Lista 01 - Física na Unifei Itabira

UNIFEI-Campus Itabira
Eletromagnetismo
Lista de Exercicios #1
** Prof. Dr. Miguel Tafur **
Livro de referencia: Fı́sica III: Eletromagnetismo. R. Resnick e D. Halliday
1
Carga Elétrica e Lei de Coulomb
Questão 1.1: Três partı́culas carregadas repousam em uma linha reta e são separadas pela distância d. As
cargas q1 e q2 são mantidas fixas. A carga q3 , que é livre para mover-se, está em equilı́brio sobre a ação das
forças elétricas. Ache q1 em função de q2 .
Questão 1.2: Um cubo de lado a possui uma carga pontual q em cada canto. Mostre que a força elétrica
resultante sobre qualquer das cargas está na diagonal do cubo e sentido para fora do cubo e é dada por:
F =
0, 262q 2
ε0 a2
Questão 1.3: Ache a força em uma carga pontual positiva q posicionada a uma distância x do fim de um bastão
de comprimento L com cargas positivas uniformemente distribuı́das Q, ver Figura-1-a.
Questão 1.4: Considere o bastão e a carga q0 , ver Figura-1-c. Onde pode ser posta uma segunda carga pontual
q (igual à carga no bastão) de tal forma que q0 esteja em equilı́brio (não considere a gravidade). Resolva esse
problema supondo que (a) q é positivo, (b) q é negativo e (c) mostre que o equilı́brio de q0 é instável.
Questão 1.5: Suponha que o bastão da Figura-1-c tenha uma densidade uniforme de cargas positivas λ na
metade superior do bastão e densidade uniforme de cargas negativas −λ na metade inferior do bastão. Ache a
força resultante na carga pontual q0 .
Questão 1.6: Uma carga Q é fixada em cada um de dois cantos opostos de um quadrado. A carga q é posicionada
em cada um dos outros dois cantos opostos do quadrado. (a) Se a resultante da força elétrica em Q é zero, como
Q relaciona-se com q. (b) Poderia q ser escolhida para fazer com que a resultante das forças elétricas em cada
carga seja nula.
Questão 1.7: Duas bolas minúsculas, similares, de massa m estão penduradas por fios de seda de comprimento
L e possuem cargas iguais q, ver Figura-1-b. Suponha que θ é tão pequeno que tan θ pode ser assumido ser
aproximadamente igual a sin θ. Para esta aproximação é mostrado que, para o equilı́brio:
x=(
q 2 L 1/3
)
2πε0 mg
Questão 1.8: Uma certa carga Q está para ser dividida em duas partes, Q − q e q. Qual a relação de Q com q
se estas duas partes, postas com uma dada separação, teriam a máxima repulsão de Coulomb.
Questão 1.9: Duas cargas positivas +Q são mantidas fixadas a uma distância d de separação. Uma partı́cula
com carga −q e massa m é posicionada a maio caminho das cargas, então, é dado à partı́cula um pequeno
deslocamento perpendicular a uma linha hipotética que liga as cargas e depois é liberada. Mostre que a partı́cula
descreve um movimento harmônico simples de perı́odo:
T =(
ε0 mπ 2 d3 1/2
)
qQ
1
Questão 1.10: Duas cargas pontuais com carga q são mantidas separadas por uma distância de 2a. Uma carga
de teste é posicionada em um plano que é normal a uma linha imaginária que liga estas cargas e a meia distância
entre estas. Determine o raio R de um cı́rculo nesse plano no qual a força sobre a partı́cula de teste tem o valor
máximo. Ver Figura-1-d.
2
Campo Elétrico
Questão 2.1: O mostrador de um relógio tem cargas pontuais negativas −q, −2q, −3q, . . . , −12q fixas nas
posições correspondentes aos numerais. Os ponteiros do relógio não perturbam o campo. A que horas o ponteiro
de horas aponta na mesma direção e mesmo sentido do campo elétrico existente no centro do mostrador.
Questão 2.2: Um tipo de quadripolo elétrico é formado por quatro cargas localizadas nos vértices de um
quadrado de lado 2a. O ponto P esta a uma distância x do centro do quadripolo e sobre uma linha paralela aos
dois lados do quadrado. Para x a, mostre que o campo elétrico em P é dado aproximadamente por: (Dica:
Trate o quadripolo como dois dipolos)
3(2qa2 )
E=
2πε0 x4
Questão 2.3: Uma fina haste de vidro é dobrada em um semi-cı́rculo de raio r. Uma carga +q é uniformemente
distribuı́da ao longo da metade superior e uma carga −q é uniformemente distribuı́da ao longo da metade inferior.
~ em P, o centro do semi-cı́rculo.
Determine o campo elétrico E
Questão 2.4: Uma haste isoladora de comprimento L tem carga −q distribuı́da uniformemente ao longo do seu
comprimento. Determine o campo elétrico no ponto P, que esta a uma distância a da extremidade da haste,
~
faça a seguinte aproximação a L e calcule E.
~ é estabelecido no espaço entre duas grandes placas paralelas.
Questão 2.5: Um campo uniforme vertical E
Uma pequena esfera condutora de massa m é suspensa dentro do campo através de um fio de comprimento L.
Determine o perı́odo deste pêndulo quando é dada à esfera uma carga +q, se a placa inferior (a) está carregada
positivamente e (b) está carregada negativamente.
~ devidos a um dipolo são dados, para pontos distantes, por:
Questão 2.6: Mostre que os componentes de E
Ex =
1
3pxz
,
4πε0 (x2 + z 2 )5/2
Ez =
1 p(2z 2 − x2 )
4πε0 (x2 + z 2 )5/2
onde x e z são as coordenadas do ponto P na Figura-2-a.
Questão 2.7: A Figura-2-b mostra um tipo de quadripolo elétrico. Ele consiste de dois dipolos cujos efeitos em
pontos externos não se cancelam totalmente. Mostre que o valor de E sobre o eixo do quadripolo para pontos a
uma distância z do seu centro (supondo z d é dado por:
E=
3Q
,
4πε0 z 4
onde Q = 2qd2 é chamado do momento de quadripolo da distribuição de carga.
Questão 2.8: Uma haste ”semi-infinita”isoladora, ver Figura-2-c, tem uma carga constante por unidade de
comprimento λ. Mostre que o campo elétrico no ponto P faz um ângulo de π/4 com a haste e que este resultado
é independente da distancia R.
Questão 2.9: Uma taça hemisférica não condutora de raio interno R tem uma carga total q distribuı́da uniformemente ao longo da sua superfı́cie interna. Determine o campo elétrico no centro de curvatura.
Questão 2.10: Um elétron é forçado a se mover ao longo do eixo de um anel carregado. Mostre que o elétron
pode desenvolver pequenas oscilações, através do centro do anel com uma freqüência dada por:
r
eq
w=
4πε0 mR3
2
3
Lei de Gauss
Questão 3.1: Uma carga pontual +q está d/2 distante de uma superfı́cie quadrada com lado d e está exatamente
acima do centro do quadrado, ver Figura-3-a. Determine o fluxo elétrico através do quadrado.
Questão 3.2: Uma carga pontual q está posicionada em um dos vértices de um cubo de aresta a. Qual é o
fluxo através de cada uma das faces desta.
Questão 3.3: Duas laminas finas, grandes e não condutoras, com cargas positivas, estão frente a frente conforme
~ em pontos (a) à esquerda das lâminas, (b) entre as lâminas, e (c)
indicado na Figura-3-b. Qual é o campo E
à direita das lâminas. Considere a mesma densidade superficial de carga para cada lâmina. Considere apenas
pontos que não estejam próximos das bordas e cuja distância até as lâminas seja pequena em comparação com
as dimensões desta.
Questão 3.4: Duas grandes placas metálicas carregadas estão frente a frente, ver Figura-3-c, com densidade de
~ em pontos (a) à esquerda das lâminas, (b)
carga superficial +σ e −σ em suas superfı́cies internas. Determine E
entre as lâminas, e (c) à direita das lâminas. Considere apenas pontos que não estejam próximos das bordas e
cuja distância até as lâminas seja pequena em comparação com as dimensões desta.
Questão 3.5: Uma longa casca cilı́ndrica não condutora, com raio interno R e raio externo 2R, recebe carga
uniformemente distribuı́da em toda a sua extensão. Em que posição radial abaixo da superfı́cie externa com
carga distribuı́da, a intensidade do campo elétrico será igual à metade da intensidade do campo elétrico na
superfı́cie.
Questão 3.6: Um cilindro infinitamente longo com raio R é carregado uniformemente em todo a sua extensão.
(a) Mostre que E a uma distância r do eixo do cilindro (r < R) é dado pela expressão:
E=
ρr
eε0
onde ρ é a densidade de carga volumétrica.
Questão 3.7: Uma pequena esfera de massa m tem uma carga q. A esfera pende no campo gravitacional da
Terra de uma linha de seda, fazendo um ângulo θ com uma lâmina grande, não condutora e uniformemente
carregada, ver Figura-3-d. Calcule a densidade de carga uniforme σ para a lâmina.
Questão 3.8: Um cilindro condutor muito longo (comprimento L) com carga resultante +q é envolvido por
uma casca cilı́ndrica condutora, com carga resultante −2q, ver Figura-3-d. Use a lei de Gauss para calcular (a)
o campo elétrico em pontos no exterior da casca condutora, (b) a distribuição de carga na casca condutora, e (c)
o campo elétrica na região entre os cilindros.
Questão 3.9: A Figura-4-a apresenta uma carga +q na forma de uma esfera condutora uniforme de raio a.
localizada no centro de uma casca esférica condutora, com raio interno b e raio externo c. A casca externa está
carregada com −q. Determine E(r) nas posições (a) no interior da esfera (r < a), (b) entre a esfera e a casca
(a < r < b), (c) no interior da casca (b < r < c), e (d) no exterior da casca (r > c).
Questão 3.10: Uma grande superfı́cie plana e não condutora tem densidade de carga, σ, uniforme. Foi feito um
pequeno furo circular de raio R, no centro da superfı́cie, ver Figura-4-b. Desprezando-se as distorções nas linhas
de campo elétrico nas proximidades de todas as arestas, calcule o campo elétrico no ponto P a uma distância z
do centro do furo e sobre o seu eixo (normal ao plano da superfı́cie).
Questão 3.11: A Figura-4-c mostra uma seção transversal de dois cilindros finos, longos e concêntricos, com
raios a e b. Os cilindros têm cargas por unidade de comprimento, λ, iguais e de sentidos opostos. Prove, usando
a lei de Gauss, que (a) E = 0 para r < a e (b) que entre os dois cilindros E é dado pela expressão:
E=
1 λ
2πε0 r
Questão 3.12: Uma casca esférica metálica, fina, descarregada tem em seu interior uma carga pontual q.
Usando a lei de Gauss, determine as expressões para o campo elétrico (a) no interior da casca e (b) no exterior
da casca. (c) A casca influência de alguma maneira o campo gerado por q. (d) A presença de q influência de
alguma forma a casca.
Questão 3.13: A região esférica a < r, b tem carga por unidade de volume ρ = Ar−1 onde A é uma constante.
No centro (r = 0) da cavidade envolvida pela esfera, existe uma carga pontual q. Qual deveria ser o valor de A
para que o campo elétrico na região a < r < b tenha intensidade constante.
3
Questão 3.14: Uma placa plana de espessura d tem uma densidade de carga volumétrica uniforme ρ. Determine
a intensidade do campo elétrico em todos os pontos no espaço (a) no interior e (b) no exterior da placa, em
termos de x, a distancia medida do plano médio da placa.
Questão 3.15: Uma esfera maciça, não condutora, de raio R tem densidade de carga não uniformemente
distribuı́da, ρ = ρs r/R, onde ρs é uma constante e r é a distância até o centro da esfera. Mostre que (a) a carga
resultante na esfera é Q = πρs R3 e (b) o campo elétrico no interior da esfera é dado por:
E=
1 Q 2
r
4πε0 R4
Questão 3.16: Uma esfera condutora com carga Q é envolvida por uma casca esférica condutora. (a) Qual a
carga resultante na superfı́cie interna da casca. (b) Uma outra carga q é colocada no exterior da casca. Agora,
(c) qual a carga resultante sobre a superfı́cie interna da casca. (d) Se q é deslocada para uma posição entre a
casca e a esfera, qual a carga resultante sobre a superfı́cie interna da casca.
4
Energia Potencial Elétrica e Potencial Elétrico
Questão 4.1: Uma partı́cula com carga q é mantida em uma posição fixa no ponto P e uma segunda partı́cula
de massa m, tendo a mesma carga q, é inicialmente mantida em repouso a uma distância r1 de P. A segunda
partı́cula é então liberada e é repelida pela primeira. Determine sua velocidade no instante que está a uma
distância r2 de P.
Questão 4.2: É suposto que uma partı́cula de carga Q tenha uma posição fixa em P. Uma segunda partı́cula
de massa m e com carga −q desloca-se a uma velocidade constante em um circulo de raio r1 com centro em
P. Obtenha uma expressão para o trabalho W que deve ser realizado por um agente externo sobre a segunda
partı́cula para crescer o raio do circulo de movimento, centrado em P, para r2 .
Questão 4.3: O campo elétrico de uma esfera não condutora de raio R, contendo uma densidade uniforme de
carga, está radialmente dirigida e tem a intensidade :
E=
qr
4πε0 R3
onde q é a carga total sobre a esfera e r é a distância a partir do centro da esfera. (a) Encontre o potencial V
dentro da esfera, supondo que V = 0 quando r = 0. (b) Qual a diferença no potencial elétrico entre um ponto
sobre a superfı́cie e o centro da esfera. Se q é positivo, qual ponto tem o maior potencial. (c) Mostre que o
potencial na distância r a partir do centro onde r < R, é dada por:
V =
q(3R2 − r2 )
8πε0 R3
onde o potencial zero é adotado para r = ∞. Por que este resultado difere daquele da parte (a).
Questão 4.4: Uma partı́cula de massa m, com carga q > 0 e com energia cinética inicial K é arremessada (de
uma separação infinita) em direção ao núcleo pesado de carga Q, que é suposto ter uma posição fixa segundo
o sistema de referência adotado. Se a pontaria for ”perfeita”, quão perto do centro do núcleo estará a partı́cula
quando esta atingir instantâneamente o repouso.
Questão 4.5: A Figura- mostra, em corte, uma placa fina ”infinita”de densidade de carga σ. (a) Quanto trabalho
é realizado pelo campo elétrico da placa fina à medida que uma pequena carga de teste positiva q0 é deslocada
da sua posição inicial sobre a superfı́cie da placa fina para uma posição final a uma distância z perpendicular
à superfı́cie. (b) Utilize o resultado anterior para mostrar que o potencial elétrico de uma superfı́cie infinita de
carga pode ser escrita:
σ
V = V0 −
z
2ε0
onde V0 é o potencial da superfı́cie da placa fina.
Questão 4.6: A quantidade total de carga positiva Q é espalhada em um anel circular não-condutor, plano,
com raio interno a e raio externo b. A carga é distribuı́da de tal forma que a densidade de carga é dada por
4
σ = kr−3 , onde r é a distância do centro do anel até qualquer ponto sobre ele. Mostre que (com V = 0 no
infinito) o potencial no centro do anel é dado por;
V =
Q a+b
(
)
8πε0 ab
Questão 4.7: Para a configuração de carga da Figura-, mostre que V (r) para os pontos sobre o eixo vertical,
supondo r d, é dado por:
1 q
2d
V =
( )(1 + )
4πε0 r
r
(Sugestão: A configuração de carga pode ser vista como a soma de uma carga isolada e um dipolo.) Suponha
V = 0 no infinito.
Questão 4.8: A carga por unidade de comprimento λ é distribuı́da uniformemente ao longo de um bastão
delgado de comprimento L. (a) Determine o potencial (escolhendo zero no infinito) no ponto P a uma distância
y de uma das pontas do bastão em linha com ele, ver Figura-. (b) Utilize o resultado anterior para calcular a
componente do campo elétrico em P na direção y (ao longo do bastão). (c) Determine a componente do campo
elétrico em P na direção perpendicular ao bastão.
Questão 4.9: Sobre um bastão delgado de comprimento L posicionado ao longo do eixo x com uma ponta na
origem (x = 0), ver Figura; existe uma carga distribuı́da por unidade de comprimento dada por λ = kr, onde k
é uma constante e r é a distância a partir da origem. (a) Supondo que o potencial eletrostático no infinito seja
nulo, ache V no ponto P sobre o eixo y. (b) Determine a componente vertical, Ey , do campo elétrico em P a
partir do resultado da parte (a) e ainda por calculo direto. (c) Por que Ex , a componente horizontal do campo
elétrico em P, não pode ser achada utilizando-se o resultado da parte (a). (d) A que distância a partir do bastão
ao longo do eixo y o potencial é igual à metade do valor do lado esquerdo o bastão.
Questão 4.10: Considere uma casca esférica delgada condutora, isolada, que é uniformemente carregada com
uma densidade de carga constante σ. Quanto trabalho é necessário para mover uma pequena carga de teste
positiva q0 (a) da superfı́cie da casca para o seu interior, através de um pequeno furo; (b) de um ponto para o
outro sobre a mesma superfı́cie, não importando qual caminho; (c) de um ponto ao outro ambos dentro da casca;
e (d) de qualquer ponto P no exterior da casca por qualquer caminho, furando ou não a casca, de volta para P.
5
Capacitores e Dieléctricos
Questão Q9.14; Questão 9.6; Questão 9.8; Questão 9.22; Questão 9.38; Questão 9.39; Questão 9.40; Questão 9.48;
Questão 9.50; Questão 9.51; Questão 9.54; Questão 9.55; Questão 9.57; Questão 9.59; Questão 9.60; Questão
9.61; Questão 9.62; Questão 9.63; Questão 9.70, Questão 9.73; Questão 9.78; Questão 9.80; Questão 9.81;
Questão 9.82; Questão 9.84; Questão 9.85; Questão 9.87; Questão 9.90; Questão 9.93; Questão 9.94; Questão
9.96; Questão 9.97; Questão 9.100; Questão 9.101.
6
Corrente e Resistência Elétrica
Questão 10.21; Questão 10.24; Questão 10.26; Questão 10.46; Questão 10.59; Questão 10.61, Questão 10.69;
Questão 10.70; Questão 10.71; Questão 10.74; Questão 10.76; Questão 10.81; Questão 10.83; Questão 10.87;
Questão 10.94; Questão 10.95; Questão 10.100; Questão 10.103.
5
(a)
L
q
+
+ + + + + + + + + + + +
z
P
(a)
x
+q
θ θ
(b)
x
d
+
(c)
-q
+
+
L
+
-
x
P
q0
+
x
z
(b)
+q
d
+p
-q
-q
-p
d
(d)
+q
(c)
R
q
+ + + + + + + + + + + + +
q
a
a
R
P
Figura 1: Questão-1
(a)
Figura 2: Questão-1
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
(b)
q +
d/2
d
d
(c)
-
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
P
(d)
a
b
+q
+
+
+ θ
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
σ +
+
+
(b)
z
+q
+ + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + + + +
R
+ + + + + + + + + + + +
-2q
(e)
-q
(a)
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ + + + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + + + +
m,q
(c)
c
Figura 3: Questão-2
+
+ +
+
+
+ -+ - a + + - - +
+
+
+
+
+
+
b +
+
+
Figura 4: Questão-3
6