lembrarmos de que o ponto imagem é único e ele seria determinado pelo ponto onde se
cruzam (ou se interceptam os raios refletidos). Basta, portanto, considerarmos apenas dois raios
luminosos. Fica a critério de cada um a escolha desses raios. É mais fácil considerarmos dois entre
os seguintes casos.
1. Raio de luz passando pelo centro da curvatura. Como todo raio de luz que incidir passando
(efetivamente ou apenas o seu prolongamento) pelo centro de curvatura volta sobre si mesmo,
um dos raios pode ser tomado passando pelo centro da curvatura. O refletido é facilmente
determinado. Fig. (000)
2. Raio luminoso incidente passando (ou sua continuação) pelo foco. Nesse caso, o raio
refletido sairá paralelamente ao eixo principal. Fig. (000)
3. Raio de luz incidente paralelamente ao eixo principal. O raio refletido, como argumentado
antes, passará (ou sua continuação no caso de espelho convexo) pelo foco. Fig (000)
4. Raio de luz passando pelo vértice. Nesse caso, o raio refletido formará o mesmo ângulo
(em relação à normal pelo vértice) que o raio de incidência. Fig. (000)
Foco de um espelho.
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A determinação, utilizando o método gráfico, de imagens de objetos extensos é uma extensão,
para muitos pontos do que foi feito para um ponto. Consideraremos apenas diante de um espelho
esférico colocados perpendicularmente ao eixo principal. Como estaremos lidando com espelhos de
Gauss (com abertura pequena), o processo se aplica rigorosamente apenas para objetos pequenos.
As imagens de um objeto podem ser classificadas em imagens reais (quando são formadas diante
do espelho) e imagens virtuais (formadas atrás do espelho). Importante lembrar, nesse contexto,
que as imagens reais são formadas quando do encontro dos raios refletidos, ao passo que, na imagem virtual, temos a formação da imagem resultante do encontro do prolongamento desses raios.
Um objeto pode igualmente ser real ou virtual. No caso dos espelhos, dizemos que o objeto é virtual
se ele se encontra atrás do espelho. Nesse caso, o próprio objeto é formado pelo prolongamento
dos raios luminosos e não pelos próprios.
Um arranjo que permite a formação de um ponto objeto virtual no caso de um espelho esférico
pode ser obtido colocando-se diante do espelho esférico uma lente convergente. Nesse caso, os
raios luminosos paralelos incidentes levam (como efeito da focalização devido à lente) à formação
de um objeto virtual. No caso de espelhos esféricos, a imagem de um objeto pode ser maior, menor
ou igual (caso muito raro) ao tamanho do objeto. A imagem pode ainda aparecer invertida em relação
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ao objeto. Se não houver sua inversão, dizemos que ela é direita. As duas fotos abaixo ilustram algumas
dessas características nos casos de espelhos côncavos e convexos.
Pretende-se, neste estudo, efetuar determinações das características da imagem (sua localização)
em relação ao vértice do espelho. O tamanho relativo ao objeto (maior, menor ou igual) se ela é
invertida ou não e se é real ou virtual.
Determinar a imagem de uma forma precisa (atribuindo-se valores para o seu tamanho, por
exemplo) requer o uso do método analítico. No entanto, para uma determinação apenas das características da imagem, basta o uso do método gráfico.
O método gráfico se torna útil e enormemente simplificado ao analisarmos as imagens de apenas
dois pontos do objeto em frente ao espelho. Usualmente, tomamos o ponto sobre o eixo principal
(ponto A) e o ponto do objeto mais afastado dele [uma das suas extremidades (ponto B)]. A análise
das imagens desses dois pontos nos permite inferir as características da imagem.
Para exemplificar o procedimento todo, consideremos o caso de um objeto extenso em frente
de um espelho esférico localizado entre o foco e o vértice.
Aumento linear transversal
Denomina-se aumento linear transversal ao quociente
A=
i
O
( 9 )
Pode-se relacionar esse quociente ao quociente das abscissas da imagem (p′) e do
objeto p. Para se obter tal relação basta considerar dois triângulos. Um deles é formado
pelas duas extremidades do objeto (pontas A e B) e o vértice, e o outro, pelas extremidades da imagem (pontas A′ e B′ ). Tais triângulos são semelhantes (3 ângulos iguais).
Portanto, segue-se daí que os lados são proporcionais:
B′A′ VB′
=
BA VB
( 10 )
(observação sobre a notação: B′A′ representa a medida do comprimento do segmento
B′A′). E, portanto, de acordo com as definições, segue –se:
i p′
=
o p
( 11 )
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Associação de espelhos
Existem sistemas ópticos bastante complexos envolvendo um grande número de
dispositivos ópticos com espelhos. Eles serão descritos num próximo capítulo.
Para a obtenção de imagem (ou imagens) resultante da associação de dois espelhos,
o procedimento é bastante simples. Para cada espelho, além do objeto, devemos analisar a imagem (ou imagens) da imagem formada no outro espelho.
O número de imagens em alguns casos pode ser muito grande.
Existem várias aplicações práticas de associação de espelhos. Vamos analisar como
funciona um holofote construído com dois espelhos esféricos côncavos associados, a
fim de se obter um feixe paralelo de luz, com alta eficiência no aproveitamento da luz
emitida por um pequeno filamento aquecido.
O filamento deve ser posicionado no foco do espelho E1. A luz emitida para o lado
do espelho E1 sairá praticamente como um feixe paralelo ao eixo principal do conjunto.
A luz emitida para o lado oposto atingirá em parte o espelho E2. Este espelho deve ser posicionado
de forma que o seu centro de curvatura coincida com a posição do filamento. Assim sendo, a luz
dirigida para o espelho E2 será refletida de volta para o espelho E1, passando pelo foco deste último.
Dessa forma, o raio refletido em E1 sairá também paralelamente ao eixo principal.
Obviamente, o filamento deve ser pequeno comparado com o espelho E1, e o espelho E2 deve
ser menor do que o outro. Espelhos não esféricos são frequentemente usados a fim de melhorar a
eficiência. Observe como são concebidos os faróis de carros.
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Como usar este ebook
Orientações gerais
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Créditos
Este ebook foi produzido pelo Centro de Ensino e Pesquisa Aplicada (CEPA), Instituto de Física da Universidade de São Paulo (USP).
Autoria: Gil da Costa Marques.
Revisão Técnica e Exercícios Resolvidos: Paulo Yamamura.
Coordenação de Produção: Beatriz Borges Casaro.
Revisão de Texto: Marina Keiko Tokumaru.
Projeto Gráfico e Editoração Eletrônica: Daniella de Romero Pecora, Leandro de Oliveira e Priscila Pesce Lopes de Oliveira.
Ilustração: Alexandre Rocha, Aline Antunes, Benson Chin, Camila Torrano, Celso Roberto Lourenço, João Costa, Lidia Yoshino,
Maurício Rheinlander Klein e Thiago A. M. S.
Animações: Celso Roberto Lourenço e Maurício Rheinlander Klein.
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