Pesquisa Operacional - Teoria da Dualidade
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Pesquisa Operacional Teoria da Dualidade Profa. Sheila Morais de Almeida DAINF-UTFPR-PG outubro - 2015 Dualidade A cada problema de PL, chamado Problema Primal, está associado um outro problema de PL, o Problema Dual. Fonte: F. S. Hillier; G. J. Lieberman, Introdução à Pesquisa Operacional, 8a ed., Mc-Graw Hill, 2006. Matriz Inversa É possı́vel calcular os valores das variáveis de um problema Dual utilizando a matriz inversa da tabela simplex do Primal. Matriz Inversa Fonte: H. A. Taha, Pesquisa Operacional, 8a edição, Pearson, 2008. Matriz Inversa Considere o seguinte PL Primal antes de sua primeira iteração no método Simplex algébrico: Base x1 x2 x3 s1 r1 LD z 5 12 4 0 −M 0 s1 1 2 1 1 0 10 r1 2 −1 3 0 1 8 Matriz Inversa Considere o seguinte PL Primal antes de sua primeira iteração no método Simplex algébrico: Base x1 x2 x3 s1 r1 LD z 5 12 4 0 −M 0 s1 1 2 1 1 0 10 r1 2 −1 3 0 1 8 A matriz inversa é formada pelos coeficientes nas restrições das variáveis que pertencem à base da tabela inicial. Matriz Inversa Definição: Chamaremos de ci , o coeficiente na função objetivo da i-ésima variável básica na tabela simplex inicial. Chamaremos de ci∗ , o coeficiente dessa mesma variável na função objetivo da solução ótima do simplex. Base x1 x2 x3 s1 r1 LD z 5 12 4 0 −M 0 s1 1 2 1 1 0 10 r1 2 −1 3 0 1 8 Matriz Inversa Base x1 x2 x3 s1 r1 LD z 5 12 4 0 −M 0 s1 1 2 1 1 0 10 r1 2 −1 3 0 1 8 No exemplo, a 1a variável básica é s1 e seu coeficiente na função objetivo inicial é 0, então, c1 = 0. Ainda não podemos determinar c1∗ . No exemplo, a 2a variável básica é r1 e seu coeficiente na função objetivo inicial é −M, então, c2 = −M. Ainda não podemos determinar c2∗ . Matriz Inversa Reforçando a definição: Chamaremos de ci , o coeficiente na função objetivo da i-ésima variável básica na tabela simplex inicial. Chamaremos de ci∗ , o coeficiente dessa mesma variável na função objetivo da solução ótima do simplex. Agora, considere a última iteração do mesmo exemplo: Base x1 x2 x3 s1 3 5 −1 5 7 5 29 5 2 5 1 5 z 0 0 x2 0 1 x1 1 0 −2 5 r1 LD +M 274 5 12 5 26 5 −1 5 2 5 Matriz Inversa Agora, considere a última iteração do mesmo exemplo: Base x1 x2 x3 s1 3 5 −1 5 7 5 29 5 2 5 1 5 z 0 0 x2 0 1 x1 1 0 r1 −2 5 + −1 5 2 5 LD M 274 5 12 5 26 5 No exemplo, a 1a variável básica é s1 e seu coeficiente na função objetivo inicial é 0, então, c1 = 0 e c1∗ = 29 5 . No exemplo, a 2a variável básica é r1 e seu coeficiente na função objetivo inicial é −M, então, c2 = −M e c2∗ = −2 5 + M. Matriz Inversa Reforçando a definição: Chamaremos de ci , o coeficiente na função objetivo da i-ésima variável básica na tabela simplex inicial. Chamaremos de ci∗ , o coeficiente dessa mesma variável na função objetivo da solução ótima do simplex. Base x1 x2 x3 s1 z 0 0 x2 0 1 x1 1 0 3 5 −1 5 7 5 29 5 2 5 1 5 r1 −2 5 + −1 5 2 5 LD M 274 5 12 5 26 5 No exemplo, c1∗ é coeficiente de s1 e c2∗ é coeficiente de r1 . Observe que são os coeficientes das variáveis da matriz inversa. Matriz Inversa Fonte: H. A. Taha, Pesquisa Operacional, 8a ed., Pearson, 2008. Determinação dos valores ótimos das variáveis duais Lembre-se: a variável yi do Problema Dual corresponde à i-ésima restrição do Problema Primal. É possı́vel determinar o valor de yi com a fórmula: yi = ci + ci∗ . Determinação dos valores ótimos das variáveis duais Base x1 x2 x3 s1 3 5 −1 5 7 5 29 5 2 5 1 5 z 0 0 x2 0 1 x1 1 0 −2 5 r1 LD +M 274 5 12 5 26 5 −1 5 2 5 No exemplo, os coeficientes c1 e c1∗ referem-se a s1 e são: c1 = 0 e c1∗ = Então, y1 = c1 + c1∗ = 0 + 29 5 = 29 5 . 29 5 . Determinação dos valores ótimos das variáveis duais Base x1 x2 x3 s1 3 5 −1 5 7 5 29 5 2 5 1 5 z 0 0 x2 0 1 x1 1 0 −2 5 r1 LD +M 274 5 12 5 26 5 −1 5 2 5 No exemplo, os coeficientes c2 e c2∗ referem-se a r1 e são: c2 = −M e c2∗ = Então, y2 = c2 + c2∗ = −M + −2 5 −2 5 +M = + M. −2 5 . Determinação dos valores ótimos das variáveis duais Outra forma de calcular é: • identificar as variáveis básicas da solução ótima, • identificar o vetor com os coeficientes originais dessas variáveis, • identificar os valores das células da matriz inversa na solução ótima e • multiplicar o vetor com os coeficientes (na ordem em que as variáveis aparecem na base) pela matriz inversa. Determinação dos valores ótimos das variáveis duais Outra forma de calcular é: • identificar as variáveis básicas da solução ótima, • identificar o vetor com os coeficientes originais dessas variáveis, • identificar os valores das células da matriz inversa na solução ótima e • multiplicar o vetor com os coeficientes (na ordem em que as variáveis aparecem na base) pela matriz inversa. Determinação dos valores ótimos das variáveis duais Base x1 x2 x3 s1 3 5 −1 5 7 5 29 5 2 5 1 5 z 0 0 x2 0 1 x1 1 0 −2 5 r1 LD +M 274 5 12 5 26 5 −1 5 2 5 Variáveis na base da solução ótima: x2 e x1 (nessa ordem). Determinação dos valores ótimos das variáveis duais Outra forma de calcular é: • identificar as variáveis básicas da solução ótima, • identificar o vetor com os coeficientes originais dessas variáveis, • identificar os valores das células da matriz inversa na solução ótima e • multiplicar o vetor com os coeficientes (na ordem em que as variáveis aparecem na base) pela matriz inversa. Determinação dos valores ótimos das variáveis duais Base x1 x2 x3 s1 r1 LD z 5 12 4 0 −M 0 s1 1 2 1 1 0 10 r1 2 −1 3 0 1 8 Variáveis na base da solução ótima: x2 e x1 (nessa ordem). Coeficientes originais de x2 e x1 : (12 5). Determinação dos valores ótimos das variáveis duais Outra forma de calcular é: • identificar as variáveis básicas da solução ótima, • identificar o vetor com os coeficientes originais dessas variáveis, • identificar os valores das células da matriz inversa na solução ótima e • multiplicar o vetor com os coeficientes (na ordem em que as variáveis aparecem na base) pela matriz inversa. Determinação dos valores ótimos das variáveis duais Base x1 x2 x3 s1 3 5 −1 5 7 5 29 5 2 5 1 5 z 0 0 x2 0 1 x1 1 0 −2 5 r1 LD +M 274 5 12 5 26 5 −1 5 2 5 Variáveis na base da solução ótima: x2 e x1 (nessa ordem). Coeficientes originais de x2 e x1 : (12 5). Determinação dos valores ótimos das variáveis duais Outra forma de calcular é: • identificar as variáveis básicas da solução ótima, • identificar o vetor com os coeficientes originais dessas variáveis, • identificar os valores das células da matriz inversa na solução ótima e • multiplicar o vetor com os coeficientes (na ordem em que as variáveis aparecem na base) pela matriz inversa. y1 y2 ! = 12 5 2 5 1 5 −1 5 2 5 ! = 29 5 −2 5 ! Cálculo da coluna de restrições em qualquer iteração Em qualquer iteração do simplex, a i-ésima coluna do lado direito ou a coluna do lado esquerdo pode ser calculada da seguinte forma: • identificar a respectiva coluna no problema original, • calcular a matriz inversa da iteração i, • multiplicar a matriz inversa da iteração i pelo vetor com os coeficientes da i-ésima coluna na matriz original. Cálculo da coluna de restrições em qualquer iteração Vamos calcular as colunas da matriz da solução ótima: Base x1 x2 x3 s1 r1 LD z 5 12 4 0 −M 0 s1 1 2 1 1 0 10 r1 2 −1 3 0 1 8 Cálculo da coluna de restrições em qualquer iteração Em qualquer iteração do simplex, a i-ésima coluna do lado direito ou a coluna do lado esquerdo pode ser calculada da seguinte forma: • identificar a respectiva coluna no problema original, • calcular a matriz inversa da iteração i, • multiplicar a matriz inversa da iteração i pelo vetor com os coeficientes da i-ésima coluna na matriz original. Cálculo da coluna de restrições em qualquer iteração Primeira coluna na matriz original: Base x1 x2 x3 s1 r1 LD z 5 12 4 0 −M 0 s1 1 2 1 1 0 10 r1 2 −1 3 0 1 8 Cálculo da coluna de restrições em qualquer iteração Em qualquer iteração do simplex, a i-ésima coluna do lado direito ou a coluna do lado esquerdo pode ser calculada da seguinte forma: • identificar a respectiva coluna no problema original, • calcular a matriz inversa da iteração i, • multiplicar a matriz inversa da iteração i pelo vetor com os coeficientes da i-ésima coluna na matriz original. Cálculo da coluna de restrições em qualquer iteração Como estamos calculando as colunas da solução ótima, usaremos a matriz inversa da solução ótima: Base x1 x2 x3 s1 3 5 −1 5 7 5 29 5 2 5 1 5 z 0 0 x2 0 1 x1 1 0 −2 5 r1 LD +M 274 5 12 5 26 5 −1 5 2 5 Cálculo da coluna de restrições em qualquer iteração Em qualquer iteração do simplex, a i-ésima coluna do lado direito ou a coluna do lado esquerdo pode ser calculada da seguinte forma: • identificar a respectiva coluna no problema original, • calcular a matriz inversa da iteração i, • multiplicar a matriz inversa da iteração i pelo vetor com os coeficientes da i-ésima coluna na matriz original. 2 5 1 5 −1 5 2 5 ! 1 2 ! = 0 1 ! Cálculo da coluna de restrições em qualquer iteração Base x1 x2 x3 s1 3 5 −1 5 7 5 29 5 2 5 1 5 z 0 0 x2 0 1 x1 1 0 −2 5 r1 LD +M 274 5 12 5 26 5 −1 5 2 5 Cálculo da coluna de restrições em qualquer iteração Em qualquer iteração do simplex, a i-ésima coluna do lado direito ou a coluna do lado esquerdo pode ser calculada da seguinte forma: • identificar a respectiva coluna no problema original, • calcular a matriz inversa da iteração i, • multiplicar a matriz inversa da iteração i pelo vetor com os coeficientes da i-ésima coluna na matriz original. Cálculo da coluna de restrições em qualquer iteração Segunda coluna na matriz original: Base x1 x2 x3 s1 r1 LD z 5 12 4 0 −M 0 s1 1 2 1 1 0 10 r1 2 −1 3 0 1 8 Cálculo da coluna de restrições em qualquer iteração Em qualquer iteração do simplex, a i-ésima coluna do lado direito ou a coluna do lado esquerdo pode ser calculada da seguinte forma: • identificar a respectiva coluna no problema original, • calcular a matriz inversa da iteração i, • multiplicar a matriz inversa da iteração i pelo vetor com os coeficientes da i-ésima coluna na matriz original. Cálculo da coluna de restrições em qualquer iteração Como estamos calculando as colunas da solução ótima, usaremos a matriz inversa da solução ótima: Base x1 x2 x3 s1 3 5 −1 5 7 5 29 5 2 5 1 5 z 0 0 x2 0 1 x1 1 0 −2 5 r1 LD +M 274 5 12 5 26 5 −1 5 2 5 Cálculo da coluna de restrições em qualquer iteração Em qualquer iteração do simplex, a i-ésima coluna do lado direito ou a coluna do lado esquerdo pode ser calculada da seguinte forma: • identificar a respectiva coluna no problema original, • calcular a matriz inversa da iteração i, • multiplicar a matriz inversa da iteração i pelo vetor com os coeficientes da i-ésima coluna na matriz original. 2 5 1 5 −1 5 2 5 ! 2 −1 ! = 1 0 ! Cálculo da coluna de restrições em qualquer iteração Base x1 x2 x3 s1 3 5 −1 5 7 5 29 5 2 5 1 5 z 0 0 x2 0 1 x1 1 0 −2 5 r1 LD +M 274 5 12 5 26 5 −1 5 2 5 Cálculo da coluna de restrições em qualquer iteração Em qualquer iteração do simplex, a i-ésima coluna do lado direito ou a coluna do lado esquerdo pode ser calculada da seguinte forma: • identificar a respectiva coluna no problema original, • calcular a matriz inversa da iteração i, • multiplicar a matriz inversa da iteração i pelo vetor com os coeficientes da i-ésima coluna na matriz original. Cálculo da coluna de restrições em qualquer iteração Terceira coluna na matriz original: Base x1 x2 x3 s1 r1 LD z 5 12 4 0 −M 0 s1 1 2 1 1 0 10 r1 2 −1 3 0 1 8 Cálculo da coluna de restrições em qualquer iteração Em qualquer iteração do simplex, a i-ésima coluna do lado direito ou a coluna do lado esquerdo pode ser calculada da seguinte forma: • identificar a respectiva coluna no problema original, • calcular a matriz inversa da iteração i, • multiplicar a matriz inversa da iteração i pelo vetor com os coeficientes da i-ésima coluna na matriz original. Cálculo da coluna de restrições em qualquer iteração Como estamos calculando as colunas da solução ótima, usaremos a matriz inversa da solução ótima: Base x1 x2 x3 s1 3 5 −1 5 7 5 29 5 2 5 1 5 z 0 0 x2 0 1 x1 1 0 −2 5 r1 LD +M 274 5 12 5 26 5 −1 5 2 5 Cálculo da coluna de restrições em qualquer iteração Em qualquer iteração do simplex, a i-ésima coluna do lado direito ou a coluna do lado esquerdo pode ser calculada da seguinte forma: • identificar a respectiva coluna no problema original, • calcular a matriz inversa da iteração i, • multiplicar a matriz inversa da iteração i pelo vetor com os coeficientes da i-ésima coluna na matriz original. 2 5 1 5 −1 5 2 5 ! 1 3 ! = −1 5 7 5 ! Cálculo da coluna de restrições em qualquer iteração Base x1 x2 x3 s1 3 5 −1 5 7 5 29 5 2 5 1 5 z 0 0 x2 0 1 x1 1 0 −2 5 r1 LD +M 274 5 12 5 26 5 −1 5 2 5 Cálculo da coluna de restrições em qualquer iteração Em qualquer iteração do simplex, a i-ésima coluna do lado direito ou a coluna do lado esquerdo pode ser calculada da seguinte forma: • identificar a respectiva coluna no problema original, • calcular a matriz inversa da iteração i, • multiplicar a matriz inversa da iteração i pelo vetor com os coeficientes da i-ésima coluna na matriz original. Cálculo da coluna de restrições em qualquer iteração Segunda coluna na matriz original: Base x1 x2 x3 s1 r1 LD z 5 12 4 0 −M 0 s1 1 2 1 1 0 10 r1 2 −1 3 0 1 8 Cálculo da coluna de restrições em qualquer iteração Em qualquer iteração do simplex, a i-ésima coluna do lado direito ou a coluna do lado esquerdo pode ser calculada da seguinte forma: • identificar a respectiva coluna no problema original, • calcular a matriz inversa da iteração i, • multiplicar a matriz inversa da iteração i pelo vetor com os coeficientes da i-ésima coluna na matriz original. Cálculo da coluna de restrições em qualquer iteração Como estamos calculando as colunas da solução ótima, usaremos a matriz inversa da solução ótima: Base x1 x2 x3 s1 3 5 −1 5 7 5 29 5 2 5 1 5 z 0 0 x2 0 1 x1 1 0 −2 5 r1 LD +M 274 5 12 5 26 5 −1 5 2 5 Cálculo da coluna de restrições em qualquer iteração Em qualquer iteração do simplex, a i-ésima coluna do lado direito ou a coluna do lado esquerdo pode ser calculada da seguinte forma: • identificar a respectiva coluna no problema original, • calcular a matriz inversa da iteração i, • multiplicar a matriz inversa da iteração i pelo vetor com os coeficientes da i-ésima coluna na matriz original. 2 5 1 5 −1 5 2 5 ! 10 8 ! = 12 5 26 5 ! Cálculo da coluna de restrições em qualquer iteração Base x1 x2 x3 s1 3 5 −1 5 7 5 29 5 2 5 1 5 z 0 0 x2 0 1 x1 1 0 −2 5 r1 LD +M 274 5 12 5 26 5 −1 5 2 5 Cálculo da coluna de restrições em qualquer iteração Considerando que para calcular todas as colunas da tabela simplex da solução ótima, basta ter a matriz inversa dessa tabela, a pergunta é: O que é preciso conhecer para calcular a matriz inversa de uma iteração? Cálculo da coluna de restrições em qualquer iteração O que é preciso conhecer para calcular a matriz inversa de uma iteração? • quem entra na base na iteração anterior (coeficientes da função objetivo); • quem sai da base (coeficientes das colunas pivô e do lado direito); • matriz inversa da interação anterior; É possı́vel diminuir o custo computacional do simplex que vimos nas aulas? Cálculo dos coeficientes da função objetivo em qualquer iteração Para calcular o i-ésimo coeficiente da função objetivo em qualquer restrição: • identificar a i-ésima coluna no problema Primal original, • utilizar a coluna identificada como sendo a i-ésima restrição do Dual, incluindo o lado direito e colocado-o à esquerda, • computar os valores das variáveis do dual na iteração correspondente, • substituir os valores computados das variáveis na i-ésima restrição do dual. Cálculo dos coeficientes da função objetivo em qualquer iteração Vamos calcular os coeficientes da função objetivo na solução ótima: Base x1 x2 x3 s1 r1 LD z 5 12 4 0 −M 0 s1 1 2 1 1 0 10 r1 2 −1 3 0 1 8 Cálculo dos coeficientes da função objetivo em qualquer iteração Para calcular o i-ésimo coeficiente da função objetivo em qualquer restrição: • identificar a i-ésima coluna no problema Primal original, • utilizar a coluna identificada como sendo a i-ésima restrição do Dual, incluindo o lado direito e colocado-o à esquerda, • computar os valores das variáveis do dual na iteração correspondente, • substituir os valores computados das variáveis na i-ésima restrição do dual. Cálculo dos coeficientes da função objetivo em qualquer iteração Calculando o primeiro coeficiente da função objetivo na solução ótima: Base x1 x2 x3 s1 r1 LD z 5 12 4 0 −M 0 s1 1 2 1 1 0 10 r1 2 −1 3 0 1 8 Cálculo dos coeficientes da função objetivo em qualquer iteração Para calcular o i-ésimo coeficiente da função objetivo em qualquer restrição: • identificar a i-ésima coluna no problema Primal original, • utilizar a coluna identificada como sendo a i-ésima restrição do Dual, incluindo o lado direito e colocado-o à esquerda, • computar os valores das variáveis do dual na iteração correspondente, • substituir os valores computados das variáveis na i-ésima restrição do dual. 1y1 + 2y2 = 5 1y1 + 2y2 − 5 Cálculo dos coeficientes da função objetivo em qualquer iteração Para calcular o i-ésimo coeficiente da função objetivo em qualquer restrição: • identificar a i-ésima coluna no problema Primal original, • utilizar a coluna identificada como sendo a i-ésima restrição do Dual, incluindo o lado direito e colocado-o à esquerda, • computar os valores das variáveis do dual na iteração correspondente, • substituir os valores computados das variáveis na i-ésima restrição do dual. Cálculo dos coeficientes da função objetivo em qualquer iteração Base x1 x2 x3 s1 3 5 −1 5 7 5 29 5 2 5 1 5 z 0 0 x2 0 1 x1 1 0 −2 5 r1 LD +M 274 5 12 5 26 5 −1 5 2 5 No caso, já foram computados, são os valores de y1 e y2 na −2 solução ótima do dual: y1 = 29 5 e y2 = 5 . E se não fosse da solução ótima? Cálculo dos coeficientes da função objetivo em qualquer iteração Base x1 x2 x3 s1 3 5 −1 5 7 5 29 5 2 5 1 5 z 0 0 x2 0 1 x1 1 0 −2 5 r1 LD +M 274 5 12 5 26 5 −1 5 2 5 No caso, já foram computados, são os valores de y1 e y2 na −2 solução ótima do dual: y1 = 29 5 e y2 = 5 . E se não fosse da solução ótima? Determinação dos valores ótimos das variáveis duais As variáveis do Dual na i-ésima iteração podem ser calculadas: • identificar as variáveis básicas da solução primal, • identificar o vetor com os coeficientes originais dessas variáveis, • identificar os valores das células da matriz inversa na solução e • multiplicar o vetor com os coeficientes (na ordem em que as variáveis aparecem na base) pela matriz inversa. Cálculo dos coeficientes da função objetivo em qualquer iteração Para calcular o i-ésimo coeficiente da função objetivo em qualquer restrição: • identificar a i-ésima coluna no problema Primal original, • utilizar a coluna identificada como sendo a i-ésima restrição do Dual, incluindo o lado direito e colocado-o à esquerda, • computar os valores das variáveis do dual na iteração correspondente, • substituir os valores computados das variáveis na i-ésima restrição do dual. 1y1 + 2y2 − 5 = 1 29 −2 +2 −5=0 5 5 Cálculo dos coeficientes da função objetivo em qualquer iteração Calculando o primeiro coeficiente da função objetivo na solução ótima: Base x1 x2 x3 s1 3 5 −1 5 7 5 29 5 2 5 1 5 z 0 0 x2 0 1 x1 1 0 1y1 + 2y2 − 5 = 1 −2 5 r1 LD +M 274 5 12 5 26 5 −1 5 2 5 29 −2 +2 −5=0 5 5 Cálculo dos coeficientes da função objetivo em qualquer iteração Calculando o segundo coeficiente da função objetivo na solução ótima: Base x1 x2 x3 s1 r1 LD z 5 12 4 0 −M 0 s1 1 2 1 1 0 10 r1 2 −1 3 0 1 8 2y1 − 1y2 − 12 Cálculo dos coeficientes da função objetivo em qualquer iteração Calculando o segundo coeficiente da função objetivo na solução ótima: Base x1 x2 x3 s1 3 5 −1 5 7 5 29 5 2 5 1 5 z 0 0 x2 0 1 x1 1 0 2y1 − 1y2 − 12 = 2 −2 5 r1 LD +M 274 5 12 5 26 5 −1 5 2 5 29 −2 − ( ) − 12 = 0 5 5 Cálculo dos coeficientes da função objetivo em qualquer iteração Calculando o terceiro coeficiente da função objetivo na solução ótima: Base x1 x2 x3 s1 r1 LD z 5 12 4 0 −M 0 s1 1 2 1 1 0 10 r1 2 −1 3 0 1 8 1y1 + 3y2 − 4 Cálculo dos coeficientes da função objetivo em qualquer iteração Calculando o terceiro coeficiente da função objetivo na solução ótima: Base x1 x2 x3 s1 3 5 −1 5 7 5 29 5 2 5 1 5 z 0 0 x2 0 1 x1 1 0 1y1 + 3y2 − 4 = 1 −2 5 r1 LD +M 274 5 12 5 26 5 −1 5 2 5 29 −2 3 + 3( ) − 4 = 5 5 5 Cálculo dos coeficientes da função objetivo em qualquer iteração Calculando o quarto coeficiente da função objetivo na solução ótima: Base x1 x2 x3 s1 r1 LD z 5 12 4 0 −M 0 s1 1 2 1 1 0 10 r1 2 −1 3 0 1 8 1y1 + 0y2 − 0 = 29 5 Cálculo dos coeficientes da função objetivo em qualquer iteração Calculando o quarto coeficiente da função objetivo na solução ótima: Base x1 x2 x3 s1 3 5 −1 5 7 5 29 5 2 5 1 5 z 0 0 x2 0 1 x1 1 0 1y1 + 0y2 − 0 = −2 5 r1 LD +M 274 5 12 5 26 5 −1 5 2 5 29 5 Cálculo dos coeficientes da função objetivo em qualquer iteração Calculando o quinto coeficiente da função objetivo na solução ótima: Base x1 x2 x3 s1 r1 LD z 5 12 4 0 −M 0 s1 1 2 1 1 0 10 r1 2 −1 3 0 1 8 0y1 + 1y2 + M = −2 +M 5 Cálculo dos coeficientes da função objetivo em qualquer iteração Calculando o quinto coeficiente da função objetivo na solução ótima: Base x1 x2 x3 s1 3 5 −1 5 7 5 29 5 2 5 1 5 z 0 0 x2 0 1 x1 1 0 0y1 + 1y2 + M = −2 5 r1 LD +M 274 5 12 5 26 5 −1 5 2 5 −2 +M 5
