Capítulo 8: Determinantes
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8 Livro: Introdução à Álgebra Linear Autores: Abramo Hefez Cecília de Souza Fernandez Capítulo 8: Determinantes Sumário 1 Propriedades dos Determinantes . . . . . . . . . . 211 1.1 Propriedades Características . . . . . . . . . . . . . 211 1.2 Propriedades Adicionais das Funções 1.3 Propriedade Multiplicativa . . . . . . . . . . . . . . 215 D . . . . . . 212 2 Existência de Determinantes . . . . . . . . . . . . . 218 3 Matriz Adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 4 Regra de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 210 1. PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES 1 211 Propriedades dos Determinantes Estudaremos nesta seção as propriedades dos determinantes de matrizes quadradas, dividindo-as em três categorias, a saber: 1) Propriedades características, aquelas que bastam para determinar as funções determinantes; 2) Propriedades adicionais, aquelas que seguem de modo quase direto das propriedades características; 3) Propriedade multiplicativa, que relaciona determinantes de produtos de matrizes com os determinantes dos fatores. Essa propriedade é consequência das propriedades características e de propriedades das matrizes anteriormente estudadas. 1.1 Propriedades Características Seja K um corpo1 e seja n um número natural, com n ≥ 2. Denotaremos por MK (n), ou simplesmente por M(n), o espaço das matrizes quadradas de ordem n com entradas no corpo K . Nosso objetivo, neste capítulo, é estender a n > 3 a noção de determinante de uma matriz em M(n) que introduzimos no Capítulo 4 nos casos n = 2 e n = 3. Dada uma matriz A ∈ M(n), denotaremos por A1 , . . . , An ∈ K n os seus vetores linhas e escrevemos A1 . A = .. . An Queremos xar a nossa atenção sobre as funções D : M(n) → K que possuem as seguintes propriedades: (D1) D é linear como função de cada linha separadamente. 1O leitor pode xar sua atenção nos casos K = R ou K = C, se com isto se sentir mais confortável. 212 CAPÍTULO 8. DETERMINANTES Isto signica que se Aj = A0j + tA00j , onde A0j , A00j ∈ K n e t ∈ K , então D A0j A1 .. . + tA00j = D .. . An A1 .. . A0j .. . An + tD A1 .. . A00j . .. . An (D2) Se duas linhas adjacentes Aj e Aj+1 de A são iguais, então D(A) = 0. (D3) Se In representa a matriz identidade de M(n), então D(In ) = 1. Estas propriedades são satisfeitas, por exemplo, pelas funções determinantes det : M(2) → K e det : M(3) → K introduzidas na Seção 3 do Capítulo 4 (veja Problemas 3.1 e 3.3 do Capítulo 4.) As Propriedades (D1) e (D2) de uma função D acarretam várias outras propriedades, como veremos a seguir. Essas propriedades, juntamente com a Propriedade (D3), determinam uma única função que chamaremos de função determinante, ou simplesmente, determinante, conforme veremos na Seção 2. Nas próximas subseções estudaremos mais propriedades de tais funções D. 1.2 Propriedades Adicionais das Funções D Nesta seção estudaremos as propriedades das funções D que decorrem das Propriedades (D1) e (D2) da seção anterior. Seja j um número natural com 1 ≤ j ≤ n − 1. Se A0 é a matriz obtida de A por meio de uma transformação elementar Lj ↔ Lj+1 , então D(A0 ) = −D(A). Demonstração Considere a matriz B tal que Bj = Bj+1 = Aj + Aj+1 e Bi = Ai , se i 6= j e i 6= j + 1. Da Propriedade (D2) temos que D(B) = 0. Da Propriedade (D1) (utiliProposição 8.1.1. 1. 213 PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES zada duas vezes), obtemos a igualdade 0 = D(B) = D A1 .. . Aj Aj .. . An A1 .. . A j +D Aj+1 .. . An A1 .. . A j+1 +D Aj .. . An A1 .. . A j+1 +D Aj+1 .. . An , da qual segue-se o resultado, pois sabemos, por (D2), que D A1 .. . Aj Aj .. . An A1 .. . A j+1 = D Aj+1 .. . An = 0. Corolário 8.1.2. Se A é uma matriz com duas linhas iguais, então D(A) = 0. Com uma troca de linhas, podemos transformar a matriz A em uma matriz A0 com duas linhas adjacentes iguais. Logo, pela proposição anterior e pela Propriedade (D2), temos que Demonstração D(A) = ±D(A0 ) = 0. Se A0 é uma matriz obtida de A por uma transformação elementar Li ↔ Lj , i, j = 1, . . . , n, com i 6= j , então D(A0 ) = −D(A). Demonstração Usando a mesma ideia da prova da Proposição 8.1.1, considerando neste caso a matriz B tal que Bi = Bj = Ai + Aj e Bk = Ak , se k 6= i, j , obtemos o resultado com auxílio do Corolário 8.1.2. Corolário 8.1.3. 214 CAPÍTULO 8. DETERMINANTES Se uma matriz A0 é obtida de uma matriz A na qual somamos a uma linha um múltiplo de outra, mantendo as demais inalteradas, então D(A0 ) = D(A). Demonstração Para i < j , sejam Corolário 8.1.4. A1 . .. Ai . . A= . , Aj . . . An A1 .. . A + tA i j .. . A0 = . Aj .. . An Temos da propriedade (D1) que D(A0 ) = D(A) + tD(A00 ), onde A1 (1) . .. Aj . . A00 = . . Aj . . . An Pelo Corolário 8.1.2, temos que D(A00 ) = 0, logo o resultado segue da igualdade (1), acima. Se uma matriz A0 é obtida de uma matriz A na qual somamos a uma linha uma combinação linear de outras, mantendo as demais inalteradas, então D(A0 ) = D(A). Demonstração Use repetidamente o Corolário 8.1.4. Corolário 8.1.5. 1. PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES 215 Se os vetores linhas de uma matriz A são linearmente dependentes, então D(A) = 0. Demonstração Se os vetores linhas da matriz são linearmente dependentes, então uma das linhas é combinação linear das demais, seguindo-se o resultado do Corolário 8.1.5. Corolário 8.1.6. 1.3 Propriedade Multiplicativa Nesta subseção, mostraremos como funções D possuindo as Propriedades (D1), (D2) e (D3) da Seção 1 se comportam em relação à multiplicação de matrizes. Sejam A e B elementos de M(n) e seja D : M(n) → K uma função possuindo as Propriedades (D1), (D2) e (D3). Proposição 8.1.7. (i) Se E é uma matriz elementar, então D(EA) = D(E)D(A). (ii) Se A e B são matrizes equivalentes por linhas, então D(A) 6= 0 ⇐⇒ D(B) 6= 0. (iii) A é invertível se, e somente se, D(A) 6= 0. (iv) D(AB) = D(A)D(B). (i) Seja E1 a matriz elementar obtida operando sobre In com Li ↔ Lj . Temos que E1 A é a matriz obtida de A mediante a operação Li ↔ Lj , logo, pelo Corolário 8.1.3, temos que D(E1 A) = −D(A). Por outro lado, do Problema 1.3(a), temos que D(E1 ) = −1, o que acarreta o resultado neste caso. Seja E2 a matriz elementar obtida de In mediante a operação Li → Li + tLj . Temos, pelo Corolário 8.1.4, que D(E2 A) = D(A) e pelo Problema 1.3(a) temos que D(E2 ) = 1, daí obtendo o resultado neste caso também. Finalmente, se E3 é a matriz elementar correspondente a Li → cLi , temos de (D1) que D(E3 A) = cD(A) e, pelo Problema 1.3(a), D(E3 ) = c. Logo, D(E3 A) = D(E3 )D(A). Demonstração 216 CAPÍTULO 8. DETERMINANTES ii) A e B são equivalentes se, e somente se, B = Er · · · E1 A, onde E1 , . . . , Er são matrizes elementares. De (i), por indução, temos que D(B) = D(Er ) · · · D(E1 )D(A). Como D(E) 6= 0, para toda matriz elementar E , vale o resultado. iii) Se A é invertível, do Teorema 2.1.6, temos que A é equivalente a In , logo por (ii) segue-se que D(A) 6= 0, já que D(In ) = 1 6= 0. Reciprocamente, se D(A) 6= 0, seja B a matriz equivalente a A na forma escalonada. Como por (ii) temos que D(B) 6= 0, segue-se que B = In . Daí, A é equivalente a In , logo, pelo Teorema 2.1.6, tem-se que A é invertível. iv) Se A não é invertível, então AB é não invertível. Logo, por (iii), temos que D(AB) = 0 e D(A) = 0, seguindo-se o resultado neste caso. Se A é invertível, então, pelo Teorema 2.1.6, A = E1 · · · Er onde os Ei 's são matrizes elementares. Portanto, por indução utilizando (i), temos que D(AB) = D(E1 ) · · · D(Er )D(B) = D(E1 · · · Er )D(B) = D(A)D(B). Se existirem duas funções D : M(n) → K e D0 : M(n) → K satisfazendo as condições (D1), (D2) e (D3), então D = D0 . Demonstração Seja A ∈ M(n). Se A não é invertível, então da Proposição 8.1.7(iii) temos que D(A) = 0 = D0 (A). Se A é invertível, logo, A = E1 · · · Er , onde os Ei 's são matrizes elementares. Pela Proposição 8.1.7(iv), temos que D(A) = D(E1 ) · · · D(Er ) e D0 (A) = D0 (E1 ) · · · D0 (Er ). Pelo Problema 1.3(b), temos que D(Ei ) = D0 (Ei ), para todo i = 1, . . . , r, logo D(A) = D0 (A). Teorema 8.1.8. Assim, temos assegurada a unicidade de uma função D : M(n) → K , possuindo as Propriedades (D1), (D2) e (D3), caso tal função exista. Vamos, na próxima seção, mostrar que tal função existe, a qual passaremos a denotar por det e a chamar de função determinante . Para n = 2 e n = 3, as funções det : M(2) → K e det : M(3) → K , que introduzimos no Capítulo 4, são as 1. 217 PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES únicas funções que possuem as Propriedades (D1), (D2) e (D3), com domínios M(2) e M(3), respectivamente. Problemas 1.1 Mostre que se a matriz A ∈ M(n) possui uma linha nula, então D(A) = 0. 1.2 Seja D : M(n) → K uma função que possui as Propriedades (D1) e (D2). Mostre que se A é a matriz diagonal Diag(a11 , . . . , ann ) (com a notação do Problema 2.15, Capítulo 1), então D(Diag(a11 , . . . , ann )) = a11 . . . ann D(In ). Em particular, conclua que D(c In ) = cn D(In ), onde c ∈ K . Seja D : M(n) → K , possuindo as Propriedades (D1) e (D2), e sejam E1 , E2 e E3 matrizes elementares obtidas da matriz identidade In mediante, respectivamente, uma operação do tipo Li ↔ Lj , Li → Li + tLj , Li → cLi , para i 6= j . 1.3 a) Mostre que D(E1 ) = −D(In ), D(E2 ) = D(In ) e D(E3 ) = cD(In ). b) Se D, D0 : M(n) → K possuem as propriedades (D1), (D2) e (D3), então D(E1 ) = D0 (E1 ) = −1, D(E2 ) = D0 (E2 ) = 1 e D(E3 ) = D0 (E3 ) = c. Seja A uma matriz invertível de ordem n e suponha que exista a função det : M(n) → K . Mostre que 1.4 det(A−1 ) = 1 . det A Seja E ∈ M(n) uma matriz elementar. Com a mesma hipótese do problema anterior, mostre que det(E t ) = det(E). 1.5 Sugestão Utilize o Problema 2.1.9. 218 2 CAPÍTULO 8. DETERMINANTES Existência de Determinantes Nesta seção, estabeleceremos a existência das funções determinantes para valores de n maiores do que 3, que já sabemos existirem para n = 2 e n = 3. A demonstração de tal existência será feita por indução sobre n. Mostraremos que se existe uma função D0 : M(n − 1) → K que possui as Propriedades (D1), (D2) e (D3), então existe uma função D : M(n) → K que possui as mesmas propriedades. Na realidade, mostraremos que a função D pode ser obtida de vários modos possíveis a partir de D0 , o que permitirá certa exibilidade no cálculo de D(A), onde A é uma matriz quadrada de ordem n. Sejam n ≥ 2 e A ∈ M(n). Para cada par (i, j) ∈ N2 , com 1 ≤ i, j ≤ n, dene-se a matriz A(i|j) como a matriz (n − 1) × (n − 1) obtida de A suprimindo-se a i-ésima linha e a j -ésima coluna. Nosso resultado está contido no próximo teorema. Sejam n ≥ 3 e D0 : M(n − 1) → K satisfazendo as condições (D1), (D2) e (D3). Dado j com 1 ≤ j ≤ n, a função Dj : M(n) → K denida por Teorema 8.2.1. Dj (A) = n X (−1)i+j aij D0 (A(i|j)), i=1 onde A = [aij ] ∈ M(n), também satisfaz as condições (D1), (D2) e (D3). Demonstração Fixemos j . Para cada i, temos que D 0 (A(i|j)) é independente da linha i, ou seja, dos elementos aik , k = 1, . . . , n, e é separadamente linear em cada uma das n−1 linhas restantes de A. Por outro lado, (−1)i+j aij é independente das entradas de A(i|j) e é linear na linha i de A. É, portanto, fácil vericar que (−1)i+j aij D0 (A(i|j)) é separadamente linear nas linhas de A. Logo, Dj é uma soma de funções de A que são separadamente lineares na linhas de A, donde se conclui que Dj possui a Propriedade (D1). Para provar que Dj possui a Propriedade (D2), suponhamos que A ∈ M(n) tenha as linhas Ak e Ak+1 iguais. Se i 6= k e i 6= k + 1, a matriz A(i|j) tem duas linhas iguais, logo 2. EXISTÊNCIA DE DETERMINANTES 219 D0 (A(i|j)) = 0. Daí temos Dj (A) = (−1)k+j akj D0 (A(k|j)) + (−1)k+j+1 ak+1,j D0 (A(k + 1|j)). Mas, akj = ak+1,j e A(k|j) = A(k + 1|j), logo Dj (A) = 0, já que as duas parcelas que compõem Dj (A) são uma simétrica da outra. Finalmente, sendo δij as entradas da matriz In , temos que Dj (In ) = n X (−1)i+j δij D0 (In (i|j)) = δjj D0 (In (j|j)) = D0 (In−1 ) = 1, i=1 já que In (j|j) = In−1 e D0 (In−1 ) = 1, mostrando que Dj possui a Propriedade (D3). Esse teorema nos mostra que para calcular o determinante de uma matriz A, escolhe-se uma coluna j qualquer de A, obtendo n X det(A) = (−1)i+j aij det(A(i|j)), i=1 que é usualmente chamado de desenvolvimento de Laplace de det(A) segundo os elementos da coluna j . Exemplo 1. Calculemos det(A), onde 2 3 1 0 0 1 3 2 A= . 0 5 −1 0 1 −2 1 1 Temos do Teorema 8.2.1, desenvolvendo segundo os elementos da primeira coluna, que 1 3 2 3 1 0 det(A) = 2 det 5 −1 0 − det 1 3 2 . −2 1 1 5 −1 0 Calculando os determinantes 3 × 3, acima, pela Regra de Sarrus, obtemos que det(A) = −36. 220 CAPÍTULO 8. DETERMINANTES Problemas 2.1 Mostre que se uma matriz A possui uma coluna nula, então det(A) = 0. Prove que o determinante de uma matriz triangular superior (resp. inferior) é o produto dos elementos de sua diagonal principal. Mostre que uma tal matriz é invertível se, e somente se, suas entradas na diagonal principal são todas não nulas. 2.2* 2.3* Seja a ∈ R. Prove que 1 1 1 1 1 a a2 a3 det = 0. 1 a2 a3 a4 1 a3 a4 a5 2.4 Considere a matriz de Vandermonde 2 1 a1 a21 . . . an−1 1 n−1 2 1 a2 a2 . . . a2 A= .. .. .. .. . . . . 2 n−1 1 an an . . . an . Mostre que det(A) = Y (aj − ai ). i<j 3 Matriz Adjunta Seja A = [aij ] ∈ M(n). Dene-se o cofator do elemento aij da matriz A como ∆ij (A) = (−1)i+j det(A(i|j)). A matriz [∆ij (A)] ∈ M(n) será chamada de matriz dos cofatores da matriz A e sua transposta será chamada de matriz adjunta de A e denotada adj(A). 2 Em homenagem a Alexandre-Theóphile Vandermonde (França 1735 1796). 3. 221 MATRIZ ADJUNTA Exemplo 1. Seja 1 0 0 A = 1 2 1 . 0 0 −1 Temos que ∆11 (A) = −2, ∆12 (A) = 1, ∆13 (A) = ∆21 (A) = ∆23 (A) = ∆31 (A) = 0, ∆22 (A) = ∆32 (A) = −1 e ∆33 (A) = 2. Logo, −2 1 0 [∆ij (A)] = 0 −1 0 . 0 −1 2 Portanto, −2 0 0 adj(A) = 1 −1 −1 . 0 0 2 A seguir, veremos uma relação entre uma matriz e a sua adjunta. Proposição 8.3.1. Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Então adj(A) · A = det(A) In . Demonstração Denotemos por B a matriz adj(A) · A. Queremos mostrar que ( bij = det(A), se i = j 0, se i 6= j . Denotando ∆ij (A) por ∆ij , temos que ∆11 . . . ∆n1 a11 . . . a1j . . . an1 . . .. .. .. .. . . . . . [bij ] = ∆1i . . . ∆ni ai1 . . . aij . . . ain . . . .. .. .. .. . . . .. ∆1n . . . ∆nn an1 . . . anj . . . ann 222 CAPÍTULO 8. DETERMINANTES Logo, pelo Teorema 8.2.1, bjj = n X aij ∆ij = det(A). i=1 Por outro lado, seja i 6= j . Supondo, sem perda de generalidade, que i < j , temos n n bij = X akj ∆ki = k=1 X (−1)i+k akj det(A(k|i)), k=1 que é o determinante da matriz a11 . . . a1j . . . a1j . . . an1 .. . .. . .. . .. , . an1 . . . anj . . . anj . . . ann desenvolvido segundo os elementos da i-ésima coluna, o qual é nulo. Corolário 8.3.2. Se A é uma matriz invertível, então A−1 = Demonstração 1 adj(A). det(A) Se A é invertível, então det(A) 6= 0 e, portanto, 1 adj(A) · A = In , det(A) o que implica que A−1 = 1 adj(A). det(A) A expressão acima para a inversa de uma matriz A de ordem n é muito interessante do ponto de vista teórico, mas pouco útil do ponto de vista prático, pois para utilizá-la para calcular a inversa de A seria necessário calcular n2 determinantes de ordens n − 1 (os cofatores dos elementos de A). Isto é computacionalmente impraticável se n é grande. Por outro lado, o 3. 223 MATRIZ ADJUNTA método de inversão por escalonamento apresentado na Seção 1 do Capítulo 2 é computacionalmente muito mais ecaz. Vamos, a seguir, relacionar o determinante de uma matriz com o de sua transposta. Sabemos do Problema 1.5 que se E é uma matriz elementar qualquer, então det(E t ) = det(E). Seja A uma matriz quadrada de ordem n, qualquer. Logo, existem matrizes elementares E1 , . . . , Er tais que Er · · · E1 A = B , onde ou B é uma matriz com a última linha nula, ou B = In . Se B possui uma linha nula, B t terá uma coluna nula, logo det(B) = det(B t ) = 0 (cf. Problema 2.1). Se B = In , então det(B) = det(B t ) = 1. Podemos escrever A = F1 · · · Fr B, (1) onde Fi = Ei−1 , i = 1, . . . , n, são também matrizes elementares (cf. Corolário 2.1.5). Tomando transpostas em (1), obtemos At = B t Frt · · · F1t . (2) Tomando, agora, determinantes em (1) e (2), obtemos det(A) = det(F1 ) · · · det(Fr ) det(B) e det(At ) = det(B t ) det(Frt ) · · · det(F1t ), o que acarreta que det(At ) = det(A), pois det(B) = det(B t ) e det(Fi ) = det(Fit ), para todo 1 ≤ i ≤ r. Assim, provamos o seguinte resultado: O determinante de uma matriz quadrada é igual ao determinante de sua transposta. Proposição 8.3.3. Portanto, toda armação sobre o determinante de uma matriz quadrada, relativamente a suas linhas, também vale para suas colunas e vice-versa. Assim, em particular, podemos calcular determinantes usando desenvolvimentos de Laplace segundo os elementos de uma linha Li , ou seja, det(A) = n X j=1 (−1)i+j aij det(A(i|j)). 224 CAPÍTULO 8. DETERMINANTES Problemas Mostre que a inversa de uma matriz triangular inferior é triangular inferior e a inversa de uma matriz triangular superior é triangular superior. 3.1 Mostre que se det(A) = 1 e todas as entradas de A são números inteiros, então todas as entradas de A−1 também são números inteiros. 3.2 3.3 Mostre que se A é invertível, então adj(A) é invertível e (adj(A))−1 = adj(A−1 ). 3.4 Como é afetada a matriz inversa A−1 se a) permutarmos em A a i-ésima com a j -ésima linha? b) a i-ésima linha de A é multiplicada por uma constante k não nula? c) a i-ésima linha de A é somada à k vezes a j -ésima linha? 4 Regra de Cramer Nesta seção, mostraremos como expressar a solução única de um sistema de n equações com n incógnitas AX = B , onde A é uma matriz invertível. É a chamada Regra de Cramer, que apresentamos para n = 2 e n = 3 na Seção 3 do Capítulo 4, que se relaciona naturalmente com os determinantes e que serviu de motivação para a sua introdução e posterior estudo de suas propriedades. Seja AX = B um sistema linear n × n. Se det(A) 6= 0, então o sistema tem uma única solução dada por Teorema 8.4.1. (Regra de Cramer) xj = det(A(j) ) , det(A) j = 1, . . . , n, onde A(j) denota a matriz obtida de A substituindo a sua j -ésima coluna pela única coluna de B . 4. 225 REGRA DE CRAMER Como det(A) 6= 0, segue-se da Proposição 8.1.7(iii) que A é invertível. Portanto, a solução do sistema é dada por Demonstração X = A−1 · B = 1 adj(A) · B det(A) ∆11 . . . ∆n1 b1 ∆ . . . ∆n2 b2 1 .12 = .. .. . det(A) . . . ∆1n . . . ∆nn bn b1 ∆11 + b2 ∆21 + · · · + bn ∆n1 b1 ∆12 + b2 ∆22 + · · · + bn ∆n2 1 , = .. det(A) . b1 ∆1n + b2 ∆2n + · · · + bn ∆nn mostrando que o elemento da j -ésima linha da matriz X é xj = b1 ∆1j + b2 ∆2j + · · · + bn ∆nj . det(A) (1) Considerando a matriz a11 . . . a1,j−1 b1 a1,j+1 . . . a1n . A(j) = .. .. . .. . .. . .. . .. . .. , . an1 . . . an,j−1 bn an,j+1 . . . ann tem-se claramente que b1 ∆1j + · · · + bn ∆nj = det(A(j) ), o que conclui a prova, em vista de (1). Exemplo 1. Usemos a regra de Cramer para resolver o sistema linear x1 + 2x2 + x3 = 5 −x1 + 2x2 + 2x3 = 0 x1 + 2x2 + 3x3 = −1. 226 CAPÍTULO 8. DETERMINANTES Temos que 1 2 1 A = −1 2 2 , 1 2 3 e A(1) 5 2 1 = 0 2 2 , −1 2 3 A(2) 1 5 1 = −1 0 2 1 −1 3 A(3) 1 2 5 = −1 2 0 . 1 2 −1 Como det(A) = 8 6= 0, det(A(1) ) = 8, det(A(2) ) = 28 e det(A(3) ) = −24, a Regra de Cramer nos dá x1 = 1, x2 = 7/2 e x3 = −3. Problemas 4.1 Resolva pela regra de Cramer os seguintes sistemas lineares: (a) 2x + y + 3z = 0 4x + 2y + 2z = 0 2x + 5y + 3z = 0 ; (b) −2x − y + 2w = 1 3x + y − 2z − 2w = 0 −4x − y + 2z + 3w = 2 3x + y − z − 2w = −1 . Bibliograa [1] H. P. Bueno, Álgebra Linear, um segundo curso , Coleção Textos Universitários, SBM, 2006. [2] P. Halmos, Teoria Ingênua dos Conjuntos , Editora Ciência Moderna, 2001. [3] A. Hefez e M. L. T. Villela, Códigos Corretores de Erros , Coleção Matemática e Aplicações, IMPA, 2008. [4] A. Hefez e M. L. T. Villela, Números Complexos e Polinômios , Coleção PROFMAT, SBM, 2012. [5] V. J. Katz, A History of Mathematics - an Introduction , HarperCollins College Publishers, 1993. [6] S. Lang, Introduction to Linear Algebra , 2nd edition, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 1986. [7] E.L. Lima, Álgebra Linear , 3a edição, Coleção Matemática Universitária, IMPA, 1998. [8] E.L. Lima, Geometria Analítica e Álgebra Linear , 2a edição, Coleção Matemática Universitária, IMPA, 2010. 300
