efeitos da temperatura sobre a densidade de corrente

EFEITOS DA TEMPERATURA SOBRE A DENSIDADE DE CORRENTE DE
EMISSÃO POR CAMPO
Nei Lopes da Silva Júnior¹; Antônio Vieira de Andrade Neto²
1. Bolsista CNPq, Licenciando em Física, Universidade Estadual de Feira deSantana, e-mail:
[email protected]
2. Orientador, Departamento de Física, Universidade Estadual de Feira de Santana, email:[email protected]
PALAVRAS-CHAVE: Densidade de corrente, Emissão por Campo, Distribuição de FermiDirac.
INTRODUÇÃO
A emissão de elétrons através de superfícies sólidas (superfícies metálicas ou
semicondutoras) tem importantes aplicações tecnológicas. Há várias formas de se extrair
elétrons de superfícies metálicas. Um dos processos mais simples é o denominado efeito
termiônico que consiste na emissão de elétrons de uma superfície metálica quando esta é
aquecida a temperaturas suficientemente altas (da ordem de 2000 K), fornecendo, desse modo,
energia suficiente aos elétrons do material para que estes possam transpor a barreira potencial
que os liga ao sólido [1].
A energia mínima necessária para extrair um elétron do metal é denominada função
trabalho do material. Pode-se também extrair elétrons de um metal mesmo sem o fornecimento
da energia mínima necessária para sua remoção. Isso pode ser feito pela aplicação de um campo
elétrico externo, o qual reduz a barreira de potencial vista pelo elétron. Em 1928, Fowler e
Nordheim [2-3] explicaram a emissão de elétrons induzida por campo elétrico de uma superfície
metálica como um efeito de tunelamento ou penetração de barreira, que consiste na
possibilidade de uma partícula com energia E penetrar em uma região de energia potencial V,
onde 𝐸 < 𝑉.
Uma grandeza física fundamental no estudo de fenômeno de emissão de elétrons é a
densidade de corrente, a qual é obtida integrando-se a probabilidade de transmissão de elétrons,
através da barreira, multiplicada por uma função de suprimento de elétrons disponíveis dentro
de uma faixa de energia. Essa probabilidade de tunelamento foi objeto de pesquisa do bolsista,
onde foram conseguidos resultados interessantes os quais foram aceitos para publicação [4].
Também calculamos a densidade de corrente 𝐽 para 𝑇 = 0𝐾. O próximo passo é levarmos em
conta uma função distribuição dos elétrons nos estados energéticos disponíveis diferentes da
função degrau de Fermi, i.e., levando em conta os efeitos da temperatura.
METODOLOGIA
Como salientado acima, o presente trabalho tem como objetivo principal calcular a
influência dos efeitos térmicos sobre a densidade de corrente de emissão por campo. Para
realizar esse cálculo é necessário a priori calcular a probabilidade de penetração de barreira do
elétron no interior do metal. Essa probabilidade de transmissão foi calculada usando o método
JWKB, o qual fornece a seguinte expressão para essa grandeza,
𝑏
𝑃 = 𝑒𝑥𝑝 [−2 ∫ √
𝑎
2𝑚
[𝑉(𝑥) − 𝐸]𝑑𝑥]
ħ2
(1)
onde m é a massa do elétron, ħ é a constante de Planck, 𝐸 e 𝑉(𝑥) são, respectivamente, a energia
total e a energia potencial da partícula e 𝑎 e 𝑏 são os pontos de retorno.
O cálculo da equação acima foi realizado para um modelo de energia potencial [4], que é
o análogo unidimensional do potencial real em três dimensões para uma superfície plana (figura
1).
Figura 1: Modelo considerando o potencial imagem atuando em todo o espaço.
Para esse modelo encontramos a seguinte expressão para a probabilidade de tunelamento
[4]:
8𝜙
√2𝑚𝜙𝜙𝑍𝑒3 𝐹
𝑍𝑒3 𝐹
(1+
)]
ħeF 2𝜙2
12𝜙2
𝑃2 = (√𝑒 3 )
[
𝐹𝑍
𝑒𝑥𝑝 {
−4√2𝑚𝜙𝜙
3ħeF
𝑍𝑒 3 𝐹 𝑍𝑒 3 𝐹
[1 + 16𝜙2 ( 2𝜙2 − 1)]}
(2)
Calculada a probabilidade de penetração de barreira, podemos determinar a densidade de
corrente. Z é um parâmetro ajustável do modelo que pode ser utilizado para simular a
rugosidade da superfície, camadas de adsorção, fenômenos de blindagem, dentre outros. Porém,
neste trabalho tomamos como 1 para comparar os nossos resultados com outros da literatura [45].
A densidade de corrente 𝐽 na direção perpendicular à superfície metálica é dada pela
expressão:
−2𝑒
𝐽 = 𝑉 ∑𝑘 𝑓(𝐸(𝑘)) 𝑃(𝐸)𝑉𝑥 (𝑘)
(3)
onde 𝑓(𝐸(𝑘)) é a distribuição de Fermi-Dirac, P(E) é a probabilidade de penetração de barreira
e 𝑉𝑥 (𝑘) é a velocidade do elétron na direção x e o fator 2 é devido a degenerescência do elétron.
Assim, 𝐽⃗ pode ser transformada em:
−𝑒
𝐽 = 4𝜋3 ∫ 𝑓(𝐸(𝑘)) 𝑃(𝐸)𝑉𝑥 (𝑘)𝑑 3 𝑘
(4)
No limite de baixas temperaturas e elevada intensidade de campo podemos aproximar a
distribuição de Fermi-Dirac por uma função degrau, onde f(E(k)) será 1 para 𝐸 < 𝐸𝐹 (Energia
de Fermi) e 0 para 𝐸 > 𝐸𝐹 . Nessa situação a equação acima se torna
− 𝑒𝑚 𝐸
𝐽 = 2𝜋2 ħ3 ∫0 𝐹(𝐸𝐹 − 𝐸𝑋 )𝑃(𝐸𝑋 )𝑑𝐸𝑋
(5)
onde m é a massa do elétron e ħ é a constante de Planck.
Porém, como neste trabalho estamos interessados na influência da temperatura, i.e., a
distribuição de Fermi-Dirac deixa de ser uma função degrau, e será dada pela expressão, que é
uma aproximação bem conhecida na literatura [6],
1
𝑓(𝐸 − 𝜇) = 𝑒 𝛽(𝐸−𝜇) +1 ≅ 𝑒 𝛽𝜇 . 𝑒 −𝛽𝐸(𝑘)
(6)
onde 𝛽 = 1/𝑘𝑏 𝑇 e 𝜇 é o potencial químico.
No limite de altas temperaturas, que é o nosso caso,
3
𝛽𝜇
3
𝜋𝛽 2
𝑛(𝑚)
𝑒 = √2ℏ
(7)
onde 𝑛 é a concentração de elétrons, ħ é a constante de Planck e 𝑚 é a massa do elétron.
Sabe-se que nos fenômenos de emissão por campo, relacionados à densidade de corrente,
deve-se resolver uma expressão que é utilizada como padrão na literatura [7], dada por,
𝑒
𝐽 = − 4𝜋3 ℏ ∫ 𝑃(𝐸𝑥 )𝑑𝐸𝑥 ∫ 𝑓(𝐸(𝑘))𝑑𝑘𝑦 𝑑𝑘𝑧
(8)
Temos que resolver as duas integrais da eq. (8) para obtenção da densidade de corrente
eletrônica em fenômenos de emissão por campo. Vamos então resolver inicialmente a segunda
integral da eq. (8), que resulta em,
(9)
∫ 𝑓(𝐸(𝑘))𝑑𝑘𝑦 𝑑𝑘𝑧 = 𝑒 𝛽𝜇 ∫ 𝑒 −𝛽(𝐸(𝑘)) 𝑑𝑘𝑦 𝑑𝑘𝑧
onde,
ℏ2
𝐸(𝑘) = 𝐸𝑥 + 2𝑚 (𝑘𝑥 2 + 𝑘𝑦 2 + 𝑘𝑧 2 )
(10)
Substituindo a eq. (10) na eq. (9),
2
∫ 𝑓(𝐸(𝑘))𝑑𝑘𝑦 𝑑𝑘𝑧 = 𝑒
𝛽𝜇
.𝑒
−𝛽𝐸𝑥
∞ −𝛽ℏ (𝑘 2 +𝑘 2 )
∬0 𝑒 2𝑚 𝑦 𝑧 𝑑𝑘𝑦 𝑑𝑘𝑧
(11)
Precisamos então calcular a integral dupla que aparece na eq. (11). Calculando-a, temos,
𝑚𝜋 𝛽𝜇 −𝛽𝐸
𝑒 . 𝑒 𝑥 = 𝛿(𝛽). 𝑒 −𝛽𝐸𝑥
(12)
2𝛽ℏ2
Substituindo o resultado da eq. (12) na eq. (8), para o cálculo da densidade de corrente
eletrônica, temos,
𝑒
𝐽 = − 4𝜋3 ℏ ∫ 𝑃(𝐸𝑥 )𝑑𝐸𝑥 . 𝛿(𝛽). 𝑒 −𝛽𝐸𝑥
(13)
Tirando as constantes da integral, reescrevemos,
𝑒
𝐽 = − 4𝜋3 ℏ . 𝛿(𝛽) ∫ 𝑒 −𝛽𝐸𝑥 . 𝑃(𝐸𝑥 )𝑑𝐸𝑥
(14)
Porém, A probabilidade de tunelamento para o modelo 2 [4] 𝑃(𝐸𝑥 ), pode ser reescrita
como,
𝑃(𝐸𝑥 ) = 𝐴2 (𝑦𝑜 ). 𝑒 −𝑔(𝐸𝐹) . 𝑒 (𝐸𝑥 −𝐸𝐹)𝜂
Logo, substituindo a eq. (15) na eq. (13), temos,
𝑒
𝑚𝜋 𝛽𝜇 ∞ −𝛽𝐸
𝐽=− 3
𝑒 ∫0 𝑒 𝑥 𝐴2 𝑃0 𝑒 (𝐸𝑥 −𝐸𝐹)𝜂 𝑑𝐸𝑥
4𝜋 ℏ 2𝛽ℏ2
(15)
(16)
Rearrumando a eq. (16),
∞
𝑒𝑚𝐴 𝑃
2 0 𝛽𝜇
𝐽 = − 8𝜋2 𝛽ℏ
. 𝑒 −𝜂𝐸𝐹 ∫0 𝑒 𝐸𝑥 (𝜂−𝛽) 𝑑𝐸𝑥
3 𝑒
Resolvendo a integral da eq. (17),
∞
∫0 𝑒 𝐸𝑥 (𝜂−𝛽) 𝑑𝐸𝑥 =
Note que, Se 𝛽 > 𝜂, temos,
𝑒 −𝐸𝑥 (𝛽−𝜂)
∞
(𝜂−𝛽) 0
1
𝑒 −𝐸𝑥 (𝛽−𝜂)
(17)
∞
−(𝛽−𝜂) 0
1
= 𝜂−𝛽 [0 − 1] = 𝛽−𝜂
(18)
(19)
Se, temos o contrário, 𝜂 > 𝛽, a nossa integral na eq. (18) diverge. Logo, a solução da eq.
(16) é dada por,
𝑒𝑚𝐴2 𝑃0 𝛽𝜇 −𝜂𝐸
1
𝐽 = − 8𝜋2 𝛽ℏ
. 𝑒 𝐹 𝛽−𝜂
(20)
3 𝑒
Que é a expressão para a densidade de corrente eletrônica, para o modelo 2 [4], levando
em contas os efeitos térmicos. Ainda é necessário analisar os limites de validade da eq. (20),
bem como os valores de 𝛽 e 𝜂 que fazem a integral da eq. (18) divergir.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Utilizando um modelo unidimensional para a energia potencial de elétrons em um sólido
metálico, na presença de um campo elétrico externo, calculamos, via aproximação JWKB, à
probabilidade dos elétrons escaparem do metal, bem como a densidade de corrente eletrônica e
a influência da temperatura sobre a emissão de elétrons em fenômenos de emissão por campo.
Apesar de sua grande relevância teórica, a probabilidade de penetração de barreira não é uma
quantidade física determinada experimentalmente. Uma grandeza física de grande interesse é a
densidade de corrente eletrônica, pois o seu valor teórico pode ser comparado com o seu valor
experimental. Conseguimos expressões analíticas tipo Fowler-Nordheim, relativamente gerais.
Os resultados obtidos estão sendo analisados detalhadamente, mas, preliminarmente,
constatamos uma boa concordância entre nossos resultados e outros disponíveis na literatura
para a probabilidade e densidade de corrente eletrônica [5]. A expressão obtida para descrever
os efeitos térmicos precisa ainda ser compreendida melhor devido a demasiada dificuldade
encontrada na obtenção de expressões analíticas quando buscamos descrever os efeitos que
deixam o problema mais real.
REFERÊNCIAS
[1] NILSON S. DE ANDRADE, A. V. ANDRADE-NETO, THIERRY LEMAIRE e J. A.
CRUZ. 2013. Revista Brasileira de Ensino de Física v. 35, n. 01, 1308.
[2] FOWLER, R. G. and NORDHEIM, L. 1928. Electron Emission in Intense Electric Fields.
Proc. Roy. Soc. A119.
[3] FORBES, R. G. 2008 J. Appl. Phys. 103, 114911.
[4] N. L. SILVA JUNIOR e A. V. ANDRADE-NETO. 2013Rev. Bras. Ens. Fis. 35, n.3 3306.
[5] I. I Goldman and V.D. Krivchenkov. 1961. Problems in Quantum Mechanics. edited by B.T.
Geilikman; translated from the Russian by E. Marquit and E. Lepa. London: Pergamon Press.
[6] N. W. Ashcroft. 1976. N. D. Mermin Solid State Physics. Fort worth: Saunders College.
[7] A. Haug. 1975. Theoretical Solid State Physics. volume 1. Pergamon Press, Oxford.