Pesquisa Operacional - Teoria da Dualidade

Pesquisa Operacional
Teoria da Dualidade
Profa. Sheila Morais de Almeida
DAINF-UTFPR-PG
outubro - 2015
Dualidade
A cada problema de PL, chamado Problema Primal, está associado
um outro problema de PL, o Problema Dual.
Fonte: F. S. Hillier; G. J. Lieberman, Introdução à Pesquisa
Operacional, 8a ed., Mc-Graw Hill, 2006.
Matriz Inversa
É possı́vel calcular os valores das variáveis de um problema Dual
utilizando a matriz inversa da tabela simplex do Primal.
Matriz Inversa
Fonte: H. A. Taha, Pesquisa Operacional, 8a edição, Pearson,
2008.
Matriz Inversa
Considere o seguinte PL Primal antes de sua primeira iteração no
método Simplex algébrico:
Base
x1
x2
x3
s1
r1
LD
z
5
12
4
0
−M
0
s1
1
2
1
1
0
10
r1
2
−1
3
0
1
8
Matriz Inversa
Considere o seguinte PL Primal antes de sua primeira iteração no
método Simplex algébrico:
Base
x1
x2
x3
s1
r1
LD
z
5
12
4
0
−M
0
s1
1
2
1
1
0
10
r1
2
−1
3
0
1
8
A matriz inversa é formada pelos coeficientes nas restrições das
variáveis que pertencem à base da tabela inicial.
Matriz Inversa
Definição:
Chamaremos de ci , o coeficiente na função objetivo da i-ésima
variável básica na tabela simplex inicial.
Chamaremos de ci∗ , o coeficiente dessa mesma variável na
função objetivo da solução ótima do simplex.
Base
x1
x2
x3
s1
r1
LD
z
5
12
4
0
−M
0
s1
1
2
1
1
0
10
r1
2
−1
3
0
1
8
Matriz Inversa
Base
x1
x2
x3
s1
r1
LD
z
5
12
4
0
−M
0
s1
1
2
1
1
0
10
r1
2
−1
3
0
1
8
No exemplo, a 1a variável básica é s1 e seu coeficiente na função
objetivo inicial é 0, então, c1 = 0.
Ainda não podemos determinar c1∗ .
No exemplo, a 2a variável básica é r1 e seu coeficiente na função
objetivo inicial é −M, então, c2 = −M.
Ainda não podemos determinar c2∗ .
Matriz Inversa
Reforçando a definição:
Chamaremos de ci , o coeficiente na função objetivo da i-ésima
variável básica na tabela simplex inicial.
Chamaremos de ci∗ , o coeficiente dessa mesma variável na
função objetivo da solução ótima do simplex.
Agora, considere a última iteração do mesmo exemplo:
Base
x1
x2
x3
s1
3
5
−1
5
7
5
29
5
2
5
1
5
z
0
0
x2
0
1
x1
1
0
−2
5
r1
LD
+M
274
5
12
5
26
5
−1
5
2
5
Matriz Inversa
Agora, considere a última iteração do mesmo exemplo:
Base
x1
x2
x3
s1
3
5
−1
5
7
5
29
5
2
5
1
5
z
0
0
x2
0
1
x1
1
0
r1
−2
5 +
−1
5
2
5
LD
M
274
5
12
5
26
5
No exemplo, a 1a variável básica é s1 e seu coeficiente na função
objetivo inicial é 0, então, c1 = 0 e c1∗ = 29
5 .
No exemplo, a 2a variável básica é r1 e seu coeficiente na função
objetivo inicial é −M, então, c2 = −M e c2∗ = −2
5 + M.
Matriz Inversa
Reforçando a definição:
Chamaremos de ci , o coeficiente na função objetivo da i-ésima
variável básica na tabela simplex inicial.
Chamaremos de ci∗ , o coeficiente dessa mesma variável na
função objetivo da solução ótima do simplex.
Base
x1
x2
x3
s1
z
0
0
x2
0
1
x1
1
0
3
5
−1
5
7
5
29
5
2
5
1
5
r1
−2
5 +
−1
5
2
5
LD
M
274
5
12
5
26
5
No exemplo, c1∗ é coeficiente de s1 e c2∗ é coeficiente de r1 .
Observe que são os coeficientes das variáveis da matriz inversa.
Matriz Inversa
Fonte: H. A. Taha, Pesquisa Operacional, 8a ed., Pearson, 2008.
Determinação dos valores ótimos das variáveis duais
Lembre-se: a variável yi do Problema Dual corresponde à i-ésima
restrição do Problema Primal.
É possı́vel determinar o valor de yi com a fórmula: yi = ci + ci∗ .
Determinação dos valores ótimos das variáveis duais
Base
x1
x2
x3
s1
3
5
−1
5
7
5
29
5
2
5
1
5
z
0
0
x2
0
1
x1
1
0
−2
5
r1
LD
+M
274
5
12
5
26
5
−1
5
2
5
No exemplo, os coeficientes c1 e c1∗ referem-se a s1 e são:
c1 = 0 e c1∗ =
Então, y1 = c1 + c1∗ = 0 +
29
5
=
29
5 .
29
5 .
Determinação dos valores ótimos das variáveis duais
Base
x1
x2
x3
s1
3
5
−1
5
7
5
29
5
2
5
1
5
z
0
0
x2
0
1
x1
1
0
−2
5
r1
LD
+M
274
5
12
5
26
5
−1
5
2
5
No exemplo, os coeficientes c2 e c2∗ referem-se a r1 e são:
c2 = −M e c2∗ =
Então, y2 = c2 + c2∗ = −M +
−2
5
−2
5
+M =
+ M.
−2
5 .
Determinação dos valores ótimos das variáveis duais
Outra forma de calcular é:
• identificar as variáveis básicas da solução ótima,
• identificar o vetor com os coeficientes originais dessas
variáveis,
• identificar os valores das células da matriz inversa na solução
ótima e
• multiplicar o vetor com os coeficientes (na ordem em que as
variáveis aparecem na base) pela matriz inversa.
Determinação dos valores ótimos das variáveis duais
Outra forma de calcular é:
• identificar as variáveis básicas da solução ótima,
• identificar o vetor com os coeficientes originais dessas
variáveis,
• identificar os valores das células da matriz inversa na solução
ótima e
• multiplicar o vetor com os coeficientes (na ordem em que as
variáveis aparecem na base) pela matriz inversa.
Determinação dos valores ótimos das variáveis duais
Base
x1
x2
x3
s1
3
5
−1
5
7
5
29
5
2
5
1
5
z
0
0
x2
0
1
x1
1
0
−2
5
r1
LD
+M
274
5
12
5
26
5
−1
5
2
5
Variáveis na base da solução ótima: x2 e x1 (nessa ordem).
Determinação dos valores ótimos das variáveis duais
Outra forma de calcular é:
• identificar as variáveis básicas da solução ótima,
• identificar o vetor com os coeficientes originais dessas
variáveis,
• identificar os valores das células da matriz inversa na solução
ótima e
• multiplicar o vetor com os coeficientes (na ordem em que as
variáveis aparecem na base) pela matriz inversa.
Determinação dos valores ótimos das variáveis duais
Base
x1
x2
x3
s1
r1
LD
z
5
12
4
0
−M
0
s1
1
2
1
1
0
10
r1
2
−1
3
0
1
8
Variáveis na base da solução ótima: x2 e x1 (nessa ordem).
Coeficientes originais de x2 e x1 : (12 5).
Determinação dos valores ótimos das variáveis duais
Outra forma de calcular é:
• identificar as variáveis básicas da solução ótima,
• identificar o vetor com os coeficientes originais dessas
variáveis,
• identificar os valores das células da matriz inversa na
solução ótima e
• multiplicar o vetor com os coeficientes (na ordem em que as
variáveis aparecem na base) pela matriz inversa.
Determinação dos valores ótimos das variáveis duais
Base
x1
x2
x3
s1
3
5
−1
5
7
5
29
5
2
5
1
5
z
0
0
x2
0
1
x1
1
0
−2
5
r1
LD
+M
274
5
12
5
26
5
−1
5
2
5
Variáveis na base da solução ótima: x2 e x1 (nessa ordem).
Coeficientes originais de x2 e x1 : (12 5).
Determinação dos valores ótimos das variáveis duais
Outra forma de calcular é:
• identificar as variáveis básicas da solução ótima,
• identificar o vetor com os coeficientes originais dessas
variáveis,
• identificar os valores das células da matriz inversa na solução
ótima e
• multiplicar o vetor com os coeficientes (na ordem em
que as variáveis aparecem na base) pela matriz inversa.
y1
y2
!
=
12 5
2
5
1
5
−1
5
2
5
!
=
29
5
−2
5
!
Cálculo da coluna de restrições em qualquer iteração
Em qualquer iteração do simplex, a i-ésima coluna do lado direito
ou a coluna do lado esquerdo pode ser calculada da seguinte forma:
• identificar a respectiva coluna no problema original,
• calcular a matriz inversa da iteração i,
• multiplicar a matriz inversa da iteração i pelo vetor com os
coeficientes da i-ésima coluna na matriz original.
Cálculo da coluna de restrições em qualquer iteração
Vamos calcular as colunas da matriz da solução ótima:
Base
x1
x2
x3
s1
r1
LD
z
5
12
4
0
−M
0
s1
1
2
1
1
0
10
r1
2
−1
3
0
1
8
Cálculo da coluna de restrições em qualquer iteração
Em qualquer iteração do simplex, a i-ésima coluna do lado direito
ou a coluna do lado esquerdo pode ser calculada da seguinte forma:
• identificar a respectiva coluna no problema original,
• calcular a matriz inversa da iteração i,
• multiplicar a matriz inversa da iteração i pelo vetor com os
coeficientes da i-ésima coluna na matriz original.
Cálculo da coluna de restrições em qualquer iteração
Primeira coluna na matriz original:
Base
x1
x2
x3
s1
r1
LD
z
5
12
4
0
−M
0
s1
1
2
1
1
0
10
r1
2
−1
3
0
1
8
Cálculo da coluna de restrições em qualquer iteração
Em qualquer iteração do simplex, a i-ésima coluna do lado direito
ou a coluna do lado esquerdo pode ser calculada da seguinte forma:
• identificar a respectiva coluna no problema original,
• calcular a matriz inversa da iteração i,
• multiplicar a matriz inversa da iteração i pelo vetor com os
coeficientes da i-ésima coluna na matriz original.
Cálculo da coluna de restrições em qualquer iteração
Como estamos calculando as colunas da solução ótima, usaremos a
matriz inversa da solução ótima:
Base
x1
x2
x3
s1
3
5
−1
5
7
5
29
5
2
5
1
5
z
0
0
x2
0
1
x1
1
0
−2
5
r1
LD
+M
274
5
12
5
26
5
−1
5
2
5
Cálculo da coluna de restrições em qualquer iteração
Em qualquer iteração do simplex, a i-ésima coluna do lado direito
ou a coluna do lado esquerdo pode ser calculada da seguinte forma:
• identificar a respectiva coluna no problema original,
• calcular a matriz inversa da iteração i,
• multiplicar a matriz inversa da iteração i pelo vetor com
os coeficientes da i-ésima coluna na matriz original.
2
5
1
5
−1
5
2
5
!
1
2
!
=
0
1
!
Cálculo da coluna de restrições em qualquer iteração
Base
x1
x2
x3
s1
3
5
−1
5
7
5
29
5
2
5
1
5
z
0
0
x2
0
1
x1
1
0
−2
5
r1
LD
+M
274
5
12
5
26
5
−1
5
2
5
Cálculo da coluna de restrições em qualquer iteração
Em qualquer iteração do simplex, a i-ésima coluna do lado direito
ou a coluna do lado esquerdo pode ser calculada da seguinte forma:
• identificar a respectiva coluna no problema original,
• calcular a matriz inversa da iteração i,
• multiplicar a matriz inversa da iteração i pelo vetor com os
coeficientes da i-ésima coluna na matriz original.
Cálculo da coluna de restrições em qualquer iteração
Segunda coluna na matriz original:
Base
x1
x2
x3
s1
r1
LD
z
5
12
4
0
−M
0
s1
1
2
1
1
0
10
r1
2
−1
3
0
1
8
Cálculo da coluna de restrições em qualquer iteração
Em qualquer iteração do simplex, a i-ésima coluna do lado direito
ou a coluna do lado esquerdo pode ser calculada da seguinte forma:
• identificar a respectiva coluna no problema original,
• calcular a matriz inversa da iteração i,
• multiplicar a matriz inversa da iteração i pelo vetor com os
coeficientes da i-ésima coluna na matriz original.
Cálculo da coluna de restrições em qualquer iteração
Como estamos calculando as colunas da solução ótima, usaremos a
matriz inversa da solução ótima:
Base
x1
x2
x3
s1
3
5
−1
5
7
5
29
5
2
5
1
5
z
0
0
x2
0
1
x1
1
0
−2
5
r1
LD
+M
274
5
12
5
26
5
−1
5
2
5
Cálculo da coluna de restrições em qualquer iteração
Em qualquer iteração do simplex, a i-ésima coluna do lado direito
ou a coluna do lado esquerdo pode ser calculada da seguinte forma:
• identificar a respectiva coluna no problema original,
• calcular a matriz inversa da iteração i,
• multiplicar a matriz inversa da iteração i pelo vetor com
os coeficientes da i-ésima coluna na matriz original.
2
5
1
5
−1
5
2
5
!
2
−1
!
=
1
0
!
Cálculo da coluna de restrições em qualquer iteração
Base
x1
x2
x3
s1
3
5
−1
5
7
5
29
5
2
5
1
5
z
0
0
x2
0
1
x1
1
0
−2
5
r1
LD
+M
274
5
12
5
26
5
−1
5
2
5
Cálculo da coluna de restrições em qualquer iteração
Em qualquer iteração do simplex, a i-ésima coluna do lado direito
ou a coluna do lado esquerdo pode ser calculada da seguinte forma:
• identificar a respectiva coluna no problema original,
• calcular a matriz inversa da iteração i,
• multiplicar a matriz inversa da iteração i pelo vetor com os
coeficientes da i-ésima coluna na matriz original.
Cálculo da coluna de restrições em qualquer iteração
Terceira coluna na matriz original:
Base
x1
x2
x3
s1
r1
LD
z
5
12
4
0
−M
0
s1
1
2
1
1
0
10
r1
2
−1
3
0
1
8
Cálculo da coluna de restrições em qualquer iteração
Em qualquer iteração do simplex, a i-ésima coluna do lado direito
ou a coluna do lado esquerdo pode ser calculada da seguinte forma:
• identificar a respectiva coluna no problema original,
• calcular a matriz inversa da iteração i,
• multiplicar a matriz inversa da iteração i pelo vetor com os
coeficientes da i-ésima coluna na matriz original.
Cálculo da coluna de restrições em qualquer iteração
Como estamos calculando as colunas da solução ótima, usaremos a
matriz inversa da solução ótima:
Base
x1
x2
x3
s1
3
5
−1
5
7
5
29
5
2
5
1
5
z
0
0
x2
0
1
x1
1
0
−2
5
r1
LD
+M
274
5
12
5
26
5
−1
5
2
5
Cálculo da coluna de restrições em qualquer iteração
Em qualquer iteração do simplex, a i-ésima coluna do lado direito
ou a coluna do lado esquerdo pode ser calculada da seguinte forma:
• identificar a respectiva coluna no problema original,
• calcular a matriz inversa da iteração i,
• multiplicar a matriz inversa da iteração i pelo vetor com
os coeficientes da i-ésima coluna na matriz original.
2
5
1
5
−1
5
2
5
!
1
3
!
=
−1
5
7
5
!
Cálculo da coluna de restrições em qualquer iteração
Base
x1
x2
x3
s1
3
5
−1
5
7
5
29
5
2
5
1
5
z
0
0
x2
0
1
x1
1
0
−2
5
r1
LD
+M
274
5
12
5
26
5
−1
5
2
5
Cálculo da coluna de restrições em qualquer iteração
Em qualquer iteração do simplex, a i-ésima coluna do lado direito
ou a coluna do lado esquerdo pode ser calculada da seguinte forma:
• identificar a respectiva coluna no problema original,
• calcular a matriz inversa da iteração i,
• multiplicar a matriz inversa da iteração i pelo vetor com os
coeficientes da i-ésima coluna na matriz original.
Cálculo da coluna de restrições em qualquer iteração
Segunda coluna na matriz original:
Base
x1
x2
x3
s1
r1
LD
z
5
12
4
0
−M
0
s1
1
2
1
1
0
10
r1
2
−1
3
0
1
8
Cálculo da coluna de restrições em qualquer iteração
Em qualquer iteração do simplex, a i-ésima coluna do lado direito
ou a coluna do lado esquerdo pode ser calculada da seguinte forma:
• identificar a respectiva coluna no problema original,
• calcular a matriz inversa da iteração i,
• multiplicar a matriz inversa da iteração i pelo vetor com os
coeficientes da i-ésima coluna na matriz original.
Cálculo da coluna de restrições em qualquer iteração
Como estamos calculando as colunas da solução ótima, usaremos a
matriz inversa da solução ótima:
Base
x1
x2
x3
s1
3
5
−1
5
7
5
29
5
2
5
1
5
z
0
0
x2
0
1
x1
1
0
−2
5
r1
LD
+M
274
5
12
5
26
5
−1
5
2
5
Cálculo da coluna de restrições em qualquer iteração
Em qualquer iteração do simplex, a i-ésima coluna do lado direito
ou a coluna do lado esquerdo pode ser calculada da seguinte forma:
• identificar a respectiva coluna no problema original,
• calcular a matriz inversa da iteração i,
• multiplicar a matriz inversa da iteração i pelo vetor com
os coeficientes da i-ésima coluna na matriz original.
2
5
1
5
−1
5
2
5
!
10
8
!
=
12
5
26
5
!
Cálculo da coluna de restrições em qualquer iteração
Base
x1
x2
x3
s1
3
5
−1
5
7
5
29
5
2
5
1
5
z
0
0
x2
0
1
x1
1
0
−2
5
r1
LD
+M
274
5
12
5
26
5
−1
5
2
5
Cálculo da coluna de restrições em qualquer iteração
Considerando que para calcular todas as colunas da tabela simplex
da solução ótima, basta ter a matriz inversa dessa tabela, a
pergunta é:
O que é preciso conhecer para calcular a matriz inversa de uma
iteração?
Cálculo da coluna de restrições em qualquer iteração
O que é preciso conhecer para calcular a matriz inversa de uma
iteração?
• quem entra na base na iteração anterior (coeficientes da
função objetivo);
• quem sai da base (coeficientes das colunas pivô e do lado
direito);
• matriz inversa da interação anterior;
É possı́vel diminuir o custo computacional do simplex que
vimos nas aulas?
Cálculo dos coeficientes da função objetivo em qualquer
iteração
Para calcular o i-ésimo coeficiente da função objetivo em qualquer
restrição:
• identificar a i-ésima coluna no problema Primal original,
• utilizar a coluna identificada como sendo a i-ésima restrição
do Dual, incluindo o lado direito e colocado-o à esquerda,
• computar os valores das variáveis do dual na iteração
correspondente,
• substituir os valores computados das variáveis na i-ésima
restrição do dual.
Cálculo dos coeficientes da função objetivo em qualquer
iteração
Vamos calcular os coeficientes da função objetivo na solução ótima:
Base
x1
x2
x3
s1
r1
LD
z
5
12
4
0
−M
0
s1
1
2
1
1
0
10
r1
2
−1
3
0
1
8
Cálculo dos coeficientes da função objetivo em qualquer
iteração
Para calcular o i-ésimo coeficiente da função objetivo em qualquer
restrição:
• identificar a i-ésima coluna no problema Primal original,
• utilizar a coluna identificada como sendo a i-ésima restrição
do Dual, incluindo o lado direito e colocado-o à esquerda,
• computar os valores das variáveis do dual na iteração
correspondente,
• substituir os valores computados das variáveis na i-ésima
restrição do dual.
Cálculo dos coeficientes da função objetivo em qualquer
iteração
Calculando o primeiro coeficiente da função objetivo na solução
ótima:
Base
x1
x2
x3
s1
r1
LD
z
5
12
4
0
−M
0
s1
1
2
1
1
0
10
r1
2
−1
3
0
1
8
Cálculo dos coeficientes da função objetivo em qualquer
iteração
Para calcular o i-ésimo coeficiente da função objetivo em qualquer
restrição:
• identificar a i-ésima coluna no problema Primal original,
• utilizar a coluna identificada como sendo a i-ésima
restrição do Dual, incluindo o lado direito e colocado-o à
esquerda,
• computar os valores das variáveis do dual na iteração
correspondente,
• substituir os valores computados das variáveis na i-ésima
restrição do dual.
1y1 + 2y2 = 5
1y1 + 2y2 − 5
Cálculo dos coeficientes da função objetivo em qualquer
iteração
Para calcular o i-ésimo coeficiente da função objetivo em qualquer
restrição:
• identificar a i-ésima coluna no problema Primal original,
• utilizar a coluna identificada como sendo a i-ésima restrição
do Dual, incluindo o lado direito e colocado-o à esquerda,
• computar os valores das variáveis do dual na iteração
correspondente,
• substituir os valores computados das variáveis na i-ésima
restrição do dual.
Cálculo dos coeficientes da função objetivo em qualquer
iteração
Base
x1
x2
x3
s1
3
5
−1
5
7
5
29
5
2
5
1
5
z
0
0
x2
0
1
x1
1
0
−2
5
r1
LD
+M
274
5
12
5
26
5
−1
5
2
5
No caso, já foram computados, são os valores de y1 e y2 na
−2
solução ótima do dual: y1 = 29
5 e y2 = 5 .
E se não fosse da solução ótima?
Cálculo dos coeficientes da função objetivo em qualquer
iteração
Base
x1
x2
x3
s1
3
5
−1
5
7
5
29
5
2
5
1
5
z
0
0
x2
0
1
x1
1
0
−2
5
r1
LD
+M
274
5
12
5
26
5
−1
5
2
5
No caso, já foram computados, são os valores de y1 e y2 na
−2
solução ótima do dual: y1 = 29
5 e y2 = 5 .
E se não fosse da solução ótima?
Determinação dos valores ótimos das variáveis duais
As variáveis do Dual na i-ésima iteração podem ser calculadas:
• identificar as variáveis básicas da solução primal,
• identificar o vetor com os coeficientes originais dessas
variáveis,
• identificar os valores das células da matriz inversa na solução e
• multiplicar o vetor com os coeficientes (na ordem em que as
variáveis aparecem na base) pela matriz inversa.
Cálculo dos coeficientes da função objetivo em qualquer
iteração
Para calcular o i-ésimo coeficiente da função objetivo em qualquer
restrição:
• identificar a i-ésima coluna no problema Primal original,
• utilizar a coluna identificada como sendo a i-ésima restrição
do Dual, incluindo o lado direito e colocado-o à esquerda,
• computar os valores das variáveis do dual na iteração
correspondente,
• substituir os valores computados das variáveis na i-ésima
restrição do dual.
1y1 + 2y2 − 5 = 1
29
−2
+2
−5=0
5
5
Cálculo dos coeficientes da função objetivo em qualquer
iteração
Calculando o primeiro coeficiente da função objetivo na solução
ótima:
Base
x1
x2
x3
s1
3
5
−1
5
7
5
29
5
2
5
1
5
z
0
0
x2
0
1
x1
1
0
1y1 + 2y2 − 5 = 1
−2
5
r1
LD
+M
274
5
12
5
26
5
−1
5
2
5
29
−2
+2
−5=0
5
5
Cálculo dos coeficientes da função objetivo em qualquer
iteração
Calculando o segundo coeficiente da função objetivo na solução
ótima:
Base
x1
x2
x3
s1
r1
LD
z
5
12
4
0
−M
0
s1
1
2
1
1
0
10
r1
2
−1
3
0
1
8
2y1 − 1y2 − 12
Cálculo dos coeficientes da função objetivo em qualquer
iteração
Calculando o segundo coeficiente da função objetivo na solução
ótima:
Base
x1
x2
x3
s1
3
5
−1
5
7
5
29
5
2
5
1
5
z
0
0
x2
0
1
x1
1
0
2y1 − 1y2 − 12 = 2
−2
5
r1
LD
+M
274
5
12
5
26
5
−1
5
2
5
29
−2
− ( ) − 12 = 0
5
5
Cálculo dos coeficientes da função objetivo em qualquer
iteração
Calculando o terceiro coeficiente da função objetivo na solução
ótima:
Base
x1
x2
x3
s1
r1
LD
z
5
12
4
0
−M
0
s1
1
2
1
1
0
10
r1
2
−1
3
0
1
8
1y1 + 3y2 − 4
Cálculo dos coeficientes da função objetivo em qualquer
iteração
Calculando o terceiro coeficiente da função objetivo na solução
ótima:
Base
x1
x2
x3
s1
3
5
−1
5
7
5
29
5
2
5
1
5
z
0
0
x2
0
1
x1
1
0
1y1 + 3y2 − 4 = 1
−2
5
r1
LD
+M
274
5
12
5
26
5
−1
5
2
5
29
−2
3
+ 3( ) − 4 =
5
5
5
Cálculo dos coeficientes da função objetivo em qualquer
iteração
Calculando o quarto coeficiente da função objetivo na solução
ótima:
Base
x1
x2
x3
s1
r1
LD
z
5
12
4
0
−M
0
s1
1
2
1
1
0
10
r1
2
−1
3
0
1
8
1y1 + 0y2 − 0 =
29
5
Cálculo dos coeficientes da função objetivo em qualquer
iteração
Calculando o quarto coeficiente da função objetivo na solução
ótima:
Base
x1
x2
x3
s1
3
5
−1
5
7
5
29
5
2
5
1
5
z
0
0
x2
0
1
x1
1
0
1y1 + 0y2 − 0 =
−2
5
r1
LD
+M
274
5
12
5
26
5
−1
5
2
5
29
5
Cálculo dos coeficientes da função objetivo em qualquer
iteração
Calculando o quinto coeficiente da função objetivo na solução
ótima:
Base
x1
x2
x3
s1
r1
LD
z
5
12
4
0
−M
0
s1
1
2
1
1
0
10
r1
2
−1
3
0
1
8
0y1 + 1y2 + M =
−2
+M
5
Cálculo dos coeficientes da função objetivo em qualquer
iteração
Calculando o quinto coeficiente da função objetivo na solução
ótima:
Base
x1
x2
x3
s1
3
5
−1
5
7
5
29
5
2
5
1
5
z
0
0
x2
0
1
x1
1
0
0y1 + 1y2 + M =
−2
5
r1
LD
+M
274
5
12
5
26
5
−1
5
2
5
−2
+M
5