Problemas sobre domínios euclidianos e fatoriais

Problemas sobre domínios euclidianos e fatoriais
Questão 1. Vimos em aula que Z[i] é um domínio euclidiano. Portanto o Teorema de Bezout
vale nesse anel.
1. Usando a norma verique que 1 + i não pode dividir 15 + 2i. Calcule em seguida o MDC de
1 + i e 15 + 2i.
2. Sejam α = 3 + 4i e β = 4 − 3i. Encontre o MDC, δ , de α e β e também γ, λ ∈ Z[i] tais que
δ = αγ + βδ .
3. Verique se a equação αX + βY = 1 − 3i tem solução (em Z[i], é claro). Encontre uma solução,
caso a pergunta anterior tenha resposta positiva.
4. Encontre o MDC de 11 + 7i e 18 − i.
5. Resolva a equação (11 + 7i)X + (18 − i)Y = 7 + 4i. (Considere que não basta encontrar as
respostas numéricas, mas também é necessário justicar como elas foram obtidas.)
Recorde a denição de MDC de dois elementos que vimos na página 10 da primeira parte das
notas de aula. Vamos a seguir estender essa denição para um número maior de elementos.
Denição. Dados a1 , . . . , am em um anel A dizemos que d ∈ A é um MDC de a1 , . . . , am se
1. d|a1 , d|a2 , . . . , d|am .
2. Se e ∈ A também tiver a propriedade e|a1 , e|a2 , . . . , e|am , então e|d.
Assim um MDC é um divisor comum de a1 , . . . , am que é divisível por todos os outros divisores
comuns. Dizemos também que a1 , . . . , am são relativamente primos se 1 for um MDC de a1 , . . . , am .
Observe que três elementos, como 6, 15, 17 podem ser relativamente primos, mas dois deles como 6
e 15 não serem. O que não existe é um número que divida os três ao mesmo tempo e seja diferente
de 1 e −1.
Questão 2. Seja A um domínio e a1 , . . . , am ∈ A, não nulos.
1. Mostre que MDC(a1 , . . . , an ) = MDC(MDC(a1 , . . . , an−1 ), an ), isto é, para d =MDC(a1 , . . . , an )
e d0 =MDC(a1 , . . . , an−1 ), temos que d =MDC(d0 , an ).
1
2. Caso A seja euclidiano, mostre para d =MDC(a1 , . . . , an ) que existem u1 , . . . , un ∈ A tais que
d = u 1 a1 + · · · + u n an .
Dica. Faça a demonstração por recorrência usando o Teorema de Bezout para n = 2 e o item
anterior para n qualquer.
Questão 3. Seja A um domínio euclidiano.
1. Mostre que dados a, b ∈ A não nulos e relativamente primos, para todo c ∈ A, não nulos
podemos calcular u, v ∈ A tais que c = ua + vb (Em problemas concretos, como alguns
apresentados abaixo, podemos de fato calcular u e v usando o método das divisões sucessivas.)
2. Sejam a1 , . . . , am ∈ A, não nulos e relativamente primos, mostre que para todo c ∈ A existem
u1 , . . . , un ∈ A tais que c = u1 a1 + · · · + un an .
3. Dados X + 1, X 2 + X + 1, e X − 2 polinômios de Q[X], encontre u1 (X), u2 (X), u3 (X) ∈ Q[X]
tais que X 4 + X − 3 = u1 (X)(X + 1) + u2 (X)(X 2 + X + 1) + u3 (X)(X − 2).
4. Dados f (X), g(X) ∈ Q[X], não nulos, seja g(X) = p1 (X)n1 p2 (X)n2 · · · pt (X)nt a decomposição
de g(X) em irredutíveis de Q[X]. Mostre que podemos encontrar c1 (X), c2 (X), . . . , ct (X) ∈
Q[X] tais que
f (X)
c1 (X)
c2 (X)
ct (X)
=
.
+
+
·
·
·
+
g(X)
p1 (X)n1 p2 (X)n2
pt (X)nt
ni+1
ni−1
(X) · · · pnt t (X).)
(X)pi+1
(use o item (2) com c = f (X) e ai = p1 (X)n1 · · · pi−1
5. Faça a decomposição descrita no item anterior no caso em que f (X) = X 3 + 1 e g(X) =
(X − 1)3 (X − 3)2 (X + 1).
Questão 4. Seja A um domínio de fatoração única e tomemos a, b, c, d ∈ A, não nulos e não
unidades. Vamos decompor cada um deles em irredutíveis: a = pa11 pa22 · · · pann , b = pb11 pb22 · · · pbnn , c =
pc11 pc22 · · · pcnn , d = pd11 pd22 · · · pdnn , onde p1 , p2 , . . . , pn são irredutíveis de A e os expoentes ai , bi , ci , di
são inteiros ≥ 0. Isso signica que se aj = 0, então pj não compareceu na fatoração do a. Igualmente
para os outros elementos (exemplos 30 = 21 31 51 , 12 = 22 31 50 , 225 = 20 32 52 . Desmonstre as
armações abaixo:
1. a|c (a divide c) se e somente se ai ≤ ci , para todo i = 1, . . . , n.
2
2. Se a|bc e a e c são primos entre si, então a|b.
3. d é um MDC de a e b se e somente se di = mínimo{ai , bi } para todo i = 1, . . . , n.
4. Se d é um MDC de a e b então dc é um MDC de ac e bc.
5. a e b são associados se e somente se ai = bi , para todo i = 1, . . . , n.
6. Escreva a condição necessária e suciente para que d seja um MDC dos três elementos a, b, e
c.
7. Se d é o MDC de a e b, será verdade que o MDC de a, b, e c é igual ao MDC de d e c? Isto é
MDC(a, b, c) = MDC(d, c), onde d = MDC(a, b).
8. Sabendo-se que a é irredutível, mostre que a|c5 se e somente se a|c.
Questão 5. Recorde que Q[X] também é um anel euclidiano e portanto é fatorial.
1. Encontre o MDC dos elementos X 3 − 6X 2 + X + 4, X 5 − 6X + 1 ∈ Q[X].
2. Mostre que o MDC de dois polinômios f (X) e g(X) é um polinômio constante se e somente se
1 é um MDC de f (X) e g(X).
3. Prove que um polinômio de grau 2 ou 3 é irredutível em Q[X] se e somente se não tem raiz em
Q. Fabrique um exemplo de um polinômio f (X) ∈ Q[X] de grau 4 de forma que f (X) seja
redutível em Q[X] e não tenha raiz em Q.
4. Seja f (X) = ao +a1 X+· · ·+an X n ∈ Z[X]. Mostre que existe d ∈ Z e f1 = bo +b1 X+· · ·+bn X n ∈
Z[X] tais que f (X) = df1 (X) e os coecientes bo , b1 , . . . , bn de f1 (X) são relativamente primos.
5. Seja α ∈ C um número algébrico, isto é, existe pelo menos um polinômio não constante f (x) ∈
Q[X] tal que f (α) = 0. (Um número complexo que não é raiz de nenhum polinômio não
constante de Q[X] é chamado de transcendente. Números como π e e = base dos logaritmos
neperianos, são transcendentes.) Seja também g(X) ∈ Q[X] o polinômio de menor grau que se
anula em α. Mostre que g(X) é irredutível em Q[X].
6. Para α ∈ C e g(X) ∈ Q[X] como no item anterior, mostre que todo polinômio que se anula em
α é divisível por g(X) (use o algorítimo de Euclides).
3
7. Para todo polinômio f (X) = ao + a1 X + · · · + an X n ∈ Q[X] denimos sua derivada formal
como f 0 (X) = a1 + 2a2 X + · · · + nan X n−1 .
Seja g(X) = p1 (X)g1 p2 (X)g2 · · · pt (X)gt , a fatoração de g(X) em irredutíveis de Q[X]. Mostre
que existe 1 ≤ i ≤ t tal que gi > 1 se e somente o MDC de g(X) e g 0 (X) é um polinômio não
constante.
8. Usando o item anterior mostre que g(X) e g 0 (X) não são relativamente primos se e somente se
existe h(X) ∈ Q[X], não constante, tal que h(X)2 divide g(X).
Questão 6. Considere os seguintes elementos de p1 = x2 + x + 1, p2 = x3 − 2, p3 = x + 3, p4 = 7,
p5 = 3 de A = Z[x].
1. Verique, que cada um deles é irredutível em A.
2. Encontre um MDC de a = p21 p3 p85 e b = p1 p52 p43 p4 .
3. Encontre também um MDC de c = p43 p34 p85 , d = p1 p3 p24 p35 , e = p1 p32 p3 p4 p35 .
4. Verique quais dos elementos p1 , p2 , p3 , p4 , p5 permanece irredutível em Q[x]. Justicar a
resposta.
5. Verique quais dos elementos p1 , p2 , p3 , p4 , p5 permanece irredutível em A[x], onde A = Z[i].
6. Fazer o mesmo para A[x], com A = Q(i).
Questão 7. Use o critério de Eisenstein, e quando for o caso o Lema de Gauss, para vericar a
irredutibilidade dos seguintes elementos:
1. 2X 5 + 6X 4 + 9X − 12 em Q[X] e em Z[X].
2. 5Y 7 + (X − 1)Y 3 + (X 2 − 1)Y 2 + X 2 − 3X + 2 em Q(X)[Y ] e em Q[X, Y ].
√
−1 + −3
Questão 8. Para ω =
∈ C seja A = Z[ω] = { a + bω | a, b ∈ Z }.
2
√
u + v −3
| u, v ∈ Z e u ≡ v (mod 2) .
1. Mostre que Z[ω] =
2
2. Mostre que Z[ω] é um anel (tem 0 e 1 e é fechado para a soma e multiplicação de números
complexos).
3. Encontre o corpo de frações de Z[ω].
4