INSTITUTO POLITÉCNICO DE VISEU ESCOLA SUPERIOR DE

INSTITUTO POLITÉCNICO DE VISEU
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU
Departamento Matemática
Curso
Disciplina
Matemática II
C. Administração
Ano
1º
Gestão de Empresas
Semestre
2º
G. Comercial Produção
Ficha nº 4: Determinantes
1. Calcule os seguintes determinantes:
1.1.
1
3
1.2.
2 4
0
2
1 4
1.3.
1
1
2
2
2. Calcule os seguintes determinantes, usando a regra de Sarrus:
1
2.1.  2
1
1
3
4
2
2
3
2 1 3
2.2. 1
0 2
0
2.3.
1 4 2
2
1
 2
5
2
2
2
 2
1 1 1 1
3. Calcule o seguinte determinante, usando a eliminação de Gauss
1 1 1 2
1 1 3 1
.
1 4 1 1
1
4. Calcule os seguintes determinantes usando,
i)
a eliminação de Gauss;
ii)
a fórmula de Laplace.
a 0 0 0
2 1 3
4.1. 1
0 2
4.2.
1 4 2
0 2 0 0 2
1 0 1 0 1
4.4. 0
3 0 3 0
4.5.
0 0 4 0 0
2 0 0 2 0
0 1 0 0
0 0 0 b
0 c
4.3.
0 0
1 0 1 0
0 1 0 1
0 0 d
0
0 0 1 0
1
2
2 0
5 6 0 0 0
2
3
4 1
1 5 6 0 0
1  2
0
2
0
5
3
2
4.6. 0 1
5 6 0
0 0 1 5 6
0 0 0 1 5
5. Calcule, da forma que achar mais conveniente (pode evidentemente misturar as técnicas
aprendidas) os seguintes determinantes:
1
5.1. 2
5.4.
2
a2
1 1
5.2. ab
1
3
0
3
1
0
1
0
1
2
2
1
0
2
0
1
0
0
1
2
1 2
3 1
2
3
1
2
3
0
3
0
3
0
1
1
1
1
1
1
5.5.
2 1
ab ac
b2
3
bc
5.3. 1
1 2
2
0
0 4
ac
bc c
1
2
2
3
1
0
2
0
3 1
1
2
4 3
0
2
5.6.
2
1
3
2
3
0
1
2
1 1
4
3
2
1 1
2
6. Sem calcular o valor dos determinantes, demonstre a igualdade:
1
1
1
4
2
4
8
15
3
9
27 40
4 16 64 85

1
1
1
1
2
4
8
1
3
9
27 1
4 16 64 1
2
7. Sendo A uma matriz quadrada de ordem n, qual a relação com det A de:
7.1. det2 A
 
7.2. det A
7.3. det A 2
8. Relativamente a cada uma das matrizes seguintes, use determinantes para encontrar os
valores dos parâmetros para os quais a matriz é invertível.

8.1.  1

 


0
0
 
0 
1
1
8.2. 
0

1
0
1

1
0
1

1
0
1 
 1


1
1
8.3. 
0

1
1

  
 
1

 

2
       
0
0
2
1
0 
 0

9. Mostre que a matriz A   3
5  1  é não singular, independentemente do

3a  4 0 a  1
valor de a.
10. Duas matrizes A e B dizem-se semelhantes se existir T invertível tal que A  TBT 1 .
Prove que se A e B forem semelhantes então det  A  det B .
1 1
11. Considere a função f x   det  a b

a 2 b 2
1
x  , com a e b números reais distintos.
x 2 
11.1. Mostre que f x  é uma função quadrática, isto é, é dada por um polinómio de
grau 2 em x.
11.2. Explique porque é que f a   f b  0 . Conclua que f x  k x  a x  b para
uma certa constante k. Calcule k.
11.3. Para que valores de x é que esta matriz é invertível?
3
12. A matriz B foi obtida a partir da matriz A ( 4  4 ), através das seguintes operações
elementares:
2  L1
L2  L3
L4  L4  2  L1
12.1.
Sabendo que det( A)  1 , calcule det( B ) .
12.2.
3 10 13  
0  1 1
 5

10
Se C 
, calcule det( BC 1BT ) .
0 0

2 1


0
 1
0 0
13. Resolva as seguintes equações:
13.1.
x
x 1
 4 x 1
x 4 0
0
13.2. 1
2
x 1 2
x
5
13.3.
xa
b
c
c
xb
a
a
b
xc
0
14. Calcule a matriz adjunta de:
1 2 3
14.1. 0 1 2


0 0 0
1 2 3
14.2. 0 1 2


0 0 1
5
1
14.3. 
0

1
0 0 2
1 0 2
0 2 1

0 0 1
  1  2  2
 4  3  3


15. Considere as matrizes A  2
1  2 e B   1
0
1  .

 2  2 1 
 4
4
3 
15.1. Mostre que Adj A  3 AT .
15.2. Verifique que AdjB  B .
 4 1 0 
2  3 1 
1 1 1




16. Considere as matrizes A   1 4  1 , B  3 1  1 e C  1 2 2 .




 0  1 4 
1  1  1
1 2 3
16.1. Determine a adjunta de cada uma das matrizes.
16.2. Calcule o determinante de cada uma das matrizes e a sua inversa.
4
1
1 
17. Considere a equação matricial AXB1   I  , onde A e B representam matrizes
4 
invertíveis e I representa a matriz identidade.
17.1.
Explicite X.
17.2.
 1  1 0
1 2 3 


Sabendo que A   1 3 2 e B  0 2 2 , calcule:
 2
3 0 0 
2 5 
17.2.1. Adj ( A) .
17.2.2. X.
18. Resolva os seguintes sistemas usando a regra de Cramer:
 x  3x 2  0
18.1.  1
2 x1  4 x2  6
 x1  4 x2  x3  1

18.2.  x1  x2  x3  0
2 x  3x  0
3
 1
 0 1 
19. Considere as matrizes A   2   1 e b 


 1 0 1 
2 x1  5 x 2  2 x3  7

18.3.  x1  2 x 2  4 x3  3
3x  4 x  6 x  5
2
3
 1
 
 1  , com  ,   IR .
 
 0 
19.1.
Discuta o sistema Ax  b em função dos parâmetros  e  .
19.2.
Determine os valores do parâmetro  para os quais a matriz A é invertível.
19.3.
Considere   2 e   2 .
19.3.1. Determine, usando o método da adjunta, a matriz inversa de A.
 
 A1 2 AT
19.3.2. Calcule, usando as propriedades dos determinantes, det 

2


.


19.3.3. Resolva o sistema Ax  b , usando a regra de Cramer.
5