linha poligonal fechada

7º ANO
POLÍGONOS
TRIÂNGULOS E QUADRILÁTEROS
Polígonos
Nuno Marreiros
Antes de começar
Não é possível pois
uma circunferência
não é formada por
segmentos de reta.
Nem tudo o que
parece é …
Segmento de reta
Segmento de reta é a linha mais curta que une
dois pontos.
Notação:
O segmento de reta
representa-se por [CD].
Linha poligonal
Uma linha poligonal ou linha quebrada é aquela
que é formada por sucessivos segmentos de reta,
tendo, dois a dois apenas um extremo comum.
Linha poligonal fechada
Uma linha poligonal fechada é uma linha poligonal
cujos extremos coincidem.
Vamos praticar … Linha poligonal fechada
Exercício:
Das figuras que se seguem, indica as linhas
poligonais fechadas.
Polígonos
Chama-se polígono a toda a linha poligonal fechada simples, incluíndo
os pontos da região interna que essa linha determina.
As figuras a seguir são polígonos
As figuras a seguir não são polígonos
Elementos de um polígono
No polígono ABCDE temos que:
• Os segmentos AB, BC, CD, DE, EA
são os lados do polígono;
A
E
B
• Os pontos A, B, C, D, E são os vértices
do polígono;
• Os segmentos AC, AD, BD, BE, CE
são as diagonais do polígono;
D
C
ˆ CDE,
ˆ
ˆ BCD,
ˆ DEA,
ˆ EAB
• ABC,
são os ângulos internos
do polígono;
Nota:
Diagonal de um polígono é o segmento de
reta que une dois vértices não
consecutivos desse polígono.
Vamos praticar … Polígonos
Exercício:
Das figuras que se seguem, indica as que
representam polígonos.
Classificação de polígonos quanto aos lados e ângulos
 Regulares
São polígonos que têm os lados congruentes e os
ângulos também congruentes.
Triângulo equilátero
 Irregulares
São os que não são regulares.
Quadrado
Fronteira de um Polígono
A fronteira de um polígono é linha poligonal
fechada que separa o interior e o exterior de um
polígono.
Polígonos convexos e côncavos
Polígonos convexos
Polígonos côncavos
Um polígono diz-se convexo quando o
segmento de reta que une dois pontos
quaisquer da sua região interna está
sempre contido nela.
Um polígono diz-se côncavo
quando existem dois pontos da
sua região interna tais que o
segmento de reta por eles
determinado não está contido nela.
A
A
B
São polígonos convexos
B
São polígonos côncavos
Vamos praticar … Polígonos convexos e côncavos
MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental
Relação
interno
Soma dos
Ângulosentre
Internosos
deângulos
um Polígono
Convexoe
Qualquer
C
e3
i3
B
e2
i2
i1
A
e1
externo de um polígono
e4
Vértice A  i1 + e1 = 180°
D
i4
Vértice B  i2 + e2 = 180°
Vértice C  i3 + e3 = 180°
Vértice D  i4 + e4 = 180°
Em cada vértice, os ângulos interno e externo do polígono
são sempre adjacentes e suplementares (180º).
Soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo
Vamos demonstrar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é
180°.
A
m
a
n
r
Como r // BC, temos
m=b e n=c
(alternos internos)
b
B
c
C
Traçamos uma reta r, paralela ao lado BC, passando por A.
Essa paralela irá formar com os lados AB e AC dois ângulos cujas medidas indicamos por m
e n, respetivamente.
Como a + m + n = 180°
Conclui-se que
a + b + c = 180°
Sabendo que a soma das amplitudes dos ângulos internos de um
triângulo é 180º …
Vamos calcular a soma das amplitudes dos ângulos internos de um quadrilátero
qualquer.
I
II
Para isso, traçamos uma das diagonais do quadrilátero.
Essa diagonal decompõe o quadrilátero em dois triângulos.
A soma das amplitudes dos ângulos internos do triângulo I é 180°; e a soma das
amplitudes dos ângulos internos do triângulo II é 180°.
Portanto, podemos concluir que a soma das amplitudes dos ângulos internos do
quadrilátero é igual a 2 x 180° = 360°.
MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental
Sabendo
que
a soma
das
amplitudes
Soma
dos Ângulos
Internos
de um
Polígono
Convexo dos ângulos internos
Qualquer
triângulo é 180º …
de um
Vamos calcular a soma das medidas dos ângulos internos de um pentágono
qualquer.
I
II
III
Para isso, traçamos duas das diagonais do pentágono que partem do mesmo
vértice.
A soma das medidas dos ângulos internos do pentágono será igual à soma das
medidas dos ângulos internos dos triângulos I, II, e III, ou seja, 3 x 180° = 540°.
MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental
Sabendo
que
a soma
das
amplitudes
Soma
dos Ângulos
Internos
de um
Polígono
Convexo dos ângulos internos
Qualquer
triângulo é 180º …
de um
... Vamos generalizar:
S3 = 180° x 1
(3 – 2)
S4 = 180° x 2
(4 – 2)
Sabendo que a soma das amplitudes dos ângulos internos de um
triângulo é 180º …
... Vamos generalizar:
S5 = 180° x 3
(5 – 2)
S6 = 180° x 4
(6 – 2)
Sabendo que a soma das amplitudes dos ângulos internos de um
triângulo é 180º …
... Vamos generalizar:
A soma Si das medidas dos ângulos internos de um
polígono convexo qualquer de n lados é dada por:
Si = 180° x (n – 2)
MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental
Somadosdas
amplitudes
ângulos
externos de
Soma
Ângulos
Internos dedos
um Polígono
Convexo
Qualquer
um polígono qualquer
Vamos analisar a figura que mostra os ângulos internos e externos de um triângulo
qualquer.
A
i1 + e1 = 180°
e1
i2 + e2 = 180°
i3 + e3 = 180°
i1
Si + Se = 180° ∙ 3
e2
B
180° + Se = 540°
i2
i3
C
Se = 360°
e3
Nota que, em cada vértice, a soma da medida do ângulo interno com a medida do
ângulo externo é 180°.
Num polígono convexo, a soma dos ângulos externos com
vértices distintos é sempre igual a um ângulo giro (360º).
Classificação de polígonos quanto ao número de lados
Nome
Polígonos
Número
Triângulo
3
Quadrilátero
4
Pentágono
5
Hexágono
6
Heptágono
7
Octógono
8
Eneágono
9
Decágono
10
Classificação de polígonos quanto ao número de lados
Número de
lados
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Polígonos
Não existe
Não existe
Triângulo
Quadrilátero
Pentágono
Hexágono
Heptágono
Octógono
Eneágono
Decágono
Número de
lados
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Polígonos
Undecágono
Dodecágono
Tridecágono
Tetradecágono
Pentadecágono
Hexadecágono
Heptadecágono
Octadecágono
Eneadecágono
Icoságono
Um polígono com n lados chama-se polígono de n lados.
Vamos praticar … Número de lados de um polígonos
Exercício:
Considera os seguintes polígonos e classifica-os
quanto ao número de lados.
Triângulo
Heptágono
Eneágono
Quadrilátero
Páginas
18
19
Exercícios
1e2
3, 4, 5 e 6